2025屆高三數(shù)學一輪總復習 第八章 第三講 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析配套課件

第三講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析2025年高考一輪總復習第八章

統(tǒng)計與統(tǒng)計分析1.回歸分析

(1)相關關系：兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系叫做相關關系.與函數(shù)關系不同，相關關系是一種非確定性關系.

(2)散點圖可以直觀地判斷兩變量的關系是否可以用線性關系表示.若這些散點有y隨x增大而增大的趨勢，則稱兩個變量正相關；若這些散點有y隨x增大而減小的趨勢，則稱兩個變量負相關.(4)樣本相關系數(shù)：

它主要用于對成對樣本數(shù)據(jù)的相關程度進行定量分析，以衡量它們之間的線性相關程度.當r＞0時表示兩個變量正相關，當r＜0時表示兩個變量負相關.|r|越接近1，表明兩個變量的線性相關性越強；當|r|接近0時，表明兩個變量間幾乎不存在相關關系，相關性越弱.

(5)殘差 ①殘差：對于響應變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，差.越接近1，表示回歸的效果越好.XY合計y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d2.獨立性檢驗(1)2×2列聯(lián)表設X，Y為兩個分類變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)如下：(2)獨立性檢驗＋d為樣本容量)來判斷“兩個分類變量是否獨立”的方法稱為獨立性檢驗.(3)獨立性檢驗的一般步驟①提出零假設H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋；②根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表；③計算隨機變量χ2的值，查表確定臨界值xα；④當χ2≥xα時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當χ2<xα時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認為X和Y獨立.【名師點睛】

(1)回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性分布時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義.散點圖大致呈曲線分布時，應選取合適的回歸模型，再通過換元轉(zhuǎn)化為線性回歸. (2)獨立性檢驗是對兩個變量的關系的可信程度的判斷.根據(jù)χ2的值可以判斷兩個分類變量有關的可信程度，并用來指導科研和實際生活.

考點一相關關系的判斷1.對4組樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖8-3-1所示的散點圖，關于其相關系數(shù)的比較，正確的是(

樣本相關系數(shù)為r1

(1)

)樣本相關系數(shù)為r2

(2)

樣本相關系數(shù)為r3

(3)A.r2＜r4＜0＜r3＜r1C.r4＜r2＜0＜r3＜r1

樣本相關系數(shù)為r4

(4)圖8-3-1 B.r4＜r2＜0＜r1＜r3

D.r2＜r4＜0＜r1＜r3

解析：由散點圖知圖(1)與圖(3)是正相關，故r1＞0，r3＞0，圖(2)與圖(4)是負相關，故r2＜0，r4＜0，且圖(1)與圖(2)的樣本點集中在一條直線附近，因此r2＜r4＜0＜r3＜r1.故選A.答案：A

2.在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制作成如圖8-3-2所示的人體脂肪含量與年齡)關系的散點圖.根據(jù)該圖，下列結(jié)論中正確的是(

圖8-3-2A.人體脂肪含量與年齡正相關，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%B.人體脂肪含量與年齡正相關，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%C.人體脂肪含量與年齡負相關，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%D.人體脂肪含量與年齡負相關，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%解析：觀察題圖，可知人體脂肪含量與年齡正相關，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%.故選B.答案：B【題后反思】判定兩個變量正、負相關的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關.(2)相關系數(shù)：r＞0時，兩個變量正相關；r＜0時，兩個變量負相關.量負相關.售價x/元99.51010.511銷售量y/件1110865考點二線性回歸分析

[例1](1)(多選題)2024年3月15日，某市物價部門對5家商場的某種商品一天的銷售量及其價格進行調(diào)查，5家商場的售價x(單位：元)和銷售量y(單位：件)之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：數(shù)|r|＝0.986，則下列說法正確的有()A.變量x，y線性負相關且相關性較強B.a＝40C.當x＝8.5時，y的估計值為12.8D.相應于點(10.5，6)的殘差約為0.4^答案：ABCx2025303540y167160150143130

(2)某研究機構(gòu)為調(diào)查人的最大可視距離y(單位：米)和年齡x(單位：歲)之間的關系，對不同年齡的志愿者進行了研究，收集數(shù)據(jù)得到下表：

②根據(jù)①中求出的線性回歸方程，估計年齡為50歲的人的最大可視距離.解：①由題意可得，【題后反思】回歸分析問題的類型及解題方法(1)求經(jīng)驗回歸方程①根據(jù)散點圖判斷兩變量是否線性相關，如不是，應通過換元構(gòu)造線性相關.

(2)利用經(jīng)驗回歸方程進行預測時，可把經(jīng)驗回歸方程看作一次函數(shù)求函數(shù)值.線性經(jīng)驗回歸方程的圖象一定過點(x，y). (3)利用經(jīng)驗回歸方程判斷正、負相關時，決定是正相關還是負相關的是系數(shù)b.(4)判斷經(jīng)驗回歸方程的擬合效果，可以利用樣本相關系數(shù)判斷，|r|越趨近于1，兩變量的線性相關性越強.^年份x20192020202120222023儲蓄存款y/千億元567810時間代號t12345z01235【變式訓練】隨著經(jīng)濟的發(fā)展，某地居民收入逐年增長.該地某銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)如下表：為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理，令t＝x－2018，z＝y(tǒng)－5，得到下表：

(1)求z關于t的線性回歸方程； (2)通過(1)中的方程，求出y關于x的回歸方程； (3)用所求回歸方程預測到2025年的年底，該銀行儲蓄存款額可達多少？考點三獨立性檢驗

[例2](2023年全國甲卷文科)一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位：g).試驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.8

20.221.622.823.623.925.128.232.336.5組別小于m不小于m對照組試驗組(1)計算試驗組的樣本平均數(shù)；

(2)①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表；P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635

②根據(jù)①中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？

n(ad－bc)2附：χ2＝ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，解：(1)根據(jù)題意，試驗組的樣本平均數(shù)為18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝19.8.組別小于m不小于m對照組614試驗組146

(2)①由題意知，這40只小白鼠體重增加量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排列后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù).因為第20位數(shù)據(jù)為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，填寫列聯(lián)表如下：

②零假設為H0：小鼠體重的增加量與是否飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境中無關.根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算得到χ2＝40×(6×6－14×14)2

＝6.4＞3.841. 20×20×20×20

根據(jù)小概率值α＝0.050的獨立性檢驗，我們推斷H0

不成立.

所以有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.計算χ2

的值.【題后反思】獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表，提出零假設H0.(2)根據(jù)公式χ2＝

n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)(3)比較χ2

與臨界值的大小關系，然后得出結(jié)論.創(chuàng)業(yè)意向男生人數(shù)女生人數(shù)有自主創(chuàng)業(yè)打算16m無自主創(chuàng)業(yè)打算64n【變式訓練】(2023年威海市期末)某大學在一次調(diào)查學生是否有自主創(chuàng)業(yè)打算的活動中，獲得了如下數(shù)據(jù)：(1)若m＝24，n＝36，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)判斷，是否有99%的把握認為該校學生有無自主創(chuàng)業(yè)打算與性別有關？P(χ2≥k)0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828

(2)若m＝15，n＝60，從這些學生中隨機抽取一人. ①若已知抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算，求該學生是男生的概率；

②判斷“抽到的人無自主創(chuàng)業(yè)打算”與“抽到的人是男生”是否獨立.

n(ad－bc)2附：χ2＝ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).

解：(1)零假設為H0：該校學生有無自主創(chuàng)業(yè)打算與性別無關.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝

140×(16×36－24×64)2

＝6.72>6.635.(16＋24)×(64＋36)×(16＋64)×(24＋36)

根據(jù)小概率值α＝0.01的χ2

獨立性檢驗，我們推斷H0

不成立.所以有99%的把握認為該校學生有無自主創(chuàng)業(yè)打算與性別有關.

(2)記A為“抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算”，B為“抽到的人是男生”.所以“抽到的人無自主創(chuàng)業(yè)打算”與“抽到的人是男生”獨立.月份x123456凈利潤y/萬元510265096195⊙非線性回歸的應用問題[例3](2023年寧波市期末)某企業(yè)對2023年上半年的月利潤情況進行調(diào)查統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如下：根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖8-3-3所示的散點圖.圖8-3-3

(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝c·edx與y＝a＋bx(a，b，c，d均為大于零的常數(shù))哪一個更適宜作為描述y與x關系的回歸方程？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果求出y關于x的回歸方程.

(3)已知該企業(yè)的產(chǎn)品合格率為90%，現(xiàn)隨機抽取9件產(chǎn)品進行檢測，則這9件產(chǎn)品中合格的件數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：

其中ω＝lny.解：(1)由散點圖可知，y與x之間是非線性相關關系，所以y＝c·edx

更適宜作為描述y與x關系的回歸方程類型.

(3)設抽到的產(chǎn)品中有X件合格品，則X～B(9，0.9).所以當k＝8或k＝9時P(X＝k)最大.

所以這9件產(chǎn)品中合格的件數(shù)最有可能是8件或9件.

【反思感悟】有些非線