安徽省舒城縣龍河中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

安徽省舒城縣龍河中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若雙曲線的兩個焦點為，點是上的一點，且，則雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，半焦距為c，過點作一條漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.3．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.4．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B.C. D.5．如圖，兩個半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切.已知時，在兩相交大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則與的大小關(guān)系為A. B.C. D.不確定7．已知，命題“若，則，全為0”的否命題是（）A.若，則，全不為0. B.若，不全為0，則.C.若，則，不全為0. D.若，則，全不為0.8．方程表示的曲線經(jīng)過的一點是（）A. B.C. D.9．某學(xué)校的校車在早上6：30，6：45，7：00到達(dá)某站點，小明在早上6：40至7：10之間到達(dá)站點，且到達(dá)的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過5分鐘的概率是（）A. B.C. D.10．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，則（）A.14 B.9C.4 D.211．設(shè)為數(shù)列的前n項和，且，則=（）A.26 B.19C.11 D.912．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，則直線AD1與B1D所成角的余弦值為__.14．已知橢圓方程為，左、右焦點分別為、，P為橢圓上的動點，若的最大值為，則橢圓的離心率為___________.15．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.16．一道數(shù)學(xué)難題，在半小時內(nèi)，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，兩人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它，則問題得到解決的概率是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在復(fù)數(shù)集C內(nèi)方程有六個根分別為（1）解出這六個根；（2）在復(fù)平面內(nèi)，這六個根對應(yīng)的點分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)；求多邊形ABCDEF的面積18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前n項和為，求的值19．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點，點，分別在棱，上，，.（1）求點到直線的距離（2）求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）函數(shù)，若對任意的，總存在使得，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線軸，垂足為H，，圓N過點O，與l的公共點的軌跡為（1）求的方程；（2）過M的直線與交于A，B兩點，若，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由條件結(jié)合雙曲線的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，結(jié)合可得當(dāng)點不為雙曲線的頂點時，可得，即當(dāng)點為雙曲線的頂點時，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是故選：B2、D【解析】根據(jù)給定條件求出，再計算面積列式計算作答.【詳解】依題意，點，由雙曲線對稱性不妨取漸近線，即，則，令坐標(biāo)原點為O，中，，又點O是線段的中點，因此，，則有，即，，，所以雙曲線的離心率為故選：D3、A【解析】由三角形內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷、的真假，應(yīng)用換元法令，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)確定的值域即知、的真假，根據(jù)各選項復(fù)合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.4、D【解析】先設(shè)，代入化簡，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設(shè)，所以，因為為純虛數(shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.5、C【解析】設(shè)D為線段AB的中點，求得,在中，可得.進(jìn)而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)D為線段AB的中點，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點取自兩大圓公共部分的概率為.故選：C.6、B【解析】由,所以.7、C【解析】根據(jù)四種命題的關(guān)系求解.【詳解】因為否命題是否定原命題的條件和結(jié)論，所以命題“若，則，全為0”的否命題是：若，則，不全為0，故選：C8、C【解析】當(dāng)時可得，可得答案.【詳解】當(dāng)時可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C9、B【解析】求出小明等車時間不超過5分鐘能乘上車的時長，即可計算出概率.【詳解】6:40至7：10共30分鐘，小明同學(xué)等車時間不超過5分鐘能乘上車只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分鐘，所以所求概率為.故選：B10、C【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓、雙曲線方程的特點直接列式計算作答.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，則，而橢圓與雙曲線有共同的焦點，則在雙曲線中，，即有，解得，所以.故選：C11、D【解析】先求得，然后求得.【詳解】依題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以，所以.故選：D12、B【解析】根據(jù)正弦定理直接計算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以為原點，所在直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出，的坐標(biāo)，由向量夾角公式可得答案.【詳解】以為原點，所在直線為軸的正方向建立如圖的坐標(biāo)系，∵AB＝BC＝2，CC1＝1，∴，，，，則，，則，，則cos＜，＞＝＝，即AD1與B1D所成角的余弦值為，故答案為：.14、【解析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可求得，再利用公式可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，因為的最大值為，則，可得，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.【詳解】因為向量，所以在軸上的投影向量為.故答案為:16、【解析】分甲解決乙不能解決，甲不能解決乙能解決，甲能解決乙也能解決三類，利用獨立事件的概率求解.【詳解】因為甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，所以問題得到解決的概率是，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）原式可因式分解為，令，設(shè)可求解出的兩個虛根，同理可求解的兩個虛根，即得解；（2）六個點構(gòu)成的圖形為正六邊形，邊長為1，計算即可【小問1詳解】由題意，當(dāng)時，設(shè)故，所以解得：，即當(dāng)時，設(shè)故所以解得：，即故：【小問2詳解】六個根對應(yīng)的點分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中在復(fù)平面中描出這六個點如圖所示：六個點構(gòu)成的圖形為正六邊形，邊長為1故18、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定的遞推公式結(jié)合“當(dāng)時，”探求相鄰兩項的關(guān)系計算作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用裂項相消法求出，即可作答.【小問1詳解】依題意，，，則當(dāng)時，，于是得：，即，而當(dāng)時，，即有，因此，，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式是.【小問2詳解】由(1)知，，從而有，所以.19、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）導(dǎo)數(shù)四則運算中的乘除法則.（2）求導(dǎo)數(shù)，主要考查復(fù)合函數(shù)，外導(dǎo)乘內(nèi)導(dǎo).【小問1詳解】【小問2詳解】.20、（1）；（2）.【解析】（1）由直棱柱的性質(zhì)及勾股定理求出△各邊長，應(yīng)用余弦定理求，進(jìn)而可得其正弦值，再求邊上的高即可.（2）以為原點，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出兩個平面的法向量，然后可算出答案.【小問1詳解】如圖，連接，由題設(shè)，，，，由直棱柱性質(zhì)及，在中，在中，在中，在中，所以在△中，，則，所以到直線的距離.【小問2詳解】以為原點，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系易知：，，，則，因為平面，所以平面的一個法向量為設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性分類討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)存在性和任意性的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、（1）的結(jié)論、構(gòu)造函數(shù)法分類討論進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】,,①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減，③當(dāng)吋，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)吋，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.【小問2詳解】由題意可知：在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由（1）可知：①當(dāng)時，在單調(diào)遞增，則恒成立②當(dāng)時，在單調(diào)遞減，則應(yīng)（舍）③當(dāng)時，，則應(yīng)有令，則，且在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又恒成立，則無解綜上，.【點睛】關(guān)鍵點睛：運用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合存在性、任意性的定義進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.22、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)出圓N與l的公共點