《振動(dòng)力學(xué)》課程本科生考試試題標(biāo)準(zhǔn)答案

2006《振動(dòng)力學(xué)》課程本科生考試試題標(biāo)準(zhǔn)答案

1.圓筒質(zhì)量〃Z。質(zhì)量慣性矩在平面上在彈簧k的限制下作純滾動(dòng)，如圖所示，求其

固有頻率。（io分）

解：令x=Asin",x=Acocoscot

二加2+；〃(與

22r

=g(m+§)比2

=g("2+4)比COS?CDt

U=—^r2=—kA2sin2cot

22

/.-(/77+-4-)X2A26;2=-M2

2r2

s=

2.圖示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，兩個(gè)彈簧的連接處有一激振力P（1）=《sin次的作用，求質(zhì)量加

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值。（10分）U

M_

因

in^2X2

解：設(shè)，篦的位移為X,則冗=冗1+工2⑴

其中當(dāng)為彈簧L的變形，當(dāng)為彈簧網(wǎng)的變形

對機(jī)列運(yùn)動(dòng)微分方程：trix+&29=0⑵

對連接點(diǎn)列平衡方程：攵內(nèi)=k2x2+P(t)(3)

由(3)式可以得出：%.=0")+1〉

%

將上式代入(1)式可得出：/=_*')+3

kx+k2

將上式代入(2)式可得出：〃&+9-x一一石—尸“)=0

k1+k-2K+&

mx+kx=———P(t)=sincot

ee

k,+k2k,+k2

Pk11

x=-o-2-------------------sina)t

h+k?兒i_(e>

5

41

=----------sincot

ki1-(—)2

他

3.建立如圖所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程并求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。(10分)

%)=Asin69r

m-VW\^

解：對物體機(jī)列運(yùn)動(dòng)微分方程，有：

tnx+cx-k(x}-x)=0

BP：mxex+kx=kAsincot

kA1

其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為:X——?―jsin("一。)

kJ(12)2+(咨)2

g二c,6>=arctan^

其中，5=—,690

g14krn1-5

4.如圖所示等截面懸臂梁，梁長度為L,彈

性模量為E,橫截面對中性軸的慣性矩為/,

梁材料密度為P。在梁的。位置作用有集中

載荷”（力。已知梁的初始條件為零。求解梁

的響應(yīng)。（假定已知第i階固有頻率為例，相

應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為4（x）,i=l~8）（20分）

解：懸臂梁的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

"y02y

(1)

其中:

f{x,t)=F(t)8{x-a)⑵

令:

8

），a/）=Za（x）%Q）(3)

i=i

代入運(yùn)動(dòng)微分方程，有:

00

）〃/+小2。4=/（X，'）(4)

上式兩邊乘為（x）,并沿梁長度對x進(jìn)行積分，有：

ScJ：3M）"x+￡*J：pSMjdx=我小

⑸

利用正交性條件，可得：

句a）+好為⑺=0⑺(6)

其中廣義力為：

2/0=J：f(t)(fijdx=J：F(Z)^(x-a^dx=尸⑺內(nèi)(〃)

⑺

由式(6),可得：

%⑺=——J：Qj(r)sin(o(t-v)dr=——a(a)J：sinco(t-v)d

jF(T)jT(8)

利用式(3),梁的響應(yīng)為：

0gj

yCM)=Z4(x)%a)=Z4(x)—力m)JroF(z)sin叼。一二)公

o⑼

叼

5.兩個(gè)均勻剛性桿如圖所示，具有相同長度但不同質(zhì)量，使用影響系數(shù)法求系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。

（20分）

T叫七1

芯不

-*4-

解：桿1、桿2繞其固定點(diǎn)的慣性矩分別為：

.叫廣，tnl2./.7,

J.=---，=—=2Fm(―)2=——mJ2

使用影響系數(shù)法計(jì)算系統(tǒng)剛度陣

(1)如圖(1)所示，令d=1,&=0,

對桿1和桿2分別需要施加彎矩，M分卜二

21田廷

別為：'

339

Mi=^i--l-l=—k,l2鱉

"'44161

=-k.Z：./2

144161

(2)如圖(2)所示，令4=0,冬=1，ayM12

對桿1和桿2分別需要施加彎矩M|2，“22*/叫起空—

分別為：

339,

M,=-k,-1-1=--U2

2144161A

...3.3..1.1.9.,21..2

Myy=k.Il^-k.-/I=—kl+—kd

2214412216t142

因此，系統(tǒng)剛度陣和質(zhì)量陣分別為

「9,廣9,,21「〃”2

—k「——kJ—0

K*=1616M=3

~939./21i-A7

---kd-k.l+-kjl0—ml2

L161642JL482

因此，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

「町『0[99]

3°〃+廣中一?占4

21=0

0—m2l1^2J一4，+久何

48216'16'42.

6.如圖所示量自由度系統(tǒng)。（1）求系統(tǒng)固有頻率和模態(tài)矩陣，并畫出各階主振型圖形；（2）

當(dāng)系統(tǒng)存在初始條件*（°）=°和%，（0）=°時(shí)，試采用模態(tài)疊加法求解系統(tǒng)響

上⑼」卜2（。）_|L°J

應(yīng)。（20分）

解答:

運(yùn)動(dòng)微分方程為:

令主振動(dòng)為“必

sin3+e），或直接采用（K-G2M）0=0,有:

的

2k-mg2-k"O-

2k-mco2夕20

m

設(shè)na=工02，有七:

2-a-1必0

2—aa0

2,—ex—1

由=0?得出:

-12-a

因此，有：

先將4=1代入，有:

弘一我=0

V

+我=0

令心=1,則有4=1,因此第一階模態(tài)為：

秒=

同樣將。2=3代入，令a=1，有次=-1，因此第二階模態(tài)為:

所以，模態(tài)矩陣為：

-1-1

①二

11

令X=%,原微分方程變?yōu)?

-0

2m02k0尸PI

02山p206山p20

模態(tài)空間的初始條件為：

,r1/21/2101[x,J2\.

Xp(0)=O'X(0)==°,X/,(O)=0-X(O)=

<1/，JL/乙人c人n乙

因此可解得:

=Jr。](0)cos卯=

=xp2(0)cos6>2r=

所以，有:

7.如圖所示等截面梁，長度為/,彈性模量為從橫截面對中性軸的嘖性矩為/,梁材料密

度為P。集中質(zhì)量m,卷簧剛度與，直線彈簧剛度網(wǎng)。寫出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能表達(dá)式，系

質(zhì)量陣：M=

M^pS^dxeR-M=〃皿(%)]7回(兒)]€上

勢能："TH吟舞1小+為華嚀

)2\ox)2

=](K0+K+KJg

剛度陣：K=K+K+K2

?=匕"@泗(2)€臚〃

2007年振動(dòng)力學(xué)期末考試解答

第一題（20分）

1、物塊”質(zhì)量為皿?；咥與滾子8的半徑相等，可

看作質(zhì)量均為加2、半徑均為r的勻質(zhì)圓盤。斜面和彈簧的

軸線均與水平面夾角為b,彈簧的剛度系數(shù)為匕又如g＞，m

gsinb,滾子8作純滾動(dòng)。試用能量法求：（1）系統(tǒng)的微分

方程；（2）系統(tǒng)的振動(dòng)周期。

2、在圖示系統(tǒng)中，質(zhì)量為如、半徑為R的勻質(zhì)圓盤，可沿水平

面作純滾動(dòng)。質(zhì)量不計(jì)的水平直桿用較鏈48分別與圓盤優(yōu)、

A、勻質(zhì)直桿連接。桿BC長為Z,質(zhì)量為加2,在8連接一＜7

剛度系數(shù)為k的水平彈簧。在圖示的系統(tǒng)平衡位置時(shí)，彈簧具

有原長。試用能量法求：（1）系統(tǒng)的微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；（2）

系統(tǒng)的微振動(dòng)周期。

解1：

系統(tǒng)可以簡化成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以滾子B的輪心位移x作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，在靜平

衡位置時(shí)x=0,此時(shí)系統(tǒng)的勢能為零。系統(tǒng)動(dòng)能和勢能為：

22222

T=\mxx+：（：加2產(chǎn)乂步＞+[l/nox+^（^/n,r）（-）]=+lm2）x

222r222r2

V=-kx2

2

在理想約束的情況下，作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力為有勢力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則有:

11

+22

2m2）x+—=E

上式兩邊對t求導(dǎo)整理得動(dòng)力學(xué)方程為：

x+-----------x=0

ml+2m2

振動(dòng)周期為:

解2：

系統(tǒng)可以簡化成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以勻質(zhì)輪輪心A的位移x作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，在靜

平衡位置時(shí)x=0,此時(shí)系統(tǒng)的勢能為零。系統(tǒng)動(dòng)能和勢能為：

T=--mL2(-)2+--w,/?2(-)2=-(-w,+-m)x2

232L221R22132

1x1

V=--m2gL[\-cos(—)]+—

在理想約束的情況下，作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力為有勢力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則有:

T+V=g('叫+；加2)兌2-g加2gL[l-8S(])]+g"2=E

上式兩邊對，求導(dǎo)，得：

311r

+—w2)x--m2gLsin(y)+Ax=0

sin(—)=-

取LL,則系統(tǒng)的微分方程為:

,1

2g

元+1~~—x=()

—m.+-

2132

固有頻率為:

,1

廣非2g

振動(dòng)周期為:

2n

=I

g

第二題(20分)

在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，已知：物塊的質(zhì)量為“，兩彈簧的剛度系

數(shù)分別為高、k2,有關(guān)尺寸L、〃已知，不計(jì)桿重。試求：

(1)建立物塊自由振動(dòng)微分方程；

(2)求初始條件"。=°、%=°下系統(tǒng)的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方

程。

解：

系統(tǒng)可以簡化成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以物塊的位移x作為系統(tǒng)

的廣義坐標(biāo)，在靜平衡位置時(shí)x=0,此時(shí)系統(tǒng)的勢能為零。

m

假定在質(zhì)量機(jī)上作用有單位力1。則?產(chǎn)生的變形量為:

通過對0點(diǎn)區(qū)力矩平衡，可得在單位力1作用下A點(diǎn)的變形量為:

_、6=2=-^-

由可得桿的微小角度bb?k?,因此可以得出由于”而引起的彈簧1位置

上的變形量可：

1}

3；=9L

Vk2

因此質(zhì)量m在單位力作用下的總的變形量為:

5=司+口=

k[k2b

則由1I一-勺“°x,可得等效剛度為:

1Ck、+b2k2

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

nit+kcqx=0

固有頻率為:

k\h

%=也

2

m(l}kx+hk2)

當(dāng)初值玉）=A,&=0時(shí):

x=Acos(a)0t)

第三題（20分）

在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，己知：二物體的質(zhì)量分別

為犯和加2,彈簧的剛度系數(shù)分別為%、&、

自、3、h,物塊的運(yùn)動(dòng)阻力K計(jì)。試求:

（1）采用影響系數(shù)法寫出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程;

）

（2假設(shè)加i=叫=6，kt=k2=,求出振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和

用（0）2X（0）6

相應(yīng)的振型；（3）假定系統(tǒng)存在初始條件匕2（°）4用⑼2」，采用模態(tài)疊加

法求系統(tǒng)響應(yīng)。

解：

（1）系統(tǒng)可以簡化為二自由度系統(tǒng)，分別以二物體的位移同、"為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。

由影響系數(shù)法求廣義剛度陣。

再=1,%二°,由力平衡關(guān)系可得:

a.

無h=匕+k2

%=~k.

x

b.>=0,x2=lf由力平衡關(guān)系可得:

%22=無2+%3+%4+%5

則系統(tǒng)自由振動(dòng)方程為:

阿0$+一心0

0mx左+女0

2223+24+hX2

（2）代入?yún)?shù)可得:

00

+

0工20

系統(tǒng)振動(dòng)的頻率方程為:

m2（t）4-+3k2=0

解得系統(tǒng)得固有頻率:

、k2rz

竹=一（o=3一

m2m

將它們分別代入:

2k—tnco~~~kX|0

—k2k—tnco~x2。

分別得兩階模態(tài)：

份=[02=]

0=

⑶模態(tài)矩陣寫作：L11」，則有:

計(jì)算主坐標(biāo)，有:

+TX2

計(jì)算主質(zhì)量，主剛度:

2m00

02m6k

轉(zhuǎn)化為主坐標(biāo)下初始條件:

3

士,(0)=0'x(O)=x?(0)=0'x(O)=

t=o：L.

易知，主坐標(biāo)解為：

,4

X!=JCOS69/+—Sin691r

g

—2.

x2=cos6y2z+——sinco2t

所以，系統(tǒng)響應(yīng)為:

第四題（20分）

在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，已知：勻質(zhì)桿4B,質(zhì)量m=3kg,長

為L=2m,彈簧的剛度系數(shù)21=2N/m,k2=1N/mo設(shè)

桿AB鉛垂時(shí)為系統(tǒng)的平衡位置，桿的線位移，角位移均

極微小。在質(zhì)心。點(diǎn)作用有一水工力尸=siiwf。以質(zhì)心水

圖1

平位移X和轉(zhuǎn)角0為廣義坐標(biāo)。試求：

（1）系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程和固有頻率；

（2）問卬的值等于多少時(shí)，才能使系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)而無平動(dòng)？并求該強(qiáng)迫振

動(dòng)方程。

解：（1）系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)。首先由影響系數(shù)法求廣義剛度陣。

a.令％=Le=°,如圖所示。由力平衡關(guān)系可知:

A〕A

=&+&

的=他-幻《

b.令x==L如圖所示。由力平衡關(guān)系可知:

匕2=(&-錯(cuò)

k2

￡2

3他+外彳

圖2

可得系統(tǒng)自由振動(dòng)方程如下:

m0ryh+k(k2-kjg

iAx0

1+2

0—mto0

12產(chǎn)（自-匕吟（&+匕4

代入?yún)?shù)數(shù)值，可得:

30x3-llW_p'

+T3_|［十］o

010

3-3co--1

=0

-13-co

頻率方程:

即.3d>4—12co2+8=0

26±2百

%2=--一

（2）系統(tǒng)微分方程

30x3-1xsinW

+

010-1300

強(qiáng)迫振動(dòng)解：x=X|Sin.,e=K2sin.,代入方程得:

一3-3〃-1為=1

2

-13-cox2_0

解得：

3—CD~

玉-3(l-^2)(3-6y2)-l

二占1

"―3"-3(1_[)(3_02)-1

令：%二°,得：G=6rad/s,此時(shí)系統(tǒng)無平動(dòng)，只有轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)方程為:

。/sin3=-sincot

第五題(20分)

如圖所示，桿長度為/,質(zhì)量密度°,截面積S,楊氏模量E。推導(dǎo)簡單邊界條件的桿的軸

向振動(dòng)的正交性條件。

d2u(x,t)adu(x,t)

pS-------——=—{ES------)/、

提示：桿的軸向振動(dòng)方程為：%泳法,為距離原點(diǎn)x位置

的桿的截面在/時(shí)刻的軸向位移

Jox

解答：

桿的主振動(dòng)為：

u{xyt)=0(x)asin(W+&)

代入振動(dòng)方程，有：

(EStfiy=-co2pS^

桿的簡單邊界可寫為：

(a)固定端

0")=0x=0

(b)自由端

ES"(x)=0

設(shè)A(幻和為(幻分別對應(yīng)g和叼的主振型，則有:

（ES4）'=-①；pS^（3）

3峭r例j（4）

對（3）式乘以內(nèi)。）并沿桿長對工積分，有：

￡MESCJdx=-co-￡pS泗dx（$）

利用分部積分可將上式左端寫為：

py（￡5^v=用成0小一（ES^'dx"）

由（1）式和（2）式可知，桿的任一端上總有0二°或者"二°成立，因此（6）中右端第

一項(xiàng)等于零，成為：

鼠MES"）小=JES郴,dx（7）

將上式代入（5）中，有：

￡ES郴jdx=癡（pSMjdx第）

對式（4）乘以4*）并沿桿長積分，同理可得:

￡ES?'禮dx=百［肉岫dx

(9)

(8)式與(9)式相減后有：

⑷2-6y:)￡jdx=0

(10)

如果i*/時(shí)有外工叼由上式必有：

?pSMjdx=G（n）

式（11）就是桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。再由（7）及（9）可得:

1＞痢公。當(dāng)⑴（12）

（牝3帖dx大當(dāng)反j（13）

上面兩式則是桿的主振型關(guān)于剛度的正交性。

當(dāng)'=）時(shí)，（10）總能成立,令：

fJpS^2dx=M.

J。/n⑶（14）

￡ES@）2dx=-?MESgdx=K”（⑸

常數(shù)“川和"盧分別稱為第，?階主質(zhì)量和第，?階主剛度，由（9）可得:

<y,=----

M成（16）

如果主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定：

t^-dx=Mpi=\,=（2

則得到的主振型稱為正則振型，這時(shí)相應(yīng)的第，?階主剛度"Pi等于色［上式與（11）合寫

為：

?而。必dx=B@

由（9）、（12）、（13）則得到：

￡ES^dx=媛％￡MES%）'dx=-說瑞

其中：

§〃i=J

2008年振動(dòng)力學(xué)期末考試試題

第一題（20分）

1、在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，已知：重物C的質(zhì)量mi，勻

質(zhì)桿AB的質(zhì)量機(jī)2，長為L,勻質(zhì)輪O的質(zhì)量m3,

彈簧的剛度系數(shù)鼠當(dāng)AB桿處于水平時(shí)為系統(tǒng)的靜平

衡位置。試采用能量法求系統(tǒng)微振時(shí)的固有頻率。

解：

系統(tǒng)可以簡化成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以重物C的位移

y作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，在靜平衡位置時(shí)y=0,此時(shí)

系統(tǒng)的勢能為零。

AB轉(zhuǎn)角：（p=y!L

系統(tǒng)動(dòng)能：

1

T=-w,y?2

mi動(dòng)能：2

T2

212augg嗎Lb/=；(;相2心2)(])2=^(1w2)j

m2動(dòng)能：22323L23

T=-J^=—(―)2=—(―rn^y2

33333

m3動(dòng)能:222R22

系統(tǒng)勢能:

/、1

丫=一機(jī)|。+帆2g（］）'）+］

在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因而有:

T+V=-(m}+-w2+：%)：/一叫++g女(3丁尸=E

上式求導(dǎo)，得系統(tǒng)的微分方程為：

..k廠,

"----------i-------j—y=E

4Q%]+-)

固有頻率和周期為:

k

①。=~11~~~

4(/n,+-w2+-/M3)

2、質(zhì)量為7力的勻質(zhì)圓盤置于粗糙水平面上，輪緣上繞有AO

不可伸長的細(xì)繩并通過定滑輪A連在質(zhì)量為，吸的物塊B

上；輪心C與剛度系數(shù)為k的水平彈簧相連；不計(jì)滑輪A,

繩及彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)自彈簧原長位置靜止釋放。試采用

能量法求系統(tǒng)的固有頻率。

解：系統(tǒng)可以簡化成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以重物8的位移

x作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，在靜平衡位置時(shí)x=0,此時(shí)系統(tǒng)的勢能為零。

2

7\=-m2x

物體B動(dòng)能：2

1.1.

y=-x(0=X

輪子與地面接觸點(diǎn)為速度瞬心，則輪心速度為'2,角速度為2R,轉(zhuǎn)過的角度

0=—x

為2R。輪子動(dòng)能:

—tn.vj+—Jco2=—m.(—x2)+—(—m,R2X—x2)=—(-zn,x2)

2…22142214R2281

系統(tǒng)勢能:

V=-kx；=-k(3R)2=-k(—xR)2=-x

2'222R8

在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有:

T+V=—+m)x2+—x2=E

28228

上式求導(dǎo)得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程:

x+———x=0

3g+8叫

固有頻率為:

2k

5=

3根1+8加2

第二題（20分）

I、在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，重物質(zhì)量為〃?，外殼質(zhì)量為2〃?，每個(gè)

彈簧的剛度系數(shù)均為鼠設(shè)外殼只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)。采用影響

系數(shù)方法：（1）以為和X2為廣義坐標(biāo)，建立系統(tǒng)的微分方程;

（2）求系統(tǒng)的固有頻率。

解：

系統(tǒng)為二自由度系統(tǒng)。

當(dāng)xl=l,x2=0時(shí)，有：kll=2k,k21=-2k

當(dāng)x2=l,x2=l時(shí)，有：k22=4k,k12=-2k

因此系統(tǒng)剛度矩陣為：

2k-2k

-2k4k

系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為:

in0

02m

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為:

m02k-2k0

+

02mx-2k4k0

一」J42一

頻率方程為:

2k-tnco1-2k

△3)==0

-2k4k-2m(o~

解出系統(tǒng)2個(gè)固有頻率:

691~=(2—V2)—0)2=(2+V2)—

mm

2、在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，物體A、8的質(zhì)量均為〃?，彈簧

的剛度系數(shù)均為k,剛桿AD的質(zhì)量忽略不計(jì)，桿水平

時(shí)為系統(tǒng)的平衡位置。采用影響系數(shù)方法，試求：（1）

以即和X2為廣義坐標(biāo)，求系統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程；（2）

系統(tǒng)的固有頻率方程。

解：

系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以物體A和B在鉛

垂方向的位移H和X2為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。

當(dāng)xl=l,x2=0時(shí)，AD轉(zhuǎn)角為°=1/3L,兩個(gè)

—kL-kLI

彈簧處的彈性力分別為攵依和2女在。對D點(diǎn)取戶上十

D」

,14fr

K]]=——KL...kx\

力矩平衡，有：9；另外有"21=一攵七。

同理，當(dāng)x2=l,x2=l時(shí)，可求得:

k”—kLkl2=—kL

因此，系統(tǒng)剛度矩陣為:

—kL-kL

9

-kLkL

系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為：

m0

0m

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為:

moTx,-O

0-kL0

頻率方程為:

14kL、

---------tnco~-kL

9=0

-kLkL-tnco2

即；

22

9626y4_23kmLco+5kLr=0

第三題（20分）

在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，已知：物體的質(zhì)量加、加2及彈簧的剛度系數(shù)為斯、依、心、心。（1）采

用影響系數(shù)方法建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程；

（2）若ki=k3=h=5,又22=2依，求系統(tǒng)固有

h

頻率；（3）取心=1,m產(chǎn)8/9,利2=1，系統(tǒng)初7尢

AAAAAA

始位移條件為xi（0）=9和x2（0）=0,初始速度都

為零，采用模態(tài)疊加法求系統(tǒng)響應(yīng)。

解：再J『"""""

（1）系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)。

當(dāng)xl=l,x2=0時(shí)，有：

kll=kl+k2+k4,k21=-k2

當(dāng)x2=l,x2=l時(shí)，有：k22=k2+k3,kl2=-k2。因此，系統(tǒng)剛度矩陣為:

系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為:

0

0m2

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為:

左］+&+%4

一k?

(2)當(dāng)占=自=怎=&。，自=2勺時(shí)，運(yùn)動(dòng)微分方程用矩陣表示為:

0x+4ko一2。x,0

0m2x2-2ko3k。x20

頻率方程為:

(4勺-町療)(3^0-niyCO1)-=0

4

mxfn2co—(3/?2,+4帆2)自02+84：=0

求得：

可2_—?叫+4叫一q9喈-8一］啊+1)

2mlm2

a)2=-------(3町+4m2+J9tn^-Sm］m2+1)

2tnxtn2

(3)當(dāng)心=1,機(jī)i=8/9,=1時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)量陣:

一8

-o

M=9

I01

系統(tǒng)剛度陣：

「4-21

K=

-23_

固有頻率為：

23

例/a=6

主模態(tài)矩陣為:

主質(zhì)量陣：

3

-O

M0=?丁MG=2

03

主剛度陣：

一9

T-

=040

0

18

模態(tài)空間初始條件:

4(0)司(0)4（0）

%(0)x2(0)生（0）

模態(tài)響應(yīng):

認(rèn)+說q、=0q2+(o^q2=0

即：

q、(t)=4cos%⑺=-4cos6y2r

因此有:

?叫=辦"）3cos。/+6cos的

七⑺「［%”）

4cos卯一4cosg/

第四題（20分）

一勻質(zhì)桿質(zhì)量為m,長度為L,兩端用彈簧支承，彈簧

的剛度系數(shù)為如和k2。桿質(zhì)心C上沿x方向作用有簡

諧外部激勵(lì)⑥口電。圖示水平位置為靜平衡位置。（1）

以x和夕為廣義坐標(biāo)，采用影響系數(shù)方法建立系統(tǒng)的振

動(dòng)微分方程；（2）取參數(shù)值為m=12,L=\,ki=1,k2=3,求出系統(tǒng)固有頻率；（2）系統(tǒng)參

數(shù)仍取前值，試問當(dāng)外部激勵(lì)的頻率切為多少時(shí)，能夠使得桿件只有6方向的角振動(dòng)，而

無x方向的振動(dòng)？

解：

（1）系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)，選X、g為廣義坐標(biāo)，X為質(zhì)心的縱向位移，q為

剛桿的角位移，如圖示。

當(dāng)x=l。=0時(shí):

k、i=k、+k2,右="2-嗚

當(dāng)x=°、0=1時(shí):

LU

k”=（22—占）3%22=（k[+^2）—

——

kx1kn▼k21

因此，剛度矩陣為:

（攵2-匕）亨

k}+k2

K=L

（匕+&）彳

（女2-匕）萬

質(zhì)量矩陣為：

tn0

M=1

0n—m

L12

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程:

k

m0冗+2sinsf

0ml:氏-k、）g0

（2）當(dāng)m=12,L=,的=1,33時(shí),系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為:

120]「＜[「4sineyr

+

:][:]0

頻率方程為:

4-1碗1

=0

11一就

即:

1溫-16tw；+3=0

求得：

4±V7

x

-sin"

（3）令1'」［0」,代入上述動(dòng)力學(xué)方程，有：

-4-12^21Txirr

1l-<y2同11。一

由第二行方程，解得1-3-,代入第一行的方程，有:

’（4-126?2）-1）=-［（4-126y2）一口

9

要使得桿件只有°方向的角振動(dòng)，而無“方向的振動(dòng)，則需元二°,因此口=1。

第五題（20分）

如圖所示等截面懸臂梁,梁長度為L,彈性模量為E,y

橫截面對中性軸的慣性矩為I,梁材料密度為

在梁的。位置作用有集中載荷尸⑺。已知梁的初始,a

<------------->

條件為：y（x,。）=ZU）,義工，。）=AU）O（i）-------------

推導(dǎo)梁的正交性條件；（2）寫出求解梁的響應(yīng)義演'）的詳細(xì)過程。

（假定已知第邛介固有頻率為例，相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為0（%）,i=l~8）

提示：梁的動(dòng)力學(xué)方程為：dx2