上海市上南中學2025屆高二上數(shù)學期末聯(lián)考模擬試題含解析

上海市上南中學2025屆高二上數(shù)學期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知曲線與直線總有公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，過作軸的平行線交橢圓于、兩點，為坐標原點，雙曲線的虛軸長為，且以、為頂點，以直線、為漸近線，則橢圓的短軸長為（）A. B.C. D.3．對于圓上任意一點的值與x，y無關，有下列結論：①當時，r有最大值1；②在r取最大值時，則點的軌跡是一條直線；③當時，則.其中正確的個數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.04．直線過點且與雙曲線僅有一個公共點，則這樣的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條5．變量，之間的一組相關數(shù)據如表所示：若，之間的線性回歸方程為，則的值為（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.6．已知為等比數(shù)列的前n項和，，，則（）A.30 B.C. D.30或7．在空間直角坐標系中，若，，則點B的坐標為（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）8．已知點到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15C.5或 D.5或159．已知數(shù)列滿足，其前項和為，，．若數(shù)列的前項和為，則滿足成立的的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.1310．已知拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．已知橢圓的長軸長為，短軸長為，則橢圓上任意一點到橢圓中心的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.12．當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正方體中，，，P，F(xiàn)分別是線段，的中點，則點P到直線EF的距離是___________.14．已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點M(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為______________15．拋物線的焦點到準線的距離是______.16．某足球俱樂部選拔青少年隊員，每人要進行3項測試．甲隊員每項測試通過的概率均為，且不同測試之間相互獨立，設他通過的測試項目數(shù)為X，則_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）已知等軸雙曲線的上頂點到一條漸近線的距離為，求此雙曲線的方程；（2）已知拋物線的焦點為，設過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點，求線段的長18．（12分）立德中學舉行冬令營活動期間，對位參加活動的學生進行了文化和體能測試，滿分為150分，其測試成績都在90分和150分之間，成績在認定為“一般”，成績在認定為“良好”，成績在認定為“優(yōu)秀”．成績統(tǒng)計人數(shù)如下表：體能文化一般良好優(yōu)秀一般0良好3優(yōu)秀2例如，表中體能成績良好且文化成績一般的學生有2人（1）若從這位參加測試的學生中隨機抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學生概率為．求，的值；（2）在（1）的情況下，從體能成績優(yōu)秀的學生中，隨機抽取2人，求至少有一個人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；（3）若讓使參加體能測試的成績方差最小，寫出的值．（直接寫出答案）19．（12分）已知拋物線C：x2＝2py的焦點為F，點N（t，1）在拋物線C上，且|NF|＝.（1）求拋物線C的方程；（2）過點M（0，1）的直線l交拋物線C于不同的兩點A，B，設O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為,且,,數(shù)列滿足，.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列{}的前n項和.21．（12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是，的等比中項，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知橢圓，點在上，，且（1）求出直線所過定點的坐標；（不需要證明）（2）過A點作的垂線，垂足為，是否存在點，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】對曲線化簡可知曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對直線方程化簡可得直線過定點，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因為，所以曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過定點，如圖所示設曲線與軸的兩個交點分別為，直線過定點，為曲線上一動點，根據圖可知，若曲線與直線總有公共點，則，得，設直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D2、C【解析】不妨取點在第一象限，根據橢圓與雙曲線的幾何性質，以及它們之間的聯(lián)系，可得點的坐標，再將其代入橢圓的方程中，解之即可【詳解】解：由題意知，在橢圓中，有，在雙曲線中，有，，即，雙曲線的漸近線方程為，不妨取點在第一象限，則的坐標為，即，將其代入橢圓的方程中，有，，解得，橢圓的短軸長為故選：3、B【解析】可以看作點到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關，這個距離之和與點在圓上的位置無關，圓在兩直線內部，則，的距離為，則，，對于①，當時，r有最大值1，得出結論；對于②在r取最大值時，則點的軌跡是一條平行與，的直線，得出結論；對于③當時，則得出結論.【詳解】設，故可以看作點到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關，這個距離之和與點在圓上的位置無關，可知直線平移時，點與直線，的距離之和均為，的距離，即此時圓在兩直線內部，，的距離為，則，對于①，當時，r有最大值1，正確；對于②在r取最大值時，則點的軌跡是一條平行與，的直線，正確；對于③當時，則即，解得或，故錯誤.故正確結論有2個，故選：B.4、C【解析】根據直線的斜率存在與不存在，分類討論，結合雙曲線的漸近線的性質，即可求解.【詳解】當直線的斜率不存在時，直線過雙曲線的右頂點，方程為，滿足題意；當直線的斜率存在時，若直線與兩漸近線平行，也能滿足與雙曲線有且僅有一個公共點.綜上可得，滿足條件的直線共有3條.故選：C.【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系，以及雙曲線的漸近線的性質，其中解答中忽視斜率不存在的情況是解答的一個易錯點，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及分類討論思想的應用，屬于基礎題.5、C【解析】本題先求樣本點中心，再利用線性回歸方程過樣本點中心直接求解即可.【詳解】解：，，所以樣本點中心：，線性回歸方程過樣本點中心，則解得：，故選：C【點睛】本題考查線性回歸方程過樣本點中心，是簡單題.6、A【解析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A7、C【解析】利用點的坐標表示向量坐標，即可求解.【詳解】設，，，所以，，，解得：，，，即.故選：C8、D【解析】利用點到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.9、A【解析】根據題意和對數(shù)的運算公式可證得為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求出，進而得到，利用裂項相消法求得，再解不等式即可.【詳解】由，又，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故，則，所以，由，得，即，有，又，所以，即n的最小值為10.故選：A10、B【解析】根據拋物線和寫出焦點坐標，利用題干中的坐標相等，解出，結合從而求出答案.【詳解】拋物線的焦點為，雙曲線的，，所以，所以雙曲線的右焦點為：，由題意，，兩邊平方解得，，則雙曲線的漸近線方程為：.故選：B.11、A【解析】不妨設橢圓的焦點在軸上，設點，則，且有，利用二次函數(shù)的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】不妨設橢圓的焦點在軸上，則該橢圓的標準方程為，設點，則，且有，所以，.故選：A.12、A【解析】設，對實數(shù)的取值進行分類討論，求得，解不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設，其中.①當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則，解得，此時不存在；②當時，，解得；③當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則，解得，此時不存在.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解點P到直線EF的距離.【詳解】解：如圖，以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，因為，所以，，，所以，，所以點P到直線EF的距離.故答案為：.14、【解析】由拋物線的定義得：，所以，當三點共線時，最小可得答案.【詳解】如圖所示：，由拋物線的定義得：，所以，由圖象知：當三點共線時，最小，.故答案為：.15、4【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦點到準線的距離就是p，所以焦點到準線的距離為4.16、【解析】根據二項分布的方差公式即可求出【詳解】因為，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）8.【解析】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，再由點到直線距離公式求解即可；（2）求得直線方程代入拋物線，結合焦點弦長求解即可.【詳解】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，且頂點到漸近線的距離為，可得，解得，故雙曲線方程（2）拋物線的焦點為直線的方程為，即與拋物線方程聯(lián)立，得，消，整理得，設其兩根為，，且由拋物線的定義可知，所以，線段的長是【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；(2)有關直線與拋物線弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式18、（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由題設可得求參數(shù)a，結合表格數(shù)據及已知總學生人數(shù)求參數(shù)b.（2）應用列舉法求古典概型的概率.（3）應用表格數(shù)據及方差公式可得且，即可確定成績方差最小對應的值.【小問1詳解】設事件：從位學生中隨機抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學生由題意知，體能或文化優(yōu)秀的學生共有人，則，解得所以；【小問2詳解】體能成績?yōu)閮?yōu)秀的學生共有5人，在這5人中，文化成績一般的人記為；文化成績良好的人記為；文化成績優(yōu)秀的人記為從文化成績優(yōu)秀的學生中，隨機抽取2人的樣本空間，設事件：至少有一個人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀，，所以，體能成績優(yōu)秀的學生中，隨機抽取2人，至少有一個人文化成績?yōu)閮?yōu)秀的概率是；【小問3詳解】由題設知：體能測試成績，{一般，良好，優(yōu)秀}人數(shù)分別為{5，，}，對應平均分為{100,120,140}，所以體能測試平均成績，所以，而所以當時最小.19、（1）x2＝2y；（2）證明見解析【解析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）設直線l的直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據一元二次方程根與系數(shù)關系、斜率公式進行證明即可.【小問1詳解】∵點N（t，1）在拋物線C：x2＝2py上，且|NF|＝，∴|NF|＝，解得p＝1，∴拋物線C的方程為x2＝2y；【小問2詳解】依題意，設直線l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得x2﹣2kx﹣2＝0.則x1x2＝﹣2，∴.故k1k2為定值.【點睛】關鍵點睛：利用拋物線的定義是解題的關鍵.20、（1）；；（2）【解析】（1）求數(shù)列的通項公式主要利用求解，分情況求解后要驗證是否滿足的通項公式，將求得的代入整理即可得到的通項公式；（2）整理數(shù)列的通項公式得，依據特點采用錯位相減法求和試題解析：（1）∵，∴當時，.當時，.∵時，滿足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考點：1.數(shù)列通項公式求解；2.錯位相減法求和【方法點睛】求數(shù)列的通項公式主要利用，分情況求解后，驗證的值是否滿足關系式，解決非等差等比數(shù)列求和問題，主要有兩種思路：其一，轉化的思想，即將一般數(shù)列設法轉化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解（即分組求和）或錯位相減來完成，其二，不能轉化為等差等比數(shù)列的，往往通過裂項相消法，倒序相加法來求和，本題中，根據特點采用錯位相減法求和21、（1）（2）【解析】（1）根據是，的等比中項，且，，由求解；（2）由（1）得到，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解：因為是，的等比中項，且，，所以，解得，，所以；【小問2詳解】由（1）得，所以，則，兩式相減得，，，所以.22、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當斜率存在時，設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理列出方程，求出定點坐標，當斜率不存在時，設出點的坐標進行求解；（2）結合第一問的定點坐標，結合直角三角形斜邊中線得