數學同步練習：函數第三小節(jié)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1。3函數的單調性1．定義在R上的函數f（x）對任意兩個不相等實數a、b,總有eq\f(f（a)－f（b)，a－b）〉0成立，則必有…(）A．函數f(x)是先增加后減少B．函數f（x)是先減少后增加C．f(x）在R上是增函數D．f（x）在R上是減函數2．設函數f（x）＝（2a－1）x＋b是R上的減函數，則有(）A．a≥eq\f（1,2)B．a≤eq\f（1，2)C．a〉－eq\f（1，2)D．a〈eq\f(1，2)3．已知函數f(x）＝eq\f(3，x），則下列區(qū)間不是遞減區(qū)間的是(）A．(0,＋∞)B．（－∞，0）C．（－∞,0)∪（0，＋∞)D．(1,＋∞)4．已知函數y＝4x2－mx＋1在(－∞,－2］上遞減，在［－2，＋∞)上遞增，則f（1）＝__________.5．若f（x)在R上是增函數且f(x1）>f（x2)，則x1，x2的大小關系為__________．1．下列命題正確的是（)A．定義在R上的函數f（x)，若存在x1，x2∈（a，b），使得x1〈x2時有f（x1）〈f（x2)，那么f（x）在(a，b）上為增函數B．定義在(a，b）上的函數f(x），若有無窮多對x1，x2∈(a，b）,使得x1<x2時有f(x1）<f(x2），那么f（x）在（a，b）上為增函數C．若f（x）在區(qū)間I1上為增函數，在區(qū)間I2上為增函數,那么f（x)在I1∪I2上也一定為增函數D．若f（x）在區(qū)間I上為增函數且f（x1)〈f（x2)(x1，x2∈I），那么x1<x22．下列函數中只有一個單調區(qū)間的是()A．y＝－eq\f（2,x)B．y＝(x＋3）2C．y＝x（－1≤x≤1)D．y＝(2x－3）23．函數f(x)＝x2＋4ax＋2在（－∞，6)內遞減，則a的取值范圍為（)A．a≥3B．a≤3C．a≥－3D．a≤－34．設函數f（x）在(－∞，＋∞）上為減函數，則……(）A．f（a）>f（2a)B．f（a2)〈f（a）C．f(a2＋a)<f（a）D．f（a2＋1）〈f（a）5．函數y＝－eq\r(1－2x)的單調區(qū)間為__________，在此區(qū)間上是__________．6．畫出函數y＝－x2＋2|x｜＋3的圖象，并指出函數的單調區(qū)間．7．利用定義證明f(x）＝－x3＋1在（－∞，＋∞)上是減函數．1．若一次函數y＝kx＋b（k≠0)在R上是單調遞減函數,則點（k，b）在直角坐標平面的()A．上半平面B．下半平面C．左半平面D．右半平面2．二次函數y＝f(x)的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸是x＝3,則下列式子中錯誤的是…()A．f(5）〉f(4)B．f（2)<f(eq\r(15))C．f(2)＝f(4)D．f(0）<f（－1)3．當x∈(0,5]時，函數f（x)＝3x2－4x＋c的值域為（）A．［f(0）,f（5）]B．[f（0）,f（eq\f(2,3)）］C．［f（eq\f(2,3）)，f(5)］D．[c，f(5）]4．函數f(x)在定義域M內為增函數，且f（x)>0，則下列函數在M內不是增函數的是(）A．y＝4＋3f(x）B．y＝［f(x)]2C．y＝3＋eq\f(1，f（x））D．y＝2－eq\f（1，x)5.y＝eq\r(－x2－2x＋3）的單調遞增區(qū)間為__________．6．若函數y＝mx2＋x＋5在［－2，＋∞）上是增函數，則m的取值范圍為__________．7．下列命題中正確命題的序號是__________．①函數y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞）上不是增函數②函數y＝eq\f(1,x＋1）在(－∞，－1）∪(－1，＋∞）上是減函數③y＝－eq\r（5－4x－x2）的單調區(qū)間是[－2，＋∞）④已知f(x）在R上是增函數,若a＋b>0,則有f(a)＋f(b)〉f（－a)＋f(－b)8．討論函數y＝x2－2（2a＋1)x＋3在[－2,2]上的單調性．9．已知f（x）是定義在[－1，1］上的增函數，且f(x－1)〈f(1－3x）,求x的取值范圍．10．已知函數f（x)＝eq\f(x－1,x＋1)，x∈[1,3］,證明函數的單調性并求其最大值和最小值．答案與解析課前預習1．C由題意可知f(a）－f（b)與a－b同號,故f（x)在R上是增函數．2．D由已知，f(x)為一次函數,且2a－1〈0，∴a〈eq\f（1,2）.3．Cf(x)＝eq\f(3,x）的遞減區(qū)間有兩個(－∞，0）和（0，＋∞）．點評：單調性是定義域上的區(qū)間概念,函數能在定義域內的某個區(qū)間上具備單調性，但在整個定義域上不一定具備單調性．4．21由已知－eq\f(－m,2×4)＝－2,解得m＝－16，∴f（x)＝4x2＋16x＋1。∴f（1）＝21.5．x1〉x2由函數的單調性的定義易得．課堂鞏固1．DA，B不符合單調性的定義，C：單調性是一個區(qū)間概念，兩個單調區(qū)間是獨立的，不能用I1∪I2表示,可表示為f(x）在I1和I2上為增函數．2．CA中，y＝－eq\f（2,x）的單調區(qū)間為（－∞，0）和(0，＋∞);B中，y＝（x＋3）2的單調區(qū)間為(－∞,－3)和(－3,＋∞);D中，y＝（2x－3)2的單調區(qū)間為（－∞，eq\f（3，2）)和(eq\f(3，2),＋∞)．3．D函數f(x）的對稱軸方程為x＝－2a，由題意－2a≥6，即a≤－3.4．D∵a2＋1－a＝(a－eq\f(1，2））2＋eq\f（3,4）>0，∴a2＋1>a.∴f(a2＋1）〈f(a)．5．(－∞，eq\f(1，2）］單調遞增函數由1－2x≥0，得x≤eq\f（1，2),又u(x）＝1－2x在（－∞，eq\f（1,2）]上單調遞減，∴y＝－eq\r(1－2x）在(－∞,eq\f(1，2)]上單調遞增．點評：①求函數的單調區(qū)間時，一定要先判斷所求函數的定義域，②寫單調區(qū)間時,區(qū)間端點若在定義域內，則可開可閉；若不在定義域內,則一定要開．6．解：y＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4,x≥0，,－x2－2x＋3＝－(x＋1）2＋4，x〈0，)）函數圖象如圖所示．由圖象可知：函數在（-∞，-1]，［0,1］上是增函數；函數在［—1,0］，［1，+∞)上是減函數．∴函數的單調遞增區(qū)間是（-∞，-1]，［0,1]；單調遞減區(qū)間是［-1,0］，［1，+∞）．點評：研究函數的單調區(qū)間的一般方法有定義法、圖象法及利用已知函數的單調性．數形結合始終是研究函數及其性質的重要思想．7。證明：設x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1〈x2，則Δx＝x2－x1〉0，Δy＝f（x2）－f(x1）＝（－xeq\o\al（3，2）＋1）－(－xeq\o\al(3,1)＋1)＝xeq\o\al(3,1)－xeq\o\al（3,2）＝(x1－x2）(xeq\o\al(2,1)＋x1x2＋xeq\o\al(2，2）)＝（x1－x2）[(x1＋eq\f（x2，2）)2＋eq\f(3，4）xeq\o\al（2，2)］．∵Δx〉0且(x1＋eq\f(x2，2))2＋eq\f（3,4)xeq\o\al（2，2)>0，∴Δy＝f（x2)－f(x1）<0恒成立．∴f(x)＝－x3＋1在（－∞，＋∞)上是減函數．點評：用定義證明函數的單調性，步驟一定要嚴謹,要注意合理地對式子變形，以方便判斷各個因式的符號，進而得出Δy的符號．課后檢測1．C因為一次函數y＝kx＋b在R上是減函數，所以必有k<0。而b∈R,所以點(k，b)在直角坐標平面的左半平面．2．B由題意可知f(x）的圖象在x＝3左側遞減右側遞增，∴A、D正確．又2，4關于x＝3對稱,∴C正確．∴只能選B.點評：此類題目可直接判斷距離對稱軸的遠近即可，開口向上時，離得越遠,函數值越大，開口向下時，離得越遠函數值越?。?．C函數f(x）的對稱軸為x＝eq\f（2，3），且開口方向向上,所以當x∈（0，eq\f(2,3)］時為減函數,當x∈[eq\f(2,3)，5]時為增函數,且f(0）<f（5）．∴函數的值域為［f（eq\f(2，3))，f（5）]．4．C令M＝(0，＋∞)，f(x）＝x，則C中：y＝3＋eq\f(1，f(x））＝3＋eq\f(1,x)，顯然不是增函數．5．[－3，－1］由－x2－2x＋3>0，得－3〈x<1，又u(x)＝－x2－2x＋3的對稱軸為x＝－1，開口向下，∴單調遞增區(qū)間為［－3，－1］．6．0≤m≤eq\f（1，4）當m＝0時，y＝x＋5在[－2,＋∞）上是增函數；當m≠0時,要使函數在[－2，＋∞)上是增函數，需eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m〉0,，－\f（1,2m)≤－2，）)解得0<m≤eq\f（1,4)，∴0≤m≤eq\f(1，4).7．④①因為函數在（－eq\f（1,4)，＋∞)上為增函數，所以在(0，＋∞)上也是增函數，故①錯；②應該為在區(qū)間(－∞,－1）和(－1,＋∞）上各自為減函數,故②錯;③函數y＝－eq\r（5－4x－x2)的定義域為[－5，1]，所以增區(qū)間為［－2,1]，故③錯；④∵f(x）為R上的增函數，又a＋b〉0，∴a>－b或b>－a?！鄁（a）>f（－b）或f(b)〉f(－a)，兩式相加得f（a）＋f（b）〉f(－a）＋f（－b),故④正確．8．解：由題意，函數的對稱軸方程為x＝2a＋1；（1）當2a＋1≤－2,即a≤－eq\f(3，2)時,函數在[－2,2］上為增函數．（2)當－2<2a＋1〈2，即－eq\f(3,2)〈a<eq\f（1,2）時,函數在[－2,2a＋1]上是減函數,在［2a＋1，2]上是增函數．（3)當2a＋1≥2,即a≥eq\f(1,2)時,函數在[－2,2]上是減函數．綜上所述：當a≤－eq\f(3,2)時，函數在[－2，2]上為增函數；當－eq\f(3,2）<a〈eq\f(1,2)時,函數在[－2,2a＋1］上是減函數，在［2a＋1,2］上是增函數;當a≥eq\f(1，2)時，函數在［－2,2］上是減函數．9．解：由題意可知f（x－1）<f（1－3x）等價于eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－1≤x－1≤1，,－1≤1－3x≤1，，x－1〈1－3x，））解之，得0≤x<eq\f(1，2).10．解：f（x）＝eq\f（x－1，x＋1)＝eq\f(x＋1－2,x＋1)＝1－eq\f（2，x＋1)。設x1，x2是區(qū)間[1，3］上的任意兩個實數，且x1〈x2，則Δx＝x1－x2〈0，Δy＝f（x1)－f（x2)＝1－eq\f（2，x1＋1)－1＋eq\f（2，x2＋1）＝eq\f（2,x2＋1）－eq\f（2,x1＋1)＝eq\f（2（x1＋1)－2（x2＋1）,（x1＋1)(x2＋1)）＝eq