2022年二輪復習高考圓錐曲線解答題專題一 (求面積的大小)

圓錐曲線解答題專題一求面積的大小

1.已知橢圓。：4+￡=1(?>>>0)的離心率6=孝，且橢圓過點(a,1)

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設直線/與C交于用、N兩點，點。在橢圓C上，。是坐標原點，若麗+麗=麗,

判定四邊形OMDN的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.

2.已知定點M(—1,0),圓N:(x-iy+y2=i6,點Q為圓N上動點，線段MQ的垂直

平分線交NQ于點尸，記尸的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點M與N作平行直線乙加4,分別交曲線C于點A、8和點。、E，求四邊形

44力石面積的最大值.

￡十工=l(a>b>0)的離心率為逅，且經過點《，!).

3.己知橢圓C：

ab2322

(1)求橢圓C的方程.

(2)過點P(0,2)的直線交橢圓。于A、8兩點，求“08(。為原點)面積的最大值.

4.在平面中，已知橢圓C:1+￡=l(a>b>0)過點尸(2,1),且離心率e=*

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/方程為y=直線/與橢圓。交于A，8兩點，求MAS面積的最大值.

5.在平面直角坐標系xQy中，椎圓C:4十方的離心率為苧直線y=x

被橢圓C截得的線段長為生匝.

5

(1)求橢圓。的方程；

(2)過原點的直線與橢圓C交于AB兩點(AB不是橢圓。的頂點)，點。在橢圓c上，

且AQJLAB，直線3。與x軸》軸分別交于M,N兩點.

①設直線3RAM斜率分別為占水2,證明存在常數(shù)之使得K=丸&，并求出義的值；

②求bOMN面積的最大值.

22

6.已知橢圓時：二+1廬=1(〃>b>0)的一個焦點與短軸的兩端點組成一個正三角形的三

個頂點，且橢圓經過點&，￥[

(1)求橢圓M的標準方程；

(2)直線/：X=6+〃與橢圓"相交于48兩點，且以線段48為直徑的圓過橢圓的右

頂點C,求6c面積的最大值.

Z21

7.己知橢圓。：￡+卓=1（〃>0>0）的離心率為其短軸長為2石.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知直線/:x=4,過橢圓右焦點尸的直線（不與工軸重合）與橢圓C相交于A,B

兩點，過點A作AOJJ,垂足為O.

①求證：直線3。過定點E，并求出定點E的坐標；

②點。為坐標原點，求408。面積的最大值.

8.已知直線y=2x+m（加工0）與拋物線V=4x交于A、B兩點,

（1）若。4_LQB,求）的值;

（2）以AB為邊作矩形A8CD,若矩形ABCO的外接圓圓心為求矩形A8CD的

12）

面積.

9.在平面直角坐標系xOy中，己知橢圓「十烏=1（4＞。＞0）的長軸長為6,且經過點

ab"

Q（|,右），A為左頂點，8為下頂點，橢圓上的點尸在第一象限，外交y軸于點C,PB

交”軸于點Q.

（1）求橢圓的標準方程

（2）若礪+2覺=6,求線段P4的長

（3）試問：四邊形488的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由

10.己知橢圓C：1+與=1（。＞力＞o）的左焦點為尸（一2,0）,離心率為巫.

a2b23

（0）求橢圓C的標準方程；

（國）設0為坐標原點，7為宜線工=一3上一點，過尸作7F的垂線交橢圓于P,Q.當

四邊形OP7Q是平行四邊形時，求四邊形OP7Q的面積.

11.已知橢圓￡:鼻+馬=1（々>匕>0）和圓&：/+丫2=/”>0）,石、尸2為橢圓C

的左、右焦點，點8（0,百）在橢圓a上，當直線8月與圓G相切時，r=y.

（I）求G的方程；

（團）直線]:>=依+機（左>0,m>0）與橢圓G和圓02都相切，切點分別為M、N,求

△QMN面積的最大值.

12.已知橢圓c：三+菅=1（。>>>0）的左右焦點分別是F\,F”拋物線/=4x與橢圓C

有相同的焦點，點尸為拋物線與橢圓C在第一象限的交點，且滿足|尸鳥|二；.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點6作直線/與橢圓。交于A,8兩點，設麗=幾用.若義41,2],求面

積的取值范圍.

13.已知拋物線C：Y=2〃y（〃>0）的焦點為F,點Q在拋物線C上，點P的坐標為（l,g

且滿足礪+2而=殖（。為坐標原點）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線/交拋物線C于48兩點，且弦A8的中點M在直線V=2上，試求AQAB的

面積的最大值.

14.已知△ABC的兩個頂點坐標是6（—26,0）,C（2百,0）,“IBC的周長為8+46,

。是坐標原點，點M滿足以=-2加

（0）求點M的軌跡上的方程；

（0）設不過原點的直線/與曲線E交于P,。兩點，若直線。只。。,。。的斜率依次成等比

數(shù)列，求面積的最大值.

15.已知拋物線E：y2=3x,圓M：%—2）2+必=4,點N為拋物線￡上的動點，0為坐標原

點，線段。N的中點P的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵點Qxo,yo）（XoN5）是曲線C上的點，過點。作圓M的兩條切線，分別與X軸交于48兩

點，求團面積的最小值.

17.己知橢圓E：I+工=1（。>b>0）過點。1）且離心率e=—

a2b22

（助求橢圓E的方程；

（勖設動直線/與兩定直線/i：x-y=0和/2：x+y=O分別交于PQ兩點.若直線/總與橢圓E有且只

有一個公共點，試探究:團OPQ的面積是否存在最小值?若存在，求出該最小值;若不存在,說明理

由.

18.已知橢圓之[+￡=1（々＞8〉0）的左焦點為尸卜J5,0）,過F的直線交￡于4C

兩點，AC的中點坐標為（一苧，亭.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過原點O的直線80和4C相交且交E于8、D兩點，求四邊形ABCO面積的最大值.

圓錐曲線解答題專題一求面積的大小(解析)

1.已知橢圓。：4+￡=1(?>>>0)的離心率6=孝，且橢圓過點(a,1)

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)設直線/與C交于用、N兩點，點。在橢圓C上，。是坐標原點，若麗+麗=麗,

判定四邊形OMDN的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.

22

【答案】(1)工+二=1;(2)是定值，其定值為卡.

42

J也

a~2

z21

(1)設橢圓C的焦距為2c(c>0),由題意可得//+乒=1解得片=4，廿=2,

a2=b2^c2

因此，橢圓c的標準方程為《+￡=i；

42

(2)當直線/的斜率不存在時，直線MN的方程為工二-1或x=l.

x=]x=l

若直線/的方程為x=l,聯(lián)立x2y2J可得，

--F—=1y=±

42T

此時，|MN|=幾，四邊形QM0N的面積為gx遙x2=J4,

同理，當直線/的方程為x=-l時，可求得四邊形QMDN的面積也為幾；

當直線/的斜率存在時，設直線/方程是)，=履+機,

代人到；+[_=[,得（1+2/卜2+被郎+2/一4=0,

-4km2M2—4

=9,△=8（422+2-加2）＞0,

,,"1+"21\+2FX1b2—1+2公r

2m

y+%=%（內+々）+2m=

1+公'

22萬42+2-加

IMN\=Jl+%2-\xy-X2\=J1+&2.^（x,+X2）-4X（X2=J1+&2x

1+2公

,m

點O到直線MN的距離d=J二,

4km2m

由兩+反=而，得而=玉+/=一%=X+%=

2k2+*411+2/

(一4km)(2m)

???點O在橢圓C上，所以有11+2k2Jll+IF),，整理得1+2公=2帆2,

--+-—=1

4------2

由題意知，四邊形OW0N為平行四邊形，

二平行四邊形OMDN的面積為

Ss=2§刖=2x；|MN|xd=J]+rX?"也’2*乂7與■

_小4叫8r+4-2*_曲2公+1)[弘2+4-(2公+3_后(28+1)_

-1+2—2-2公+1--2k2+1--6

故四邊形OMEW的面積是定值，其定值為6.

2.己知定點M(-1,0),圓N:(x—1)2+9=16,點。為圓N上動點，線段MQ的垂直

平分線交NQ于點尸，記P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點M與N作平行直線4卻4,分別交曲線C于點4、8和點。、E,求四邊形

ABOE面積的最大值.

22

【答案】(1)—+^-=1；(2)6.

43

(1)由中垂線的性質得|PM|=|PQ|,.?.|網+|四=歸。|+|稱|=4>|肱7|=2,

所以，動點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長為4的橢圓，

22

設曲線C的方程為，+￡=l(〃>b>0),則。=2,/?=,/_]=,，

22

因此，曲線c的方程為:三+*=1；

43

(2)由題意，可設，2的方程為x="+l，

’22

土匕=]

聯(lián)立方程得，43一=>(3?+4)y2+6ry-9=0,

x=ty+l

6/

設。（巧，y）、^（Q，乃），則由根與系數(shù)關系有，

9

%%=一內

所以QE|=町*=回島卜其=嬰?’

同理.」；（；+?’《與，2的距離為〃=不孑，

所以，四邊形A5QE1的面積為S=24xY旦，

3『+4

。24〃24

2

令J1+*=u,則〃N1,得3w+13〃+，，

u

由雙勾函數(shù)的單調性可知，函數(shù)y=3〃+2在［1,+8）上為增函數(shù)，

S二24

所以，函數(shù)3〃+，在［L*。）上為減函數(shù)，

u

當且僅當〃=1,即1=0時，四邊形A8OE的面積取最大值為6.

3.已知橢圓C：［+耳=1（。＞匕＞0）的離心率為逅，且經過點己!）?

a2b2322

（1）求橢圓C的方程.

（2）過點P（0,2）的直線交橢圓C于4、B兩點,求△AOBl。為原點）面積的最大值.

【答案】(D—+y2=l；(2)B

32

(1)由e2=￡l^l=i一與=2得2=立①,

a2a23a3

3101

由橢圓C經過點(―>~■)得—~~-H―—1②，

224Zr

聯(lián)立①②，解得b=l,a=5

團橢圓C的方程是土+y2=1；

3

（2）由題意可知直線A5一定存在斜率，設其方程為丁=履十2,

y=kx+2

聯(lián)立《x2、消去>得:（1+3/）/+12履+9=0,

—+）廣=1

3

則A=144二一36（1+3-）>0,得公>1，

\2k9

設%）、則芳+々、_[，xx

4%，B（X2,y2）,i2=-

1?DK1?J）AC

回S“O8=|S.POB-S/oJ=；x2X|再一%|=|X一工21，

223636（如-1）

2a+x2）-4%.x2=（--^j）-

團（內-x2）

1"iDAC1+3廿-（1+3攵2f

（x,_X2）2=^=363￡_=3

設心』（f>0）,則（31+4）29,+%242mf+24人

當且僅當勿二3，即，=4時等號成立，此時公=:>1,可取,

，33

此時AAOB面積取得最大值B.

2

第2=1（。>〃>0）過點P（2,1）,且離心率e=*

4.在平面x0y中，已知橢圓C：r+y

a~

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線/方程為y=；x+〃z,直線/與橢圓C交于A,B兩點,求AE48面積的最大值.

22

【答案】（T）—+^-=1;（2）2.

82

（1）因為橢圓C:二+y=13>8>0）過點Q（2,1）,且離心率?二

a

41?

—+------7=1

a~a~-c

所以《

cV3

-=----

a2

解得a=272，c=R，則b=、5，

22

所以橢圓方程為：—r+^V_

1.

82

（2）設直線方程為y二^工+機，AU|,y）、B（&,y2）,

1

=—x+m

y2

聯(lián)立方程組《整理得：x2+2tnx+2/w2-4=0?

二=1

182

2

所以X+/=-2m,x,x2=2m-4,

由弦長公式得：|4川=*（4-?。?

,2|川

點P到/的距離為d=毛」.

所以S=^\AB\d=府二嬴雞="一防2,,加2+（：-"）

當且僅當加2=2,即m=±應時取到最大值，最大值為：2.

22/T

5.在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:，+菅=1（〃>6>0）的離心率為半，直線y=x

被橢圓C截得的線段長為生叵.

5

（1）求橢圓C的方程；

（2）過原點的直線與橢圓C交于A8兩點（AB不是橢圓C的頂點），點D在橢圓。上,

且A￡>J_AB，直線3D與x軸丁軸分別交于M,N兩點.

①設直線班）,AM斜率分別為人,白，證明存在常數(shù)；I使得4=4&，并求出義的值;

②求AOMN面積的最大值.

/1Q

【答案】⑴、+丁=1.（2）①證明見解析，2=--；

【解析】

試題分析：（1）首先由題意得到包二工=且，即/=4/.

a2

將丁=%代入/+4丁=/可得工=士半，

由&X拽4=生叵，可得。=2）=1得解.

55

（2）（0）注意從確定人,融的表達式入手，探求使占二2&成立的九

設4（百,y）（石yw0）,D（x2,%），則設F，-y），

得到=二#，

玉+x24%4玉

根據(jù)直線BD的方程為y+y=4（x+x），

4片

令y=0,得x=3x，即M（3%,0）.得到他二一六.

由匕=一!女2,作出結論.

2

（0）直線BD的方程y+y=4（工+玉），

i39

從確定△QMN的面積表達式S=7X3X|x-%=7%|凹|入手，應用基本不等式得解.

248

試題解析：（1）由題意知亞正=也，可得"=4從.

a2

橢圓C的方程可化簡為x2+4y2=a2.

將丁=主代入可得*=±&,

5

因此夜x冬旦=生叵，可得Q=2.

55

因此b=1,

2

所以橢圓C的方程為三+y2=]

4

（2）（0）設A（M，），]）（%陰wO）,。?,%），則B（F，-y）,

因為直線AB的斜率38=",

又AB_LAD，所以直線AD的斜率k=一%,

y

設直線AD的方程為y=，

由題意知女工0,mwO,

y=kx+m

由，X2,可得（1+422）/+8加區(qū)+4蘇一4=0.

—+y=1

14

-8mk

所O以1U…=一再

2m

因此X+必=-玉+/)+2加=]+4后，

由題意知，天工工2

所以心力

Xy+X24k4M

所以直線BD的方程為y+y=/(工+%)，

招

令y=o,得工=3芭，即M(3%,0).

可得的=—2.

2%

所以K=—k、,即4=—.

22

因此存在常數(shù)2=--使得結論成立.

2

(a)直線BD的方程y+y=—L*+x),

4%

33

令x=0,得y=-：y，即N(O,一：X),

44

由(0)知”(3%,0),

139

可得AOMN的面積5=7乂3%x-3.^=-x|yj,

248}

因為國聞《匕+才=1,當且僅當區(qū)=血=也時等號成立,

422

9

此時S取得最大值三,

8

9

所以AOMN的面積的最大值為廣

8

6.已知橢圓M:kF1（6/>/?>0）的一個焦點與短軸的兩端點組成一個正三角形的三

個頂點，且橢圓經過點收，等）

（1）求橢圓M的標準方程；

（2）直線/：X=◎葉〃與橢圓刖相交于4B兩點,且以線段48為直徑的圓過橢圓的右

頂點C,求AABC面積的最大值.

丫?16

【答案】（1）---Fy2=1;（2）—

425

（1）設橢圓的上下頂點為4（0,〃），員（0,-。），左焦點為耳（-。⑼,

則△片鳥尸是正三角形，所以勖=后壽=〃，

則橢圓方程為三十4二1.

4b2b-

將代入橢圓方程，可得一方H---y=1?

2）4b2b

解得々=2,b=l,故橢圓的方程為工十寸=1.

4

（2）由題意，設直線/的方程為x=6+〃，聯(lián)立J4>

x=ky+n

消去x得（r+4）），2+2%町，+*-4=0.

設A&M，5（巧,力），

.-2knn'-4

則有x+%=E，y%=E，

因為以線段48為直徑的圓過橢圓的右頂點。（2,0）,所以畫.行=0,

由C4=（內一2,yJ,或=（&-2,以），則（大一2）（々-2）+乂必=0,

將~=幻］+〃，兀2=妗'2+〃代入上式，

并整理得(公+1)”2+&5-2)5+%)+(?2)2=0,

(A:2+l)(n2-4)-2k2n(n-2),k

K+4k~+4

化簡得(5〃一6)(〃-2)=0,解得〃=《或〃=2,

因為直線x=ky+n不過點C(2,0),

（、

所以〃。2,故〃=?6.所以直線/恒過點。6-,0.

515，

故^^c=5locTly_%l

12,736.

-----k4-----4

6、優(yōu)乂+必)?-4yM=]5(25

25J左？+4〃+4

825(^2+4)-36

25…2

。</，

設￡=

則5樂=搟,-36/+25/在*上單調遞增,

*116

當/="7時，S=—.—36x—+25x—=—

4"A此RC25V16425

所以△ABC面積的最大值為3.

25

22

7.已知橢圓。：￡+樂=1（〃>6>0）的離心率為其短軸長為2G.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知直線/:x=4,過橢圓右焦點尸的直線（不與x軸重合）與橢圓C相交于A,B

兩點，過點A作ADJL/,垂足為。.

①求證：直線3。過定點E，并求出定點E的坐標;

②點。為坐標原點，求△QBD面積的最大值.

r2v2,5、15

【答案】⑴—+^-=(2)①證明見解析；定點E為-,0；②一.

43U；4

c1

e=—=—

a2a=2

(1)由題意可得，2b=2y/3,解得，b=8,

a2=b2+c2c=\

故橢圓。的方程為三+匯=1.

43

(2)由對稱性，若直線3。過定點E，則該定點E必在4軸上，

①由題得尸(1,0),設直線AB：K=%y+l(m￡R),

設A(%,yJ,網蒼,%)，。(4,%),

x=my+1

聯(lián)立方程.fy2,得(3m2+4)丁+6緲-9=0,(*)

143

所以有乂+必=總"7，月々"UznBbi+%)，

3m+43。m？+4

因為&c=上?，所以直線3D的方程為y一%=江?(％—4),

X2-4X2-4

令y.0,得”;4■.見至4)=4_弘(加必3)=4_歿跖3%,「)

%一乂%一凹％一乂

3

將2毀必=3(乂+%)代入(**)，則大=4]()1+)’2)—3y=43=5,

%-凹22

故直線BO過定點(|,0)，即定點￡為(5,0).

②在(*)中，A=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1),

所以|乂一%|=J(y+y2)2-4yy2=

11丫力7232丫J(3療§絲+4)2/(3>￥+4)=2=二3m'2？+4+1

又直線BD過定點E|,0）,

2

racc.c1IcriII512廂二715y/m+l

0

OBD=0ED+S.EB=2?10印|y2一%|=73病+4=3M+4，

15/15

令￡=5^7萬21，則△°曲"7節(jié)"171在‘目1'叱）上單調遞減，

t

故當/=1,加=。時，（S△皈）由二?。

8.已知直線y=2x+m（相聲0）與拋物線y2=4x交于A、B兩點，

（1）若OA_LQB,求加的值；

（2）以A8為邊作矩形A8C。，若矩形ABCO的外接圓圓心為（1,2］，求矩形A8CD的

（2）

面積.

【答案】（1）-8；（2）30.

（1）y=2x+/n與J=4x聯(lián)立得y?—2y+26=0

由△>（）得機<5，設4（%,乂）,8（天,%），則Y+%=2,y，y2=2m

mOAlOB^^OAOB=0

團0=%/2+,必=（）'；）+%%'何）'1%=-1602/n=-167n=-8,滿足題意.

（2）設弦的中點為則％=嗎&=1,山=汽1生=與竺，設圓心7-,2

乙乙J\乙

2-12二］

A.AB11-w-團〃i=T,

2__2"

則0|MT|=>/5,1ale目=2石

/y—％|=］（y+必）2一4,月=V4-8/n=6^\AB\=J1+出仄一%|=3亞

回面積為|加?|8|=30.

fy2

9.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓靛+京=l(〃>b>0)的長軸長為6,且經過點

C(1,x/3),A為左頂點，8為下頂點，橢圓上的點P在第一象限，力交y軸于點C,PB

交x軸于點

(1)求橢圓的標準方程

(2)若說+2交=6,求線段尸A的長

(3)試問：四邊形A8CZ)的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由

【答案】(1)￡.+￡=1；(2)”叵；(3)是定值，6.

9415

(1)解：由題意得2〃=6,解得a=3.

r2v293

把點。的坐標代入橢圓C的方程與+\=1,得工+==1

a2b24/b-

由于。=3,解得b=2

所以所求的橢圓的標準方程為《十二=1.

94

(2)解：因為礪+2覺=0，則得反二一!礪二(0,1),即C(0/),

2

又因為A(—3,0),所以直線AP的方程為y=；*+3).

y=*+3)27

x=——

x=-315r2724^

由?22解得'尸。(舍去)或,即得P

xy.24

y=一

19415

所以加解可期喈

即線段AP的長為生叵

15

(2\

(3)由題意知，直線P8的斜率存在，可設直線P8:y=Ax—2k>-.

\5)

令尸。,得喉。,

y=Ax-2

由If得(4公+9)%2—36履=0,解得x=0(舍去)或％=——y

---F—=174+9K

194

匚匚［、?18%~—836k18^-8

所以y=------,即HnPD

4+9公、4+9公'4+9公

185一8

于是直線AP的方程為y=鴛+9x。+3),即y=譽-?(文+3)

36k+33(3%+2)

1+4公

令戶°'得戶孽整f2(32—2)

，即0II0rn

所以四邊形ABDC的面積等于-x\AD\x\BC\

2

1(2八(2(32—2)413k+212k

=——F3--------------F2=------------------------

21攵)I3k+2)2k3左+2

即四邊形ABDC的面積為定值.

10.已知橢圓C：=+與=1（。＞方＞0）的左焦點為尸（-2,0）,離心率為好.

a2b23

（0）求橢圓C的標準方程;

（回）設。為坐標原點，T為直線工=一3上一點，過尸作7F的垂線交橢圓于P,Q.當

四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積.

22

r廣

【答案】⑴一十上v二1；（2）26

62

試題解析：（1）由已知得：￡=底，c=2,所以o=

a3

22

又由〃2=從+。2,解得b=夜，所以橢圓的標準方程為：—+^-=1.

62

（2）橢圓方程化為/+3y2=6.

m

設T點的坐標為（一3,小），則直線TF的斜率%=9,1、=-.

當加工0時，直線PQ的斜率既（）=工，直線PQ的方程是工=相）一2

m

當〃2=0時，直線PQ的方程是工=-2,也符合工=沖-2的形式.

將X=根》,—2代入橢圓方程得：（tn2+3）/-4my-2=0.

其判別式A=16m2+8（w2+3）>0.

設2（為,%）,。（%2，y2），

4,/z—2—12

則y+%=X%=-^-7^1+/=Mx+K）-4=-^―.

m+3m+3m+3

因為四邊形OPTQ是平行四邊形，所以而=行，SP（xpy1）=（-3-x2,/n-y2）.

-12~

x1+x2=-2---=-3

所以｛"：+3,解得相=±1.

4/??

乂+必=丫^=〃2

m+3

此時四邊形OPTQ的面積

S.Q=2s加=2x1o斗E川=2^^）2-4品二「

Y，〃IDfii■。

22

11.已知橢圓G：］+當=l（a">0）和圓州：上+'2=/=>0）,耳、尸2為橢圓G

的左、右焦點，點8（0,6）在橢圓C上，當直線8片與圓G相切時，，?=且.

（|）求G的方程；

（團）直線/：）=依+6（2>0,機>0）與橢圓G和圓。2都相切，切點分別為例、N,求

△QMN面積的最大值.

【答案】（0）—+^-=1；（0）

434

（0）由題可知b=JJ.①

設￡（-c,0）,則由與圓相切時廠=立，得處=且，即。==.②

2a22

22

將①②代入。2=從+/,解得〃=2,所以橢圓G的方程為?+《=1；

（0）設點M（x，y）、N優(yōu),％），

將）=奴+加代入?+方=1得（422+3）d+8/7^+4加2一［2=0.

由直線/與橢圓G相切得4=64產病-4（4r+3）（4加-12）=0,即4=4r+3,且

-4km

4?+3

3m

-km

由直線/與圓C,相切，設0N:y=-1x

與y=+m聯(lián)立得，

km

必F

設直線/：>=版+〃2（4>0,〃2>0）與不軸交于點。，則。［,。

當且僅當&=1時等號成立,

所以△QMN的面積的最大值為一.

4

r2v2

12.已知橢圓。:=+方=l（a>b>0）的左右焦點分別是耳，耳，拋物線V=44與橢圓C

有相同的焦點，點尸為拋物線與橢圓C在第一象限的交點，且滿足|「巴|二*

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點耳作直線/與橢圓。交于A8兩點，設麗=4耶.若；求A4B鳥面

積的取值范圍.

22

【答案】⑴三+匕

43

（1）由題意得拋物線y2=4x的焦點坐標為6（1,0）,準線方程為工工一1.

叫叫=|，

552

回點P到直線x=-l的距離為一，從而點P的橫坐標為一一1二一,

333

又點P在第一象限內,

2

回點P的坐標為（士,

3

57

團2a=歸周+歸闖=；+§=4,

回。=2.

妨2=/_。2=3,

22

回橢圓。的方程為王+二=1.

43

（2）根據(jù)題意得直線/的斜率不為0,設其方程為工=%」1,

x=my

*2*

由，x/消去工整理得（3病+4）9-6〃少一9=0,

143

2

顯然A=36m+36(3m2+4)=144(〃/+1)>0.

6

設A（百,y）,B（wj2），則'W+4①

9

3療+4

團近=4用，即麗（_1一百,一乂）=4（勺+1,%），

團f=4%，

4/w2_(2-1)

代入①消去力，必得

3加2+42

02G[1,2],

1

=2+--2e0,-，

A22

B0<-4^解得

3〃/+425

由題意得SjBFz=J啊1%-=J(%+%)2-4yM=12，療+1

3m2+4

令Jl+毋,則〃/=?-],

c_nt12

0^-VTT_rj,

J/n■一

設/Q)=3f+1/w[l,

,則/Q)在[1,上單調遞增,

0/(1)</(0</(^-)>即+警，

也上<3

085.

即A43K面積的取值范圍為叫.

13.已知拋物線C：Y=2〃），（〃>0）的焦點為F,點Q在拋物線C上,點P的坐標為（l,g）,

且滿足礪+2而=殖（。為坐標原點）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線/交拋物線C于48兩點，且弦A8的中點M在直線V=2上，試求AQAB的

面積的最大值.

【答案】（1）x2=4y；（2）4yh.

解：⑴設Q(%,%)，團尸(0段，

0OF+2FP=FG=>dF=Fe-2FP=>fo,-^=fx0-2,y0+^-l

團為一2=0,=

回玉）=2,y0=1,即。（2,1）.

又0點Q在拋物線C上，

022=2p-1,團p=2,

回拋物線C的方程為x2=4y.

（2）依題意，可知直線A3與x軸不垂直，故可設直線的方程為y-收+工

并設A（%,yJ,8（孫％），A3的中點M（%，2）.

y=kx+b

聯(lián)立方程組12,消去，，

x=4y

得/一46一4b=0，

團%+工2=4&,為占=-46.

團線段AB的中點的縱坐標為2,

回芳+%=%（玉+9）+?=4%2+力=4,即。=2-2&2.

由△=16公+1劭>0，得/+〃>0,

故22+6=攵2+（2一2欠2）>0,則22g[o,2）.

由丁=履+6,令1=0,得y=b=2-2公.

回S.L；同?歸一W|=；|2-2F卜1&+工2）2一4%也=4，（1-K丫（