第4章《幾何圖形初步》（原卷版）-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊章節(jié)復(fù)習(xí)考點分類（人教版）

20212022學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級上冊章節(jié)復(fù)習(xí)考點分類精編講義第4章幾何圖形初步知識點：多姿多彩的圖形1.幾何圖形的分類立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.平面圖形：三角形、四邊形、圓等.幾何圖形要點詮釋：在給幾何體分類時，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類結(jié)果.2．立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化（1）立體圖形的平面展開圖：把立體圖形按一定的方式展開就會得到平面圖形，把平面圖形按一定的途徑進行折疊就會得到相應(yīng)的立體圖形，通過展開與折疊能把立體圖形和平面圖形有機地結(jié)合起來．要點詮釋：①對一些常見立體圖形的展開圖要非常熟悉，例如正方體的11種展開圖，三棱柱，圓柱等的展開圖；②不同的幾何體展成不同的平面圖形，同一幾何體沿不同的棱剪開，可得到不同的平面圖形，那么排除障礙的方法就是：聯(lián)系實物，展開想象，建立“模型”，整體構(gòu)想，動手實踐.（2）從不同方向看：主（正）視圖從正面看幾何體的三視圖左視圖從左（右）邊看俯視圖從上面看要點詮釋：①會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖.②能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?（3）幾何體的構(gòu)成元素及關(guān)系幾何體是由點、線、面構(gòu)成的.點動成線，線與線相交成點；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成.考點1：認識立體圖形【典例分析1】（2021秋?泰寧縣期中）四棱柱中，棱的條數(shù)有（）A．4條 B．8條 C．12條 D．16條【思路引導(dǎo)】根據(jù)棱柱的形體特征進行判斷即可．【完整解答】解：由于n棱柱3n條棱，所以四棱柱有12條棱，故選：C．【變式訓(xùn)練1】（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，在長方體ABCD﹣EFGH中，與對角線BH異面的棱有．【變式訓(xùn)練2】（2021?灤南縣二模）如圖所示的幾何體是一個三棱柱，下列各多邊形與這個幾何體的各面（包括底面）形狀不相符的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】（2019秋?葉集區(qū)期末）如圖四個幾何體分別是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5個面，9條棱，6個頂點，觀察圖形，填寫下面的空．（1）四棱柱有個面，條棱，個頂點；（2）六棱柱有個面，條棱，個頂點；（3）由此猜想n棱柱有個面，條棱，個頂點．【變式訓(xùn)練4】（2017秋?倉山區(qū)校級月考）如圖，蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成的，現(xiàn)想用毛氈搭建底面積為9πm3，高為6m，外圍高為2m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛氈？（結(jié)果保留π）【變式訓(xùn)練5】（2017秋?長安區(qū)校級月考）如圖所示，左邊是小穎的圓柱形的筆筒，右邊是小彬的六棱柱形的筆筒．仔細觀察兩個筆筒，并回答下面問題．（1）圓柱、六棱柱各由幾個面組成？它們都是平的嗎？（2）圓柱的側(cè)面與底面相交成幾條線？它們是直的嗎？（3）六棱柱有幾個頂點？經(jīng)過每個頂點有幾條棱？（4）試寫出圓柱與棱柱的相同點與不同點．考點2：認識平面圖形【典例分析2】（2020秋?北京期末）在研究圓環(huán)的面積時，小云借助推導(dǎo)圓面積公式時所使用的方法，把圓環(huán)等分成16份，拼成一個近似的平行四邊形（如圖）．如果圓環(huán)的內(nèi)圓半徑是2cm，外圓半徑是6cm，則圓環(huán)的面積為100.48cm2，拼成的近似平行四邊形的底邊長約為25.12cm．【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓面積公式的推導(dǎo)過程可知，把圓環(huán)平均分成16份，沿半徑剪開后再拼成一個近似的平行四邊形，這個平行四邊形的底等于圓環(huán)外圓周長的一半加上內(nèi)圓周長的一半，如果外圓半徑用“R”表示，內(nèi)圓半徑用“r”表示．根據(jù)圓的周長公式：C＝2πR，外圓周長的一半是πR，內(nèi)圓周長的一半是πr，則這個平行四邊形的底是（πR+πr）．據(jù)此解答．【完整解答】解：在研究圓環(huán)面積時，小明借助研究圓面積公式時所用的方法，把圓環(huán)分成16份，拼成一個近似的平行四邊形，如果圓環(huán)外圓半徑用“R”表示，內(nèi)圓半徑用“r”表示．則這個平行四邊形的底是：2πR÷2+2πr÷2＝πR+πr＝8π≈25.12（cm）高是（R﹣r）＝4（cm），∴圓環(huán)的面積為4×25.12＝100.48（cm2）．故答案為：100.48，25.12．【變式訓(xùn)練6】（2021?饒平縣校級模擬）如果大圓的周長是小圓周長的4倍，那么小圓面積是大圓面積的（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練7】（2020秋?龍鳳區(qū)校級月考）直徑是通過圓心并且兩端都在圓上的（）A．線段 B．直線 C．射線 D．曲線【變式訓(xùn)練8】（2016春?欽州期末）分別舉出在我們生活中常見的，類似于下面幾何圖形的兩個實例．三角形：四邊形：六邊形：扇形：【變式訓(xùn)練9】（2018秋?道里區(qū)校級期中）一個正方形的周長為分米，這個正方形的面積為多少平方分米？【變式訓(xùn)練10】（2019秋?肇源縣月考）在一個直徑為18米的圓形草地周圍鋪一條寬4米的環(huán)形道路，求這條環(huán)形路的面積是多少？考點3：點、線、面、體【典例分析3】（2020秋?重慶月考）長方形的兩條邊長分別為3cm和4cm，以其中一條邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周后得到幾何體的底面積是9πcm2或16πcm2．【思路引導(dǎo)】根據(jù)長方形繞一邊旋轉(zhuǎn)一周，可得圓柱．分類討論：3cm是底面半徑，4cm是底面半徑，根據(jù)圓的面積公式，可得圓柱的底面積，可得答案．【完整解答】解：這個長方形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周后是圓柱．當(dāng)3cm是底面半徑時，圓柱的底面積是πr2＝32π＝9π（cm2）；當(dāng)4cm是底面半徑時，圓柱的底面積是πr2＝42π＝16π（cm2）．故答案為9πcm2或16πcm2．【變式訓(xùn)練11】（2020秋?巧家縣期末）如圖，繞直線l旋轉(zhuǎn)一周可得圓錐體的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練12】（2020秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，三邊長分別為3cm，4cm，5cm的直角三角形，繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為cm3．（結(jié)果保留π）【變式訓(xùn)練13】（2016秋?吉安期中）現(xiàn)有一個長為5cm，寬為4cm的長方形，繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積是多少？知識點：直線、射線、線段直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短．要點詮釋：①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離.3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：4．線段的比較與運算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=ABBD。（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有：要點詮釋：①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點.考點4：直線、射線、線段【典例分析4】（2020秋?寧波期末）下列各圖中表示線段MN，射線PQ的是（）A． B． C． D．【思路引導(dǎo)】根據(jù)直線沒有端點，射線有一個端點，線段有兩個端點解答．【完整解答】解：A、是直線MN，射線QP，故此選項不符合題意；B、是射線MN，線段PQ，故此選項不符合題意；C、是線段MN，射線PQ，故此選項符合題意；D、是線段MN，射線QP，故此選項不符合題意；故選：C．【變式訓(xùn)練14】（2020秋?泗陽縣期末）如圖，C、D為線段AB上的任意兩點，那么圖中共有條線段．【變式訓(xùn)練15】（2018?朝陽區(qū)二模）直線AB，BC，CA的位置關(guān)系如圖所示，則下列語句：①點A在直線BC上；②直線AB經(jīng)過點C；③直線AB，BC，CA兩兩相交；④點B是直線AB，BC，CA的公共點，正確的有（只填寫序號）．考點5：直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線【典例分析5】（2021春?寧陽縣期末）若平面內(nèi)有三個點A、B、C，過其中任意兩點畫直線，那么畫出的直線條數(shù)可能是（）A．0，1，2 B．1，2，3 C．1，3 D．0，1，2，3【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意畫出圖形，即可看出答案．【完整解答】解：如圖，可以畫3條直線或1條直線，故選：C．【變式訓(xùn)練16】（2020秋?天心區(qū)期末）如圖，經(jīng)過刨平的木板上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是．【變式訓(xùn)練17】（2018秋?太康縣期末）小莉在辦板報時，需要畫一條直的隔線，由于尺子不夠長，于是她和一名同學(xué)找來一根線繩，給線繩涂上彩色粉筆沫，兩人拉緊線繩各按住一頭，把繩子從中間拉起再松手便完成了，請寫出他們這樣做根據(jù)的數(shù)學(xué)事實為．考點6：線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短【典例分析6】（2021春?萊州市期末）如圖，A，C兩村相距6km，B，D兩村相距5km．現(xiàn)要建一個自來水廠，使得該廠到四個村的距離之和最?。铝姓f法正確的是（）A．自來水廠應(yīng)建在AC的中點 B．自來水廠應(yīng)建在BD的延長線上 C．自來水廠到四個村的距離之和最小為11km D．自來水廠到四個村的距離之和可能小于11km【思路引導(dǎo)】根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點之間，線段最短；結(jié)合題意，要使自來水廠與四個村的距離之和最小，就要使它在AC與BD的交點處．【完整解答】解：如圖所示，連接AC，BD交于點E，在平面內(nèi)任取一點E'，連接AE'，BE'，CE'，DE'，∵AE'+CE'≥AC，BE'+DE'≥BD，∴AE'+CE'+BE'+DE'≥BD+AC＝11km，∴當(dāng)自來水廠建在點E處時，來水廠到四個村的距離之和最小為11km，故選：C．【變式訓(xùn)練18】（2019秋?平定縣期末）如圖，在利用量角器畫一個40°的∠AOB的過程中，對于先找點B，再畫射線OB這一步驟的畫圖依據(jù)，喜羊羊同學(xué)認為是兩點確定一條直線，懶羊羊同學(xué)認為是兩點之間線段最短．你認為同學(xué)的說法是正確的．考點7：兩點間的距離【典例分析7】（2021秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，直線上的四個點A，B，C，D分別代表四個小區(qū)，其中A小區(qū)和B小區(qū)相距50m，B小區(qū)和C小區(qū)相距200m，C小區(qū)和D小區(qū)相距50m，某公司的員工在A小區(qū)有30人，B小區(qū)有5人，C小區(qū)有20人，D小區(qū)有6人，現(xiàn)公司計劃在A，B，C，D四個小區(qū)中選一個作為班車?？奎c，為使所有員工步行到?？奎c的路程總和最小，那么停靠點的位置應(yīng)設(shè)在（）A．A小區(qū) B．B小區(qū) C．C小區(qū) D．D小區(qū)【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意分別計算?？奎c分別在A、B、D、C各點時員工步行的路程和，選擇最小的即可求解．【完整解答】解：因為當(dāng)停靠點在A區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和是：5×50+20×250+6×300＝7050（m），因為當(dāng)?？奎c在B區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和是：30×50+20×200+6×250＝7000（m），當(dāng)停靠點在C區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：30×250+5×200+6×50＝8800（m），當(dāng)?？奎c在D區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：30×300+5×250+20×50＝11250（m），因為7000＜7050＜8800＜11250，所以當(dāng)?？奎c在B小區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和最小，那么?？奎c的位置應(yīng)該在B區(qū)．故選：B．【變式訓(xùn)練19】（2020秋?皇姑區(qū)期末）將一根繩子對折后用線段AB表示，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為60cm，若AP＝PB，則這條繩子的原長為cm．【變式訓(xùn)練20】（2021春?東平縣期末）如圖，已知AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，線段AB，CD的中點E，F(xiàn)之間的距離是10cm，則AB的長是．考點8：比較線段的長短【典例分析7】（2020秋?羅湖區(qū)校級期末）已知線段AB＝10cm，點C是直線AB上一點，BC＝4cm，若M是AC的中點，N是BC的中點，則線段MN的長度是（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm【思路引導(dǎo)】本題應(yīng)考慮到A、B、C三點之間的位置關(guān)系的多種可能，即當(dāng)點C在線段AB上時和當(dāng)點C在線段AB的延長線上時．【完整解答】解：（1）當(dāng)點C在線段AB上時，則MN＝AC+BC＝AB＝5cm；（2）當(dāng)點C在線段AB的延長線上時，則MN＝AC﹣BC＝7﹣2＝5cm．綜合上述情況，線段MN的長度是5cm．故選：D．【變式訓(xùn)練21】（2020春?武邑縣校級月考）某公司員工分別在A、B、C三個住宅區(qū)，A區(qū)有30人，B區(qū)有15人，C，區(qū)有10人，三個區(qū)在一直線上，位置如圖所示，公司的接送車打算在此間只設(shè)一個?？奎c，為要使所有員工步行到?？奎c的路程總和最少，那么?？奎c的位置應(yīng)在區(qū)．【變式訓(xùn)練22】（2020春?萊州市期末）如圖，點C是線段AB上的一點，用D，E分別是AC，BC的中點，則DE＝AB．知識點：角1．角的度量（1）角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：要點詮釋：①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義；②當(dāng)一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示.（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.要點詮釋：①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.（4）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（5）畫一個角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2．角的比較與運算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.3．角的互余互補關(guān)系余角補角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等.要點詮釋：①余角(或補角)是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不能稱其為余角(或補角).②一個角的余角(或補角)可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”.4．方位角以正北、正南方向為基準(zhǔn)，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.要點詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應(yīng)用十分廣泛.考點9：角的認識【典例分析9】（2021秋?金牛區(qū)校級期中）如圖，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠DOC＝38°，那么∠AOB的度數(shù)是（）A．128° B．142° C．38° D．152°【思路引導(dǎo)】從圖形中可看出∠AOC和∠DOB相加，再減去∠DOC即為所求．【完整解答】解：∵∠AOC＝∠DOB＝90°，∠DOC＝38°，∴∠AOB＝∠AOC+∠DOB﹣∠DOC＝90°+90°﹣38°＝142°．故選：B．【變式訓(xùn)練23】（2021秋?皇姑區(qū)校級期中）已知小于平角的∠AOB＝10n（n≥2，且n為正整數(shù)），以點O為端點在∠AOB的內(nèi)部盡可能多地作射線，使它們與OA，OB之間形成角的度數(shù)均是10的整數(shù)倍，這樣的角有個．（用含n的式子表示）【變式訓(xùn)練26】（2021秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，B島在A島南偏西55°方向，B島在C島北偏西60°方向，C島在A島南偏東30°方向．從B島看A，C兩島的視角∠ABC度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【變式訓(xùn)練27】（2021秋?武昌區(qū)校級月考）如圖，CD平分三角板的∠ACB（其中∠A＝30°，∠ACB＝90°），則∠ADC等于（）A．90° B．100° C．105° D．110°考點10：角的計算【典例分析10】（2021春?呼和浩特期末）如圖所示，長方形ABCD中，點E在CD邊上，AE，BE與線段FG相交構(gòu)成∠α，∠β，則∠1，∠2，∠α，∠β之間的關(guān)系是（）A．∠1+∠2+180°＝∠α+∠β B．∠α+∠2＝∠β+∠1 C．∠α+∠β＝2（∠1+∠2） D．∠1+∠2＝∠a﹣∠β【思路引導(dǎo)】由三角形的內(nèi)角和定理可得∠AEB＝∠1+∠2，由外角的性質(zhì)可求解．【完整解答】解：在△ABE中，∠AEB+∠EAB+∠ABE＝180°，∴90°﹣∠1+∠90°﹣∠2+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝∠1+∠2，∵∠α＝∠AEB+180°﹣∠β，∴∠α+∠β＝∠1+∠2+180°，故選：A．【變式訓(xùn)練28】（2021秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，先將正方形紙片對折，折痕為MN，再把B點折疊在折痕MN上，折痕為AE，點B在MN上的對應(yīng)點為H，則∠HBC的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練29】（2020秋?溫江區(qū)校級期末）已知∠AOB＝60°，求：（1）如圖1，OC為∠AOB內(nèi)部任意一條射線，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON＝；（2）如圖2，當(dāng)OC旋轉(zhuǎn)到∠AOB的外部時，∠MON的度數(shù)會發(fā)生變化嗎？請說明原因；（3）如圖3，當(dāng)OC旋轉(zhuǎn)到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射線OC在OB的下方時，OM平分∠AOC，射線ON在∠BOC內(nèi)部，∠NOC＝∠BOC，求∠COM﹣∠BON的值？【變式訓(xùn)練30】（2020秋?南寧期末）如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度數(shù)；（2）作射線OM平分∠AOC，在∠BOC內(nèi)作射線ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度數(shù)；（3）過點O作射線OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度數(shù)．考點11：余角和補角【典例分析11】（2021秋?灤州市期中）如圖：O為直線AB上的一點，OC為一條射線，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，圖中互余的角共有（）A．1對 B．2對 C．4對 D．6對【思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線的定義，互為余角的意義和平角的意義進行計算即可．【完整解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠AOD+∠COD＝∠AOC，∠BOE＝∠COE＝∠BOC，又∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠COE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°，綜上所述，互余的角共有4對，故選：C．【變式訓(xùn)練31】（2021春?香坊區(qū)校級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如圖1，求∠CON的度數(shù)；（2）將圖1中的∠MON繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，如圖2，若直線ON恰好平分銳角∠AOC，求∠M