2024屆安徽新高考模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（七）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽2024屆新高考模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)卷（七）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知i是虛數(shù)單位，若是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.-2 C.1 D.-1〖答案〗B〖解析〗為實(shí)數(shù)，∴．故選：B．2.已知“x>2”是“<1”的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗，所以是的充分不必要條件.故選：A．3.若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，且與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋菉A角為的兩個(gè)單位向量，所以，故，，，故，由于，故.故選：B.4.如圖，高速服務(wù)區(qū)停車(chē)場(chǎng)某片區(qū)有A至H共8個(gè)停車(chē)位每個(gè)車(chē)位只停一輛車(chē)，有2輛黑色車(chē)和2輛白色車(chē)要在該停車(chē)場(chǎng)停車(chē)，則兩輛黑色車(chē)停在同一列的條件下，兩輛白色車(chē)也停在同一列的概率為（）ABCDEFGHA. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)事件“兩輛黑色車(chē)停在同一列”，事件“兩輛白色車(chē)停在同一列”，則所求概率為，因?yàn)椋?，所以，故選：A．5.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、大寒、雨水的日影長(zhǎng)的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長(zhǎng)的和為18.3尺，則冬至的日影長(zhǎng)為（）A.4尺 B.8.5尺 C.16.1尺 D.18.1尺〖答案〗C〖解析〗由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，記為數(shù)列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長(zhǎng)為16.1尺.故選：C．6.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）①若分別是平面α，β的法向量，則?α∥β；②若分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?；③若是平面α的法向量，是直線l的方向向量，若l與平面α平行，則；④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面不垂直．A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗①中平面α，β可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，可知②③④正確故選：C．7.心形代表浪漫的愛(ài)情，人們用它來(lái)向所愛(ài)之人表達(dá)愛(ài)意.一心形作為建筑立面造型，呈現(xiàn)出優(yōu)雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，營(yíng)造出一個(gè)精神和自然聚合的空間.圖是由此抽象出來(lái)的一個(gè)“心形”圖形，這個(gè)圖形可看作由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)〖解析〗式可能為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：記，則，故為奇函數(shù)，不符合題意，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：記，則，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故C正確；D選項(xiàng)：記，則，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，不符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.設(shè)直線與圓交于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓的圓心為，由垂徑定理可知，直線的斜率為，所以，直線的斜率為，故直線的方程為，即，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，因此，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.為了解中學(xué)生課外閱讀情況，現(xiàn)從某中學(xué)隨機(jī)抽取200名學(xué)生，收集了他們一年內(nèi)的課外閱讀量（單位：本）等數(shù)據(jù)，以下是根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分．閱讀量人數(shù)學(xué)生類別性別男73125304女82926328學(xué)段初中25364411高中下面推斷合理的是（）A.這200名學(xué)生閱讀量的平均數(shù)可能是26本；B.這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)；C.這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)一定在區(qū)間內(nèi)；D.這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)可能在區(qū)間內(nèi)．〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由表中數(shù)據(jù)可知，男生的閱讀量為24.5本，女生的閱讀量為25.5本，故200名學(xué)生的平均閱讀量在區(qū)間內(nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于，閱讀量在內(nèi)的有人，在內(nèi)的有人，故這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)在區(qū)間中的初中生有人，由于在內(nèi)的人數(shù)共15人，故，故當(dāng)時(shí)，初中學(xué)生共116人，中位數(shù)為第58個(gè)與第59個(gè)的平均數(shù)，此時(shí)區(qū)間有25人，有36人，故中位數(shù)在內(nèi)；當(dāng)時(shí)，初中學(xué)生共131人，中位數(shù)為第66個(gè),，此時(shí)區(qū)間有15人，有25人，有36人，故中位數(shù)在內(nèi)，所以當(dāng)區(qū)間人數(shù)最多和最少時(shí)，中位數(shù)都在區(qū)間內(nèi)，故這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)一定在區(qū)間內(nèi)，正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)在區(qū)間中的初中生有人，由于在內(nèi)的人數(shù)共15人，故，故當(dāng)時(shí)，初中學(xué)生共116人，則人，此時(shí)區(qū)間有25人，有36人，故25%分位數(shù)可能在區(qū)間內(nèi)；當(dāng)時(shí)，初中學(xué)生共131人，則，此時(shí)區(qū)間有15人，有25人，共40人，25%分位數(shù)可能在區(qū)間內(nèi)，故這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)可能在區(qū)間內(nèi)，正確.故選：BCD.10.水車(chē)在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為R的水車(chē)，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)6秒.經(jīng)過(guò)t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值為.D當(dāng)9時(shí)，〖答案〗BD〖解析〗由題，，，，故，又當(dāng)時(shí)，，且，，所以，故A錯(cuò)誤：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在是單調(diào)遞增的，故B正確：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在是單減的，故最小值為，故C錯(cuò)誤：當(dāng)時(shí)，，的橫坐標(biāo)為，又，此時(shí)點(diǎn)，為水車(chē)直徑，故，故D正確．故選：BD．11.已如函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在極大值和極小值B.C.函數(shù)存在最小值D.對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，方程最多有4個(gè)實(shí)數(shù)解〖答案〗BCD〖解析〗由可得，由可得：，由可得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A不正確，C正確：對(duì)于選項(xiàng)B：在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：方程即，有一根為，令．則，令可得或，令可得，所以在和0,+∞單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，作出，的圖形如圖所示：所以存在時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，此時(shí)方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．（第13題答對(duì)第一空得3分，答對(duì)第二空得2分.）12.設(shè)集合，且，則___________.〖答案〗〖解析〗由題意，集合，且，可得是方程的根，即，解得，所以，則.13.如圖，圓錐底面半徑為，母線PA＝2，點(diǎn)B為PA的中點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)B點(diǎn)，其最短路線長(zhǎng)度為_(kāi)_______，其中下坡路段長(zhǎng)為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗如圖，將圓錐側(cè)面沿母線PA剪開(kāi)并展開(kāi)成扇形，易知該扇形半徑為2，弧長(zhǎng)為，故圓心角∠APB＝，最短路線即為扇形中的直線段AB，由余弦定理易知AB＝＝，cos∠PBA＝＝；過(guò)P作AB垂線，垂足為M，當(dāng)螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)過(guò)程中，它與點(diǎn)P的距離越來(lái)越小，故AM為上坡路段，當(dāng)螞蟻從M點(diǎn)爬行到B點(diǎn)的過(guò)程中，它與點(diǎn)P的距離越來(lái)越大，故MB為下坡路段，下坡路段長(zhǎng)MB＝PB?cos∠PBA＝．14.已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由求導(dǎo)，，由可得：，因不滿足此式，故可得：，則函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).由求導(dǎo)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故時(shí)，取得極小值.且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)從0的左邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)從0的右邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故可作出函數(shù)的圖象如圖.由圖可知：函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）議，當(dāng)取得最小值時(shí)，求n的取值．解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，又時(shí)，不滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，∴，綜上，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，∴．綜上所述，當(dāng)取得最小值時(shí)，n的取值為1，2，3．16.某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問(wèn)題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語(yǔ)音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽(tīng)的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂(lè)兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語(yǔ)等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司研究部門(mén)從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品），統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在的適合小班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱B類產(chǎn)品），在的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品），A，B，C，三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用，和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.16.3024.870.411.64表中，，，.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬(wàn)元）的回歸方程.（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用，?。?參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.解：（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，由直方圖可得，，，三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4，所以，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：1.53.55.50.150.450.4所以，，故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元；（2）（i）由得，，令，，，則，由表中數(shù)據(jù)可得，，則，所以，，即，因?yàn)?，所以，故所求的回歸方程為；（ii）設(shè)年收益為萬(wàn)元，則，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，即時(shí)，有最大值為768，即該廠應(yīng)投入256萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi)，能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大768萬(wàn)元.17.如圖，垂直于梯形所在平面，，為中點(diǎn)，，，四邊形為矩形．（1）求證：平面；（2）求二面角的大??；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出FQ的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．（1）證明：以原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，，，，

則，平面的一個(gè)法向量，，，

由，取，得，

，

，

平面；（2）解：設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，取，解得設(shè)平面的一個(gè)法向量，，由圖可知二面角為銳二面角，二面角的大小為；（3）解：設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，

由，，

設(shè)，，整理得，，

直線與平面所成角的大小為，

，

則，由，得，即點(diǎn)和點(diǎn)重合，

故在線段上存在一點(diǎn)，且．18.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為、，離心率，、分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，且.（1）求橢圓C的方程；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值；（3）若橢圓上另有一點(diǎn)M，使得直線與斜率、滿足，請(qǐng)分析直線BM是否恒過(guò)定點(diǎn).解：（1）由已知可得：，解得：，，則，則有C：；（2）由于直線l不能與y軸垂直，故設(shè)，，代入可得，恒成立，設(shè)，，則有，，，點(diǎn)O到直線l的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)：時(shí)取最大值；（3）設(shè)直線MB的方程為，，代入可得，，可設(shè)、，則有，，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以，代入，且，可得，即，即即由于，化簡(jiǎn)得，即直線MB恒過(guò)定點(diǎn).19.設(shè)，函數(shù)．（1）判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）若，記的一個(gè)零點(diǎn)為，若，求證：．（1）解：，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，在處取得極小值也是最小值，，，即單調(diào)遞增，當(dāng)x趨于0時(shí)，趨于，，在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，即的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；（2）證明：令是減函數(shù)，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由知：；由（1）的討論知存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，，又，…①，其中，令，，則；式即為，不等式等價(jià)于，其意義為：當(dāng)函數(shù)與函數(shù)的函數(shù)值相等時(shí)，比較對(duì)應(yīng)的自變量之間的大小關(guān)系；設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，又，時(shí)，，即，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；即.安徽2024屆新高考模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)卷（七）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知i是虛數(shù)單位，若是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.-2 C.1 D.-1〖答案〗B〖解析〗為實(shí)數(shù)，∴．故選：B．2.已知“x>2”是“<1”的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗，所以是的充分不必要條件.故選：A．3.若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，且與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，是夾角為的兩個(gè)單位向量，所以，故，，，故，由于，故.故選：B.4.如圖，高速服務(wù)區(qū)停車(chē)場(chǎng)某片區(qū)有A至H共8個(gè)停車(chē)位每個(gè)車(chē)位只停一輛車(chē)，有2輛黑色車(chē)和2輛白色車(chē)要在該停車(chē)場(chǎng)停車(chē)，則兩輛黑色車(chē)停在同一列的條件下，兩輛白色車(chē)也停在同一列的概率為（）ABCDEFGHA. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)事件“兩輛黑色車(chē)停在同一列”，事件“兩輛白色車(chē)停在同一列”，則所求概率為，因?yàn)?，，所以，故選：A．5.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、大寒、雨水的日影長(zhǎng)的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長(zhǎng)的和為18.3尺，則冬至的日影長(zhǎng)為（）A.4尺 B.8.5尺 C.16.1尺 D.18.1尺〖答案〗C〖解析〗由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，記為數(shù)列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長(zhǎng)為16.1尺.故選：C．6.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）①若分別是平面α，β的法向量，則?α∥β；②若分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?；③若是平面α的法向量，是直線l的方向向量，若l與平面α平行，則；④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面不垂直．A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗①中平面α，β可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，可知②③④正確故選：C．7.心形代表浪漫的愛(ài)情，人們用它來(lái)向所愛(ài)之人表達(dá)愛(ài)意.一心形作為建筑立面造型，呈現(xiàn)出優(yōu)雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，營(yíng)造出一個(gè)精神和自然聚合的空間.圖是由此抽象出來(lái)的一個(gè)“心形”圖形，這個(gè)圖形可看作由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)〖解析〗式可能為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：記，則，故為奇函數(shù)，不符合題意，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：記，則，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故C正確；D選項(xiàng)：記，則，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，不符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.設(shè)直線與圓交于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓的圓心為，由垂徑定理可知，直線的斜率為，所以，直線的斜率為，故直線的方程為，即，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，因此，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.為了解中學(xué)生課外閱讀情況，現(xiàn)從某中學(xué)隨機(jī)抽取200名學(xué)生，收集了他們一年內(nèi)的課外閱讀量（單位：本）等數(shù)據(jù)，以下是根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分．閱讀量人數(shù)學(xué)生類別性別男73125304女82926328學(xué)段初中25364411高中下面推斷合理的是（）A.這200名學(xué)生閱讀量的平均數(shù)可能是26本；B.這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)；C.這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)一定在區(qū)間內(nèi)；D.這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)可能在區(qū)間內(nèi)．〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由表中數(shù)據(jù)可知，男生的閱讀量為24.5本，女生的閱讀量為25.5本，故200名學(xué)生的平均閱讀量在區(qū)間內(nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于，閱讀量在內(nèi)的有人，在內(nèi)的有人，故這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)在區(qū)間中的初中生有人，由于在內(nèi)的人數(shù)共15人，故，故當(dāng)時(shí)，初中學(xué)生共116人，中位數(shù)為第58個(gè)與第59個(gè)的平均數(shù)，此時(shí)區(qū)間有25人，有36人，故中位數(shù)在內(nèi)；當(dāng)時(shí)，初中學(xué)生共131人，中位數(shù)為第66個(gè),，此時(shí)區(qū)間有15人，有25人，有36人，故中位數(shù)在內(nèi)，所以當(dāng)區(qū)間人數(shù)最多和最少時(shí)，中位數(shù)都在區(qū)間內(nèi)，故這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)一定在區(qū)間內(nèi)，正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)在區(qū)間中的初中生有人，由于在內(nèi)的人數(shù)共15人，故，故當(dāng)時(shí)，初中學(xué)生共116人，則人，此時(shí)區(qū)間有25人，有36人，故25%分位數(shù)可能在區(qū)間內(nèi)；當(dāng)時(shí)，初中學(xué)生共131人，則，此時(shí)區(qū)間有15人，有25人，共40人，25%分位數(shù)可能在區(qū)間內(nèi)，故這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)可能在區(qū)間內(nèi)，正確.故選：BCD.10.水車(chē)在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為R的水車(chē)，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)6秒.經(jīng)過(guò)t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值為.D當(dāng)9時(shí)，〖答案〗BD〖解析〗由題，，，，故，又當(dāng)時(shí)，，且，，所以，故A錯(cuò)誤：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在是單調(diào)遞增的，故B正確：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在是單減的，故最小值為，故C錯(cuò)誤：當(dāng)時(shí)，，的橫坐標(biāo)為，又，此時(shí)點(diǎn)，為水車(chē)直徑，故，故D正確．故選：BD．11.已如函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在極大值和極小值B.C.函數(shù)存在最小值D.對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，方程最多有4個(gè)實(shí)數(shù)解〖答案〗BCD〖解析〗由可得，由可得：，由可得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A不正確，C正確：對(duì)于選項(xiàng)B：在單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：方程即，有一根為，令．則，令可得或，令可得，所以在和0,+∞單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，作出，的圖形如圖所示：所以存在時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，此時(shí)方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．（第13題答對(duì)第一空得3分，答對(duì)第二空得2分.）12.設(shè)集合，且，則___________.〖答案〗〖解析〗由題意，集合，且，可得是方程的根，即，解得，所以，則.13.如圖，圓錐底面半徑為，母線PA＝2，點(diǎn)B為PA的中點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)B點(diǎn)，其最短路線長(zhǎng)度為_(kāi)_______，其中下坡路段長(zhǎng)為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗如圖，將圓錐側(cè)面沿母線PA剪開(kāi)并展開(kāi)成扇形，易知該扇形半徑為2，弧長(zhǎng)為，故圓心角∠APB＝，最短路線即為扇形中的直線段AB，由余弦定理易知AB＝＝，cos∠PBA＝＝；過(guò)P作AB垂線，垂足為M，當(dāng)螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)過(guò)程中，它與點(diǎn)P的距離越來(lái)越小，故AM為上坡路段，當(dāng)螞蟻從M點(diǎn)爬行到B點(diǎn)的過(guò)程中，它與點(diǎn)P的距離越來(lái)越大，故MB為下坡路段，下坡路段長(zhǎng)MB＝PB?cos∠PBA＝．14.已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由求導(dǎo)，，由可得：，因不滿足此式，故可得：，則函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).由求導(dǎo)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故時(shí)，取得極小值.且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)從0的左邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)從0的右邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故可作出函數(shù)的圖象如圖.由圖可知：函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）議，當(dāng)取得最小值時(shí)，求n的取值．解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，又時(shí)，不滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，∴，綜上，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，∴．綜上所述，當(dāng)取得最小值時(shí)，n的取值為1，2，3．16.某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問(wèn)題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語(yǔ)音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽(tīng)的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂(lè)兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語(yǔ)等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司研究部門(mén)從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品），統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在的適合小班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱B類產(chǎn)品），在的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品），A，B，C，三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用，和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.16.3024.870.411.64表中，，，.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬(wàn)元）的回歸方程.（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用，?。?參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.解：（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，由直方圖可得，，，三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4，所以，