專題1.1絕對(duì)值貫穿有理數(shù)經(jīng)典題型（七大題型）

專題1.1絕對(duì)值貫穿有理數(shù)經(jīng)典題型（七大題型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡或求值】【題型2根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求值】【題型3根據(jù)絕對(duì)值的定義判斷正誤】【題型4根據(jù)絕對(duì)值的意義求取值范圍】【題型5絕對(duì)值中分類討論問題】【題型6絕對(duì)值中的分類討論之多絕對(duì)值問題】【題型7絕對(duì)值中最值問題】滿分必練【題型1利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡或求值】【典例1】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．（1）在數(shù)軸上表示﹣c，|b|．（2）試把﹣c，b，0，a，|b|這五個(gè)數(shù)從小到大用“＜”連接起來；（3）化簡|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|．【答案】（1）答案見解析；（2）a＜﹣c＜b＜0＜|b|＜c；（3）﹣3b﹣3c．【解答】解：（1）在數(shù)軸上表示﹣c，|b|．如圖：；（2）根據(jù)題意可得，a＜﹣c＜b＜0＜|b|＜c；（3）因?yàn)閍+b＜0，a﹣c＜0，b+c＞0，原式＝﹣a﹣b+a﹣c﹣2（b+c）＝﹣a﹣b+a﹣c﹣2b﹣2c＝﹣3b﹣3c．【變式11】有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖．（1）用“＞”或“＜”填空：c﹣b＞0，a+b＜0，c﹣a＞0；（2）化簡：|c﹣b|+3|a+b|﹣|c﹣a|．【答案】（1）＞；＜；＞；（2）﹣2a﹣4b．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，c﹣b＞0；a+b＜0；c﹣a＞0；故答案為：＞；＜；＞；（2）∵c﹣b＞0，a+b＜0，c﹣a＞0，∴|c﹣b|+3|a+b|﹣|c﹣a|＝c﹣b+3[﹣（a+b）]﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣3a﹣3b﹣c+a＝﹣2a﹣4b．【變式12】a、b、c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上位置如圖所示，且|a|＝|b|（1）求出a、b、c各數(shù)的絕對(duì)值；（2）比較a，﹣a、﹣c的大??；（3）化簡|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵從數(shù)軸可知：c＜b＜0＜a，∴|a|＝a，|b|＝﹣b，|c|＝﹣c；（2）∵從數(shù)軸可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|a|，∴﹣a＜a＜﹣c；（3）根據(jù)題意得：a+b＝0，a﹣b＞0，a+c＜0，b﹣c＞0，則|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|＝0+a﹣b﹣a﹣c+b﹣c＝﹣2c．【題型2根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求值】【典例2】已知|a?|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【答案】．【解答】解：∵|a?|+|b+|+|c+|＝0，|a﹣|≥0，|b+|≥0，|c+|≥0，∴a﹣＝0，b+＝0，c+＝0，∴a＝，b＝﹣，c＝﹣，∴a﹣|b|+（﹣c）＝﹣|﹣|+[﹣（﹣）]＝＝．【變式21】已知|x﹣3|+|y+2|＝0，求x，y，3x﹣y的值．【答案】x＝3，y＝﹣2，3x﹣y＝11．【解答】解：∵|x﹣3|+|y+2|＝0，|x﹣3|≥0，|y+2|≥0，∴x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，∴3x﹣y＝9﹣（﹣2）＝11，答：x＝3，y＝﹣2，3x﹣y＝11．【變式22】已知|a﹣3|與|2b﹣4|互為相反數(shù)．（1）求a與b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反數(shù)．【答案】（1）a＝3，b＝2；（2）﹣14或14．【解答】解：（1）∵|a﹣3|與|2b﹣4|互為相反數(shù)，∴|a﹣3|+|2b﹣4|＝0，∴a﹣3＝0，2b﹣4＝0，解得a＝3，b＝2；（2）∵a＝3，b＝2，∴|x|＝2a+4b＝2×3+4×2＝6+8＝14，∴x＝±14，∴x的相反數(shù)為﹣14或14．【變式23】請根據(jù)圖示的對(duì)話解答下列問題．（1）a＝﹣2，b＝﹣3．（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值．【答案】（1）﹣2，﹣3；（2）﹣6．【解答】解：（1）∵a與2互為相反數(shù)，而2的相反數(shù)是﹣2，∴a＝﹣2，∵﹣×（﹣3）＝1，∴﹣的倒數(shù)是﹣3，即b＝﹣3，故答案為：﹣2，﹣3；（2）∵|m﹣a|+|b+n|＝0，而|m﹣a|≥0，|b+n|≥0，∴|m﹣a|＝0，|b+n|＝0，∴m﹣a＝0，b+n＝0，又∵a＝﹣2，b＝﹣3，∴m＝﹣2，n＝3，∴mn＝﹣2×3＝﹣6，答：mn的值為﹣6．【變式24】若a、b都是有理數(shù)，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求+++……+的值．【答案】．【解答】解：由題意可得：ab﹣2＝0，a﹣1＝0，∴a＝1??b＝2，原式＝＝1﹣+﹣+?…+＝1﹣＝．【題型3根據(jù)絕對(duì)值的定義判斷正誤】、【典例3】在實(shí)數(shù)a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，則下列結(jié)論：①|(zhì)a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解答】解：∵a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，∴2c＜a+b＝0，∴c＜0．∵c﹣a＞0，∴c＞a，∴a＜0，∵a+b＝0，∴b＝﹣a＞0，∴a，b互為相反數(shù)，∴|a|＝|b|，綜上，正確的結(jié)論有：④，∴正確的個(gè)數(shù)有一個(gè)．故選：A．【變式31】將符號(hào)語言“|a|＝a（a≥0）”轉(zhuǎn)化為文字表達(dá)，正確的是（）A．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身 B．負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù) C．非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身 D．0的絕對(duì)值等于0【答案】C【解答】解：∵一個(gè)非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵a≥0，表述的是非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，不是負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，∴選項(xiàng)C符合題意；∵a≥0，表述的是非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，不只是0的絕對(duì)值，∴選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．【變式32】已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡|a+c|﹣|a+b|的結(jié)果是（）A．2a+b+c B．b﹣c C．c﹣b D．2a﹣b﹣c【答案】A【解答】解：由題意得：b＜a＜0＜c，且|c|＞|a|．∴a+c＞0，a+b＜0．∴原式＝a+c﹣（﹣a﹣b）＝a+c+a+b＝2a+b+c．故選：A．【變式33】下列說法中正確的是（）A．兩個(gè)負(fù)數(shù)中，絕對(duì)值大的數(shù)就大 B．兩個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值較小的數(shù)就小 C．0沒有絕對(duì)值 D．絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)不一定相等【答案】D【解答】解：∵兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值越大，對(duì)應(yīng)的數(shù)越小，∴A選項(xiàng)不合題意，B選項(xiàng)不合題意，∵0的絕對(duì)值為0，∴C選項(xiàng)不合題意，∵絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)可能相等，也可能互為相反數(shù)，∴D選項(xiàng)正確，故選：D【題型4根據(jù)絕對(duì)值的意義求取值范圍】【典例4】若|5﹣x|＝x﹣5，則x的取值范圍為（）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5【答案】B【解答】解：∵|5﹣x|＝x﹣5，∴5﹣x≤0，即x≥5，故選：B．【變式41】如果|﹣2a|＝﹣2a，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)≤0 D．a(chǎn)＜0【答案】C【解答】解：∵|﹣2a|＝﹣2a，∴﹣2a≥0，a≤0．故選：C．【變式42】計(jì)算|x﹣2|+x﹣2＝0，則x的取值范圍是x≤2．【答案】x≤2．【解答】解：∵|x﹣2|+x﹣2＝0，∴|x﹣2|＝2﹣x，∴x﹣2≤0，∴x≤2．故答案為：x≤2．【變式43】若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a對(duì)一切數(shù)x都成立，則a的取值范圍是a≤7．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：數(shù)形結(jié)合．絕對(duì)值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點(diǎn)x，y之間的距離．畫數(shù)軸易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x到﹣3，﹣1，1，2這四個(gè)點(diǎn)的距離之和．令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3時(shí)，y＝11，x＝﹣1時(shí)，y＝7，x＝1時(shí)，y＝7，x＝2時(shí)，y＝9，可以觀察知：當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，由于四點(diǎn)分列在x兩邊，恒有y＝7，當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時(shí)，7＜y≤11，當(dāng)x＜﹣3時(shí)，y＞11，當(dāng)1≤x＜2時(shí)，7≤y＜9，當(dāng)x≥2時(shí)，y≥9，綜合以上：y≥7所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．從而a的取值范圍為a≤7【題型5絕對(duì)值中分類討論問題】【典例5】計(jì)算：（abc≠0）＝±1或±3．【答案】±1或±3．【解答】解：①a、b、c三個(gè)為正，原式＝1+1+1＝3；②a、b、c三個(gè)為負(fù)，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；③a、b、c兩個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)時(shí)，原式＝1+1﹣1＝1；④a、b、c一個(gè)為為正，兩個(gè)為負(fù)時(shí)，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；綜上所述，原式＝±1或±3．故答案為：±1或±3．【變式51】若n＝，abc＞0，則n的值為3或﹣1．【答案】3或﹣1．【解答】解：因?yàn)閍bc＞0，①當(dāng)a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，abc＞0，n＝＝++＝1+1+1＝3；②a＞0，b＜0，c＜0時(shí)，abc＞0，n＝＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1；所以n的值為3或﹣1．故答案為：3或﹣1．【變式52】若有理數(shù)a，b滿足ab≠0，則的值為0或2或﹣2．【答案】0或2或﹣2．【解答】解：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，m＝1+1＝2；當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，m＝1﹣1＝0；當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，m＝﹣1+1＝0；當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，m＝﹣1﹣1＝﹣2，則m的值為0或2或﹣2．故答案為：0或2或﹣2．【變式53】若abcd≠0，則＝5或1或﹣3．【答案】5或1或﹣3．【解答】解：當(dāng)a、b、c、d中沒有負(fù)數(shù)時(shí)，都是正數(shù)，則原式＝1+1+1+1+1＝5；當(dāng)a、b、c、d中只有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a是負(fù)數(shù)，則原式＝﹣1+1+1+1﹣1＝1；當(dāng)a、b、c、d中有2個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a，b是負(fù)數(shù)，則原式＝﹣1﹣1+1+1+1＝1；當(dāng)a、b、c、d中有3個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不妨a，b，c是負(fù)數(shù)，則原式＝﹣1﹣1﹣1+1﹣1＝﹣3；當(dāng)a、b、c、d都是負(fù)數(shù)時(shí)，則原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1+1＝﹣3，綜上所述：代數(shù)式的值是5或1或﹣3．故答案為：5或1或﹣3．【變式54】單項(xiàng)式a是一個(gè)正數(shù)，且，那么的值為0．【答案】0．【解答】解：∵a是一個(gè)正數(shù)，∴＝1，又∵，即+＝﹣2，∴b＜0，c＜0，∴ab＜0，bc＞0，ac＜0，abc＞0，∴＝﹣1+1﹣1+1＝0．故答案為：0．【變式55】（1）已知a是非零有理數(shù)，試求的值；（2）已知a，b是非零有理數(shù)，試求+的值；（3）已知a，b，c是非零有理數(shù)，請直接寫出++的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，＝1；當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，＝﹣1；（2）當(dāng)a，b同為正數(shù)時(shí)，+＝2；當(dāng)a，b同為負(fù)數(shù)時(shí)，+＝﹣2；當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，+＝0；（3）±1，±3．【變式56】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值為n，求的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：當(dāng)a，b，c三個(gè)都大于0，可得++﹣＝2當(dāng)a，b，c，都小于0，可得++﹣＝﹣2當(dāng)a，b，c一正二負(fù)，可得++﹣＝﹣2當(dāng)a，b，c二正一負(fù)可得++﹣＝2∴m＝2，n＝﹣2∴原式＝﹣1【變式57】在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的“探究”【提出問題】三個(gè)有理數(shù)a、b、c滿足abc＞0，求++的值．【解決問題】解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，則：++＝++＝1+1+1＝3；②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a＞0，b＜0，c＜0，則：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值為3或﹣1．【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：（1）三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵abc＜0，∴a，b，c都是負(fù)數(shù)或其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)，①當(dāng)a，b，c都是負(fù)數(shù)，即a＜0，b＜0，c＜0時(shí)，則：++＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a，b，c有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)時(shí)，設(shè)a＜0，b＞0，c＞0，則++＝1+1﹣1＝1．（2）∵|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，∴a＝﹣3，b＝1或﹣1，則a+b＝﹣2或﹣4．【變式58】閱讀下列材料完成相關(guān)問題：已知a，b、c是有理數(shù)（1）當(dāng)ab＞0，a+b＜0時(shí)，求的值；（2）當(dāng)abc≠0時(shí)，求的值；（3）當(dāng)a+b+c＝0，abc＜0，的值．【答案】（1）＝﹣1﹣1＝﹣2；（2）當(dāng)a、b、c同正時(shí)，＝1+1+1＝3；當(dāng)a、b、c兩正一負(fù)時(shí)，＝1+1﹣1＝1；當(dāng)a、b、c一正兩負(fù)時(shí)，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；當(dāng)a、b、c同負(fù)時(shí)，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；（3）﹣3或1或1，詳見解答．【解答】解：（1）∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0∴＝﹣1﹣1＝﹣2；（2）當(dāng)a、b、c同正時(shí)，＝1+1+1＝3；當(dāng)a、b、c兩正一負(fù)時(shí)，＝1+1﹣1＝1；當(dāng)a、b、c一正兩負(fù)時(shí)，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；當(dāng)a、b、c同負(fù)時(shí)，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；（3）∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c∴＝+﹣＝﹣﹣+又∵abc＜0，∴當(dāng)c＜0，a＞0，b＞0時(shí)，原式＝﹣﹣+＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；當(dāng)c＞0，a＞0，b＜0時(shí)，原式＝﹣﹣+＝﹣1+1+1＝1；當(dāng)c＞0，a＜0，b＞0時(shí)，原式＝﹣﹣+＝1﹣1+1＝1．【題型6絕對(duì)值中的分類討論之多絕對(duì)值問題】【典例6】（2022?河北模擬）（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的有理數(shù)是a、b，求這兩點(diǎn)之間的距離；（2）是否存在有理數(shù)x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整數(shù)x；如果不存在，說明理由．【分析】（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)或|a﹣b|；（2）利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行化簡；（3）利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行化簡，求得|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|的最大值和最小值，再進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）|a﹣b|；（2）x的取值可能是x＜﹣1，﹣1≤x≤3，x＞3，化簡得﹣2x+2，4，2x﹣2，則不存在|x+1|+|x﹣3|＝x的情況；（3）x的取值可能是x＜﹣4，﹣4≤x＜﹣3，﹣3≤x≤3，3＜x≤4，x＞4，化簡得﹣4x，﹣2x+8，14，2x+8，4x，故存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14，即﹣3≤x≤3，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．【變式61】（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，則a的取值范圍為1≤a≤4．【分析】分情況討論：①a﹣4≥0；②a﹣1≥0，且a﹣4≤0．【解答】解：①a﹣4≥0，解得a≥4，化簡原式＝2a﹣5，不合題意，舍去．②a﹣1≥0，且a﹣4≤0，解得1≤a≤4，化簡原式＝3，符合題意．所以1≤a≤4．【變式62】（2022秋?玉門市期末）在數(shù)軸上有四個(gè)互不相等的有理數(shù)a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，設(shè)d在a、c之間，則|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【分析】由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a?a＜b＜c，又d在a、c之間，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c兩種情況，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．分別討論可得|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝|c﹣b|＝c﹣b．【解答】解：由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a可得a＜b＜c，又因?yàn)閐在a、c之間，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c兩種情況，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．當(dāng)a＜d＜b＜c時(shí)，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，當(dāng)a＜b＜d＜c時(shí)，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，故選：B．【題型7絕對(duì)值中最值問題】【典例7】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示3和2的兩點(diǎn)之間的距離是1；表示﹣2和1兩點(diǎn)之間的距離是3；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝1或﹣3；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是12，最小距離是2．（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣3與5之間，則|a+3|+|a﹣5|＝8．（5）當(dāng)a＝1時(shí)，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是9．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）數(shù)軸上表示3和2的兩點(diǎn)之間的距離是：3﹣2＝1；表示﹣2和1兩點(diǎn)之間的距離是：1﹣（﹣2）＝3；（2）|x+1|＝2，x+1＝2或x+1＝﹣2，x＝1或x＝﹣3．（3）∵|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，∴a＝7或﹣1，b＝1或b＝﹣5，當(dāng)a＝7，b＝﹣5時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是12，當(dāng)a＝1，b＝﹣1時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最小距離是2，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是12，最小距離是2；（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣3與5之間，|a+3|+|a﹣5|＝（a+3）+（5﹣a）＝8．（5）當(dāng)a≥4時(shí)，原式＝a+5+a﹣1+a﹣4＝3a，這時(shí)的最小值為3×4＝12當(dāng)1≤a＜4時(shí)，原式＝a+5+a﹣1﹣a+4＝a+8，這時(shí)的最小值為1+8＝9當(dāng)﹣5≤a＜1時(shí)，原式＝a+5﹣a+1﹣a+4＝﹣a+10，這時(shí)的最小值接近為1+8＝9當(dāng)a≤﹣5時(shí)，原式＝﹣a﹣5﹣a+1﹣a+4＝﹣3a，這時(shí)的最小值為﹣3×（﹣5）＝15綜上可得當(dāng)a＝1時(shí)，式子的最小值為9故答案為：（1）1；3；（2）1或﹣3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9．【變式71】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3；表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是5；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m﹣n|．如果表示數(shù)a和﹣1的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么a＝﹣4或2．（2）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|的值為6；（3）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是12．（4）當(dāng)a＝1時(shí)，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是7．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）|1﹣4|＝3，|﹣3﹣2|＝5，|a﹣（﹣1）|＝3，所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，解得a＝﹣4或a＝2；（2）∵表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間，∴a+4＞0，a﹣2＜0，∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整數(shù)點(diǎn)有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．故這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是12；（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．故答案為：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．【變式72】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3；表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是5；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝2或﹣4；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是8，最