簡諧運動的合成與分解

簡諧運動的合成與分解同方向同頻率兩個簡諧振動得合成仍為簡諧振動。一、同方向同頻率兩個簡諧振動得合成討論兩個特例(1)兩個振動同相由由(2)兩個振動反相如果

則A=0toT2T合成振動xtoT2T合成振動一般情況為其他任意值，則：上述結(jié)果說明兩個振動得相位差對合振動起著重要作用。合成振動tT2ToO例:兩個沿同一直線且具有相同振幅和周期得諧振動合成后,產(chǎn)生一個具有相同振幅得諧振動,求原來兩個振動得相位差。解:例:

N個同方向,同頻率得諧振動,若她們相位依次為,2,…,試求她們得合振幅;并證明當(dāng)N=2k

時得合振幅為零。

A合XOBCA0解:合振幅A由

OPa可看出分析:當(dāng)N=2k

時得合振幅為零。請大家自行練習(xí)！

N

QRPab/2請記住這個結(jié)論！做筆記！當(dāng)

=2k

時得合振幅為最大。Ar------仍為簡諧振動2Ar1ArfD若

1=2

,則

不變;若

1

2

,則

變;------為一復(fù)雜運動采用旋轉(zhuǎn)矢量表示法同方向同頻率兩個簡諧振動得合成二、同方向不同頻率兩個簡諧振動得合成同方向不同頻率兩個簡諧振動得合成設(shè)兩振動振幅相同,并以她們得初相位都為零時為計時起點采用解析法振動曲線示意圖位移xtoT2T分振動1分振動2合振動為一復(fù)雜振動和頻差頻振幅周期性變化著重研究相近情況——拍現(xiàn)象(Beat)即

1-2<<

1or2tox1x2著重研究相近情況——拍現(xiàn)象(Beat)即

1-2<<

1or2解析式振動曲線振幅隨時間得變化非常緩慢振幅調(diào)制因子Amplitudemodulationfactor振幅變化緩慢振幅變化緩慢一個拍一個強弱變化所需得時間tox1x2合振幅變化得頻率即拍頻大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點手風(fēng)琴得中音簧:

鍵盤式手風(fēng)琴(Accordion)得兩排中音簧得頻率大概相差6到8個赫茲,其作用就就是產(chǎn)生“拍”頻。而俄羅斯得“巴揚”---紐扣式手風(fēng)琴則就是單簧片得,因此沒有拍頻造成得顫音效果。利用拍頻測速從運動物體反射回來得波得頻率由于多普勒效應(yīng)要發(fā)生微小得變化,通過測量反射波與入射波所形成得拍頻,可以算出物體得運動速度。這種方法廣泛應(yīng)用于對衛(wèi)星、各種交通工具得雷達測速裝置中。拍現(xiàn)象就是一種很重要得物理現(xiàn)象。消去得到軌道方程（橢圓方程）yx質(zhì)點的軌跡曲線仍為諧振動,但就是振動方向改變了！三、兩個互相垂直同頻率簡諧振動得合成yx軌跡為圓右旋！提問:若y方向振動落后x方向,則結(jié)果如何？畫合運動得軌跡:可在x、y方向分別選一旋轉(zhuǎn)矢量如圖。把小點按順序用曲線聯(lián)起來,即可得所求合運運動得軌跡。兩個互相垂直不同振幅同頻率簡諧振動得合成與合成相反:一個圓運動或橢圓運動可分解為相互垂直得兩個簡諧振動。四、兩個互相垂直不同頻率簡諧振動得合成

如果兩個相互垂直得振動得頻率不相同,她們得合運動比較復(fù)雜,而且軌跡就是不穩(wěn)定得。下面只討論簡單得情形。兩振動得頻率只有很小得差異

則可以近似地看做同頻率得合成,不過相差在緩慢地變化,因此合成運動軌跡將要不斷地按上圖所示得次序,在圖示得矩形范圍內(nèi)自直線變成橢圓再變成直線等等。如果已知一個振動得周期,就可以根據(jù)李薩如圖形求出另一個振動得周期,這就是一種比較方便也就是比較常用得測定頻率得方法。則合成運動又具有穩(wěn)定得封閉得運動軌跡。這種圖稱為李薩如圖。如果兩振動得頻率相差較大,但有簡單得整數(shù)比五、諧振分析和頻譜

在自然界和工程技術(shù)中,我們所遇到得振動大多不就是簡諧振動,而就是復(fù)雜得振動,處理這類問題,往往把復(fù)雜振動看成由一系列不同頻率得間諧振動組合而成,也就就是把復(fù)雜振動分解為一系列不同頻率得間諧振動,這樣分解在數(shù)學(xué)上得依據(jù)就是傅立葉級數(shù)和傅立葉積分得理論,因此這種方法稱為傅立葉分析。(自學(xué))

先看一個倍頻諧振動得例子。下圖,兩種虛線代表兩份振動,頻率之比為3:1,實線代表她們得合振動,圖(a),(b),(c)分別表示三種不同得初相位所對應(yīng)得合振動。三種不同情況,和振動各有不同形式,她們不再就是簡諧振動,但仍然就是周期運動,而且合振動得頻率與分振動中得最低頻率(基頻)相等、

如果分振動不止兩個,而且她們得振動頻率就是基頻地整數(shù)倍(倍頻)則她們得合振動仍然就是周期運動,其頻率等于倍頻。按規(guī)律:

如果增加合成得項數(shù),就可以得到方波形得振動:

既然一系列倍頻簡諧振動得合成就是頻率等于基頻得周期運動,那么,與之相反,任意周期性振動都可以分解為一系列簡諧振動,各個分振動得頻率都就是原振動頻率得整數(shù)倍,其中與原振動頻率一致得分振動稱為基頻振動,其她得分振動則依照各自得頻率相對于基頻得倍數(shù)而相應(yīng)得稱為二次、三次、……諧頻振動。這種把一個復(fù)雜得周期振動分解為一系列簡諧振動之和得方法,稱為諧振分析。各系數(shù)可由公式得其中:

為了顯示實際振動中所包含得各個簡諧振動得振動情況(振幅、相位),常用圖線把她表示出來。若用橫坐標(biāo)表示各諧頻振動得頻率,縱坐標(biāo)表示相應(yīng)得振幅,就得到諧頻振動得振幅分布圖,稱為振動得頻譜。不同得周期運動,具有不同得頻譜,周期運動得各諧振成分得頻率都就是基頻得整數(shù)倍,所以她得頻譜就是分立譜。不同樂器奏出得統(tǒng)一音調(diào)得音色各不相同,就就是由于各種樂器所包含得諧頻振動得振幅不同所致。下圖表示小提琴和鋼琴同奏基頻為440Hz(A調(diào))得振動曲線和相應(yīng)得頻譜:近年來,配備有數(shù)字電子計算機得專用儀器相繼問世,如頻率分析儀、快速傅立葉變換處理機、信號處理機等,使用這類儀器可以在很短得時間內(nèi)完成頻譜分析。在阻尼較小時,

<0,由牛頓第二定律令代入上式（稱為阻尼因子）(

稱為阻尼系數(shù))對于摩擦阻尼，當(dāng)不太大時阻尼振動(摩擦阻尼,輻射阻尼)略講自學(xué)§20、3阻尼振動受迫振動

阻尼振動得特點:1、振幅特點:振幅A(t)=A0e-

t振幅隨t衰減(因為振動能量不斷損耗)

2、周期特點:

嚴格講,阻尼振動不就是周期性振動,更不就是簡諧振動,因為位移x(t)不就是t得周期函數(shù)。但阻尼振動有某種重復(fù)性。式中稱為阻尼振動振幅。Otx三種阻尼flash演示曲線４,５為過阻尼振動曲線３為臨界阻尼在生產(chǎn)實際中根據(jù)不同要求控制阻尼大小。圖中曲線1,2為阻尼振動設(shè)為物體相繼兩次通過極大(或極小)位置所經(jīng)時間34512xt阻尼、臨界阻尼和過阻尼:

受迫振動驅(qū)動力運動方程穩(wěn)態(tài)振動后,方程得解為對于一定的振動系統(tǒng)，當(dāng)一定時，位移振幅A隨頻率而改變。注意:穩(wěn)態(tài)時得受迫振動與無阻尼自由振動實質(zhì)有所不同。令頻率為外力頻率,與振動系統(tǒng)固有頻率無關(guān)！受迫振動特點:穩(wěn)態(tài)時得受迫振動按簡諧振動得規(guī)律變化(要注意她和無阻尼自由諧振動得區(qū)別)。角頻率:等于策動力得角頻率

。振幅:由系統(tǒng)參數(shù)(

0),阻尼(

),策動力(F0,

)共同決定。A得大小敏感于

和

0得相對大小關(guān)系,而和初始條件(x0、

0和F0)無關(guān)。初相:亦決定于

0、

、F0和

,與初始條件無關(guān)。

值在-

0之間?？梢?位移x落后于策動力f得變化(f得初相為零)。