第六章 數(shù)列（測試）（含答案解析）

第六章數(shù)列（測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等比數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若等比數(shù)列的公比為，因為，則，矛盾，故設(shè)等比數(shù)列公比為，則，即等比數(shù)列的前項和要滿足，又因為，所以.故選：B2．已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的一個極大值點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)，即時，函數(shù)取得極大值，則，由等差數(shù)列性質(zhì)，得，所以.故選：D3．正整數(shù)的倒數(shù)的和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，當(dāng)很大時，.其中稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，，至今為止都不確定是有理數(shù)還是無理數(shù).設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，用上式計算的值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】設(shè)，則，因為，可知數(shù)列為遞增數(shù)列，且，，可知，所以.故選：C.4．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由得，即，因為等比數(shù)列各項均為正數(shù)，所以，故選：D.5．已知實數(shù)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，若，，則d的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由實數(shù)a，b，c構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，所以設(shè)，，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時，，所以此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以此時單調(diào)遞增，所以的最小值為，當(dāng)b趨近于時，趨近于，當(dāng)b從負(fù)方向趨近于時，也趨近于，所以，所以．故選：A．6．已知，則數(shù)列的偶數(shù)項中最大項為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列中，，則，令，解得，則當(dāng)時，，即，同理當(dāng)時，，即，而當(dāng)時，，所以數(shù)列的偶數(shù)項中最大項為.故選：D7．如圖所示的一系列正方形圖案稱為“謝爾賓斯基地毯”，在4個大正方形中，著色的小正方形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項.記，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不能確定【答案】C【解析】由圖分析可知，，，，依次類推，，所以.故選：.8．給定函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列.已知為的牛頓數(shù)列，，且，數(shù)列的前項和為．則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由可得，，，則兩邊取對數(shù)可得.即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，，，是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．當(dāng)p，q均為正整數(shù)且時，【答案】BCD【解析】對于A，令，則，，當(dāng)時，，即，所以，，不是等差數(shù)列，故A錯誤；對于B，設(shè)的公差為d，則（定值），所以是公比為的等比數(shù)列，故B正確；對于C，，故是公差為的等差數(shù)列，故C正確；對于D，，，所以，故D正確．故選：BCD．10．記數(shù)列的前項和為為常數(shù).下列選項正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．存在常數(shù)A、B，使數(shù)列是等比數(shù)列 D．對任意常數(shù)A、B，數(shù)列都是等差數(shù)列【答案】ABC【解析】對于A，若，則，A正確；對于B，若，則，B正確；對于C，由得，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列，C正確；對于D，由上知，當(dāng)時，若，則，此時，數(shù)列不是等差數(shù)列，D錯誤.故選：ABC11．設(shè)等比數(shù)列前項積為，公比為．若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時，取最大值 D．使成立的最大自然數(shù)是4046【答案】ACD【解析】A選項，，，故或，當(dāng)時，由可知，所以，但，互相矛盾，舍去，當(dāng)時，又，所以，故滿足要求，A正確；B選項，，B錯誤；C選項，因為，，故當(dāng)時，取最大值，C正確；D選項，由于，故當(dāng)時，，，，使成立的最大自然數(shù)是4046，D正確.故選：ACD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知在遞增的等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為，所以，解得，又，所以有，由是遞增的等比數(shù)列，解得，所以，即有.故答案為：.13．設(shè)數(shù)列的通項公式為，該數(shù)列中個位數(shù)字為0的項按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，則被7除所得的余數(shù)是.【答案】【解析】因為，所以當(dāng)?shù)膫€位數(shù)字為時，的個位數(shù)為，則在數(shù)列中，每連續(xù)10項中就有6項的個位數(shù)字為0，而，由此推斷數(shù)列中的第2017項相當(dāng)于數(shù)列中的第3361項，即，而，所以除以7余數(shù)為1，而，，所以除以7余數(shù)也為1，而它們的差一定能被7整除，所以被7除所得余數(shù)為0.故答案為：0.14．已知數(shù)表，，，其中分別表示，，中第行第列的數(shù)．若，則稱是，的生成數(shù)表．若數(shù)表，，且是的生成數(shù)表，則．【答案】【解析】由題意，得，，，，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項和．【解析】（1）因為為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由，得，即，由，，成等比數(shù)列得，，（3分）化簡得，因為，所以．所以．綜上．（6分）（2）由知，，又為公比是3的等比數(shù)列，，所以，即，所以，，（10分）所以.綜上.（13分）16．（15分）已知數(shù)列的首項，且滿足（）．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項和，并證明．【解析】（1）由得，又，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．（6分）（2）由（1）知，，所以所以，（10分）當(dāng)時，單調(diào)遞增，故．（15分）17．（15分）已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.試求:(1)數(shù)列的通項公式;(2)記，數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，求滿足條件的最小整數(shù).【解析】（1）因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，（3分）因為，兩式相減得，，因為，所以，（6分）所以，均為等差數(shù)列，，．所以；（7分）（2）由題意得，，所以，（10分）因為，所以，解得．所以滿足條件的最小整數(shù)為9．（15分）18．（17分）已知是等差數(shù)列，公差，，且是與的等比中項.(1)求的通項公式(2)數(shù)列滿足，且.（ⅰ）求的前n項和.（ⅱ）是否存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等差數(shù)列，若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為為等差數(shù)列，且，所以．又是與的等比中項，所以，即．化簡得，解得或（舍），所以．（5分）（2）（i）由，得，所以（），又，當(dāng)時，，又也適合上式，所以，則，所以．（9分）（ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，顯然是25的正約數(shù)，又，則或，當(dāng)，即時，與矛盾；當(dāng)，即時，，符合題意，所以存在正整數(shù)使得，，成等差數(shù)列，此時，．（17分）19．（17分）如果n項有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對稱數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中成等差數(shù)列，且，依次寫出數(shù)列的每一項；(2)設(shè)數(shù)列是項數(shù)為(且)的“對稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前項和.①若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當(dāng)為何值時，取得最大值?②若，且，求的最小值.【解析】（1）因為數(shù)列是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，所以，又因為成等差數(shù)列，其公差，…所以數(shù)列的7項依次為1，3，5，7，5，3，1；