2025屆廣東省廣州市第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆廣東省廣州市第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線平分圓的周長，過點作圓的一條切線，切點為，則（）A.5 B.C.3 D.2．一個公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，另兩名員工數(shù)據(jù)不清楚，那么8位員工月工資的中位數(shù)不可能是（）A.5800 B.6000C.6200 D.64003．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.24．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知空間直角坐標(biāo)系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C. D.7．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件8．雙曲線x21的漸近線方程是（）A.y=±x B.y=±xC.y=± D.y=±2x9．已知，則（）A. B.C. D.10．設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點，過的直線l與橢圓E相交于A、B兩點，且，則的長為（）A. B.1C. D.11．斗笠，用竹篾夾油紙或竹葉粽絲等編織，是人們遮陽光和雨的工具.某斗笠的三視圖如圖所示（單位：），若該斗笠水平放置，雨水垂直下落，則該斗笠被雨水打濕的面積為（）A. B.C. D.12．以橢圓＋＝1的焦點為頂點，以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取___________件14．已知直線與直線垂直，則__________15．已知拋物線C：，經(jīng)過點P（4，1）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且點P恰為AB的中點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則______16．命題“矩形的對角線相等”的否命題是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的首項，前n項和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.18．（12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，首項，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和19．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點A，B是橢圓C的上，下頂點，點P是直線上的動點，直線PA與橢圓C的另一交點為E，直線PB與橢圓C的另一交點為F．證明：直線EF過定點20．（12分）已知橢圓C：的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-.（1）求橢圓C的離心率（2）點M（，）在橢圓C上，橢圓的左頂點為D，上頂點為B，點A的坐標(biāo)為（1，0），過點D的直線L與橢圓在第一象限交于點P，與直線AB交于點Q設(shè)L的斜率為k，若，求k的值.21．（12分）如圖，四棱錐中，，，，平面.（1）在線段上是否存在一點使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，請說明理由；（2）求四棱錐的體積.22．（10分）已知直線：，直線：.（1）若，求與的距離；（2）若，求與的交點的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以該圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以圓心在直線上，故，因此，，所以有，所以，故選：B2、D【解析】解：∵一個公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴當(dāng)另外兩名員工的工資都小于5300時,中位數(shù)為(5300+5500)÷2=5400，當(dāng)另外兩名員工的工資都大于5300時,中位數(shù)為(6100+6500)÷2=6300，∴8位員工月工資的中位數(shù)的取值區(qū)間為[5400,6300]，∴8位員工月工資的中位數(shù)不可能是6400.本題選擇D選項.3、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導(dǎo)致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.4、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D6、D【解析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計算作答.【詳解】因數(shù)列的前n項和為，，，則，，，所以.故選：D7、A【解析】根據(jù)直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.8、D【解析】根據(jù)雙曲線漸近線定義即可求解.【詳解】雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.9、C【解析】取中間值，化成同底利用單調(diào)性比較可得.【詳解】,，，故，故選：C10、C【解析】由橢圓的定義得：，，結(jié)合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C11、A【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，則所求面積積為圓錐的側(cè)面積與圓環(huán)的面積之和【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，所以該斗笠被雨水打濕的面積為，故選：A12、B【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦點坐標(biāo)和長軸端點坐標(biāo)，由此可得雙曲線的a，b，c，再求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長軸端點坐標(biāo)為，，焦點坐標(biāo)為，，∴雙曲線的焦點在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線方程為，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件，用分層抽樣的方法從以上所有產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取個數(shù)為件.故答案為：.14、-3【解析】因為直線與直線垂直，所以考點：本題考查兩直線垂直的充要條件點評：若兩直線方程分別為,則他們垂直的充要條件是15、9【解析】過A、、作準(zhǔn)線的垂線且分別交準(zhǔn)線于點、、，根據(jù)拋物線的定義可知，由梯形的中位線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可求出的結(jié)果.【詳解】由拋物線，可知，則，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為，如圖，過點A作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，由拋物線的定義可得，再根據(jù)為線段的中點，而四邊形為梯形，由梯形的中位線可知，則，所以.故答案為：9.16、“若一個四邊形不是矩形，則它的對角線不相等”【解析】否命題是條件否定，結(jié)論否定，即可得解.【詳解】否命題是條件否定，結(jié)論否定，所以命題“矩形的對角線相等”的否命題是“若一個四邊形不是矩形，則它的對角線不相等”故答案為：“若一個四邊形不是矩形，則它的對角線不相等”三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）當(dāng)時，由，得，兩式相減化簡可得，再對等式兩邊同時減去1，化簡可證得結(jié)論，（2）由（1）得，然后利用分組求和可求出【小問1詳解】由已知得，.當(dāng)時，.兩式相減得，.于是，即，又，，，所以滿足上式，所以對都成立，故數(shù)列是等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得，，.18、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，根據(jù)等比中項的概念即可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根據(jù)分組求和法即可求出答案【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由已知得，，即，解得或，又，∴，∴；（2）由（1）得，【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的分組求和法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，通過解方程組，即可求出答案.（2）法一：設(shè)，，；當(dāng)時，根據(jù)點的坐標(biāo)寫出直線PA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點的坐標(biāo)；同理可求出點的坐標(biāo)，然后即可求出直線EF的方程，從而證明直線EF過定點.法二：首先根據(jù)時直線EF的方程為，可判斷出直線EF過的定點M必在y軸上，設(shè)為；然后同方法一，求出點，的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求出的值.【小問1詳解】由題意，知，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】法一：設(shè)，，，當(dāng)時，直線PA的方程為，由，得解得，所以．所以同理可得所以直線EF的斜率為，所以直線EF的方程為，整理得，所以直線EF過定點當(dāng)時，點E，F(xiàn)在y軸上，EF的方程為，顯然過點綜上，直線EF過定點法二：當(dāng)點P在y軸上時，E，F(xiàn)分別與B，A重合，直線EF的方程為，若直線EF過定點M，則M必在y軸上，可設(shè)當(dāng)點P不在y軸上時，設(shè)，，，則直線PA的方程為，由，得，解得，所以，所以，同理可得，所以，因為E，F(xiàn)，M三點共線，所以，所以，整理得，因為，所以，解得，即所以直線EF過定點20、（1）（2）1【解析】（1）根據(jù)橢圓的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-，由求解；（2）根據(jù)點M（，）在橢圓C上，頂點，再由，求得橢圓方程，由，結(jié)合，得到，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點P的坐標(biāo)，再由，求得Q的坐標(biāo)，代入求解.【小問1詳解】解：設(shè)橢圓C：的上頂點為，左頂點為，右頂點為，因為橢圓的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-,所以，即，又所以，解得；【小問2詳解】因為點M（，）在橢圓C上，所以，又，解得，所以橢圓方程為，，則，因為，所以，又，所以，則，設(shè)，則，當(dāng)時，則，不合題意；當(dāng)時，設(shè)直線方程為，與題意方程聯(lián)立，消去y得：則，所以，則，因為，由，得，因為，所以，化簡得，因，則.21、（1）存在，為的中點，證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，的中點，連接，，，證明，由線面平行的判定定理即可求證；（2）先證明平面面，過點作于點，即可證明面，在中，利用面積公式求出即為四棱錐的高，再由棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（1）線段上存在點使得平面，為的中點.證明如下：如圖取的中點，的中點，連接，，，因為，分別為，的中點，所以且因為且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，可得，因為面，面，所以平面；（2）過點作于點，因為平面，面，所以平面面，因為，面，平面面，所以面，因為，，所以，，所以，即，所以，即為四棱錐的高，所以