函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類(lèi)

第五章留數(shù)及其應(yīng)用§5-1

函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類(lèi)§5-2留數(shù)和留數(shù)定理§5-3

留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用

從上一章知，利用將函數(shù)f(z)在其解析的環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)展開(kāi)成Laurent級(jí)數(shù)的方法，根據(jù)該級(jí)數(shù)的系數(shù)的積分表達(dá)式可以計(jì)算右端的積分。這類(lèi)積分非常廣泛，其中C是該環(huán)域內(nèi)圍繞點(diǎn)z0的正向簡(jiǎn)單閉曲線。C的內(nèi)部可能有f(z)的有限個(gè)或無(wú)窮多個(gè)奇點(diǎn)。

有時(shí)將函數(shù)展開(kāi)成Laurent級(jí)數(shù)，求系數(shù)C-1很麻煩。這就需要介紹一種求C-1的新方法：用留數(shù)計(jì)算積分的方法?！?-1函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類(lèi)一、函數(shù)孤立奇點(diǎn)的概念及其分類(lèi)二、函數(shù)各類(lèi)孤立奇點(diǎn)的充要條件三、用函數(shù)的零點(diǎn)判斷極點(diǎn)的類(lèi)型定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱(chēng)為的孤立奇點(diǎn).例1是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).注意:

孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn),但奇點(diǎn)不一定是孤立奇點(diǎn).一、函數(shù)孤立奇點(diǎn)的概念及其分類(lèi)例2

指出函數(shù)在點(diǎn)的奇點(diǎn)特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),的奇點(diǎn)存在,函數(shù)的奇點(diǎn)為總有不是孤立奇點(diǎn).所以討論函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的情況的孤立奇點(diǎn)，設(shè)為則在去心鄰域

可以展開(kāi)成Laurent級(jí)數(shù):

根據(jù)cn的不同情況，對(duì)孤立奇點(diǎn)分類(lèi)：其中，c為該去心鄰域內(nèi)圍繞點(diǎn)z0的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線。

若級(jí)數(shù)中含(z-z0)的負(fù)冪項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)分別為零個(gè)，有限個(gè)，無(wú)窮多個(gè)，則分別稱(chēng)z0為f(z)的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)。1可去奇點(diǎn)如果Laurent級(jí)數(shù)中不含

的負(fù)冪項(xiàng),則稱(chēng)孤立奇點(diǎn)

為

的可去奇點(diǎn).定義其和函數(shù)在處解析.二、函數(shù)各類(lèi)孤立奇點(diǎn)的充要條件如果補(bǔ)充定義:時(shí),那末在解析.觀察

中不含負(fù)冪項(xiàng),是的可去奇點(diǎn).(由于這個(gè)原因，因此把這樣的奇點(diǎn)叫做f(z)的可去奇點(diǎn)。)且有：由定義判斷:的Laurent級(jí)數(shù)無(wú)負(fù)在如果冪項(xiàng),由極限判斷：若極限存在且為有限值,則為的可去奇點(diǎn).則為的可去奇點(diǎn)的充要條件為：為

的可去奇點(diǎn).則例3說(shuō)明為的奇點(diǎn)類(lèi)型.解

所以為的可去奇點(diǎn).無(wú)負(fù)冪項(xiàng)另解

的可去奇點(diǎn).為2極點(diǎn)其中關(guān)于的最高冪為即級(jí)極點(diǎn).那么孤立奇點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的定義

如果Laurent級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng),則由極點(diǎn)的定義注意到:的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是為函數(shù)例5有理分式函數(shù)是二級(jí)極點(diǎn),是一級(jí)極點(diǎn).由此得：其中在的鄰域內(nèi)解析,且的Laurent展開(kāi)式中含有的負(fù)冪項(xiàng)為有限項(xiàng).在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且由定義判別：由定義的等價(jià)形式判別：由極限判別：判斷

.3.函數(shù)的零點(diǎn)例6⑴

m

級(jí)零點(diǎn)的判別方法零點(diǎn)的充要條件是如果在解析,那末為的級(jí)

由于知是的一級(jí)零點(diǎn).解

例7求以下函數(shù)的零點(diǎn)的級(jí)數(shù):展開(kāi)式的前m項(xiàng)系數(shù)都為零,由Taylor級(jí)數(shù)的系數(shù)公式知:并且充分性證明略.證

(必要性)由定義:設(shè)的Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)為:如果為的級(jí)零點(diǎn)其中定理如果是的m級(jí)極點(diǎn),的

m級(jí)零點(diǎn).就是那末反過(guò)來(lái)也成立.

⑵用函數(shù)的零點(diǎn)判斷極點(diǎn)的類(lèi)型：說(shuō)明簡(jiǎn)便的方法.此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為例4函數(shù)有些什么奇點(diǎn),如果是極點(diǎn),指出它的級(jí).解

函數(shù)的奇點(diǎn)是使的點(diǎn),

這些奇點(diǎn)是孤立奇點(diǎn).的一級(jí)極點(diǎn).即解

解析且所以不是二級(jí)極點(diǎn),而是一級(jí)極點(diǎn).是的幾級(jí)極點(diǎn)?思考例5問(wèn)是的二級(jí)極點(diǎn)嗎?注意:不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論.214本性奇點(diǎn)則孤立奇點(diǎn)稱(chēng)為的本性奇點(diǎn).若Laurent級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng),例如，含有無(wú)窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng)特點(diǎn):

在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在