韶關(guān)市七年級數(shù)學(xué)下冊相期末壓軸題易錯題考試試題

一、解答題1．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，與y軸交于點，且（1）求；（2）若為直線上一點．①的面積不大于面積的，求P點橫坐標x的取值范圍；②請直接寫出用含x的式子表示y．（3）已知點，若的面積為6，請直接寫出m的值．解析：（1）4；（2）①或；②；（3）或．【分析】（1）先根據(jù)偶次方和絕對值的非負性求出的值，從而可得點的坐標和的長，再利用直角三角形的面積公式即可得；（2）①分和兩種情況，先分別求出和的面積，再根據(jù)已知條件建立不等式，解不等式即可得；②分和兩種情況，利用、和的面積關(guān)系建立等式，化簡即可得；（3）過點作軸的平行線，交直線于點，從而可得，再分、和三種情況，分別利用三角形的面積公式建立方程，解方程即可得．【詳解】解：（1）由題意得：，解得，，，軸軸，；（2）①的面積不大于面積的，的面積小于的面積，則分以下兩種情況：如圖，當時，則，，因此有，解得，此時的取值范圍為；如圖，當時，則，，因此有，解得，此時的取值范圍為，綜上，點橫坐標的取值范圍為或；②當時，則，，由（2）①可知，，則，即；如圖，當時，則，，，，，解得，綜上，；（3）過點作軸的平行線，交直線于點，由（2）②可知，，則，由題意，分以下三種情況：①如圖，當時，則，，解得，不符題設(shè)，舍去；②如圖，當時，則，，解得或（不符題設(shè)，舍去）；③如圖，當時，則，，解得，符合題設(shè)，綜上，的值為或．【點睛】本題考查了偶次方和絕對值的非負性、坐標與圖形等知識點，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．2．如圖：在四邊形ABCD中，A、B、C、D四個點的坐標分別是：（-2，0）、（0，6）、（4，4）、（2，0）現(xiàn)將四邊形ABCD先向上平移1個單位，再向左平移2個單位，平移后的四邊形是A'B'C′D'（1）請畫出平移后的四邊形A'B'C′D'（不寫畫法），并寫出A'、B'、C′、D'四點的坐標．（2）若四邊形內(nèi)部有一點P的坐標為（a，b）寫點P的對應(yīng)點P′的坐標．（3）求四邊形ABCD的面積．解析：（1）圖見解析，A′（-4，1），B′（-2，7），C′（2，5），D′（0，1）；（2）P′的坐標為：（a-2，b+1）；（3）四邊形ABCD的面積為22．【分析】（1）直接利用平移畫出圖形，再根據(jù)圖形寫出對應(yīng)點的坐標進而得出答案；（2）利用平移規(guī)律進而得出對應(yīng)點坐標的變化規(guī)律：向上平移1個單位，縱坐標加1；向左平移2個單位，橫坐標減2；（3）利用四邊形ABCD所在的最小矩形面積減去周圍三角形面積進而得出答案．【詳解】解：（1）如圖所示：A′（-4，1），B′（-2，7），C′（2，5），D′（0，1）；（2）若四邊形內(nèi)部有一點P的坐標為（a，b）寫點P的對應(yīng)點P′的坐標為：（a-2，b+1）；（3）四邊形ABCD的面積為：6×6-×2×6-×2×4-×2×4=22．【點睛】此題主要考查了平移變換以及坐標系內(nèi)四邊形面積求法，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別是，現(xiàn)同時將點分別向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到的對應(yīng)點.連接.(1)寫出點的坐標并求出四邊形的面積.(2)在軸上是否存在一點，使得的面積是面積的2倍？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.(3)若點是直線上一個動點，連接，當點在直線上運動時，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系.解析：(1)點，點；12；(2)存在，點的坐標為和；(3)∠OFC=∠FOB-∠FCD，見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)點平移的規(guī)律易得點C的坐標為（0，2），點D的坐標為（6，2）；（2）設(shè)點E的坐標為（x，0），根據(jù)△DEC的面積是△DEB面積的2倍和三角形面積公式得到，解得x=1或x=7，然后寫出點E的坐標；（3）分類討論：當點F在線段BD上，作FM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)由MF∥AB得∠2=∠FOB，由CD∥AB得到CD∥MF，則∠1=∠FCD，所以∠OFC=∠FOB+∠FCD；同樣得到當點F在線段DB的延長線上，∠OFC=∠FCD-∠FOB；當點F在線段BD的延長線上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD．【詳解】解：（1）∵點A，B的坐標分別是（-2，0），（4，0），現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度得到A，B的對應(yīng)點C，D，∴點C的坐標為（0，2），點D的坐標為（6，2）；四邊形ABDC的面積=2×（4+2）=12；（2）存在．設(shè)點E的坐標為（x，0），∵△DEC的面積是△DEB面積的2倍，，解得x=1或x=7，∴點E的坐標為（1，0）和（7，0）；（3）當點F在線段BD上，作FM∥AB，如圖1，∵MF∥AB，∴∠2=∠FOB，∵CD∥AB，∴CD∥MF，∴∠1=∠FCD，∴∠OFC=∠1+∠2=∠FOB+∠FCD；當點F在線段DB的延長線上，作FN∥AB，如圖2，∵FN∥AB，∴∠NFO=∠FOB，∵CD∥AB，∴CD∥FN，∴∠NFC=∠FCD，∴∠OFC=∠NFC-∠NFO=∠FCD-∠FOB；同樣得到當點F在線段BD的延長線上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)：利用點的坐標得到線段的長和線段與坐標軸的關(guān)系．也考查了平行線的性質(zhì)和分類討論的思想．4．在平面直角坐標系中，如圖正方形的頂點，坐標分別為，，點，坐標分別為，，且，以為邊作正方形.設(shè)正方形與正方形重疊部分面積為.（1）①當點與點重合時，的值為______；②當點與點重合時，的值為______.（2）請用含的式子表示，并直接寫出的取值范圍.解析：（1）①1；②；（2）.【分析】（1）①②根據(jù)點F的坐標構(gòu)建方程即可解決問題．（2）分四種情形：①如圖1中，當1≤m≤2時，重疊部分是四邊形BEGN．②如圖2中，當0＜m＜1時，重疊部分是正方形EFGH．③如圖3中，-1＜m＜時，重疊部分是矩形AEHN．④如圖4中，當-≤m＜0時，重疊部分是正方形EFGH．分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）①當點F與點B重合時，由題意3m=3，∴m=1．②當點F與點A重合時，由題意3m=-1，∴m=，故答案為1，．（2）①當時，如圖1.，..②當時，如圖2...③當時，如圖3.，.④當時，如圖4...綜上，.【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，平移變換，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．5．如圖1，在平面直角坐標系中，點A為x軸負半軸上一點，點B為x軸正半軸上一點，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b滿足關(guān)系式：|a+3|+(b-a+1)2=0.（1）a=___，b=___，△BCD的面積為______；（2）如圖2，若AC⊥BC，點P線段OC上一點，連接BP，延長BP交AC于點Q，當∠CPQ=∠CQP時，求證:BP平分∠ABC；（3）如圖3，若AC⊥BC，點E是點A與點B之間一動點，連接CE,CB始終平分∠ECF,當點E在點A與點B之間運動時，的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由.解析：-3-46【解析】分析：（1）求出CD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解；（2）根據(jù)等角的余角相等解答即可；（3）首先證明∠ACD=∠ACE，推出∠DCE=2∠ACD，再證明∠ACD=∠BCO，∠BEC=∠DCE=2∠ACD即可解決問題；詳解：（1）解：如圖1中，∵|a+3|+（b-a+1）2=0，∴a=-3，b=4，∵點C（0，-3），D（-4，-3），∴CD=4，且CD∥x軸，∴△BCD的面積=1212×4×3=6；故答案為-3，-4，6．（2）證明：如圖2中，∵∠CPQ=∠CQP=∠OPB，AC⊥BC，∴∠CBQ+∠CQP=90°，又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，∴∠ABQ=∠CBQ，∴BQ平分∠CBA．（3）解：如圖3中，結(jié)論：=定值=2．理由：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCF=90°，∵CB平分∠ECF，∴∠ECB=∠BCF，∴∠ACD+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠ACD=∠ACE，∴∠DCE=2∠ACD，∵∠ACD+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ACD=∠BCO，∵C（0，-3），D（-4，-3），∴CD∥AB，∠BEC=∠DCE=2∠ACD，∴∠BEC=2∠BCO，∴=2．點睛：本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在長方形中，為平面直角坐標系的原點，點的坐標為，點的坐標為且、滿足，點在第一象限內(nèi)，點從原點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著的線路移動．（1）點的坐標為___________；當點移動5秒時，點的坐標為___________；（2）在移動過程中，當點到軸的距離為4個單位長度時，求點移動的時間；（3）在的線路移動過程中，是否存在點使的面積是20，若存在直接寫出點移動的時間；若不存在，請說明理由．解析：（1）（8，12），（0，10）；（2）2秒或14秒；（3）存在，t=2.5s或【分析】（1）由非負數(shù)的性質(zhì)可得a、b的值，據(jù)此可得點B的坐標；由點P運動速度和時間可得其運動5秒的路程，得到OP=10，從而得出其坐標；（2）先根據(jù)點P運動11秒判斷出點P的位置，再根據(jù)三角形的面積公式求解可得；（3）分為點P在OC、BC上分類計算即可．【詳解】解：（1）∵a，b滿足，∴a=8，b=12，∴點B（8，12）；當點P移動5秒時，其運動路程為5×2=10，∴OP=10，則點P坐標為（0,10），故答案為：（8，12）、（0,10）；（2）由題意可得，第一種情況，當點P在OC上時，點P移動的時間是：4÷2＝2秒，第二種情況，當點P在BA上時．點P移動的時間是：（12+8+8）÷2＝14秒，所以在移動過程中，當點P到x軸的距離為4個單位長度時，點P移動的時間是2秒或14秒．（3）如圖1所示：∵△OBP的面積=20，∴OP?BC=20，即×8×OP=20．解得：OP=5．∴此時t=2.5s如圖2所示；∵△OBP的面積=20，∴PB?OC=20，即×12×PB=20．解得：BP=．∴CP=．∴此時t=，綜上所述，滿足條件的時間t=2.5s或【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積，坐標與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．7．如圖①，在平面直角坐標系中，點，，其中，是16的算術(shù)平方根，，線段由線段平移所得，并且點與點A對應(yīng)，點與點對應(yīng)．（1）點A的坐標為；點的坐標為；點的坐標為；（2）如圖②，是線段上不同于的任意一點，求證：；（3）如圖③，若點滿足，點是線段OA上一動點（與點、A不重合），連交于點，在點運動的過程中，是否總成立？請說明理由．解析：（1），，；（2）證明見解析；（3）成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根得、；再根據(jù)直角坐標系、平移的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，得；根據(jù)平行線性質(zhì)，分別推導(dǎo)得，，從而完成證明；（3）結(jié)合題意，根據(jù)平行線的性質(zhì)，推導(dǎo)得、；結(jié)合（2）的結(jié)論，通過計算即可完成證明．【詳解】（1）連接∵是16的算術(shù)平方根∴∴∴∵∴∴∴∵線段由線段平移所得，并且點與點A對應(yīng)，點與點對應(yīng)∴，∴故答案為：，，；（2）∵線段由線段平移所得∴，∴∵∴∵∴∴（3）∵∴∵∴∵∴，即∵∴∴∵∴∵，∴由（2）的結(jié)論得：，∵，∴∴∵∴∴∴在點運動的過程中，總成立．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根、立方根、平行線、平移、直角坐標系的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角坐標系、平移、平行線的性質(zhì)，從而完成求解．8．如圖，，直線與、分別交于點、，點在直線上，過點作，垂足為點．（1）如圖1，求證：；（2）若點在線段上（不與、、重合），連接，和的平分線交于點請在圖2中補全圖形，猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系；解析：（1）證明見解析；（2）補圖見解析；當點在上時，；當點在上時，．【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）分兩種情況：當點在上，當點在上，再過點作即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，∴，∵，∴．∴．∵，∴，∴．（2）補全圖形如圖2、圖3，猜想：或．證明：過點作．∴．∵，∴∴，∴．∵平分，∴．如圖3，當點在上時，∵平分，∴，∵，∴，即．如圖2，當點在上時，∵平分，∴．∴．即．【點睛】本題考查了平行線的基本性質(zhì)、角平分線的基本性質(zhì)及角的運算，解題的關(guān)鍵是準確作出平行線，找出角與角之間的數(shù)量關(guān)系．9．綜合與探究（問題情境）王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動（1）如圖1，，點、分別為直線、上的一點，點為平行線間一點，請直接寫出、和之間的數(shù)量關(guān)系；（問題遷移）（2）如圖2，射線與射線交于點，直線，直線分別交、于點、，直線分別交、于點、，點在射線上運動，①當點在、（不與、重合）兩點之間運動時，設(shè)，．則，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②若點不在線段上運動時（點與點、、三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．解析：（1）；（2）①，理由見解析；②圖見解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行線的性質(zhì)，即可得到答案；（2）①過作交于，由平行線的性質(zhì)，得到，，即可得到答案；②根據(jù)題意，可對點P進行分類討論：當點在延長線時；當在之間時；與①同理，利用平行線的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】解：（1）作PQ∥EF，如圖：∵，∴，∴，，∵∴；（2）①；理由如下：如圖，過作交于，∵，∴，∴，，∴；②當點在延長線時，如備用圖1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=，∠EPD=，∴；當在之間時，如備用圖2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=，∠CPE=，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行內(nèi)錯角相等，從而得到角的關(guān)系．10．已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．解析：（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=∠BME，進而可求解．【詳解】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵．11．已知：直線AB∥CD，M，N分別在直線AB，CD上，H為平面內(nèi)一點，連HM，HN．（1）如圖1，延長HN至G，∠BMH和∠GND的角平分線相交于點E．求證：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；（2）如圖2，∠BMH和∠HND的角平分線相交于點E．①請直接寫出∠MEN與∠MHN的數(shù)量關(guān)系：；②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延長線于點Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度數(shù)．（可直接運用①中的結(jié)論）解析：（1）見解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°【分析】（1）過點E作EP∥AB交MH于點Q，利用平行線的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、鄰補角和為180°，角與角之間的基本運算、等量代換等即可得證．（2）①過點H作GI∥AB，利用（1）中結(jié)論2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行線的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、鄰補角和為180°，角與角之間的基本運算、等量代換等得出∠AMH＋∠HNC＝360°﹣（∠BMH＋∠HND），進而用等量代換得出2∠MEN＋∠MHN＝360°．②過點H作HT∥MP，由①的結(jié)論得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行線性質(zhì)得∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°，由角平分線性質(zhì)及鄰補角可得∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．繼續(xù)使用等量代換可得∠ENQ度數(shù)．【詳解】解：（1）證明：過點E作EP∥AB交MH于點Q．如答圖1∵EP∥AB且ME平分∠BMH，∴∠MEQ＝∠BME＝∠BMH．∵EP∥AB，AB∥CD，∴EP∥CD，又NE平分∠GND，∴∠QEN＝∠DNE＝∠GND．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠MEN＝∠MEQ＋∠QEN＝∠BMH＋∠GND＝（∠BMH＋∠GND）．∴2∠MEN＝∠BMH＋∠GND．∵∠GND＋∠DNH＝180°，∠DNH＋∠MHN＝∠MON＝∠BMH．∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN．∴∠GND＋∠BMH﹣∠MHN＝180°，即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．（2）①：過點H作GI∥AB．如答圖2由（1）可得∠MEN＝（∠BMH＋∠HND），由圖可知∠MHN＝∠MHI＋∠NHI，∵GI∥AB，∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，∵GI∥AB，AB∥CD，∴GI∥CD．∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．∴∠AMH＋∠HNC＝180°﹣∠BMH＋180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH＋∠HND）．又∵∠AMH＋∠HNC＝∠MHI＋∠NHI＝∠MHN，∴∠BMH＋∠HND＝360°﹣∠MHN．即2∠MEN＋∠MHN＝360°．故答案為：2∠MEN＋∠MHN＝360°．②：由①的結(jié)論得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∵∠H＝∠MHN＝140°，∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．∴∠MEN＝110°．過點H作HT∥MP．如答圖2∵MP∥NQ，∴HT∥NQ．∴∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∵MP平分∠AMH，∴∠PMH＝∠AMH＝（180°﹣∠BMH）．∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．∴∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．∵∠ENH＝∠HND．∴∠ENQ＋∠HND＋140°﹣90°＋∠BMH＝180°．∴∠ENQ＋（HND＋∠BMH）＝130°．∴∠ENQ＋∠MEN＝130°．∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，鄰補角，等量代換，角之間的數(shù)量關(guān)系運算，輔助線的作法，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強．12．點A，C，E在直線l上，點B不在直線l上，把線段AB沿直線l向右平移得到線段CD．（1）如圖1，若點E在線段AC上，求證：B+D=BED；（2）若點E不在線段AC上，試猜想并證明B，D，BED之間的等量關(guān)系；（3）在（1）的條件下，如圖2所示，過點B作PB//ED，在直線BP，ED之間有點M，使得ABE=EBM，CDE=EDM，同時點F使得ABE=nEBF，CDE=nEDF，其中n≥1，設(shè)BMD=m，利用（1)中的結(jié)論求BFD的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示）．解析：（1）見解析；（2）當點E在CA的延長線上時，∠BED=∠D-∠B；當點E在AC的延長線上時，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）【分析】（1）如圖1中，過點E作ET∥AB．利用平行線的性質(zhì)解決問題．（2）分兩種情形：如圖2-1中，當點E在CA的延長線上時，如圖2-2中，當點E在AC的延長線上時，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)求解即可．（3）利用（1）中結(jié)論，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解決問題即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，過點E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如圖2-1中，當點E在CA的延長線上時，過點E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如圖2-2中，當點E在AC的延長線上時，過點E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如圖，設(shè)∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴m=2x+2y，∴x+y=m，∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，∴∠BFD===．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會條件常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．13．綜合與實踐背景閱讀：在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關(guān)系有相交、平行，若兩條不重合的直線只有一個公共點，我們就說這兩條直線相交，若兩條直線不相交，我們就說這兩條直線互相平行兩條直線的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定是幾何的重要知識，是初中階段幾何合情推理的基礎(chǔ)．已知：AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．問題解決：（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，則∠EBC＝．解析：（1）；（2）見解析；（3）105°【分析】（1）通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系即可求解．（2）過點B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解．（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)AM與BC交于點O,∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A＋∠AOB＝90°，∠A＋∠C＝90°，故答案為：∠A＋∠C＝90°；（2）證明：如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG＝90°，∴∠ABD＋∠ABG＝90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG＋∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）知∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，設(shè)∠DBE＝α，∠ABF＝β，則∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝∠AFB＝β，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α＋β，∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，∵AB⊥BC，∴β＋β＋2α＝90°，∴α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．故答案為：105°．【點睛】本題考查平行線性質(zhì)，畫輔助線，找到角的和差倍分關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．14．已知，AB∥CD，點E在CD上，點G，F(xiàn)在AB上，點H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過點H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；（3）過點H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）過點M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，過點H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，∵MQ∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵MQ∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠