數(shù)學同步測控：相似三角形

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基我達標1。如圖1.1—60,△DBA∽△ABC的條件是…（）圖1。1—60A.B.AB2=BD·BCC。CD2=AD·ABD。解析：由AB2=BD·BC,且∠B=∠B，由判定定理2知,△ABC∽△DBA.答案:B2。在△ABC和△A′B′C′中,AB=7cm,BC=6cm，CA=5cm，A′B′=cm,B′C′=cm，C′A′=2cm,則…(）A?！螦=∠A′B?！螦=∠B′C.∠A=∠C′D.以上都對解析:由=3知△ABC∽△B′A′C′∠A=∠B′（∠A與∠B′對應)。答案：B3.下列條件中可以判定△ABC∽△A′B′C′的是…（）A.=′B。=′,∠B=∠B′C。=D。=′，∠A=∠A′解析：由判定定理2知:兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。答案：D4。如圖1。1-61,在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,DE⊥AC,則圖中和△ABC相似的三角形的個數(shù)為（）圖1。1—61A。2B.3C。4解析:與△ABC相似的三角形有△CBD、△DCE、△ACD、△ADE共4個三角形。答案:C5。如圖1。1-62，ABCD為矩形，∠BEF為直角，那么在M、N、P、Q四個三角形中，相似的是（）圖1。1-62A.M和NB。M和PC.N和PD。M和Q解析:∵∠1+∠2=90°,∠２+∠3=90°,∴∠1=∠3,又∠A=∠D=90°,∴△BAE∽△EDF。答案：B6。如圖1.1—63,在ABCD中，AB=12，BC=18，E為AB的中點，在BC上取點F，使△AED∽△CFD,則BF的長為（）圖1。1-63A。9B.14C。12解析：∵△AED∽△CFD.∴=4.BF=BC-CF=18—4=14.答案：B7。如圖1。1—64,若AB∥CD，∠DAB=∠CBD,AB=4,BD=5,則CD等于（）圖1.1-64A。4B。5。5C。6解析：∵AB∥CD,∴△BAD∽△DBC∴CD=6。25.答案:D8.如圖1.1-65，如圖,DE∥AC，若=，則△BDE的面積是△ABC面積的（)圖1.1—65A。B.C。D。解析：∵DE∥AC。∴=?！唷鰾DE與△BAC的相似比為,故=（)2=。答案：C9.如圖1.1-66，E是ABCD的邊CD上一點，CE=CD，AD=12,那么CF的長為…（）圖1.1—66A。4B.6C.3解析:∵△EAD∽△EFC.∴,∴CF=AD=6。答案：B10.如圖1。1-67，△ABC中，=，則OE：OB等于（）圖1.1—67A。B。C.D.解析：由△ADE∽△ABC==。由△ODE∽△OCB==.答案：A11。下列各對三角形中不一定相似的是（)A.△ABC中，∠A=54°,∠B=78°△A′B′C′中，∠C′=48°,∠B′=78°B.△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=5cm△A′B′C′中,∠C′=90°,A′C′=12cm,B′C′=15cmC。△ABC中,∠B=90°,AB=5,AC=13△A′B′C′中，∠B′=90°,A′B′=2.5a,B′C′=6aD.△ABC中,∠C=90°，∠A=45°，AB=5△A′B′C′中，∠A′=45°，A′B′=5解析：A中∠C=48°=∠C′,且∠B=∠B′,∴△ABC∽△A′B′C′.B中∠C=∠C′，且AC：A′C′=BC:B′C′,∴△ABC∽△A′B′C′.C中BC==12，由∠B=∠B′且AB:A′B′=BC：B′C′,∴△ABC∽△A′B′C′。D中的條件不能判定△ABC∽△A′B′C′.答案：D12。如圖1。1-68，AB∥CD，AC、BD交于O，BO=7,DO=3，AC=25，則AO長為（）圖1.1—68A。10B.12.5C.15解析:△ODC∽△OBA,又AO+OC=AC=25,∴AO=AC=×25=17。5。答案：D13。如圖1.1-69,在△ABC中，MN∥BC,MC、NB交于P，則圖中共有__________對相似三角形（）圖1。1—69A.1B。2C。3解析:△AMN∽△ABC，△PMN∽△PCB，∴共有2對相似三角形.答案：B14.如圖1。1—70，△ABC中，DE∥BC，AE=1，EC=2，則S△ADE:S△ABC等于（）圖1。1-70A。1：2B.1：3C.1:4解析:S△ADE：S△ABC=AE2：AC2=AE2：（AE+EC）2=1：9。答案：D15.如圖1.1-71，△ABC中，F(xiàn)H=5，DE∥FH∥BC，且DE、FH將△ABC分為面積相等的三部分，則BC的長為(）圖1.1-71A.15B.10C。fD。解析：,∴BC2=FH2=×（5）2?！郆C2=25×9，∴BC=15.答案：A16.如圖1。1-72所示，鐵道口的欄桿短臂長1m,長臂長16m，當短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高…（）圖1。1-72A。11.25mB.6.6mC。8m解析:本題是一個實際問題,可抽象為如下數(shù)學問題:如右圖，等腰△AOC∽等腰△BOD,OA=1m,OB=16m。高CE=0.5m,求高DF.由相似三角形的性質(zhì)可得OA：OB=CE：DF，即1:16=0.5:DF，解得DF=8（m）。答案：C我綜合我發(fā)展17.如圖1.1-73，在△ABC中,點D在線段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8,BC=16，那么CD=_____________。解析：∠BAC=∠ADC，且∠C=∠C。∴△CAB∽△CDA.∴.∴CD==4。答案：4圖1。1—73圖1.1—7418。如圖1.1-74，EF∥BC，BC=2，△AEF的面積等于梯形BCFE的面積，則EF=_________.解析:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC。又S△AEF=S梯形BCFC∴=（）2=，∴EF2==4。∴EF=2。答案:219.如圖1.1—75，點E、F分別在ABCD的邊BC、DA的延長線上,EF交CD、BD、AB于G、M、N，則與△EBM相似的三角形是___________.圖1.1-75解析:∠BEM=∠DFM,∠FMD=∠EMB，∴△EBM∽△FDM.答案：△FDM20.有一塊三角形鐵片ABC，已知最長邊BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一個矩形鐵片，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，且矩形的長是寬的2倍，則加工成的鐵片的面積為____________。解析：如下圖，本題有圖（1）和圖（2）兩種情況如圖（1），矩形的長EF在BC上,G、H分別在AC、AB上，高AD交GH于K，設(shè)矩形的寬為xcm,則長為2xcm,由HG∥BC，得△AHG∽△ABC,得（cm)S矩形EFGH=2x2=（cm2）;如圖(2)，矩形的寬MN在BC上，類似的可求得S矩形MNPQ=18（cm2）。答案:18cm2或cm2我創(chuàng)新我超越圖1。1-7621.如圖1.1-76，△ABC中∠C為直角,△DEF中∠F為直角，DE⊥AC，交AC于G,交AB于H，DF⊥AB,交AB于I，求證：△ABC∽△DEF.證明:∵HI⊥DF,EF⊥DF，∴HI∥EF,∠DIH=∠DFE=90°.∴∠DHI=∠DEF.∴△DHI∽△DEF?！摺螪IH=∠AGH=90°，∠DHI=∠AHG,∴△DHI∽△AHG?！摺螦=∠A?！螦GH=∠ACB=90°,∴△AGH∽△ACB?！唷鰽BC∽△DEF。圖1。1-7722.如圖1.1—77,已知∠ACB=∠ADE,∠ABC=∠AED。求證:∠ABE=∠ACD.分析:∠ABE和∠ACD分別位于△ABE和△ACD中，顯然不可以利用全等來證明這兩個角相等,但這兩個角所在的兩個三角形能相似嗎？從已知條件中給的四個角分別在△ABC和△AED中，由它們相等不難證明△ABC∽△AED。這一對三角形的相似，溝通了我們想要證明的兩個三角形的關(guān)系，溝通了兩個角的關(guān)系。這里使用了“兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似”的判定方法.證明:∵∠ABC=∠AED,∠ACB=∠ADE?！唷鰽BC∽△AED?！?，∠BAC=∠EAD.∴?！唷螧AC—∠EAC=∠EAD—∠EAC.即∠BAE=∠CAD?！唷鰽BE∽△ACD。(兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似）∴∠ABE=∠ACD。圖1.1—7823.如圖1.1-78，已知△ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線,CF∥BA，BF交AD于P點,交AC于E點.求證:BP2=PE·PF。解析:因為BP、PE、PF三條線段共線，找不到兩個三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因為AB=AC，D是BC中點，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC,由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB=PC，只需證明△PEC∽△PCF，問題就能解決了。證明：連結(jié)PC,在△ABC中，∵AB=AC,D為BC中點，∴AD垂直平分BC.∴PB=PC.∴∠1=∠2.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2.∴∠3=∠4。∵