巧用放縮解高考題-國際應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展

為命題的熱點之一，備受關(guān)注。本文研究2023年高考數(shù)學(xué)試題本在放縮法，下面將詳細(xì)說明放縮法在高考題中總能起到承上啟下、至關(guān)重要的作用。【收稿日期】2023年7月21日【出刊日期】2023年9月15日【DOI】10.12208/j.aam.20231021Itisoftenencounteredinthederivativeclosingquestionsofcollegeentranceexaminatiocomprehensivequestionscombinedwithinequalities.Properthesolutionoftheproblem,andshrinkagemethodisalsoanimportantmathematicalidea.Thenewexaminationattachesgreatimportancetotheexaminationofthecorequalityomethodbearstheabilityofreasoningandargumentation,whichbelongstothecorequalityoflogicalreasoning[1],whichmakesitbecomeoneofthehottopicsofpropositionandattractsmuchattention.Thispaperstudiesthe2023andrationalthinking,andtheturningpointofthetopicisbasicallyinthereductionmethod,thefollowingwillbedetailedtoexplainthereductionmethodinthecollegeentranceexaminationquestionscainlinkingtheprecedingandthefollowing.【Keywords】Expansionandcontractionmethod;Collegeentranceex者的有效途徑，符合學(xué)生用現(xiàn)有高中知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核放縮法的本質(zhì)是不等式的傳遞性即若A>B,B>C，則A>C，一般用于兩式或不等式兩端差別較大的要平時做題時的經(jīng)驗積累。它常常滲透在不等式的某個環(huán)節(jié)上，因例1（2023年全國Ⅰ卷22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P記動點P的軌跡為W。（1）求W的方程; （2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33.求最值問題對考生來說是“老朋友”了，但是在求解過程中會出現(xiàn)“障礙”—運算量過大（弦長AB和BC解析y=x2+1k則設(shè)BA，DA的斜率分別為k和?1k2222令k2=m，則m∈=m2+3m+，當(dāng)時，f′<0，此時,，f(m)>0，此時f(m)單調(diào)遞增，:矩形ABCD的周長大于3明不等式的常見方法與技巧往往滲透其中，起到引數(shù)化為冪函數(shù)，可以起到化難為易，峰回路轉(zhuǎn)的作用，這一過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思在數(shù)學(xué)高考中，三角函數(shù)是求導(dǎo)類題目的“?？汀?，這不僅僅是考察單個知識點，更強(qiáng)調(diào)的是知之間的整合，解決此類問題需要熟練掌握三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等性質(zhì)，通過這些特殊性質(zhì)，以用重要極限來合理放縮，可以解決大部分求導(dǎo)類大題中的三角函數(shù)問題。通過歸納總結(jié)這類問題，可好的培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。下例2（2023年全國Ⅱ卷22題1）證明：當(dāng)0<x<1時，x?x2<sinx<x;（2）f，若x=0是f(x)的極大值點，求a的取值范圍。進(jìn)行求導(dǎo)，分類討論0<a2<2和a2≥2即可，并且在第一題中給了提示，當(dāng)0<a2≤2時，可利用sinx<x進(jìn)行放縮，當(dāng)a2≥2時，可利用x?x2<sinx進(jìn)行放縮，再根據(jù)極大值的定義分析求解。解析1）略（2）令1?x2>0，解得?1<x<1，即函數(shù)f(x)的定義域為(?1,1)，1?x2:y=?lnu在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，u=1?x2在(?1,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，在?ln1?x21?x2且f(?x)=cos(?bx)?ln1?(?x)2=cosbx?ln(1?x2)=f(x)，x)=?bsinbx 當(dāng)0<b2≤2時，取m=min，則bx∈ x?2結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：f(x)在(?m,0)上單調(diào)遞減，∴x=0是f(x)的極小值點，不合題意;2>2時，取x∈0,,bx?b2x2)?=3x3+b2x2+b3x+2?b2),:h在內(nèi)存在唯一的零點，>0，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：f(x)在(?n,0)上單調(diào)遞增，:x=0是f(x)的極大值點，符合題意;綜上所述：當(dāng)b2>2，即a2>2時，解得a>或a<?,u。函數(shù)的放縮來解決難題，這里總結(jié)了一些對數(shù)函數(shù)常用的放縮：lnx≤kx+b型，lnx≤ax2+bx+c型，lnx≤kx+b型等，具體放縮需要根據(jù)（2）是否存在a,b，使得曲線關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明理對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論a≤0，a≥和0<a<三中情況即可求得實數(shù)a的?。?）由函數(shù)的解析式可得f′(，:f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在極值點，:f′(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號零點，即零點兩側(cè)取異號，22:f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在極值點，等價于g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號零點，:g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，:g(x)<g(0)=0，g(x)在區(qū)間(0,+∞)上無零點，不合題意;:<1，所以g′′(x)>0,g′(x:g′(x)>g′(0)=0，則g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0，:g(x)在區(qū)間(0,+∞)上無零點，不符合題意;③當(dāng)0<a<時，由=2a?=0可得x=當(dāng)時，g′′<0，g′單調(diào)遞減，令=lnx?x2+x，則h′當(dāng)x∈(0,1)時，h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1,+∞)時，h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，根據(jù)零點存在性定理可知：g′(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一零點x0。當(dāng)x∈(0,x0)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(x0,+∞)時，g′(x)>:g(x0)<g(0)=0。,:n(x)單調(diào)遞減，注意到n(1)=0，,:g(x)=ax2+x?(x+1)ln(x+1)，,22:函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號零點，符合題意。用切線放縮法時要“先證后用”，其次要注意等號成,1ln3解析1）?1ln334*，:h(n+1)?h(n)<0，故h(n)在n∈N*上遞減，故h(n)≤h(1)=1;當(dāng)0<x<1時，φ′(x)>0，φ(x)遞增，當(dāng)x>1時φ′(x)<0，φ(x)遞減，,:a1:h(x)在x>0時單調(diào)遞減，則有h=0，即ln評析：第三問采用兩種方法證明，一種是直接證明，通過作差法研究函數(shù)單調(diào)性，再通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行放縮，經(jīng)過累加證出;另一種是通過分析法，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性，進(jìn)行放縮，可想到累加和證明，兩種方法的本質(zhì)都是相同的，均采用合適的放縮來達(dá)到目的，讀者可結(jié)合兩種方法共同分析和出色的解題能力，還要求考生熟練的基本技能和臨場[1]姜宗帥.巧用放縮法解決高中導(dǎo)數(shù)壓軸題[J].讀寫算,2021(15)