北京市房山區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題 含解析

房山區(qū)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研（一）高二數(shù)學(xué)本試卷共5頁，150分，考試時長120分鐘.第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.若1，，2成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的定義，列出方程，即可求解.【詳解】由1，，2成等差數(shù)列，可得，解得.故選：C.2.已知等比數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的公比為（）A3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義可得結(jié)果.【詳解】因為為等比數(shù)列且通項公式為，所以公比，故選：A.3.下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】借助復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計算即可得.【詳解】對A、B：若，則，故B正確，A錯誤；對C、D：若，則，故C、D錯誤.故選：B.4.設(shè)某質(zhì)點(diǎn)的位移與時間的關(guān)系是，則質(zhì)點(diǎn)在第時的瞬時速度等于（）A.5m/s B.6m/s C.7m/s D.8m/s【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算時，的值即可．【詳解】，，則時，，所以質(zhì)點(diǎn)在第3s時的瞬時速度等于5m/s.故選：A.5.函數(shù)的圖象如圖所示，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.【詳解】由函數(shù)圖象可知函數(shù)為增函數(shù)，且增加的速度越來越慢，所以，即.故選：D.6.已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比（）A. B.1 C.或1 D.3【答案】C【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用基本量代換列方程組即可求出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意可得，，解得或.故選：C.7.已知函數(shù)的定義域為，的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致如圖所示，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A.在上單調(diào)遞增B.是的極小值點(diǎn)C.是的極大值點(diǎn)D.曲線在處的切線斜率為2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)和的關(guān)系，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，根據(jù)函數(shù)的圖象得，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以A正確；對于B中，根據(jù)函數(shù)的圖象知，在的左右兩側(cè)附近，可得，所以單調(diào)遞增，則不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以B錯誤；對于C中，根據(jù)函數(shù)的圖象知，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的一個極大值點(diǎn)，所以C正確；對于D中，根據(jù)函數(shù)的圖象知，，即曲線在處的切線斜率為，所以D正確.故選：B.8.世界上最古老的數(shù)學(xué)著作《萊因德紙草書》中有一道這樣的題目：把60磅面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的兩份之和的是較小的三份之和，則最小的1份為（）A.磅 B.磅 C.磅 D.磅【答案】D【解析】【分析】結(jié)合題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算即可得.【詳解】設(shè)五個人從小到大所得面包為、、、、，設(shè)其公差為，則由題意可得，即，整理可得，又，即，即有，即，即最小的1份為磅.故選：D.9.已知數(shù)列的通項公式，且最小項為，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而得到數(shù)列的單調(diào)性，求出最小項得解.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，，所以，，又，，，，解得.故選：B.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A.當(dāng)時，函數(shù)無零點(diǎn)B.當(dāng)時，不等式的解集為C.若函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，則實數(shù)取值范圍為D.存在實數(shù)，使得函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】時，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)得單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而可判斷A；時，借助導(dǎo)數(shù)工具判斷，結(jié)合三次函數(shù)的零點(diǎn)情況，分段求解不等式，即可判斷B；結(jié)合B選項，分別求出函數(shù)的零點(diǎn)，在分類討論即可判斷C；舉出例子，結(jié)合A選項即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，當(dāng)時，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)沒有個零點(diǎn)，故A正確；對于B，時，，則，令，即，解得，令，，即在上單調(diào)遞減，于是，即，即無解，綜上可知，的解集為，故B正確；對于C，，由B選項分析可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，取得等號，故時，無解，，解得或，在時有個根，即這個根需排除在外，則，于是，當(dāng)時，有唯一解，于在時有個根，即這個根需恰好被包含在內(nèi)，故，即，綜上所述，，故C錯誤；對于D，由A選項得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，又，即，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若，則______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則計算即可．【詳解】，又，故.故答案為：3.12.設(shè)為數(shù)列的前項和，且，則_________；數(shù)列的通項公式_________.【答案】①②.【解析】【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】由，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式成立，所以，.故答案為：；.13.已知函數(shù)，則的極小值等于__________；若在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍是________.【答案】①.②.【解析】【分析】求得可得，得出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極小值，結(jié)合題意，列出不等式組，求得實數(shù)的取值范圍，得到答案.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得或；令，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，極小值為，令，即，即或，要使得在區(qū)間上存在最小值，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.14.無窮數(shù)列的前n項和記為．若是遞增數(shù)列，而是遞減數(shù)列，則數(shù)列的通項公式可以為____．【答案】

（答案不唯一）.【解析】【分析】根據(jù)是遞減數(shù)列，可以考慮該數(shù)列各項均為負(fù)數(shù)，再根據(jù)是遞增數(shù)列，可以聯(lián)想到在上是遞增的函數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造出數(shù)列.【詳解】因為是遞減數(shù)列，可以考慮，而是遞增數(shù)列，可以構(gòu)造.故答案為：（答案不唯一）.15.已知數(shù)列的前項和為（），數(shù)列的前項積為，且滿足（），給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④是等差數(shù)列.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)關(guān)系式，當(dāng)時，即可求得的值，可判斷①；由，可得，當(dāng)時，，兩式相比可得是等差數(shù)列，求得可判斷③；由利用項與和的關(guān)系求得通項可判斷②；由，可求得可判斷④.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，即，解得或0，又，則，所以，故①正確；由，則，所以，當(dāng)時，，所以，即，整理得，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，則，所以，故③正確；當(dāng)時，，又不符合上式，所以，，故②錯誤；又，所以，，所以為等差數(shù)列；故④正確.所以正確的序號有①③④.故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）求得，分別求得和的解集，即可求解；（2）由（1）求得函數(shù)的最大值，以及，的值，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【小問2詳解】解：由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，又，，所以最小值為，所以函數(shù)的最大值為，最小值為.17.已知數(shù)列是等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若為等差數(shù)列，且滿足，，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出公比，即可得解；（2）根據(jù)題意求出首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式即可得解.【小問1詳解】設(shè)公比為，由，，得，所以，所以；【小問2詳解】由（1）得，設(shè)公差為，則，解得，所以，所以.18.已知數(shù)列中，且.（1）求數(shù)列的第2，3，4項；（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.【答案】（1），，（2）猜想，證明見解析【解析】【分析】（1）由題意逐個計算即可得；（2）由（1）的計算結(jié)果可猜想出數(shù)列的通項公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得.【小問1詳解】由且，則，，；【小問2詳解】由（1）的計算結(jié)果可猜想，證明如下：當(dāng)時，，等式成立；假設(shè)當(dāng)時等式成立，即有，則當(dāng)時，有，即當(dāng)時，等式成立；故猜想成立.19.已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得數(shù)列唯一確定，并解答以下問題：（ⅰ）求的通項公式；（ⅱ）若，求的最小值.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)題意，分別選擇①②③，求得數(shù)列的通項公式，利用等差、等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合，列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，因為，，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】解：（?。┤暨x擇條件①，由，可得，又因為，可得數(shù)列是首項為，公差為等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為（ⅰi）由，可得，又由，可得，因為，可得，即，又因為，可得，所以的最小值.（ⅰ）若選擇條件②：由，可得，因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（ⅰi）由，可得，又由，可得，因為，可得，即，經(jīng)驗證，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，所以使得成立時，的最小值.（?。┤暨x擇條件③：由，當(dāng)時，可得，兩式相減，可得，即，因為，所以.（ⅰi）由，可得，又由，可得，因為，可得，即，解得或（舍去），又因為，所以，即使得成立時，的最小值.20.某公園為了美化游園環(huán)境，計劃修建一個如圖所示的總面積為的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間，，三個矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月季（其中，區(qū)域的形狀、大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為.（1）用含有的代數(shù)式表示；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，才能使鮮花種植的總面積最大？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)矩形花園的長為，結(jié)合，進(jìn)而求得關(guān)于的關(guān)系式；（2）由（1）知，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)矩形花園的長為，因為矩形花園的總面積為，所以，可得，又因為陰影部分是寬度為1m的小路，可得，可得，即關(guān)于的關(guān)系式為.【小問2詳解】解：由（1）知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以當(dāng)時，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（3）寫出的一個值，使方程有兩個不等的實數(shù)根.并證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）答案見解析（3），證明見解析【解析】【分析】（1）利用求導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)的意義，即可求出切線方程；（2）由于原函數(shù)含有參數(shù)，所以要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，從而利用導(dǎo)數(shù)思想來判斷函數(shù)單調(diào)性，再判斷極值點(diǎn)情況；（3）由