2025屆湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，則.故選：D.2.如圖，是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（）A. B. C.24 D.48〖答案〗D〖解析〗由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，，軸，且，所以.故選：D.3.的展開式的各項系數(shù)之和為3，則該展開式中項的系數(shù)為（）A.2 B.8 C. D.-17〖答案〗D〖解析〗令，可得，，在的展開式中的系數(shù)為：．故選D．4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，兩邊同除，得到，即.，.故選：C.5.設(shè)，，，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為在定義域上單調(diào)遞減，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，在定義域上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：B.6.謝爾賓斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出．先取一個實心正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形，即圖中的白色三角形），然后在剩下的每個小三角形中又挖去一個“中心三角形”，用上面的方法可以無限操作下去．操作第1次得到圖2，操作第2次得到圖3．．．．．，若繼續(xù)這樣操作下去后得到圖2024，則從圖2024中挖去的白色三角形個數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知，圖2024中挖去的白色三角形個數(shù)是：.故選：C.7.已知圓的方程為，則“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個公共點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由圓的方程為可得圓心，半徑，若圓與函數(shù)相交，則圓心到直線的距離，即，若函數(shù)的圖象與圓有四個公共點，則原點在圓的外部，即，解得，綜上函數(shù)的圖象與圓有四個公共點則，所以“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個公共點”的必要不充分條件，故選：B.8.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?，若函?shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)，向右平移個單位長度，得，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫剑?，得，所以，若函?shù)在上沒有零點，則需，所以，所以，若函數(shù)在上有零點，則，當k=0時，得，解得，當k=1時，得，解得，綜上：函數(shù)在上有零點時，或，所以函數(shù)在上沒有零點，.所以的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全選對的得6分，選對但不全的得部分分，選錯不得分.9.設(shè)是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗A選項，，故，正確；B選項，即.故，正確；C選項，即z為純虛數(shù)，故，不正確；D選項，∵，故，正確.故選：ABD.10.某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動，袋中裝有8個大小形狀相同的小球，并標注這八個數(shù)字，抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€球，事件A表示“取出球的編號為奇數(shù)”，事件B表示“取出球的編號為偶數(shù)”，事件C表示“取出球的編號大于5”，事件D表示“取出球的編號小于5”，則（）A.事件A與事件C不互斥 B.事件A與事件B互為對立事件C.事件B與事件C互斥 D.事件C與事件D互為對立事件〖答案〗AB〖解析〗由題意抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€球的樣本空間為，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A與事件C不互斥，事件A與事件B為對立事件，事件B與事件C不互斥，事件C與事件D互斥但不對立，故A，B正確，C，D錯誤.故選：AB.11.已知正方體的棱長為2，為的中點，為正方形所在平面內(nèi)一動點，則下列命題正確的有（）A.若，則的中點的軌跡所圍成圖形的面積為B.若到直線與直線的距離相等，則的軌跡為拋物線C.若與平面所成的角為，則的軌跡為橢圓D.若與所成的角為，則的軌跡為雙曲線〖答案〗ABD〖解析〗A中，記MN中點為P，DM中點為Q，連接PQ，易知，且，如圖，若MN=2，則DN=，則，所以點P的軌跡是以Q為圓心，半徑為的圓，面積，故A正確；B中，點N到直線的距離為NB，所以點N到定點B和直線DC的距離相等，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故B正確；C中，易知，則，所以N的軌跡是以D為圓心，半徑為的圓，故C錯誤；D中，過點N向AD作垂線，垂足為R，易知，所以，所以，在平面ABCD中，以DA、DC所在直線分別為x軸、y軸，則，整理得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則________.〖答案〗〖解析〗因為，，與的夾角為，所以.因為，所以，解得.13.橢圓的左、右焦點分別為，過作軸的垂線交橢圓于，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗令橢圓的半焦距為c，由軸，為等腰直角三角形，得，，由橢圓的定義得，即，所以橢圓的離心率.14.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，，則__________.〖答案〗2024〖解析〗由可知的圖象關(guān)于直線對稱，從而，又因為，令，得，所以，由，得，兩式相減可得，故的最小正周期為8，則，，因為，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為，且滿足（1）求角B的值；（2）若且，求的取值范圍.解：（1）在中，，，，，，，即，又，所以，解得或.（2）∵且，∴，由正弦定理得，所以，.故，∵，∴，，又易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是當，即時的最小值為，當，即時的最大值為.所以，即的取值范圍.16.已知雙曲線與有相同的焦點，且經(jīng)過點.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點，且的中點坐標為，求直線的斜率.解：（1）由的焦點坐標為由雙曲線與有相同的焦點所以雙曲線的焦點坐標為故，在雙曲線中：①又雙曲線經(jīng)過點所以②解得：所以雙曲線的方程為：.（2）由題知直線斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：由直線與雙曲線交于兩點，設(shè)，所以消去整理得：，所以，，所以，由的中點坐標為，所以，所以.17.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點P，Q分別在棱、上.（1）若P是的中點，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.解：（1）以A坐標原點，，，所在直線分別為x，y，x軸建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，其中，，若P是的中點，則，，，于是，∴，即.（2）由題設(shè)知，，是平面內(nèi)的兩個不共線向量.設(shè)是平面的一個法向量，則取，得.又平面的一個法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時.設(shè)（），而，由此得點，，∵平面，且平面的一個法向量是，∴，即，解得，從而.將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積.18.已知函數(shù).（1）當時，（ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（ⅱ）求證：，.（2）若在上恰有一個極值點，求的取值范圍.解：（1）當時，（?。?，所以切線方程為.（ⅱ），，因為，所以,所以，所以所以在單調(diào)遞增，所以；（2），當時，所以，,由（1）知，，所以在上單調(diào)遞增.所以當時，沒有極值點，當時，，因為與在單調(diào)遞增.所以在單調(diào)遞增.所以，.所以使得.所以當時，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增.故函數(shù)在上恰有一個極小值點，的取值范圍是.19.中國女排是中國各體育團隊中成績突出的體育團隊之一，曾是世界上第一個“五連冠”得主，并十度成為世界冠軍，2023年在杭州第19屆亞運會上女排再度獲得冠軍．她們那種團結(jié)協(xié)作、頑強拼搏的精神極大地激發(fā)了中國人的自豪、自尊和自信，為我們在新征程上奮進提供了強大的精神力量．如今，女排精神廣為傳頌，家喻戶曉，各行各業(yè)的人們在女排精神的激勵下，為中華民族的騰飛頑強拼搏．某中學(xué)也因此掀起了排球運動的熱潮，在一次排球訓(xùn)練課上，體育老師安排4人一組進行傳接球訓(xùn)練，其中甲、乙、丙、丁四人剛好圍成一個矩形（如圖），已知當某人控球時，傳給其相鄰?fù)瑢W(xué)的概率為，傳給對角線上的同學(xué)的概率為，由甲開始傳球．（1）求第3次傳球是由乙傳給甲的概率；（2）求第次傳球后排球傳到丙手中的概率；（3）若隨機變量服從兩點分布，且，，，…，，則，記前次（即從第1次到第次傳球）中排球傳到乙手中次數(shù)為，求．解：（1）設(shè)第次傳球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分別為，則．第2次傳球到乙手中的概率，所以第3次傳球是由乙傳給甲的概率為．（2）根據(jù)已知條件可得，當時，聯(lián)立則有，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，故．因為，所以，代入①②式得，將⑤代入⑥得，，則，其中，故，，，……，，由累加法可得，所以，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，故第次傳球后排球傳到丙手中的概率為．（3）隨機變量服從兩點分布，設(shè)第i次未傳到乙手中的概率為，則排球第i次傳到乙手中的概率為，則．由（2）知，其中，所以．湖北省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，則.故選：D.2.如圖，是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（）A. B. C.24 D.48〖答案〗D〖解析〗由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，，軸，且，所以.故選：D.3.的展開式的各項系數(shù)之和為3，則該展開式中項的系數(shù)為（）A.2 B.8 C. D.-17〖答案〗D〖解析〗令，可得，，在的展開式中的系數(shù)為：．故選D．4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，兩邊同除，得到，即.，.故選：C.5.設(shè)，，，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為在定義域上單調(diào)遞減，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，在定義域上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：B.6.謝爾賓斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出．先取一個實心正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形，即圖中的白色三角形），然后在剩下的每個小三角形中又挖去一個“中心三角形”，用上面的方法可以無限操作下去．操作第1次得到圖2，操作第2次得到圖3．．．．．，若繼續(xù)這樣操作下去后得到圖2024，則從圖2024中挖去的白色三角形個數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知，圖2024中挖去的白色三角形個數(shù)是：.故選：C.7.已知圓的方程為，則“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個公共點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由圓的方程為可得圓心，半徑，若圓與函數(shù)相交，則圓心到直線的距離，即，若函數(shù)的圖象與圓有四個公共點，則原點在圓的外部，即，解得，綜上函數(shù)的圖象與圓有四個公共點則，所以“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個公共點”的必要不充分條件，故選：B.8.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?，若函?shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)，向右平移個單位長度，得，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?，令，得，所以，若函?shù)在上沒有零點，則需，所以，所以，若函數(shù)在上有零點，則，當k=0時，得，解得，當k=1時，得，解得，綜上：函數(shù)在上有零點時，或，所以函數(shù)在上沒有零點，.所以的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全選對的得6分，選對但不全的得部分分，選錯不得分.9.設(shè)是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗A選項，，故，正確；B選項，即.故，正確；C選項，即z為純虛數(shù)，故，不正確；D選項，∵，故，正確.故選：ABD.10.某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動，袋中裝有8個大小形狀相同的小球，并標注這八個數(shù)字，抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€球，事件A表示“取出球的編號為奇數(shù)”，事件B表示“取出球的編號為偶數(shù)”，事件C表示“取出球的編號大于5”，事件D表示“取出球的編號小于5”，則（）A.事件A與事件C不互斥 B.事件A與事件B互為對立事件C.事件B與事件C互斥 D.事件C與事件D互為對立事件〖答案〗AB〖解析〗由題意抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€球的樣本空間為，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A與事件C不互斥，事件A與事件B為對立事件，事件B與事件C不互斥，事件C與事件D互斥但不對立，故A，B正確，C，D錯誤.故選：AB.11.已知正方體的棱長為2，為的中點，為正方形所在平面內(nèi)一動點，則下列命題正確的有（）A.若，則的中點的軌跡所圍成圖形的面積為B.若到直線與直線的距離相等，則的軌跡為拋物線C.若與平面所成的角為，則的軌跡為橢圓D.若與所成的角為，則的軌跡為雙曲線〖答案〗ABD〖解析〗A中，記MN中點為P，DM中點為Q，連接PQ，易知，且，如圖，若MN=2，則DN=，則，所以點P的軌跡是以Q為圓心，半徑為的圓，面積，故A正確；B中，點N到直線的距離為NB，所以點N到定點B和直線DC的距離相等，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故B正確；C中，易知，則，所以N的軌跡是以D為圓心，半徑為的圓，故C錯誤；D中，過點N向AD作垂線，垂足為R，易知，所以，所以，在平面ABCD中，以DA、DC所在直線分別為x軸、y軸，則，整理得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則________.〖答案〗〖解析〗因為，，與的夾角為，所以.因為，所以，解得.13.橢圓的左、右焦點分別為，過作軸的垂線交橢圓于，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗令橢圓的半焦距為c，由軸，為等腰直角三角形，得，，由橢圓的定義得，即，所以橢圓的離心率.14.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，，則__________.〖答案〗2024〖解析〗由可知的圖象關(guān)于直線對稱，從而，又因為，令，得，所以，由，得，兩式相減可得，故的最小正周期為8，則，，因為，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為，且滿足（1）求角B的值；（2）若且，求的取值范圍.解：（1）在中，，，，，，，即，又，所以，解得或.（2）∵且，∴，由正弦定理得，所以，.故，∵，∴，，又易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是當，即時的最小值為，當，即時的最大值為.所以，即的取值范圍.16.已知雙曲線與有相同的焦點，且經(jīng)過點.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點，且的中點坐標為，求直線的斜率.解：（1）由的焦點坐標為由雙曲線與有相同的焦點所以雙曲線的焦點坐標為故，在雙曲線中：①又雙曲線經(jīng)過點所以②解得：所以雙曲線的方程為：.（2）由題知直線斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：由直線與雙曲線交于兩點，設(shè)，所以消去整理得：，所以，，所以，由的中點坐標為，所以，所以.17.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點P，Q分別在棱、上.（1）若P是的中點，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.解：（1）以A坐標原點，，，所在直線分別為x，y，x軸建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，其中，，若P是的中點，則，，，于是，∴，即.（2）由題設(shè)知，，是平面內(nèi)的兩個不共線向量.設(shè)是平面的一個法向量，則取，得.又平面的一個法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時.設(shè)（），而，由此得點，，∵平面，且平面的一個法向量是，∴，即，解得，從而.將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積.18.已知函數(shù).（1）當時，（?。┣笄€在點處的切線方程；（ⅱ）求證：，.（2）若在上恰有一個極值點，求的取值范圍.解：（1）當時