押廣東卷第15題最值四邊形規(guī)律

押廣東卷第15題最值四邊形規(guī)律廣東中考數(shù)學(xué)對15題的知識的考查要求高，一般均是以函數(shù)綜合與幾何綜合求最值、規(guī)律題的形式進(jìn)行考查，一般難度較大。如：2019年考查代數(shù)式規(guī)律題；2020年與2021年考幾何最值及隱形圓的最值模型。預(yù)計(jì)2023年廣東數(shù)學(xué)還是會以隱圓為基礎(chǔ)的最值壓軸問題。必備知識若四個點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離相等，則這四個點(diǎn)共圓．如圖，若OA＝OB＝OC＝OD，則A，B，C，D四點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓上．模型2：對角互補(bǔ)共圓模型2．若一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，則這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓．如圖，在四邊形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）則A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上．拓展：若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓．如圖，在四邊形ABCD中，∠CDE為外角，若∠B＝∠CDE，則A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上．模型3：定弦定角共圓模型若兩個點(diǎn)在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點(diǎn)和這條線段的兩個端點(diǎn)共圓如圖，點(diǎn)A，D在線段BC的同側(cè)，若∠A＝∠D，則A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上．解題技巧縱觀近幾年的中考考試題，主要考查以下兩個方面：一是動點(diǎn)函數(shù)圖形與幾何結(jié)合求多解問題，二是幾何函數(shù)結(jié)合求點(diǎn)的坐標(biāo)，解析式等，三是圖形動點(diǎn)求最值情況。1．（2021·廣東·統(tǒng)考中考真題）在中，．點(diǎn)D為平面上一個動點(diǎn)，，則線段長度的最小值為_____．【答案】【分析】由已知，，根據(jù)定角定弦，可作出輔助圓，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知，點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，線段長度的最小值為．【詳解】如圖：以為半徑作圓，過圓心作，以為圓心為半徑作圓，則點(diǎn)在圓上，,線段長度的最小值為:．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，圓外一點(diǎn)到圓上的線段最短距離，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2020·廣東·統(tǒng)考中考真題）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，，點(diǎn)，分別在射線，上，長度始終保持不變，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離的最小值為_________．【答案】【分析】根據(jù)當(dāng)、、三點(diǎn)共線，距離最小，求出BE和BD即可得出答案．【詳解】如圖當(dāng)、、三點(diǎn)共線，距離最小，∵，為的中點(diǎn)，∴，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，勾股定理，兩點(diǎn)間的距離線段最短，判斷出距離最短的情況是解題關(guān)鍵．3．（2019·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動（不與點(diǎn)A，B重合），∠DAM=45°，點(diǎn)F在射線AM上，且，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC，EF，EG，則下列結(jié)論：①∠ECF=45°；②的周長為；③；④的面積的最大值.其中正確的結(jié)論是____.（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①④【分析】①正確．如圖1中，在BC上截取BH=BE，連接EH．證明△FAE≌△EHC（SAS），即可解決問題；②③錯誤．如圖2中，延長AD到H，使得DH=BE，則△CBE≌△CDH（SAS），再證明△GCE≌△GCH（SAS），即可解決問題；④正確．設(shè)BE=x，則AE=ax，AF=，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．【詳解】解：如圖1，在BC上截取BH=BE，連接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴EH=BE，∵AF=BE，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正確，如圖2中，延長AD到H，使得DH=BE，則△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，∵GH=DG+DH，DH=BE，∴EG=BE+DG，故③錯誤，∴△AEG的周長=AE+EG+AG=AG+GH+AE=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②錯誤，設(shè)BE=x，則AE=ax，AF=，∴∴，∴當(dāng)時，的面積有最大值，最大值是，④正確；故答案為①④.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.4．（2023·廣東珠?！ば？家荒＃┰谥?，，點(diǎn)分別在邊上，且，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)分別對應(yīng)點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時，則的長為___________．【答案】或/或【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在線段上，證明四邊形是矩形，得出,當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可求解．【詳解】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上，∵，∴，∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，∴，∴，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，且，∴四邊形是矩形，∴，如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，∵，∴點(diǎn)四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴∴，∴，∴，綜上所述：或，故答案為：或12．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角所對的弦是直徑，勾股定理等知識，利用分類討論解決問題是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東東莞·虎門五中校聯(lián)考一模）如圖，是直徑，點(diǎn)C在上，垂足為D，點(diǎn)E是上動點(diǎn)（不與C重合），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，若，，則的最大值為_____．【答案】7.5【分析】延長交于點(diǎn)G，連接、，根據(jù)垂徑定理得到，推出，得到當(dāng)取最大值時，也取得最大值，然后在中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：延長交于點(diǎn)G，連接、，∵，即，且是的直徑，∴，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)取最大值時，也取得最大值，設(shè)的半徑為r，則，在中，，∴，解得：，∴的最大值為15，∴的最大值為7.5，故答案為：7.5．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．6．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）在《九章算術(shù)》“割圓術(shù)”中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種由有限到無限的轉(zhuǎn)化思想．比如在求的和中，“…”代表按此規(guī)律無限個數(shù)相加不斷求和．我們可設(shè)．則有，即，解得，故．類似地，請你計(jì)算：_________．（直接填計(jì)算結(jié)果即可）【答案】【分析】設(shè)，仿照例題進(jìn)行求解．【詳解】設(shè)，則，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查類比推理，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·江蘇宿遷·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形，，，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為直線上動點(diǎn)，B、G關(guān)于對稱，連接，點(diǎn)P為平面上的動點(diǎn)，滿足，則的最小值___________．【答案】【分析】由題意可知，，可得，可知點(diǎn)在以為弦，圓周角的圓上，（要使最小，則點(diǎn)要靠近蒂點(diǎn)，即點(diǎn)在的右側(cè)），設(shè)圓心為，連接，，，，，過點(diǎn)作，可知為等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三邊關(guān)系可得：，當(dāng)點(diǎn)在線段上時去等號，即可求得的最小值．【詳解】解：∵B、G關(guān)于對稱，∴，且∵E為中點(diǎn)，則為的中位線，∴，∴，∵，即，∴點(diǎn)在以為弦，圓周角的圓上，（要使最小，則點(diǎn)要靠近蒂點(diǎn)，即點(diǎn)在的右側(cè)）設(shè)圓心為，連接，，，，，過點(diǎn)作，則，∵，∴，則為等腰直角三角形，∴，又∵為中點(diǎn)，∴，，又∵四邊形是矩形，∴，，∴四邊形是正方形，∴，，∴，由三角形三邊關(guān)系可得：，當(dāng)點(diǎn)在線段上時去等號，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，隱形圓，三角形三邊關(guān)系，正方形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)得知點(diǎn)在以為弦，圓周角的圓上是解決問題的關(guān)鍵．8．（2022·湖南湘潭·?？寄M預(yù)測）如圖，菱形草地中，沿對角線修建60米和80米兩條道路，M、N分別是草地邊、的中點(diǎn)，在線段BD上有一個流動飲水點(diǎn)，若要使的距離最短，則最短距離是_____米．【答案】50【分析】作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于，連接，當(dāng)點(diǎn)與重合時，的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出長，即可得出答案．【詳解】解：作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于，連接，當(dāng)點(diǎn)與重合時，的值最小，四邊形是菱形，，，即在上，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形，，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，四邊形是菱形，，米，米，米，的最小值是50米．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出的位置．9．（2023秋·黑龍江雞西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，在其對稱軸上有一動點(diǎn)，連接，則周長的最小值是______．【答案】【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型，先求出，由二次函數(shù)對稱性，關(guān)于對稱軸對稱，從而，，則周長的最小值就是的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得到的最小值為三點(diǎn)共線時線段長，從而得到，即可得到答案．【詳解】解：拋物線與x軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時，解得或，即；當(dāng)時，，即，由二次函數(shù)對稱性，關(guān)于對稱軸對稱，即，，，周長的最小值就是的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得到的最小值為三點(diǎn)共線時線段長，，周長的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)最值問題與二次函數(shù)綜合，涉及“將軍飲馬”模型求最值、二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理求線段長等知識，熟練掌握動點(diǎn)最值的常見模型是解決問題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）一個質(zhì)點(diǎn)在第一象限及軸、軸上運(yùn)動，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)運(yùn)動到，然后接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動[即]，且每秒移動一個單位，那么第2023秒時質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)是_____．【答案】【分析】應(yīng)先判斷出走到坐標(biāo)軸上的點(diǎn)所用的時間以及相對應(yīng)的坐標(biāo)，可發(fā)現(xiàn)走完一個正方形所用的時間分別為3，5，7，9…，此時點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，進(jìn)而得到規(guī)律．【詳解】解：由題意可知，這點(diǎn)移動的速度是1個單位長度/每秒，設(shè)這點(diǎn)為，到達(dá)時用了3秒，到達(dá)時用了4秒，從到有4個單位長度，則到達(dá)時用了秒，到時用了9秒；從到有6個單位長度，則到達(dá)時用秒，到時用16秒；從到有8個單位長度，則到達(dá)時用秒，到時用了25秒；從到有10個單位長度，則到達(dá)時用秒，到時用了36秒；…，可得在軸上，橫坐標(biāo)為偶數(shù)時，所用時間為秒，在軸上時，縱坐標(biāo)為奇數(shù)時，所用時間為秒，，，，，，第2023秒時這個點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，得出運(yùn)動變化的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．11．（2023·甘肅隴南·?？家荒＃┌匆欢ㄒ?guī)律排列的式子：，……第n個式子是___________．【答案】【分析】根據(jù)所給式子找出各部分的規(guī)律解答即可．【詳解】解：，…，分子可表示為：．，…，分母可表示為：，則第n個式子為：．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字類規(guī)律與探究，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．此題注意分別觀察各部分的符號規(guī)律．12．（2023秋·河南許昌·九年級校考期末）平面直角坐標(biāo)系中，若干個半徑為1，圓心角為的扇形組成的圖形如圖所示，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，向右沿箭頭所指方向做上下起伏運(yùn)動，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動的速度為每秒1個單位長度，在弧線上運(yùn)動的速度為每秒個單位長度，則2021秒時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________．【答案】，【分析】根據(jù)勾股定理和弧長公式求出的坐標(biāo)，設(shè)第秒運(yùn)動到為自然數(shù)）點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律找出部分點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“，，，，，”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作軸，垂足為B，由題意可得：，，∴，，一段弧線長為，∴，，設(shè)第秒運(yùn)動到為自然數(shù)）點(diǎn)，觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，，，，，，，，，，．，為，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律，本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)運(yùn)動的規(guī)律找出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出坐標(biāo)變化的規(guī)律是關(guān)鍵．13．（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，頂點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，過作于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，求得，找出規(guī)律即可得到結(jié)論．【詳解】解：四邊形是正方形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，（SAS），，，，，，，，過作于，，，，，，，，，將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，第二次旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，第三次旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，第四次旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，每4次一個循環(huán)，第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當(dāng)于正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)3次，第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變換—旋轉(zhuǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·黑龍江雞西·九年級?？计谀┤鐖D，把邊長為2的等邊繞原點(diǎn)O按逆時針方向依次旋轉(zhuǎn)得到按此規(guī)律下去，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．【答案】【分析】先根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律可得每旋轉(zhuǎn)6次坐標(biāo)一循環(huán)，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)相同，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：由題意，得出每旋轉(zhuǎn)=6次坐標(biāo)一循環(huán)，得出余5，即的坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)相同，即可得出點(diǎn)與點(diǎn)B1關(guān)于x軸對稱，如圖：過作于C∵等邊∴∵∴由勾股定理可得：∴∵點(diǎn)與點(diǎn)B1關(guān)于x軸對稱∴點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型﹣點(diǎn)的坐標(biāo)等知識，學(xué)會探究規(guī)律的方法是，解題的關(guān)鍵．15．（2023春·山東青島·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線和射線上的動點(diǎn)，，則周長的最小值是______．【答案】【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)C、D，連接，分別交于點(diǎn)M、N，連接，當(dāng)點(diǎn)M、N在上時，的周長最?。驹斀狻拷猓悍謩e作點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)C、D，連接，分別交于點(diǎn)M、N，連接．∵點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)為C，關(guān)于的對稱點(diǎn)為D，∴；∵點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)為D，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．∴的周長的最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定．作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D是解題的關(guān)鍵所在．16．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，，連接、，則的最小值是___________．【答案】【分析】取點(diǎn)，連接，．根據(jù)，有，即可證明，即有，進(jìn)而可得，則有，利用勾股定理可得，則有，問題得解．【詳解】解：如圖，取點(diǎn)，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，，，（當(dāng)B、P、T三點(diǎn)共線時取等號）的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．17．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，M為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為__________________．【答案】【分析】根據(jù)題意可知：點(diǎn)C在半徑為的⊙B上．在x軸上取OD=OA=6，連接CD，易證明OM是△ACD的中位線，即得出OM=CD，即當(dāng)OM最大時，CD最大，由D，B，C三點(diǎn)共線時，即當(dāng)C在DB的延長線上時，OM最大，根據(jù)勾股定理求出BD的長，從而可求出CD的長，最后即可求出OM的最大值．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，∴C在⊙B上，且半徑為，在x軸上取OD=OA=6，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM=CD，∴即當(dāng)OM最大時，CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線時，即當(dāng)C在DB的延長線上時，OM最大，∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，且C(2,8),∴OM=CD，即OM的最大值為，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，則M（4,4），故答案為：（4,4）．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識．確定OM為最大值時點(diǎn)C的位置是解題關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．18．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊中，，點(diǎn)E為高上的一動點(diǎn)，以為邊作等邊，連接，，則______________，的最小值為______________．【答案】/30度【分析】①與為等邊三角形，得到，，，從而證，最后得到答案．②過點(diǎn)D作定直線CF的對稱點(diǎn)G，連CG，證出為等邊三角形，為的中垂線，得到，，再證為直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：①∵為等邊三角形，∴，，∴，∵是等邊三角形，∵，，∴，，∴，在和中∴，得；故答案為：．②（將軍飲馬問題）過點(diǎn)D作定直線CF的對稱點(diǎn)G，連CG，∴為等邊三角形，為的中垂線，，∴，連接，∴，又，∴為直角三角形，∵，，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，將軍飲馬，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟練運(yùn)用將軍飲馬是解題的關(guān)鍵，具有較強(qiáng)的綜合性．19．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．【答案】4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB＝2＝＝2BF，通過解直角三角形ABF，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．20．（2023秋·浙江溫州·九年級校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD=________．【答案】【分析】如圖1，將△BQC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)Q，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時，QA+QB+QC值最小，此時，如圖2，連接MC，證明AM垂直平分BC，證明AD=BD，此時P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x2，構(gòu)建方程求出x可得結(jié)論．【詳解】解：如圖1，將△BQC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，∴△BQN是等邊三角形，∴BQ=QN，∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)Q，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時，QA+QB+QC值最小，此時，如圖2，連接MC∵將△BQC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，∴△BQN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，∵BM=CM，AB=AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BQD=60°，∴BD=QD，∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD=BD，此時P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x2，∴x=，∴x=3+，∴PD=3+．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題．21．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點(diǎn)，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)不含端點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【分析】過點(diǎn)作關(guān)于的平行線，過點(diǎn)作垂直于該平行線于，可將轉(zhuǎn)化為，此時就等于，當(dāng)共線時，即為所要求的最小值．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作關(guān)于的平行線，過點(diǎn)作垂直于該平行線于，，，，，，，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，即在圖中在位置，在位置的時候有最小，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，有最小值，此時，的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將進(jìn)行轉(zhuǎn)換．22．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E為邊AD上一個動點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．【答案】5【分析】因?yàn)镈G＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運(yùn)動，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出BI是其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點(diǎn)，∴DG＝，∴點(diǎn)G在以D為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當(dāng)B、G、I共線時，BG+CG最?。紹I，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．23．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為____．【答案】【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為2的⊙B上，通過畫圖可知，C在AB的延長線上時，AC最大，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2，∴C在⊙B上，且半徑為2，∴當(dāng)C在AB的延長線上時，AC最大，過點(diǎn)C作CD⊥x軸，∵點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴．∵CD⊥x軸，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，解得：，∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，動點(diǎn)線段最值問題，勾股定理等知識，確定AC為最大值時點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．24．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，則的最大值為_______．【答案】【分析】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，進(jìn)而證明,則在點(diǎn)P運(yùn)動的任意時刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PDPM的最大值．連接PD，在△PDM中，PDPM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時，PDPM=DM為最大值，勾股定理即可求得．【詳解】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，，在△PDM中，PDPM＜DM，當(dāng)D、M、P共線時，PDPM=DM為最大值，四邊形是正方形在中，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．25．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D為圓心，4為半徑作⊙D，E為⊙D上一動點(diǎn)，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，則點(diǎn)F與點(diǎn)C的最小距離為________．【答案】4【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接FG，F(xiàn)C，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因?yàn)镈E＝4，可得FG＝，推出點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是以G為圓心為半徑的圓，再利用兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝8，AG＝GB，∴AG＝GB＝4，∵AD＝12，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝4，∴FG＝，∴點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是以G為圓心為半徑的圓，∵GC＝，∴FC≥GC?FG，∴FC≥4，∴CF的最小值為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．26．（2023·廣東東莞·東莞中學(xué)南城學(xué)校校聯(lián)考一模）如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且，則線段的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)，可得到點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB長為直徑的圓，連接OC交圓O于點(diǎn)，從而得到當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)位置時，線段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解【詳解】解：∵，∴點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB長為直徑的圓，如圖所示，連接OC交圓O于點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)位置時，線段CE取最小值，在矩形中，∠ABC=90°，∵，∴OA=OB==1，∵，∴，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的基本性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)，可得到點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB長為直徑的圓是解題的關(guān)鍵27．（2021·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．若點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為____________．【答案】【分析】根據(jù)題意，首先以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．【詳解】解：以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，，如圖所示，則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等邊三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cos∠BAC=2×cos30°=，∴CB′=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合的思想．28．（2021·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，AD＝，點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)．以DP為折痕將△DAP翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'．連結(jié)AA'，AA'交PD于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，連結(jié)AQ，MQ，則AQ＋MQ的最小值是________【答案】【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)T，取AD的中點(diǎn)R，連接BT，QT，RT，RM．想辦法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根據(jù)QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)T，取AD的中點(diǎn)R，連接BT，QT，RT，RM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠RAT＝90°，∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，∴RT＝，∵A，A′關(guān)于DP對稱，∴AA′⊥DP，∴∠AMD＝90°，∵AR＝RD，∴RM＝AD＝，∵M(jìn)T≥RT?RM，∴MT≥4，∴MT的最小值為4，∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，∴QA＋QM≥4，∴QA＋QM的最小值為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是求出MT的最小值，屬于中考?？碱}型．29．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動點(diǎn)，則的最小值是___________．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得BH為⊙B的半徑，再