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第第②焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線的關(guān)系,雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似,不在贅述.2、拋物線與直線相交于兩點(diǎn),設(shè),聯(lián)立可得,時(shí),特殊地,當(dāng)直線過焦點(diǎn)的時(shí)候,即,,因?yàn)闉橥◤降臅r(shí)候也滿足該式,根據(jù)此時(shí)A、B坐標(biāo)來記憶.拋物線與直線相交于兩點(diǎn),設(shè),聯(lián)立可得,時(shí),注意:在直線與拋物線的問題中,設(shè)直線的時(shí)候選擇形式多思考分析,往往可以降低計(jì)算量.開口向上選擇正設(shè);開口向右,選擇反設(shè);注意不可完全生搬硬套,具體情況具體分析.總結(jié):韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù),所以我們?cè)谔幚砝缦蛄繂栴},面積問題,三點(diǎn)共線問題,角度問題等常考內(nèi)容的時(shí)候,要把題目中的核心信息,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá),轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式,這也是目前考試最??嫉姆绞剑?、根的判別式和韋達(dá)定理與聯(lián)立,兩邊同時(shí)乘上即可得到,為了方便敘述,將上式簡(jiǎn)記為.該式可以看成一個(gè)關(guān)于的一元二次方程,判別式為可簡(jiǎn)單記.同理和聯(lián)立,為了方便敘述,將上式簡(jiǎn)記為,,可簡(jiǎn)記.與C相離;與C相切;與C相交.注意:(1)由韋達(dá)定理寫出,,注意隱含條件.(2)求解時(shí)要注意題干所有的隱含條件,要符合所有的題意.(3)如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,只需要把,互換位置即可.(4)直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似,焦點(diǎn)在x軸的雙曲線,只要把換成即可;焦點(diǎn)在y軸的雙曲線,把換成即可,換成即可.(5)注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元,利用判斷根的關(guān)系,因?yàn)榇饲闆r下往往會(huì)有增根,根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根(一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制),所以在遇到兩條二次曲線交點(diǎn)問題的時(shí)候,使用畫圖的方式分析,或者解方程組,真正算出具體坐標(biāo).三、弦長(zhǎng)公式設(shè),根據(jù)兩點(diǎn)距離公式.1、若在直線上,代入化簡(jiǎn),得;2、若所在直線方程為,代入化簡(jiǎn),得3、構(gòu)造直角三角形求解弦長(zhǎng),.其中為直線斜率,為直線傾斜角.注意:(1)上述表達(dá)式中,當(dāng)為,時(shí),;(2)直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算,不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用.(3)直線和曲線聯(lián)立后化簡(jiǎn)得到的式子記為,判別式為,時(shí),,利用求根公式推導(dǎo)也很方便,使用此方法在解題化簡(jiǎn)的時(shí)候可以大大提高效率.(4)直線和圓相交的時(shí)候,過圓心做直線的垂線,利用直角三角形的關(guān)系求解弦長(zhǎng)會(huì)更加簡(jiǎn)單.(5)直線如果過焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長(zhǎng)公式.四、已知弦的中點(diǎn),研究的斜率和方程1、是橢圓的一條弦,中點(diǎn),則的斜率為,運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率;設(shè),,,都在橢圓上,所以,兩式相減得所以即,故2、運(yùn)用類似的方法可以推出;若是雙曲線的弦,中點(diǎn),則;若曲線是拋物線,則.一、解答題1.(2024·山東濟(jì)寧·三模)已知橢圓的左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,離心率,直線FB過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于M,N兩點(diǎn)(M、N都不在坐標(biāo)軸上),若,求直線的方程.【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)給定條件,求出即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)根據(jù)給定條件,借助傾斜角的關(guān)系可得,設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式求解即得.【詳解】(1)令,由,得,則直線的斜率,由直線過點(diǎn),得直線的方程為,因此,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),直線的傾斜角為,直線的傾斜角為,由直線的斜率知直線的傾斜角為,于是,即有,顯然均不等于,則,即直線的斜率滿足,由題設(shè)知,直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為,由,消去x并整理得,,顯然,設(shè),則,由,得,即,則,整理得,即,于是,而,解得,,所以直線的方程為,即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第2問,由,結(jié)合直線傾斜角及斜率的意義求得是解題之關(guān)鍵.2.(2024·浙江紹興·三模)已知雙曲線:與直線:交于、兩點(diǎn)(在左側(cè)),過點(diǎn)的兩條關(guān)于對(duì)稱的直線、分別交雙曲線于、兩點(diǎn)(在右支,在左支).(1)設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,求的值;(2)若直線與雙曲線在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn),求的面積.【答案】(1)1(2).【分析】(1)設(shè)直線、的傾斜角分別為、(、),則,再利用斜率與傾斜角的關(guān)系,結(jié)合誘導(dǎo)公式求解;
(2)先求出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得到雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為,不妨設(shè)直線為,與雙曲線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理和三角形面積公式求解.【詳解】(1)由題意知直線斜率為1,直線的傾斜角,設(shè)直線、的傾斜角分別為、(、),直線、關(guān)于直線對(duì)稱,,.(2)聯(lián)立,雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為.不妨設(shè)直線為,,,聯(lián)立得,整理得,將等式看作關(guān)于的方程:兩根之和,兩根之積,而其中,由(1)得,直線為,過定點(diǎn),又雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為,過點(diǎn),,.3.(2024·天津北辰·三模)已知橢圓:的離心率為,左?右焦點(diǎn)分別為,,上?下頂點(diǎn)分別為,,且四邊形的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線:與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),且P,Q關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為M,N,若是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù),則當(dāng)四邊形面積最大時(shí),求直線的方程.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】(1)由橢圓的性質(zhì)及已知條件可得a,b,c的關(guān)系,從而可求出a,b,c的值,從而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l方程與橢圓方程聯(lián)立,可得根與系數(shù)的關(guān)系,從而可表示出|OP|2+|OQ|2,由|OP|2+|OQ|2是一個(gè)與m無關(guān)的常數(shù),可求出k的值,表示出四邊形PQMN面積,求出當(dāng)四邊形PQMN面積最大時(shí)m的值,即可求解直線l的方程.【詳解】(1),,所以,因?yàn)閍2=b2+c2,所以a=2,,c=1,所以橢圓方程為.(2)如圖,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),,聯(lián)立,消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,Δ=(8km)2﹣4(4m2﹣12)(3+4k2)>0,即m2<3+4k2,所以,.,,因?yàn)閨OP|2+|OQ|2是一個(gè)與m無關(guān)的常數(shù),所以32k2﹣24=0,,,,,點(diǎn)O到直線l的距離,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即m2=3,因?yàn)閙>0,所以時(shí),取得最大值為,因?yàn)镾四邊形MNPQ=4S△POQ,所以S△POQ最大時(shí),S四邊形MNPQ最大,所以或.4.(2024·新疆喀什·三模)已知雙曲線:的左、右焦點(diǎn)分別為,,是直線:(其中是實(shí)半軸長(zhǎng),是半焦距)上不同于原點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),斜率為的直線與雙曲線交于,兩點(diǎn),斜率為的直線與雙曲線交于,兩點(diǎn).(1)求的值;(2)若直線,,,的斜率分別為,,,,問是否存在點(diǎn),滿足,若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.【答案】(1)-3(2)存在,,或【分析】(1)設(shè),利用斜率公式求解;(2)設(shè),直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理得到,,結(jié)合求解.【詳解】(1)由題可得雙曲線E:,則,∴左、右焦點(diǎn)分別為,,直線l的方程為:設(shè),,同理可得.∴;(2)設(shè),如圖,直線方程為,代入雙曲線方程可得:,所以,則,則,,,.同理,即,即,∴或,又,若.無解,舍去.∴,解得,,或,,若,,由A在直線上可得,,∴.此時(shí),若,,由A在直線上可得,,∴此時(shí)∴存在點(diǎn),或,滿足.5.(2024·江西九江·三模)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線的焦點(diǎn)為是上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),.(1)求的方程;(2)已知點(diǎn)是上不同兩點(diǎn).若四邊形是平行四邊形,證明:直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)過點(diǎn)A作軸的垂線,準(zhǔn)線的垂線,結(jié)合拋物線的定義可得,即可得和方程;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得,代入拋物線方程可得,即可得結(jié)果.【詳解】(1)由題意可知:拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線,過點(diǎn)A作軸的垂線,垂足為,作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,由拋物線定義可得,因?yàn)橹本€的傾斜角為,則,可得,解得,所以的方程為.(2)設(shè)直線方程為,,聯(lián)立方程組,消去整理得,則,因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?,則,即,代入中得,整理得,則直線:,所以直線過定點(diǎn).6.(2024·上?!と#┮阎獧E圓:,、分別為左、右焦點(diǎn),直線過交橢圓于、兩點(diǎn).(1)求橢圓的離心率;(2)當(dāng),且點(diǎn)在軸上方時(shí),求、兩點(diǎn)的坐標(biāo);(3)若直線交軸于,直線交軸于,是否存在直線,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2);(3)存在直線或滿足題意【分析】(1)根據(jù)橢圓方程直接求,即可得離心率;(2)由垂直的向量表示化簡(jiǎn),結(jié)合點(diǎn)在橢圓上即可求出點(diǎn)坐標(biāo),再聯(lián)立直線與橢圓可得B點(diǎn)坐標(biāo);(3)由直線方程得出,分別求出三角形面積,根據(jù)面積相等建立方程求出即可得解.【詳解】(1)由橢圓方程知,,,所以,所以離心率.(2),,設(shè),且.所以,,,,又在橢圓上,滿足,即,,解得,即.所以直線:,聯(lián)立,解得或,所以;(3)設(shè),,,,直線:,聯(lián)立,得.則,.直線的方程:,令得縱坐標(biāo);直線的方程:,令得的縱坐標(biāo).則,若,即,,,,代入根與系數(shù)的關(guān)系,得,解得.存在直線或滿足題意.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:圓錐曲線中求解三角形面積的常用方法:(1)利用弦長(zhǎng)以及點(diǎn)到直線的距離公式,表示出三角形的面積;(2)根據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn),利用公共底或者公共高的情況,將三角形的面積表示為或的形式求解.7.(2024·湖南長(zhǎng)沙·二模)已知橢圓中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,其四個(gè)頂點(diǎn)的連線圍成的四邊形面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過橢圓的左焦點(diǎn)作斜率存在的兩直線、分別交橢圓于、、、,且,線段、的中點(diǎn)分別為、.求四邊形面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由題可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為,由橢圓的性質(zhì)可得四邊形面積為,由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知,聯(lián)立方程即可求出、(2)由點(diǎn)斜式設(shè)出直線、的方程,聯(lián)立直線與橢圓的方程,寫出判別式和韋達(dá)定理,由弦長(zhǎng)公式得到,同理可得,四邊形面積為,而、,利用和進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即可求出面積的最小值.【詳解】(1)根據(jù)題意可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的連線圍成的四邊形是菱形,兩條對(duì)角線互相垂直,而兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為,,由已知得,即,因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)為,所以,可得,聯(lián)立,解得,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)作出橢圓的圖象,如下圖所示:根據(jù)題意可知直線、的斜率存在,且,所以兩直線、的斜率存在且不為0,因此設(shè)直線AB、CD的斜率分別為、,又,設(shè)直線方程為,直線方程為,設(shè)、、、的坐標(biāo)分別為、、、,設(shè)四邊形面積為.聯(lián)立,得,,因?yàn)?、是該方程兩根,由韋達(dá)定理可得,由弦長(zhǎng)公式可得,則,同理可得,.因?yàn)?、分別是線段、的中點(diǎn),且,所以,,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.故四邊形面積的最小值為.8.(2024·北京西城·三模)已知橢圓的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,下頂點(diǎn)為C,若橢圓的,三角形ABC的面積為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知點(diǎn)D(0,2),直線AD交橢圓于點(diǎn)E,過點(diǎn)D的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn),若直線CM與x軸交于P點(diǎn),過E且平行于x軸的直線與BN交于Q點(diǎn),求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)橢圓的基本量即可求解;(2)求出點(diǎn)的坐標(biāo),分直線斜率是否存在兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)出直線的方程,與橢圓聯(lián)立,求解,根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)列出關(guān)于的不等式,寫出韋達(dá)定理,寫出直線的方程,求出點(diǎn)的橫坐標(biāo),寫出直線BN的方程,求解點(diǎn)的橫坐標(biāo),寫出即可得三點(diǎn)共線,進(jìn)而求解.【詳解】(1)依題意:,解得,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)直線DA:,,解得,.若直線MN:,則,若直線MN:,設(shè),,,整理得,,解得或,,,直線CM:,令,得.直線BN:,令,得,因?yàn)椋訢,P,Q三點(diǎn)共線,所以,綜上知:.9.(2024·湖南長(zhǎng)沙·三模)已知拋物線,過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn).當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),.(1)求的方程;(2)在線段上取異于點(diǎn)的點(diǎn),且滿足,試問是否存在一條定直線,使得點(diǎn)恒在這條定直線上?若存在,求出該直線;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)點(diǎn)恒在直線上.【分析】(1)先求直線的方程,再與拋物線聯(lián)立組成方程組,利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)距離公式,求弦的長(zhǎng)即可;(2)設(shè)直線方程,再與拋物線聯(lián)立組成方程組,利用韋達(dá)定理及相似三角形求解即可.【詳解】(1)設(shè).若直線的傾斜角為,則直線的方程為.聯(lián)立得,則,且,所以.因?yàn)?,所以,故的方程?(2)存在,定直線為.由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,.聯(lián)立得.由,得且,.不妨設(shè),則,過點(diǎn)向軸作垂線,垂足分別為點(diǎn),如圖所示,則,.因?yàn)椋?,整理得,所?代入直線的方程得.因?yàn)?,所以點(diǎn)恒在直線上.10.(2024·北京·三模)已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,左、右頂點(diǎn)分別為,過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)(不與重合),直線與直線交于點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)求證:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1);(2)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)給定條件,求出即可得解.(2)設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,再求出直線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo),并結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即得.【詳解】(1)依題意,,半焦距,則,所以橢圓的方程為.(2)顯然直線不垂直于y軸,設(shè)直線,由消去x并整理得,,設(shè),則,且有,直線,直線,聯(lián)立消去y得,即,整理得,即,于是,而,則,因此,所以點(diǎn)在定直線上.11.(2024·上海浦東新·三模)已知雙曲線,點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),、為雙曲線上的點(diǎn).(1)求右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離;(2)若,求直線的方程;(3)若,其中A、B兩點(diǎn)均在x軸上方,且分別位于雙曲線的左、右兩支,求四邊形的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)(3).【分析】(1)由題意,求出點(diǎn)的坐標(biāo)和漸近線方程,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求解;(2)易知直線不與x軸重合,設(shè)其方程為,聯(lián)立雙曲線方程,利用韋達(dá)定理表示,結(jié)合計(jì)算求得即可;(3)如圖,由(2),利用弦長(zhǎng)公式求出,利用平行線之間的距離公式求出平行線與之間的距離,進(jìn)而表示,結(jié)合換元法計(jì)算即可求解.【詳解】(1)由題,右焦點(diǎn),漸近線方程為,因此焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(2)顯然,直線不與x軸重合,設(shè)直線方程為,由,得,由,得,其中,恒成立,,,代入,消元得,,即,解得,所以,直線的方程為.(3)延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)P,延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)Q.則由對(duì)稱性得,四邊形為平行四邊形,且面積為四邊形面積的2倍.由題,設(shè),直線程為,直線方程,由第(2)問,易得,因?yàn)?,得,因而,平行線與之間的距離為,因此,.令,則,得在上是嚴(yán)格增函數(shù),故(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立),所以,四邊形面積的取值范圍為.12.(2024·天津南開·二模)已知橢圓C:()的離心率為,且C的左、右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為.(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)A與x軸垂直的直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí),求直線l的方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)由橢圓焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的坐標(biāo)與離心率的定義計(jì)算即可得答案;(2)設(shè)出直線l的方程,聯(lián)立曲線方程后可得與坐標(biāo)有關(guān)的韋達(dá)定理表達(dá)式,結(jié)合三角形面積公式表示出面積后借助基本不等式計(jì)算即可得答案.【詳解】(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c,依題意,,,又,解得,,,所以橢圓C的方程為;(2)由題意可得直線的斜率不為,故可設(shè)直線l的方程為,,,則,聯(lián)立直線l與橢圓C的方程,得,由于直線過橢圓內(nèi)一點(diǎn),故必有,則.又,,易知與同號(hào),所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以面積的最大值為,此時(shí)直線l的方程為.13.(2024·貴州六盤水·三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),且動(dòng)點(diǎn)滿足,記P的軌跡為C.(1)求C的方程;(2)設(shè)曲線C與x軸的交點(diǎn)為A1,A2(A1在A2的左邊),過點(diǎn)Q(1,0)且不與x軸平行的直線l與C相交于M,N兩點(diǎn),記直線A1M,A2N的斜率分別為k1和k2,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解;(2)聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及直線的斜率關(guān)系即可求解.【詳解】(1)解:設(shè),因?yàn)?,所以,由得,,將,代入得,,所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為;(2)由(1)知,聯(lián)立得,,由韋達(dá)定理得,,于是,從而,因?yàn)?,,則,,,所以.
14.(2024·廣東汕頭·三模)已知雙曲線:的漸近線方程為,過點(diǎn)的直線交雙曲線于,兩點(diǎn),且當(dāng)軸時(shí),.(1)求的方程;(2)記雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為,,直線,的斜率分別為,,求的值.(3)探究圓:上是否存在點(diǎn),使得過作雙曲線的兩條切線,互相垂直.【答案】(1);(2);(3)存在.【分析】(1)根據(jù)給定條件,求出即可得的方程.(2)設(shè)出直線的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合斜率坐標(biāo)公式求解即得.(3)設(shè)出雙曲線的兩條切線方程,與雙曲線方程聯(lián)立,結(jié)合判別式求出兩條切線交點(diǎn)的軌跡方程,再判斷與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】(1)由對(duì)稱性知,雙曲線過點(diǎn),則,解得,所以雙曲線的方程為.(2)由(1)得,設(shè),顯然直線不垂直于y軸,設(shè)直線的方程為,由消去x得,顯然,,則,即,所以.(3)圓上存在點(diǎn),使得過作雙曲線的兩條切線互相垂直.若雙曲線的兩條切線有交點(diǎn),則兩條切線的斜率存在且不為0,設(shè)雙曲線的兩條切線分別為,將代入消去得:,由得,解得,因此,設(shè)兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,則,即有,且,即,于是是方程的兩根,而,則,即,從而兩條切線們交點(diǎn)的軌跡為圓,而的圓心為,半徑為1,圓的圓心,半徑為3,顯然,滿足,即圓與圓相交,所以圓上存在點(diǎn),使得過作雙曲線的兩條切線互相垂直.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:①引出變量法,解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚侔岩C明為定值的量用上述變量表示,最后把得到的式子化簡(jiǎn),得到定值;②特例法,從特殊情況入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān).15.(2024·江西鷹潭·二模)設(shè)橢圓E:經(jīng)過點(diǎn),且離心率,直線垂直x軸交x軸于T,過T的直線l1交橢圓E于,兩點(diǎn),連接,,.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線PA,PB的斜率分別為,.(ⅰ)求的值;(ⅱ)如圖:過P作x軸的垂線l,過A作PT的平行線分別交PB,l于M,N,求的值.【答案】(1)(2)(i)2;(ii)1【分析】(1)根據(jù)條件,列出關(guān)于的方程組,利用待定系數(shù)法,即可求解;(2)(ⅰ)首先設(shè)直線的方程,并聯(lián)立橢圓方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程,利用韋達(dá)定理,即可求解;(ⅱ)首先設(shè)直線的傾斜角分別為,根據(jù)正弦定理利用角表示邊長(zhǎng),,再求比值,利用(?。┑慕Y(jié)論,即可求解.【詳解】(1)由題意知解得,所以橢圓E的方程為;(2)(?。┮字?,,,設(shè)直線的方程為,由直線過知,聯(lián)立方程得,變形得:,即;(ⅱ)設(shè)直線的傾斜角分別為,則,,,,,,在中,,在中,,所以由知,,即,故..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第一問的轉(zhuǎn)化比較巧妙,轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的方程,利用韋達(dá)定理即可求解,第二問巧妙設(shè)傾斜角,利用三角函數(shù)表示的值.16.(2024·山東煙臺(tái)·三模)已知拋物線C:()過點(diǎn),F(xiàn)為C的焦點(diǎn),A,B為C上不同于原點(diǎn)O的兩點(diǎn).(1)若,試探究直線是否過定點(diǎn),若是,求出該定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說明理由;(2)若,求面積的最小值.【答案】(1)直線過定點(diǎn)(2)【分析】(1)首先根據(jù)已知點(diǎn)求出拋物線方程,設(shè),,聯(lián)立拋物線方程,有,結(jié)合,由向量垂直的坐標(biāo)表示可列出方程,由此解出,進(jìn)一步檢驗(yàn)判別式即可得解;(2)由得條件等式,進(jìn)一步得出的取值范圍是或,由弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式表示出面積,結(jié)合的范圍即可得解.【詳解】(1)已知拋物線C:()過點(diǎn),所以,所以拋物線的方程為,直線斜率不可能為0,否則直線與拋物線沒有兩個(gè)交點(diǎn),故可設(shè),,聯(lián)立拋物線的方程為,可得,,由韋達(dá)定理有,因?yàn)?,所以,因?yàn)锳,B為C上不同于原點(diǎn)O的兩點(diǎn),所以,所以,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意;即,所以直線過定點(diǎn);(2)顯然,由(1)得,,因?yàn)椋?,即有條件等式成立,而,所以首先有,其次,或,因?yàn)闉橹本€在軸上的截距,且與相異,由圖可知,從而的取值范圍是或,,點(diǎn)到直線的距離為,所以的面積可表示為:,因?yàn)榈娜≈捣秶腔?,所以或,所以?dāng),即時(shí),,綜上所述,面積的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:第(2)問的關(guān)鍵是得出的取值范圍以及面積的表達(dá)式,由此即可順利得解.17.(2024·山西陽泉·三模)已知圓.點(diǎn)在圓上,延長(zhǎng)到,使,點(diǎn)在線段上,滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),.直線與軌跡分別交于兩點(diǎn),求證:所在直線恒過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)得到向量模的關(guān)系,根據(jù)即可求解;(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)三點(diǎn)共線得到平行關(guān)系,設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,寫出韋達(dá)定理,據(jù)此即可求解.【詳解】(1),,為的中點(diǎn),又為的中點(diǎn),,則,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,而,點(diǎn)的軌跡的方程為;(2)由(1)得是橢圓的左右頂點(diǎn),設(shè),由三點(diǎn)共線,得,而,,由三點(diǎn)共線,得,而,,,即,設(shè)的方程為,聯(lián)立,得,則,,,由,得,即,,恒成立,,所在直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題(2)關(guān)鍵在于設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)三點(diǎn)共線得到平行關(guān)系.18.(2024·湖南衡陽·三模)已知橢圓.(1)已知的頂點(diǎn)均在橢圓上,若坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心,求點(diǎn)到直線PQ距離的最小值;(2)已知定在橢圓上,直線(與軸不重合)與橢圓交于A、B兩點(diǎn),若直線AB,AN,BN的斜率均存在,且,證明:直線AB過定點(diǎn)(坐標(biāo)用,表示).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)設(shè),當(dāng)時(shí),求出原點(diǎn)到直線PQ的距離;當(dāng),點(diǎn)差法求出直線PQ的斜率,得直線PQ的方程,表示原點(diǎn)到直線PQ的距離,由的取值范圍求最小值.(2)設(shè),,由,得,設(shè)直線,代入橢圓的方程,利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn),得,代入直線方程可得所過定點(diǎn).【詳解】(1)設(shè),記線段PQ中點(diǎn)為,因?yàn)闉榈闹匦?,所以,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,若,則,此時(shí)直線PQ與軸垂直,故原點(diǎn)到直線PQ的距離為;若,此時(shí)直線PQ的斜率存在,設(shè),,則,又兩式相減得,可得.故直線PQ的方程為,即,則點(diǎn)到直線PQ的距離為,將代入得,因?yàn)?,所以,故原點(diǎn)到直線PQ距離的最小值為.(2)證明:設(shè),,,因?yàn)椋?,所以,即①,設(shè)直線,代入橢圓的方程,得,則,,,,,將以上4個(gè)式子代入①,得,得,即②,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,,代入②得,得,即,因?yàn)?,所以不在直線AB上,則,則,得,所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:解答直線與圓錐曲線的題目時(shí),時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系,涉及到直線方程的設(shè)法時(shí),務(wù)必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形,強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力,重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題,而中點(diǎn)弦問題,采用點(diǎn)差法.19.(2024·四川攀枝花·三模)已知拋物線上一點(diǎn)Q到焦點(diǎn)F的距離為2,點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為.(1)求拋物線C的方程;(2)過F的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作x軸的垂線交直線AO(O是坐標(biāo)原點(diǎn))于D,過A作直線DF的垂線與拋物線C的另一交點(diǎn)為E,直線與交于點(diǎn)G.求【答案】(1);(2)【分析】(1)由題意,設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),根據(jù)題目所給信息列出等式求出p的值,進(jìn)而可得拋物線的方程;(2)設(shè)出直線的方程和A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)D,G的坐標(biāo),即可求出的表達(dá)式,再進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)不妨設(shè),因?yàn)閽佄锞€C上一點(diǎn)Q到焦點(diǎn)F的距離為4,點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為,所以,整理得,解得或(舍去),則拋物線C的方程為;(2)由題意知直線的斜率必存在,,不妨設(shè)直線AB的方程為,,聯(lián)立,消去y并整理得,,由韋達(dá)定理得,易知直線OA的方程為,因?yàn)檩S,所以,即,所以,因?yàn)镈F⊥AE,所以,則直線AE的方程為,因?yàn)?,所以,此時(shí),因?yàn)?,所以,由題意知,則,所以.故的取值范圍為.【點(diǎn)評(píng)】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題,考查了邏輯推理、分類討論和運(yùn)算能力,屬于中檔題.容易出錯(cuò)的地方在于計(jì)算,并且計(jì)算基本都是相關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算,因此要求十分細(xì)心才可以.20.(2024·新疆·三模)已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,過拋物線:焦點(diǎn)的直線交拋物線于M,N兩點(diǎn),的最小值為4.連接,并延長(zhǎng)分別交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A與點(diǎn)M,點(diǎn)B與點(diǎn)N均不在同一象限,與的面積分別記為,.(1)求和的方程;(2)記,求的最小值.【答案】(1)橢圓的方程為,拋物線的方程為(2).【分析】(1)利用拋物線過焦點(diǎn)弦求最小值,求解出值,即可求解兩個(gè)方程;(2)利用拋物線過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率之積為定值,從而引入新變量直線斜率為,即可求出點(diǎn)坐標(biāo),同理也可以求出點(diǎn)坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)間弦長(zhǎng)公式可求得的長(zhǎng)度,即可計(jì)算兩三角形面積比的平方,最后轉(zhuǎn)化到變量的函數(shù)求最小值即可.【詳解】(1)設(shè)直線的方程為,設(shè),,聯(lián)立,整理得,所以,所以當(dāng)時(shí),有最小值,所以,解得,又因?yàn)殡x心率為,所以,則,所以橢圓的方程為,拋物線的方程為.(2)
由(1)可得,,所以,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,整理得,解得,同理可設(shè)直線的方程為,可解得,.所以當(dāng)時(shí),有最小值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:(1)利用拋物線過焦點(diǎn)弦的最小值為通徑這一性質(zhì)來解題;(2)利用拋物線過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率之積為定值,來引入斜率變量,求出點(diǎn)坐標(biāo);(3)利用兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)公式來求出長(zhǎng)度,即可求面積比;(4)最后把面積比轉(zhuǎn)化為兩根之積的韋達(dá)定理,以及斜率變量上來,最后利用基本不等式可求出最小值.21.(2024·浙江紹興·三模)設(shè)雙曲線C:(,)的一條漸近線為,焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.,分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn),直線過點(diǎn)交雙曲線于點(diǎn),,記直線,的斜率為,.(1)求雙曲線的方程;(2)求證為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)借助漸近線定義及點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可得;(2)設(shè)出直線方程,聯(lián)立曲線可得與交點(diǎn)縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理,作商即可得所設(shè)參數(shù)與縱坐標(biāo)的關(guān)系,借助斜率公式表示出斜率后,消去所設(shè)參數(shù)即可得證.【詳解】(1)由題意可得,解得,故雙曲線的方程為;(2)由雙曲線的方程為,則,,由題意可知直線斜率不為,故可設(shè),,,聯(lián)立,消去可得,,即,則,,則,即,,,則,即為定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,得到關(guān)于(或)的一元二次方程,注意的判斷;(3)列出韋達(dá)定理;(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、(或、)的形式;(5)代入韋達(dá)定理求解.22.(2024·浙江·三模)已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4,左、右焦點(diǎn)分別為、,其中到其漸近線的距離為1.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)
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