廣東省佛山市禪城區(qū)2025屆高二上數學期末綜合測試試題含解析

廣東省佛山市禪城區(qū)2025屆高二上數學期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代有一道數學題：“今有七人差等均錢，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，問戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個人分錢，所分得的錢數構成等差數列，甲、乙兩人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，則戊、己兩人各分得多少文錢？則下列說法正確的是（）A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文2．以下說法：①將一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個常數后，方差不變；②設有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位③線性回歸方程必過④設具有相關關系的兩個變量的相關系數為，那么越接近于0，之間的線性相關程度越高；⑤在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，那么的值越大，判斷兩個變量間有關聯(lián)的把握就越大。其中錯誤的個數是（）A.0 B.1C.2 D.33．若將一個橢圓繞其中心旋轉90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”，下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）A. B.C. D.4．已知等差數列為其前項和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.135．雙曲線的兩個焦點坐標是（）A.和 B.和C.和 D.和6．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.7．已知在四棱錐中，平面，底面是邊長為4的正方形，，E為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.8．如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.9．“”是直線與直線平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A.8 B.9C.27 D.3611．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．《周髀算經》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問立夏日影長為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學生到某工廠進行勞動實踐，利用打印技術制作模型.如圖，該模型為一個大圓柱中挖去一個小圓柱后剩余部分（兩個圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為的正方形，小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為________g.（?。?4．圓心在x軸上且過點的一個圓的標準方程可以是______15．如圖，在直棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為___________.16．已知一組數據的平均數為4，方差為3，若另一組數據的平均數為10，則該組數據的方差為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）同時擲兩顆質地均勻的骰子（六個面分別標有數字1，2，3，4，5，6的正方體）（1）求兩顆骰子向上的點數相等的概率；（2）求兩顆骰子向上的點數不相等，且一個點數是另一個點數的整數倍的概率18．（12分）已知一張紙上畫有半徑為4的圓O，在圓O內有一個定點A，且，折疊紙片，使圓上某一點剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當取遍圓上所有點時，所有折痕與的交點形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點在軸上的標準方程；（2）過曲線C的右焦點（左焦點為）的直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.19．（12分）在二項式的展開式中，______.給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數的和等于46；②所有奇數項的二項式系數的和為256.試在上面兩個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并解答下列問題：（1）求展開式中二項式系數最大的項；（2）求展開式的常數項.20．（12分）已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱BC和CD的中點（1）求與所成角的大??；（2）求與平面所成角的余弦值21．（12分）在平面直角坐標系中，點到兩點的距離之和等于4，設點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）設直線與交于兩點，為何值時？22．（10分）已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且被直線：截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設點在圓上運動，點，且點滿足，記點的軌跡為.①求的方程，并說明是什么圖形；②試探究：在直線上是否存在定點(異于原點)，使得對于上任意一點，都有為一常數，若存在，求出所有滿足條件的點的坐標，若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數分別為，，，，，，，再根據題意列方程組可解得結果.【詳解】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數分別為，，，，，，，則，解得，所以戊分得（文），己分得（文），故選：C.2、C【詳解】方差反映一組數據的波動大小，將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差不變，故①正確；一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均減少5個單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點，故③正確；根據線性回歸分析中相關系數的定義：在線性回歸分析中，相關系數為r，越接近于1，相關程度越大，故④不正確；對于觀察值來說，越大，“x與y有關系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點睛】本題主要考查用樣本估計總體、線性回歸方程、獨立性檢驗的基本思想.3、A【解析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進而判斷所給命題的真假【詳解】解：因為橢圓短的軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：4、B【解析】根據等差數列下標的性質，，進而根據條件求出，然后結合等差數列的求和公式和下標性質求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.5、C【解析】由雙曲線標準方程可得到焦點所在軸及半焦距的長，進而得到兩個焦點坐標.【詳解】雙曲線中，，則又雙曲線焦點在y軸，故雙曲線的兩個焦點坐標是和故選：C6、B【解析】先根據直線平行求得，再根據公式可求平行線之間的距離.【詳解】由兩直線平行，得，故，當時，，，此時，故兩直線平行時又之間的距離為，故選：B.7、B【解析】建立空間直角坐標系，以向量法去求直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】平面，底面是邊長為4的正方形，則有，而，故平面，以A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖：則，，，設直線與平面所成角為，又由題可知為平面的一個法向量，則故選：B8、D【解析】利用空間向量的加、減運算即可求解.詳解】由題意可得故選：D9、C【解析】先根據直線平行的充要條件求出a，然后可得.【詳解】若，則，，顯然平行；若直線，則且，即.故“”是直線與直線平行的充要條件.故選：C10、B【解析】執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)，，滿足；第二次循環(huán)，，滿足；第三次循環(huán)，，不滿足，輸出，故選B.【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.11、D【解析】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，，因此異面直線與所成角的余弦值等于.故選：D.12、D【解析】結合等差數列知識求得正確答案.【詳解】設冬至日影長，公差為，則，所以立夏日影長丈，即四尺五寸.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4500【解析】根據題意可知大圓柱底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，再根據小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，求出小圓柱的底面圓的半徑，然后求出該模型的體積，從而可得出答案.【詳解】解：根據題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，則有，即，解得，所以該模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質量為.故答案為：4500.14、【解析】確定x軸上一個點做圓心，求出半徑，再寫出圓的標準方程即可.【詳解】以x軸上的點為圓心，則半徑，所以圓的標準方程為：.故答案為：15、【解析】建立空間直角坐標系后求相關的向量后再用夾角公式運算即可.【詳解】如圖，以C為坐標原點，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，故異面直線與所成角的余弦值為，故答案為:.16、12【解析】根據題意，先通過原始數據的平均數、方差及新數據的平均數求出k，進而求出新數據的方差.【詳解】由題意，原式數據的平均數和方程分別為：，則新數據的平均數，于是新數據的方差.故答案為：12.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）求出同時擲兩顆骰子的基本事件數、及骰子向上的點數相等的基本事件數，應用古典概型的概率求法，求概率即可.（2）列舉出兩顆骰子向上的點數不相等，且一個點數是另一個點數的倍數的基本事件，應用古典概型的概率求法，求概率即可.【小問1詳解】同時擲兩顆骰子包括的基本事件共種，擲兩顆骰子向上的點數相等包括的基本事件為6種，故所求的概率為；【小問2詳解】兩顆骰子向上的點數不相等，且一個點數是另一個點數的倍數時，用坐標記為，，，，，，，，，，，，，，，，共包括16個基本事件，故兩顆骰子向上的點數不相等，且一個點數是另一個點數的倍數有的概率為.18、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據題意，作出圖像，可得，由此可知M的軌跡C為以O、A為焦點的橢圓；(2)分為l斜率存在和不存在時討論，斜率存在時，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，用韋達定理表示的面積，根據變量范圍可求面積的最大值﹒【小問1詳解】以OA中點G坐標原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖：∴可知，，設折痕與和分別交于M，N兩點，則MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的軌跡是以O，A為焦點，4為長軸的橢圓．∴M的軌跡方程C為；【小問2詳解】設，，則的周長為當軸時，l的方程為，，，當l與x軸不垂直時，設，由得，∵＞0，∴，，，令，則，，∵，∴，∴.綜上可知，S的取值范圍是19、（1），；（2）.【解析】選擇①：，利用組合數公式，計算即可；選擇②：轉化為，計算即可（1）由于共9項，根據二項式系數性質，二項式系數最大的項為第5項和第6項，利用通項公式計算即可；（2）寫出展開式的通項，令，即得解【詳解】選擇①.，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②.，即，解得.（1）展開式中二項式系數最大的項為第5項和第6項，，.（2）展開式的通項為，令，得，所以展開式中常數項為第7項，常數項為.20、（1）60°；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角的坐標公式即可求出異面直線所成角的余弦值，進而結合異面直線成角的范圍即可求出結果；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角的坐標公式即可求出求出線面角的正弦值，進而結合線面角的范圍即可求出結果；【小問1詳解】以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則，，，，所以，，設與EF所成角的大小為，則，因為異面直線成角的范圍是，所以與所成角的大小為60°【小問2詳解】設平面的法向量為，與平面所成角為，因為，，所以，，所以，令，得為平面的一個法向量，又因為，所以，所以21、（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得：點的軌跡為橢圓，設標準方程為：，則，，，解出可得橢圓的標準方程（2）設，，直線方程與橢圓聯(lián)立，化為：，恒成立，由，可得，把根與系數的關系代入解得【詳解】解：（1）由題意可得：點的軌跡為橢圓，設標準方程為：，則，，，可得橢圓的標準方程為：（2）設，，聯(lián)立，化為：，恒成立，，，，，，解得．滿足當時，能使【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、數量積運算性質、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題22、（1）；（2）①，圓；②存在，.【解析】（1）設圓心，根據題意，得到半徑，根據弦長的幾何表示，由題中條件，列出方程求解，得出，從而可得圓心和半徑，進而可得出結果；（2）①設，根據向量的坐標表示，由題中條件，得到，