2024屆福建省漳州市龍文區(qū)高三6月模擬預(yù)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省漳州市龍文區(qū)2024屆高三6月模擬預(yù)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，因為表示所有的奇數(shù)，而表示所有的整數(shù)，則，故選：A.2.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，則，所以，所以.故選：B.3.等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A.2 B.-2 C.1 D.-1〖答案〗A〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當時，，不合題意；當時，等比數(shù)列前項和公式，依題意.故選：A.4.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，，12，14，21，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是（）A.4 B.6 C.8 D.12〖答案〗D〖解析〗由已知可得極差是：，而中位數(shù)是極差的，即中位數(shù)是，根據(jù)六個數(shù)的中位數(shù)是：，解得，故選：D.5.已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗，，且，而三點共線，，即，，所以.故選：A.6.已知復(fù)數(shù)滿足，且，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則由，得，由，得，即，所以，化簡整理得，得，所以，得，所以，故選：D.7.已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，點在雙曲線右支上運動（不與頂點重合），設(shè)與雙曲線的左支交于點，的內(nèi)切圓與相切于點.若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)分別切內(nèi)切圓交于，則由雙曲線的定義可得，即，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，故，兩式相加化簡可得，即，故.故雙曲線的離心率為，故選：A.8.已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當時，，當時，，于是函數(shù)，則，令函數(shù)，由，得，因此函數(shù)的零點，即函數(shù)的圖象與直線交點的橫坐標，當，恒有，在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當，即時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，如圖，直線過點，它與的圖象交于兩點，當時，，當，即時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，當，即時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，所以函數(shù)有兩個零點，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是等差數(shù)列，是其前n項和，則下列命題為真命題的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若和都為遞增數(shù)列，則〖答案〗BC〖解析〗對于A中，由，，可得，所以，又由，所以A錯誤；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，所以，又因為，則，所以C正確；對于D中，因為為遞增數(shù)列，可得公差，因為為遞增數(shù)列，可得，所以對任意的，但的正負不確定，所以D錯誤．故選：BC.10.存在函數(shù)滿足：對于任意的，都有（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，因為，令，所以，故A正確.對于B，，取和得，，故B錯誤；對于C，令，所以，即符合題設(shè)，故C正確；對于D，取，；取，，故D錯誤.故選：AC.11.如圖，棱長為2的正方體的內(nèi)切球為球，分別是棱，的中點，在棱上移動，則（）A.對于任意點，平面B.直線被球截得的弦長為C.過直線的平面截球所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為D.當為的中點時，過的平面截該正方體所得截面的面積為〖答案〗BC〖解析〗對于A：因為在棱上移動，當與重合時，平面即平面，因為在直線上，所以平面，所以與平面平面相交，A說法錯誤；對于B：以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則由題意可得，，，，則，，，設(shè)直線與直線的夾角為，則，所以，連接，過作直線的垂線，垂足為，則在中由解得，設(shè)直線被球截得弦長為，則，B說法正確；對于C，過直線的平面截球所得的所有截面圓半徑最小時，垂直與于過的平面，此時圓的半徑，圓的面積為，C說法正確；對于D，當為中點時，過的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，在中，，所以邊長，所以截面面積，D說法錯誤；故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則的面積為_____________.〖答案〗1〖解析〗因為，由正弦定理可得，且,所以，則.13.已知隨機事件，，若，，，則_________.〖答案〗〖解析〗由題意可得，，且，則，又因為，則，且，所以.14.已知函數(shù)，則不等式的解集為_________________.〖答案〗〖解析〗由已知得：，所以，即則不等式等價于，再由，可得在上單調(diào)遞增，所以，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性;（2）若對任意的恒成立，求的范圍.解：（1），當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，當時，令，解得，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當時，，符合題意，此時；當時，因為恒成立，即恒成立，令，則，再令，則恒成立，則在單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以.16.如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）當時，求證：平面；（2）設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍.（1）證明：以為坐標原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，，當時，，所以，可得，所以，又因為，平面，平面，所以平面.（2）解：由（1）可得，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，所以，因為平面，所以平面的一個法向量為，所以，又因為，可得，所以，因為二面角為銳二面角，所以，所以的取值范圍.17.一個池塘里的魚的數(shù)目記為N，從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標識，然后把魚放回池塘里，過一小段時間后再從池塘里撈出500尾魚，表示撈出的500尾魚中有標識的魚的數(shù)目．（1）若，求的數(shù)學期望；（2）已知撈出的500尾魚中15尾有標識，試給出N的估計值（以使得最大的N的值作為N的估計值）．解：（1）依題意X服從超幾何分布，且，故．（2）當時，，當時，，記，則．由，當且僅當，則可知當時，；當時，，故時，最大，所以N的估計值為6666．18.已知，動點滿足，動點的軌跡為曲線交于另外一點交于另外一點.（1）求曲線的標準方程;（2）已知是定值，求該定值;（3）求面積的范圍.解：（1）令且，因為，所以，整理可得，所以的標準方程為.（2）設(shè)，，，設(shè)直線和直線的方程分別為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，整理可得，則，，聯(lián)立直線與橢圓方程，整理可得，可得，，又因為，，所以，所以，即，同理可得，，即，所以.設(shè)，，，設(shè)，則有，又，可得，同理可得，所以（3）不妨設(shè)，于是，因此，又因為，所以，設(shè)，，則，，，所以在單調(diào)遞增，則.19.定義：若對恒成立，則稱數(shù)列為“上凸數(shù)列”．（1）若，判斷是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明；如果不是，請說明理由．（2）若為“上凸數(shù)列”，則當時，．（?。┤魯?shù)列為的前項和，證明：；（ⅱ）對于任意正整數(shù)序列（為常數(shù)且），若恒成立，求的最小值．解：（1）是“上凸數(shù)列”，理由如下：因為，令，則．當時，，所以，所以區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以是“上凸數(shù)列”．（2）（?。┳C明：因為是“上凸數(shù)列”，由題意可得對任意，，所以，所以．（ⅱ）解：令，由（1）可得當時，是“上凸數(shù)列”，由題意可知，當時，．因為，即．所以，當且僅當時等號成立，所以．綜上所述，的最小值為．福建省漳州市龍文區(qū)2024屆高三6月模擬預(yù)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，因為表示所有的奇數(shù)，而表示所有的整數(shù)，則，故選：A.2.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，則，所以，所以.故選：B.3.等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A.2 B.-2 C.1 D.-1〖答案〗A〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當時，，不合題意；當時，等比數(shù)列前項和公式，依題意.故選：A.4.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，，12，14，21，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是（）A.4 B.6 C.8 D.12〖答案〗D〖解析〗由已知可得極差是：，而中位數(shù)是極差的，即中位數(shù)是，根據(jù)六個數(shù)的中位數(shù)是：，解得，故選：D.5.已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗，，且，而三點共線，，即，，所以.故選：A.6.已知復(fù)數(shù)滿足，且，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則由，得，由，得，即，所以，化簡整理得，得，所以，得，所以，故選：D.7.已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，點在雙曲線右支上運動（不與頂點重合），設(shè)與雙曲線的左支交于點，的內(nèi)切圓與相切于點.若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)分別切內(nèi)切圓交于，則由雙曲線的定義可得，即，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，故，兩式相加化簡可得，即，故.故雙曲線的離心率為，故選：A.8.已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當時，，當時，，于是函數(shù)，則，令函數(shù)，由，得，因此函數(shù)的零點，即函數(shù)的圖象與直線交點的橫坐標，當，恒有，在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當，即時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，如圖，直線過點，它與的圖象交于兩點，當時，，當，即時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，當，即時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，所以函數(shù)有兩個零點，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是等差數(shù)列，是其前n項和，則下列命題為真命題的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若和都為遞增數(shù)列，則〖答案〗BC〖解析〗對于A中，由，，可得，所以，又由，所以A錯誤；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，所以，又因為，則，所以C正確；對于D中，因為為遞增數(shù)列，可得公差，因為為遞增數(shù)列，可得，所以對任意的，但的正負不確定，所以D錯誤．故選：BC.10.存在函數(shù)滿足：對于任意的，都有（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，因為，令，所以，故A正確.對于B，，取和得，，故B錯誤；對于C，令，所以，即符合題設(shè)，故C正確；對于D，取，；取，，故D錯誤.故選：AC.11.如圖，棱長為2的正方體的內(nèi)切球為球，分別是棱，的中點，在棱上移動，則（）A.對于任意點，平面B.直線被球截得的弦長為C.過直線的平面截球所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為D.當為的中點時，過的平面截該正方體所得截面的面積為〖答案〗BC〖解析〗對于A：因為在棱上移動，當與重合時，平面即平面，因為在直線上，所以平面，所以與平面平面相交，A說法錯誤；對于B：以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則由題意可得，，，，則，，，設(shè)直線與直線的夾角為，則，所以，連接，過作直線的垂線，垂足為，則在中由解得，設(shè)直線被球截得弦長為，則，B說法正確；對于C，過直線的平面截球所得的所有截面圓半徑最小時，垂直與于過的平面，此時圓的半徑，圓的面積為，C說法正確；對于D，當為中點時，過的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，在中，，所以邊長，所以截面面積，D說法錯誤；故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則的面積為_____________.〖答案〗1〖解析〗因為，由正弦定理可得，且,所以，則.13.已知隨機事件，，若，，，則_________.〖答案〗〖解析〗由題意可得，，且，則，又因為，則，且，所以.14.已知函數(shù)，則不等式的解集為_________________.〖答案〗〖解析〗由已知得：，所以，即則不等式等價于，再由，可得在上單調(diào)遞增，所以，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性;（2）若對任意的恒成立，求的范圍.解：（1），當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，當時，令，解得，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當時，，符合題意，此時；當時，因為恒成立，即恒成立，令，則，再令，則恒成立，則在單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以.16.如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）當時，求證：平面；（2）設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍.（1）證明：以為坐標原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，，當時，，所以，可得，所以，又因為，平面，平面，所以平面.（2）解：由（1）可得，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，所以，因為平面，所以平面的一個法向量為，所以，又因為，可得，所以，因為二面角為銳二面角，所以，所以的取值范圍.17.一個池塘里的魚的數(shù)目記為N，從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標識，然后把魚放回池塘里，過一小段時間后再從池塘里撈出500尾魚，表示撈出的500尾魚中有標識的魚的數(shù)