2025屆江西省贛州市石城中學高二上數學期末聯考模擬試題含解析

2025屆江西省贛州市石城中學高二上數學期末聯考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊2．為調查參加考試的高二級1200名學生的成績情況，從中抽查了100名學生的成績，就這個問題來說，下列說法正確的是（）A.1200名學生是總體 B.每個學生是個體C.樣本容量是100 D.抽取的100名學生是樣本3．已知數列的通項公式為，則“”是“數列為單調遞增數列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知、，直線，，且，則的最小值為（）A. B.C. D.5．等比數列的前項和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或6．已知等差數列的公差，是與的等比中項，則（）A. B.C. D.7．對于兩個平面、，“內有無數多個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知數列是等差數列，下面的數列中必為等差數列的個數為（）①②③A.0 B.1C.2 D.39．已知的展開式中，各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為，則（）A.4 B.5C.6 D.710．若函數在上為增函數，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.11．若數列滿足，，則該數列的前2021項的乘積是（）A. B.C.2 D.112．在等比數列中，，且，則t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義點到曲線的距離為該點與曲線上所有點之間距離的最小值，則點到曲線距離為___________.14．某學校為了獲得該校全體高中學生的體有鍛煉情況，按照男、女生的比例分別抽樣調查了55名男生和45名女生的每周鍛煉時間，通過計算得到男生每周鍛煉時間的平均數為8小時，方差為6；女生每周鍛煉時間的平均數為6小時，方差為8．根據所有樣本的方差來估計該校學生每周鍛煉時間的方差為________15．已知橢圓交軸于A，兩點，點是橢圓上異于A，的任意一點，直線，分別交軸于點，，則為定值．現將雙曲線與橢圓類比得到一個真命題：若雙曲線交軸于A，兩點，點是雙曲線上異于A，的任意一點，直線，分別交軸于點，，則為定值___16．已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，直線l過點F與拋物線C交于A，B兩點，以F為圓心的圓交線段AB于C，D兩點（從上到下依次為A，C，D，B），若，則該圓的半徑r的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經過點.（1）求的方程；（2）設的右焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線AB和DE，其中A，B，D，E都在橢圓上，求的取值范圍.18．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直交橢圓于兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關系，并說明理由.19．（12分）已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，焦距為，過點作直線交橢圓于兩點，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓相交于兩點，求定點與交點所構成的三角形面積的最大值.20．（12分）已知集合，.（1）當時，求AB；（2）設，，若是成立的充分不必要條件，求實數的取值范圍.21．（12分）某校高二年級全體學生參加了一次數學測試，學校利用簡單隨機抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學的數學測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數據的中位數相等且平均數也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.22．（10分）已知橢圓的長軸長與短軸長之比為2,、分別為其左、右焦點．請從下列兩個條件中選擇一個作為已知條件,完成下面的問題:①過點且斜率為1的直線與橢圓E相切;②過且垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限交于點P,且的面積為．(只能從①②中選擇一個作為已知)（1）求橢圓E的方程;（2）過點的直線l與橢圓E交于A,B兩點,與直線交于H點,若,．證明:為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】第n環(huán)天石心塊數為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數列，設為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進一步得到.【詳解】設第n環(huán)天石心塊數為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數列，，設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點晴】本題主要考查等差數列前n項和有關的計算問題，考查學生數學運算能力，是一道容易題.2、C【解析】根據總體、個體、樣本容量、樣本的定義，結合題意，即可判斷和選擇.【詳解】根據題意，總體是名學生的成績；個體是每個學生的成績；樣本容量是，樣本是抽取的100名學生的成績；故正確的是C.故選：C.3、A【解析】根據充分條件和必要條件的定義，結合數列的單調性判斷【詳解】根據題意，已知數列的通項公式為，若數列為單調遞增數列，則有（），所以，因為，所以，所以當時，數列為單調遞增數列，而當數列為單調遞增數列時，不一定成立，所以“”是“數列為單調遞增數列”的充分而不必要條件，故選：A4、D【解析】先由，可得，變形得，所以，化簡后利用基本不等式求解即可【詳解】因為、，直線，，且，所以，即，所以，所以，所以，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為，故選：D5、C【解析】根據等比數列的前項和公式及等比數列通項公式即可求解.【詳解】設等比數列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.6、C【解析】由等比中項的性質及等差數列通項公式可得即可求.【詳解】由，則，可得.故選：C.7、B【解析】根據平面的性質分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內有無數多個點到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內有無數多個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.8、C【解析】根據等差數列的定義判斷【詳解】設的公差為，則，是等差數列，，是常數列，也是等差數列，若，則不是等差數列，故選：C9、C【解析】利用賦值法確定展開式中各項系數的和以及二項式系數的和，利用比值為，列出關于的方程，解方程.【詳解】二項式的各項系數的和為，二項式的各項二項式系數的和為，因為各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為，所以，.故選：C.10、C【解析】求出函數的導數，要使函數在上為增函數，要保證導數在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.11、C【解析】先由數列滿足，，計算出前5項，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【詳解】因為數列滿足，，所以，同理可得，…所以數列每四項重復出現，即，且，而，所以該數列的前2021項的乘積是.故選：C.12、A【解析】先求出，利用等比中項求出t.【詳解】在等比數列中，，且，所以所以，即，解得：.當時，，不符合等比數列的定義，應舍去，故.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】設出曲線上任意一點，利用兩點間距離公式表達出，利用基本不等式求出最小值.【詳解】當時，顯然不成立，故，此時，設曲線任意一點，則，其中，當且僅當，即時等號成立，此時即為最小值.故答案為：214、【解析】先求出100名學生每周鍛煉的平均時間，然后再求這100名學生每周鍛煉時間的方差，從而可估計該校學生每周鍛煉時間的方差【詳解】由題意可得55名男生和45名女生的每周鍛煉時間的平均數為小時，因為55名男生每周鍛煉時間的方差為6；45名女生每周鍛煉時間的方差為8，所以這100名學生每周鍛煉時間的方差為，所以該校學生每周鍛煉時間的方差約為，故答案為：15、－【解析】由雙曲線的方程可得，的坐標，設的坐標，代入雙曲線的方程可得的橫縱坐標的關系，求出直線，的方程，令，分別求出，的縱坐標，求出的表達式，整理可得為定值【詳解】由雙曲線的方程可得，，設，則，可得，直線的方程為：，令，則，可得，直線的方程為，令，可得，即，∴，，，故答案為：－另解：雙曲線方程化為，只是將的替換為－，故答案也是只需將中的替換為－即可.故答案為：－.16、【解析】設出直線的方程為，代入拋物線方程，消去，可得關于的二次方程，運用韋達定理及拋物線的定義，化簡計算可求解.【詳解】拋物線C：y2=8x的焦點為,設以為圓心的圓的半徑為，可知，，設，直線的方程為，則，代入拋物線方程，可得，即有，，，，即，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據橢圓的離心率為，及經過點建立等式可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種情況進行討論，當斜率存在時，計算與后再求范圍即可.【小問1詳解】由題意知的離心率為，整理得，又因為經過點，所以，解得，所以，因此，的方程為.小問2詳解】由已知可得，當直線AB或DE有一條的斜率不存在時，可得，或，，此時有或.當AB和DE的斜率都存在時且不為0時，設直線：，直線：，，，，由得，所以，，所以，用替換可得.所以，綜上所述，的取值范圍為.18、(1)(2)點G在以AB為直徑的圓外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得解得所以橢圓E的方程為（Ⅱ）設點AB中點為由所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）設點，則由所以從而所以不共線，所以銳角.故點G在以AB為直徑的圓外考點：1、橢圓的標準方程；2、直線和橢圓的位置關系；3、點和圓的位置關系19、（1）（2）【解析】（1）根據題意可得，，再由，即可求解.（2）設直線的方程為，將直線與橢圓方程聯立求得關于的方程，利用弦長公式求出，再利用點到直線的距離求出點到直線的距離，利用三角形的面積公式配方即可求解.【詳解】解（1）由題意得：，，∴，∴∴橢圓的方程為(2)∵直線的斜率為，∴可設直線的方程為與橢圓的方程聯立可得：①設兩點的坐標為，由韋達定理得：，∴點到直線的距離，∴由①知：，，令，則，∴令，則在上的最大值為∴的最大值為綜上所述：三角形面積的最大值2.【點睛】本題考查了根據求橢圓的標準方程，考查了直線與橢圓額位置關系中三角形面積問題，考查了學生的計算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】（1）由，解得范圍，可得，由可得：，解得．即可得出（2）由，解得．根據是成立的必要條件，利用包含關系列不等式即可得出實數的取值范圍【詳解】（1）由，解得，可得：，可得：，化為：，解得，所以=.（2）q是p成立的充分不必要條件，所以集合B是集合A的真子集.由，解得，又集合A=，所以或解得0≤a≤2，即實數a的取值范圍是.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法、集合之間的關系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題21、（1），（2）【解析】（1）根據莖葉圖得甲班中位數為，由此能求出，根據由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學中隨機抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據莖葉圖可知1班中位數為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為22、（1）（2）證明見解析【解析】(1)選①:直線與橢圓聯