2025屆昆明市一中高三數(shù)學上學期第二次考試卷附答案解析_第1頁
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屆昆明市一中高三數(shù)學上學期第二次考試卷

全卷滿分150分,考試用時120分鐘,注意事項:1,答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置,2,選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效,3,非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內,寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效,4,考試結束后,請將本試卷和答題卡一并上交,一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,1.設復數(shù)滿足,則在復平面內所對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知命題p:.若p是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.3.已知向量是單位向量,且,則(

)A.3 B.5 C. D.4.從某小型加工廠生產的產品中抽取100件作為樣本,將該樣本進行某項質量指標值測量,下圖是測量結果x的頻率分布直方圖.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表,則在下列選項中,關于該樣本統(tǒng)計量的敘述不正確的選項是(

A.指標值在區(qū)間的產品約有33件 B.指標值的極差介于50與70之間C.指標值的第60百分位數(shù)大于205 D.指標值的方差的估計值是1505.若直線是雙曲線的一條漸近線,則該雙曲線的離心率為(

)A. B. C. D.6.已知函數(shù)的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.7.如圖,平行六面體的所有棱長為2,四邊形ABCD是正方形,,點是與的交點,則直線與所成角的余弦值為(

A.1 B. C. D.8.已知正實數(shù)a,b,滿足,則的最小值為(

)A.1 B. C. D.二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分,9.在等差數(shù)列中,首項,公差,前項和為,則下列命題中正確的有(

)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則是中的最小項10.已知點M是拋物線上的動點,當M運動到達點時,到焦點F的距離等于5,過動點M作拋物線C的準線的垂線,垂足為N,過定點作與C有且僅有一個公共點的直線l,直線PF與C交于點A,B,則(

)A.拋物線C的方程為 B.直線l的方程為或C. D.滿足的點M有且僅有2個11.已知函數(shù)y=fx的導函數(shù)為y=gx,且,則(

A.點是曲線y=gx的對稱中心 B.函數(shù)有三個零點C.函數(shù)只有一個極值點 D.當時,三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分,12.若數(shù)列an滿足,則.13.若,則.14.如圖是某城區(qū)的街道平面網格,它由24個全等的小正方形構成,每個小正方形的邊界都是能通行的街道道路,而小正方形的內部都有樓房建筑(不能跨越通行).小張家居住在街道網格的M處,她的工作單位在街道網格的N處,每天早上她從家出發(fā),沿著街道道路去單位上班,若她要選擇最短路徑前往,則小張上班一共有種走法;若小張某天早上從家出發(fā)前往單位上班,途中要先到達街道P處吃早餐,吃完早餐再前往單位,則她一共有種最短路徑的走法.四、解答題:本題共5小題,其中第15題13分,第16、17題15分,第18、19題17分,共77分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟,15.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.(1)求常數(shù)a的值;(2)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間.16.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,,M,N分別是PC,AD的中點,平面ABCD,且.(1)求證:平面BMN;(2)求二面角C﹣BM﹣N的正弦值.17.已知點P在橢圓上,過點P作直線l與橢圓C交于點Q,過點P作關于坐標原點O的對稱點,的最小值為,當直線l的斜率為0時,存在第一象限內的一點P使得.(1)求橢圓C的方程;(2)設直線l的斜率為k(k≠0),直線的斜率為,求的值.18.已知函數(shù).(1)求曲線y=fx在點處的切線方程;(2)求零點的個數(shù).19.學校舉行數(shù)學知識競賽,分為個人賽和團體賽.個人賽規(guī)則:每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機會.電腦同時給出2道判斷題(判斷對錯)和4道連線題(由電腦隨機打亂給出的四個數(shù)學定理和與其相關的數(shù)學家,要求參賽者將它們連線配對,配對正確一對數(shù)學定理和與其相關的數(shù)學家記為答對一道連線題),要求參賽者全都作答,若有4道或4道以上答對,則該選手挑戰(zhàn)成功.團體賽規(guī)則:以班級為單位,每班參賽人數(shù)不少于20人,且參賽人數(shù)為偶數(shù),參賽方式有如下兩種可自主選擇其中之一參賽:方式一:將班級選派的個人平均分成組,每組2人,電腦隨機分配給同組兩個人一道相同試題,兩人同時獨立答題,若這兩人中至少有一人回答正確,則該小組闖關成功.若這個小組都闖關成功,則該班級挑戰(zhàn)成功.方式二:將班級選派的個人平均分成2組,每組人,電腦隨機分配給同組個人一道相同試題,各人同時獨立答題,若這個人都回答正確,則該小組闖關成功.若這兩個小組至少有一個小組闖關成功則該班級挑戰(zhàn)成功.(1)在個人賽中若一名參賽選手全部隨機作答,求這名選手恰好答對一道判斷題并且配對正確兩道連線題的概率.(2)甲同學參加個人賽,他能夠答對判斷題并且配對正確與,其余題目只能隨機作答,求甲同學挑戰(zhàn)成功的概率.(3)在團體賽中,假設某班每位參賽同學對給出的試題回答正確的概率均為常數(shù),為使本班團隊挑戰(zhàn)成功的可能性更大,應選擇哪種參賽方式?說明理由.1.B【分析】先計算出復數(shù)z,再判斷在復平面內所對應的點所在象限.【詳解】.則在復平面內所對應的點位于第二象限.故選:B2.D【分析】根據(jù)是真命題列不等式,分離參數(shù),利用基本不等式求得的取值范圍.【詳解】若是假命題,則是真命題,即恒成立,則,,由于,當且僅當時等號成立,所以.故選:D.3.D【分析】對兩邊同時平方可得,結合數(shù)量積的運算律計算即可求解.【詳解】由,得,所以,所以.故選:D4.C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求各組的頻率.對于A:根據(jù)頻率即可求頻數(shù);對于B:根據(jù)極差的定義分析判斷;對于C:根據(jù)百分位數(shù)的定義分析判斷;對于D:以每組區(qū)間的中點值為參考,結合平均數(shù)、方差的計算公式運算即可.【詳解】由直方圖可得出,從第一組至第七組的頻率依次是,對于選項A:指標值在區(qū)間的產品約有件,A選項正確;對于選項B:指標值的最大極差為,最小極差為,B選項正確;對于選項C:因為,,所以指標值的第百分位數(shù)在內,小于,C選項不正確;對于選項D:抽取的產品的質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差的估計值分別為:,,D選項正確;綜合以上分析,該樣本統(tǒng)計量的敘述不正確的選項是C.故選:C.5.D【分析】先判斷焦點所在位置,根據(jù)漸近線可得,進而可求離心率.【詳解】因為雙曲線的焦點在y軸上,且直線即為,由雙曲線的漸近線方程是得,即,所以離心率.故選:D.6.C【分析】分段函數(shù)分段考慮,借助于求導判斷函數(shù)在上的單調性求得值域;利用正切函數(shù)的單調性求出函數(shù)在上的值域,由題意即得.【詳解】當時,,由可知在區(qū)間單調遞增,故;當時,在內單調遞增,所以,因為函數(shù)的值域為R,故須使,即實數(shù)a的取值范圍是.故選:C.7.B【分析】首先利用基底表示向量,再將異面直線所成的角,轉化為向量夾角的余弦公式,即可求解.【詳解】取的中點,連接,,因為,所以直線與所成角即為與所成的角,所以,

所以,即,又因為,所以,所以直線與所成角的余弦值為.故選:B.8.B【分析】先構造函數(shù)fx【詳解】由得,因為函數(shù)滿足,所以在R上單調遞增,由,則,即;因為,,所以,當且僅當時,取的最小值為,故選:B.9.AC【分析】利用等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質逐個分析判斷即可【詳解】對于A,因為,所以,得,所以A正確,對于B,因為,所以,得,因為,所以,所以有可能大于零,也有可能小于零,所以與無法比較大小,所以B錯誤,對于C,因為,所以,所以,所以,所以,所以C正確,對于D,因為,可得,因為,所以,,所以是中的最大項,所以D錯誤,故選:AC10.ACD【分析】根據(jù)拋物線定義求出,可判斷A;注意到斜率不存在時也滿足題意可判斷B;利用焦點弦公式可判斷C;由定義知,利用的垂直平分線與拋物線交點個數(shù)可判斷D.【詳解】根據(jù)拋物線的定義,,即,所以拋物線的方程為,選項A正確;當直線的斜率不存在時,的方程為,聯(lián)立得直線與有且僅有一個公共點,滿足題意;當直線的斜率存在時,設的方程為,聯(lián)立得,由得或,此時直線的方程為或,所以滿足過定點且與有且僅有一個公共點的直線共有條,直線的方程為或或,選項B錯誤;拋物線的焦點,直線的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立消去化簡得:,設Ax1,y1,B所以,選項C正確;由拋物線的定義知,所以滿足的點就是滿足的點,由和可得出線段的中垂線方程是,聯(lián)立消去化簡得方程:,由于,此方程有個不等根,即線段的中垂線與拋物線有個公共點,所以滿足的點有且僅有個,選項D正確.故選:ACD.11.ACD【分析】選項A根據(jù)是奇函數(shù),圖象關于點對稱可判斷;選項B根據(jù)導數(shù)求得單調性和極值可判斷;選項C根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調性進而可得;選項D先構造函數(shù)利用單調性判斷,進而利用的單調性可得.【詳解】選項A:因為是奇函數(shù),圖象關于點對稱,所以的圖象關于點對稱,A正確;選項B:因為,由解得或,解得,所以在區(qū)間單調遞增,?1,1單調遞減,單調遞增,且,,,所以有兩個零點,B錯誤;選項C:因為,所以在區(qū)間單調遞減,單調遞增,即只有一個極值點,C正確;設,,由?′x>0解得,?′所以?x在區(qū)間單調遞減,0,+∞,所以,因為在區(qū)間單調遞增,所以由,得,D正確,故選:ACD.12.2【分析】將數(shù)列通項分母有理化,運用裂項相消法求和即得.【詳解】因為,所以.故答案為:.13.【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關系求解.【詳解】由得,即,所以,解得或,因為,所以.故答案為:.14.【分析】小張從處出發(fā)選擇最短路徑前往處,需要向右走條街道和向上走條街道,共走條街道.因此只需從條街道里面選擇條街道向右走和條街道向上走即可;同理先求出從處出發(fā)選擇最短路徑前往處的種數(shù),再求從處出發(fā)選擇最短路徑前往處的種數(shù),根據(jù)分布乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】小張從處出發(fā)選擇最短路徑前往處,需要向右走條街道和向上走條街道,共走條街道.所以從處出發(fā)選擇最短路徑到達處一共有種走法;同理,從處到達處有種走法,從處到達處有種走法,所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,小張每天早上上班途經街道處的最短路徑走法有種.故答案為:210,9015.(1)1(2)【分析】(1)化簡的解析式,根據(jù)區(qū)間上的最大值求得.(2)利用整體代入法求得的單調遞增區(qū)間.【詳解】(1),因為,所以,所以最大值為,由得.(2)由得,即,所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.16.(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接,設交于點,連接,由已知,可得,得是的中點,可得,即可證得平面;(2)以為坐標原點,,,所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,利用坐標運算求得平面和平面的一個法向量,由公式即可求得二面角C﹣BM﹣N的正弦值.【詳解】(1)連接,設交于點,連接,由,得,又,所以,所以是的中點,又是的中點,所以,因為平面,平面,所以平面;(2)因為平面ABCD,,因為平面ABCD,則,由(1)知,,以為坐標原點,,,所在直線為軸,軸,軸,如圖建立空間直角坐標系,由題知,A2,0,0,,,,,所以,,,,設平面的一個法向量為n1=則,所以,取,設平面的一個法向量為,所以,

所以,可取n2=設二面角的平面角為,又,所以,所以二面角的正弦值為.17.(1)(2)【分析】(1)由題意可得,點坐標為,進而計算可求橢圓的方程;(2)設點Px0,y0,,【詳解】(1)因為的最小值為,所以,所以,當直線的斜率為零時,點與點關于軸對稱,又點與點關于點對稱,由橢圓的對稱性可知,此時點與點關于軸對稱,則,由幾何關系可解得點坐標為,代入橢圓的方程:得:,解得,故橢圓的方程為;(2)設點Px0,y0因為點和均在上,故,由得:,即,又,即.18.(1)(2)2【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得解;(2)利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性,再構造函數(shù)利用導數(shù)判斷的符號,根據(jù)零點存在性定理得解.【詳解】(1)因為,,所以,,,所以切線方程為,即.(2),當,,,所以,即在單調遞減,令,,當時,,在單調遞減,即在單調遞減;又因為,當時,即在單調遞增,因此在單調遞增,在單調遞減.當時,,;,因為在單調遞增,所以根據(jù)零點存在定理,在有唯一零點;令,,當時,,單調遞增,且,當時,,單調遞減;所以,即,所以,所以,又因為在單調遞減,根據(jù)零點存在定理在有唯一零點.綜上,在有2個零點.【點睛】關鍵點點睛:利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性后,需要根據(jù)零點存在性定理確定零點個數(shù),本題關鍵需要分析時,的極限,以及的符號,其中的符號需要構造函數(shù),利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及最值確定,技巧性較強.19.(1)(2)(3)選擇方式一參賽,

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