數(shù)形結(jié)合(朱世杰)

數(shù)形結(jié)合及其教學設(shè)計SHUXINGJIHEJIQIJIAOXUESHEJI雙峰縣”國培”計劃送教下鄉(xiāng)專題講座主講：朱世杰目錄CONTENTS1

引言2

數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵3

數(shù)形結(jié)合教學的必要性4數(shù)形結(jié)合思想的教學原則5數(shù)形結(jié)合思想方法的教學設(shè)計2數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵

PART.01引言數(shù)學思想方法是以具體數(shù)學內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍使用的方法。載體指人們對數(shù)學理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認識。是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點。數(shù)學思想數(shù)學思想的具體化形式，數(shù)學方法是在數(shù)學思想的指導(dǎo)下，為數(shù)學思維活動提供具體的實施手段數(shù)學方法教育的本質(zhì)是育人,數(shù)學學科以其學時多,學習時間之長久,以及學科的特征,在發(fā)展和完善人的教育活動中,在認識世界的態(tài)度和方法上,對整體素質(zhì)的提高起到了積極而重要的作用.數(shù)學是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數(shù)學觀點和文化，數(shù)學的精神和態(tài)度。數(shù)學思想方法分類討論函數(shù)與方程數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化與化歸常見的數(shù)學四大思想2數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵PART.02數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面：1、以形助數(shù)2、以數(shù)輔形是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)。以形助數(shù)例1、方程

的正根的個數(shù)為（

）。A、3

B、2

C、1

D、0

是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。以數(shù)輔形例2、將如圖的五個正方形組成的十字形剪拼成一個正方形.2數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵PART.03數(shù)形結(jié)合教學的必要性無論對于科學的工作者、技術(shù)人員，還是數(shù)學教育工作者，最重要的是數(shù)學的精神、思想和方法，而數(shù)學知識只是第二位的.米山國藏(日本)掌握基本的數(shù)學思想方法，能使數(shù)學更易于理解和更利于記憶。布魯納(美國)數(shù)形結(jié)合百般好，

隔離分家萬事休。華羅庚(中國)《數(shù)學課程標準》的總體目標中第一條明確指出：讓學生“獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”?！稊?shù)學課程標準》的教學建議中第四條明確指出：數(shù)學思想蘊含在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象和概括，學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想?；A(chǔ)知識

基本技能雙基基礎(chǔ)知識

基本技能

基本思想方法

基本活動經(jīng)驗四基數(shù)學教學已由雙基向四基轉(zhuǎn)化：0102數(shù)形結(jié)合是培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間觀念和數(shù)感,進行形象思維與抽象思維的交叉運用,使多種思維互相促進,和

諧發(fā)展的主要形式;數(shù)形結(jié)合教學又有助于培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力.利用數(shù)形結(jié)合進行解題，它不僅將優(yōu)美的題解過程形象地展現(xiàn)在解題者的面前，而且給解題者帶來層次分明的思維訓(xùn)練而回味無窮，使學生產(chǎn)生一種奇異的感覺，消除一部分學生因數(shù)學的抽象性而產(chǎn)生的畏懼、厭煩情緒，從而產(chǎn)生對數(shù)學的興趣.2數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵PART.04數(shù)形結(jié)合思想的教學原則1、滲透性原理所謂滲透原理，是指必須在具體數(shù)學知識的教學中通過精心設(shè)計的學習情境與教學過程，著意引導(dǎo)學生領(lǐng)會蘊涵在其中的數(shù)形結(jié)合思想方法，使他們在潛移默化中達到理解和掌握。2、反復(fù)性原理由于與具體數(shù)學知識相比較，數(shù)形結(jié)合思想方法更為抽象和概括，因此這個認識過程具有長期性和反復(fù)性的特征。4、歸納性原理所謂歸納性原理，是指在反復(fù)滲透的基礎(chǔ)上，要適時對數(shù)形結(jié)合思想方法進行歸納和總結(jié)，使學生明確數(shù)形結(jié)合思想方法的系統(tǒng)，掌握與有關(guān)知識的聯(lián)系。3、系統(tǒng)性原理對于數(shù)形結(jié)合思想方法而言，它與所概括的一類數(shù)學方法、所串聯(lián)的具體數(shù)學知識也必須形成自身的體系，才能為學生理解和掌握，這就是系統(tǒng)性原理。在初中數(shù)學課程教學中，要了解數(shù)形結(jié)合思想的特點，樹立滲透意識，選準教學時機，遵循教學規(guī)律，提高教學能力，這樣才能最大限度的擔升數(shù)學教學質(zhì)量。2數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵PART.05數(shù)形結(jié)合思想方法的教學設(shè)計宏觀設(shè)計宏觀設(shè)計是指對數(shù)形結(jié)合思想方法教學整體的考慮，按照孕育、形成與發(fā)展的

認識規(guī)律進行整體設(shè)計。01

滲透孕育期（七年級上）形成嘗試期（七年級下，八年級）應(yīng)用發(fā)展期（九年級）123七年級上冊共計五章，《有理數(shù)》《代數(shù)式》《一元一次方程》《圖形的認識》《數(shù)據(jù)的收集與統(tǒng)計圖》，每一章里都滲透了數(shù)形結(jié)合思想，但由于學生剛升人中學,他們對數(shù)形結(jié)合的認識主要還停留在用線段圖解應(yīng)用題的這種萌芽狀態(tài),因此這一時期的要求不能太高,應(yīng)以這些內(nèi)容為載體,在教學中提出數(shù)與形的問題,使學生感受到“數(shù)”與“形”間存在著互相聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系。1.滲透孕育期（七年級上）０１２３４５-5-4-3-2-1教學活動一：把筆尖放在數(shù)軸的原點處，先向正方向移動3個單位長度，再向負方向移動2個單位長度，這時筆尖停在表示“1”的位置上。用數(shù)軸和算式可以將以上過程及結(jié)果表示。教學活動二：把筆尖放在數(shù)軸的原點處，先向負方向移動3個單位長度，再向負方向移動2個單位長度，這時筆尖的位置表示什么數(shù)？請用數(shù)軸和算式表示以上過程及結(jié)果。０１２３４５-5-4-3-2-11.滲透孕育期（七年級上）例3：已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖所示，化簡代數(shù)式

本題根據(jù)圖形（數(shù)軸）定出a、b、c的正負及它們絕對值的大小從而化去原題中絕對值的符號達到化簡的目的。這是“數(shù)”與“形”結(jié)合解題的效果。1.滲透孕育期（七年級上）由于知識的深化,“數(shù)”與“形”之間的因果關(guān)系不那么明顯.因此學生在解決問題時很難將“數(shù)”與“形”有效地結(jié)合進行思考.這個階段的教學可分為兩個層次進行：

２.形成嘗試期（七年級下，八年級）形成嘗試期理解遷移提煉方法如：勾股定理,代數(shù)特征是：一個數(shù)的平方等于兩個數(shù)的平方和.幾何特征是：這三個數(shù)是某個直角三角形的三邊.解決相關(guān)問題時可以引導(dǎo)學生與已有的知識經(jīng)驗“直有三角形——求線段長度——解方程”產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，找出解題途徑.

２.形成嘗試期（七年級下，八年級）作為第二層次的教學,應(yīng)該引導(dǎo)學生從解決問題的技巧中提煉出蘊含數(shù)形結(jié)合思想且又易于操作的辦法.進而理解數(shù)形結(jié)合的實質(zhì).②提煉方法深刻理解數(shù)學知識中蘊含的數(shù)形結(jié)合的思想，找出概念、定理、性質(zhì)中“數(shù)”與“形”的特征.①理解遷移例4：已知０<a<1、0<b<1

２.形成嘗試期（七年級下，八年級）此題充分挖掘了數(shù)形結(jié)合的巧妙構(gòu)想，發(fā)揮了邏輯思維和形象思維的互助功能，這種數(shù)形結(jié)合思維的訓(xùn)練可以開闊學生的思路，打破常規(guī)的思維定勢，培養(yǎng)學生細心觀察、大膽猜想，善于橫、縱向思考問題的綜合解題能力。這個階段主要以方程、函數(shù)的知識為載體,以解決問題為主要教學方式,突出數(shù)形結(jié)合思想在解題中的指導(dǎo)作用.指導(dǎo)學生正確、迅速地找出問題中數(shù)形轉(zhuǎn)換的等價關(guān)系,展現(xiàn)由"以形助數(shù)"和"以數(shù)輔形"的思維過程.

３.應(yīng)用發(fā)展期（九年級）

３.應(yīng)用發(fā)展期（九年級）例5、直線

與拋物線

相交，兩交點的橫坐標分別為

x1、x2

，直線

與x軸的交點的橫坐標為x3

．

求證：

數(shù)形結(jié)合

３.應(yīng)用發(fā)展期（九年級）例6、在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且∠NMB=∠MBC，則tan∠ABM=

yxE

３.應(yīng)用發(fā)展期（九年級）在此階段我們可以進行一些專題教學，通過探究學習和合作學習，幫助學生歸納總結(jié)數(shù)形結(jié)合的思想方法，使學生能綜合運用數(shù)形結(jié)合來提高解決問題的能力。也可以進行適當?shù)臄U展。例如教學八年級下冊第四章《一次函數(shù)》時，可以擴展的二元一次方程組的解的意義。

３.應(yīng)用發(fā)展期（九年級）二元一次方程組

的解有三種情況：

①無解；②無數(shù)個解；③只有一個解。擴展這三種情況可以轉(zhuǎn)化為兩條直線a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0的三種位置關(guān)系：①平行；②重合；③相交。方程組的解轉(zhuǎn)化為兩條直線的交點。這樣有利于學生進一步理解二元一次方程組的解的意義，為以后學習二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系打下基礎(chǔ)，為學生高中階段的學習做好準備，提高了學生綜合運用數(shù)形結(jié)合來提高解決問題的能力。微觀設(shè)計數(shù)學思想方法的微觀設(shè)計是指對一節(jié)課、一個概念以及命題、公式、法則、例題、習題等教學過程進行滲透思想方法的具體設(shè)計。01微觀設(shè)計要求通過確立目標、創(chuàng)設(shè)情境、嘗試活動、認識深化、提煉概括，融知識、方法思想于一體，在知識發(fā)生和應(yīng)用過程中落實數(shù)學思想方法的教學。它主要包括目標設(shè)計、情境設(shè)計、過程設(shè)計、范例設(shè)計。微觀設(shè)計目標設(shè)計情境設(shè)計過程設(shè)計范例設(shè)計微課設(shè)計案例【課題】《數(shù)軸》【知識點來源】湘教版七年級數(shù)學上冊P7微課設(shè)計案例數(shù)軸非常直觀地把數(shù)與點結(jié)合起來，滲透著初步的數(shù)形結(jié)合的思想。是理解有理數(shù)的概念與運算的重要工具，也是利用數(shù)形結(jié)合思想解題的重要工具之一，數(shù)軸的學習還為以后學好不等式的解法、平面直角坐標系等打下良好的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用，有非常重要的地位。微課設(shè)計案例這節(jié)課的教學關(guān)鍵問題是什么？微課設(shè)計案例“如何利用數(shù)形結(jié)合理解有理數(shù)”是這節(jié)課的教學關(guān)鍵問題，在這個教學關(guān)鍵問題中，教師要深刻體會數(shù)形結(jié)合的意義不僅僅是點與有理數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，而是通過這樣的認識過程作為載體，讓學生在學習之初，從幾何角度探求并深刻理解有理數(shù)的本質(zhì)意義，逐步領(lǐng)會到從幾何直觀的角度來學習代數(shù)的方法，初步感受數(shù)形結(jié)合思想，才能從根本上提高學生的數(shù)形結(jié)合意識和能力。微課設(shè)計案例教學目標讓學生從生活實例中歸納概括數(shù)學思想，抽象出數(shù)軸的定義。掌握數(shù)軸的概念，理解數(shù)軸上的點和有理數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。會正確地畫出數(shù)軸，會用數(shù)軸上的點表示給定的有理數(shù)，會根據(jù)數(shù)軸上的點讀出所以表示的有理數(shù)。感受在特定的條件下數(shù)與形是可以相互轉(zhuǎn)化的，體驗生活中的數(shù)學。1234微課設(shè)計案例教學設(shè)計教學過程學生活動設(shè)計理念問題1：圖1-5是小麗從o點出發(fā)，沿一條筆直的東西向人行道行走的示意圖，由圖你能受到什么啟發(fā)？小組同學研討創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學生的學習熱情，發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學。對“用點表示數(shù)”的感性認識微課設(shè)計案例教學設(shè)計教學過程學生活動設(shè)計理念問題2：溫度計是我們?nèi)粘Ｉ钪杏脕頊y量溫度的重要工具，你會讀溫度計嗎？請你讀出圖中三個溫度計所表示的溫度？小組討論，交流合作，動手操作。對“用點表示數(shù)”的理性認識。讓學生結(jié)合實際，親歷過程，體驗發(fā)現(xiàn)的快樂，變被動學習為主動發(fā)現(xiàn)。微課設(shè)計案例教學設(shè)計教學過程學生活動設(shè)計理念將溫度計水平放置，請同學們觀察：如果我們畫一天水平的直線，在直線上任取一個點作為原點，用這個點表示0，規(guī)定這條直線上的一個方向（一般去從左到右的方向）為正方向，用箭頭表示，相反的方向為負方向，選取某一長度作為單位長度，就會得到這樣的圖形。這樣的直線必須滿足什么條件？總結(jié)數(shù)軸的畫法。像這樣規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸。學生在討論的基礎(chǔ)上動手操作，在操作的基礎(chǔ)上歸納出數(shù)軸的概念，我們可以在這條直線上找到表示任一有理數(shù)的點。得出數(shù)軸的三個要素：原點、正方向、單位長度讓學生經(jīng)歷：看生活實例，用數(shù)學表示，歸納概括數(shù)學思想，抽象成數(shù)學定義的全過程。數(shù)軸是數(shù)形轉(zhuǎn)化、結(jié)合的重要媒介，東西走向的大街和溫度計這些實際情境設(shè)計的原型來源于生活，容易被學生體驗和接受，讓學生從生活實例中歸納概括數(shù)學思想，抽象出數(shù)軸的定義。學生通過觀察、思考和自己動手操作、經(jīng)歷和體驗數(shù)軸的形成過程，加深對數(shù)軸摡念的理解，教學情境的設(shè)計和安排體現(xiàn)了從感性認識到理性認識，再到抽象概括的認識規(guī)律。本節(jié)課在數(shù)軸形成過程中，學生就已經(jīng)初步感知數(shù)與直線上點的對應(yīng)關(guān)系，從而可以借助數(shù)軸上的點與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，加深對有理數(shù)及其相關(guān)知識的認識和理解。本節(jié)課注重從學生的知識經(jīng)驗出發(fā)，充分發(fā)揮學生的主體作用，讓學生主動參與學生，并