楊村第一中學2025屆數(shù)學高二上期末考試試題含解析

楊村第一中學2025屆數(shù)學高二上期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為（）A.10 B.8C.4 D.202．已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件3．已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的短軸的最小值為（）A. B.C. D.4．拋物線的準線方程為（）A B.C. D.5．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，若，則k的取值范圍是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.6．橢圓C：的焦點在x軸上，其離心率為則橢圓C的長軸長為（）A.2 B.C.4 D.87．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個極值點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知，設函數(shù)，若關于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知正數(shù)x，y滿足，則取得最小值時（）A. B.C.1 D.11．直線的傾斜角為（）A.1 B.－1C. D.12．已知矩形，為平面外一點，且平面，，分別為，上的點，且，，，則（）A. B.C.1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲乙參加摸球游戲，袋子中裝有3個黑球和1個白球，球的大小、形狀、質量等均一樣，若從袋中有放回地取1個球，再取1個球，若取出的兩個球同色，則甲勝，若取出的兩個球不同色則乙勝，求乙獲勝的概率為_____14．過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于A，兩點，，則的值為__________15．如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.16．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標準方程為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處取得極值7（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值18．（12分）已知點在橢圓：上，橢圓E的離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若不平行于坐標軸且不過原點O的直線l與橢圓E交于B，C兩點，判斷是否可能為等邊三角形，并說明理由.19．（12分）已知等差數(shù)列的前項和滿足，.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.20．（12分）已知函數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值.21．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，.（1）求證：平面PAD；（2）求直線AB與平面PCE所成角的正弦值；22．（10分）已知等差數(shù)列滿足；正項等比數(shù)列滿足，，（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）數(shù)列滿足，的前n項和為，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)約束條件作出可行域，再將目標函數(shù)表示的一簇直線畫出向可行域平移即可求解.【詳解】作出可行域，如圖所示轉化為，令則，作出直線并平移使它經(jīng)過可行域點，經(jīng)過時，，解得，所以此時取得最大值，即有最大值，即故選：A.2、C【解析】根據(jù)充要條件的定義進行判斷【詳解】解：因為函數(shù)為增函數(shù)，由，所以，故“”是“”的充分條件，由，所以，故“”是“”的必要條件，故“”是“”的充要條件故選：C3、B【解析】根據(jù)題意，點關于直線對稱點的性質，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設點關于直線的對稱點，則，解得，即.根據(jù)橢圓的定義可知，，當、、三點共線時，長軸長取最小值，即，由且，得，因此橢圓C的短軸的最小值為.故選：B.4、D【解析】根據(jù)拋物線方程求出，進而可得焦點坐標以及準線方程.【詳解】由可得，所以焦點坐標為，準線方程為：，故選：D.5、A【解析】圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，解不等式得k的取值范圍考點：直線與圓相交的弦長問題6、C【解析】根據(jù)橢圓的離心率，即可求出，進而求出長軸長.【詳解】由橢圓的性質可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長軸長為故選：C.【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質，屬于基礎題.7、A【解析】根據(jù)導數(shù)的性質，結合余弦型函數(shù)的性質、極值的定義進行求解即可.【詳解】由，，因為在區(qū)間有且僅有2個極值點，所以令，解得，因此有，故選：A8、D【解析】由題設易知上恒成立，而在上，討論、，結合導數(shù)研究的最值，由不等式恒成立求的取值范圍.【詳解】由時，在上；由時，在上遞減，值域為；令且，則，當時，，即遞增，值域為，滿足題設；當時，在上，即遞減，在上，即遞增，此時值域為；當，即時存在，而在中，此時，不合題設；所以，此時要使的不等式恒成立，只需，即，可得；綜上，關于的不等式恒成立，則的取值范圍為.故選：D【點睛】關鍵點點睛：由題設易知上，只需在上恒有即可.9、B【解析】當直線斜率存在時，設直線方程，聯(lián)立方程組，結合根與系數(shù)關系可得，進而求得取值范圍，當斜率不存在是，可得，兩點坐標，進而可得的值.【詳解】當直線斜率存在時，設直線方程為，，，聯(lián)立方程，得，恒成立，則，，，，，所以，當直線斜率不存在時，直線方程為，所以，，，綜上所述：，故選：B.10、B【解析】根據(jù)基本不等式進行求解即可.【詳解】因為正數(shù)x，y，所以，當且僅當時取等號，即時，取等號，而，所以解得，故選：B11、C【解析】根據(jù)直線斜率的定義即可求解.【詳解】，斜率為1，則傾斜角為.故選：C.12、B【解析】由，，得，然后利用向量的加減法法則把向量用向量表示出來，可求出的值，從而可得答案【詳解】解：因為，，所以所以,因為，所以，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.375【解析】先算出有放回地取兩次的取法數(shù)，再算出取出兩球不同色的取法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式計算即可求得答案.【詳解】有放回地取兩球，共有種取法，兩次取球不同色的取法有種，故乙獲勝的概率為，故答案為：14、2【解析】求出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系可，，由拋物線的定義可知，，，即可得到【詳解】解：拋物線的焦點，，準線方程為，設，，，，則直線的方程為，代入可得，，，由拋物線的定義可知，，，，解得故答案為：215、【解析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.16、【解析】根據(jù)題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標準方程為，所以圓心，半徑為由圓心在直線上，可設因為與軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得因此，圓的標準方程為故答案為：【點睛】判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數(shù)法．兩圓相切注意討論內切外切兩種情況.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）先對函數(shù)求導，根據(jù)題中條件，列出方程組求解，即可得出結果；（2）先由（1）得到，導數(shù)的方法研究其單調性，進而可求出最值.【詳解】（1）因為，所以，又函數(shù)在處取得極值7，，解得；，所以，由得或；由得；滿足題意；（2）又，由（1）得在上單調遞增，在上單調遞減，因此【點睛】方法點睛：該題考查的是有關利用導數(shù)研究函數(shù)的問題，解題方法如下：（1）先對函數(shù)求導，根據(jù)題意，結合函數(shù)在某個點處取得極值，導數(shù)為0，函數(shù)值為極值，列出方程組，求得結果；（2）將所求參數(shù)代入，得到解析式，利用導數(shù)研究其單調性，得到其最大值.18、（1）（2）三角形不可能是等邊三角形，理由見解析【解析】（1）根據(jù)點坐標和離心率可得橢圓方程；（2）假設為等邊三角形，設，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理得的中點的坐標，，利用得出矛盾.小問1詳解】由點在橢圓上，得，即，又，即，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】假設為等邊三角形，設，，聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，由得，故，所以的中點為，所以，故，與等邊三角形中矛盾，所以假設不成立，故三角形不可能是等邊三角形.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知求出首項和公差即可求出；（2）利用裂項相消法求解即可.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，化簡得，解得，所以【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以.20、最大值為，最小值為【解析】利用導數(shù)可求得的單調性，進而可得極值，比較極值和端點值的大小即可求解.【詳解】由可得：，則當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，，又因為，，所以，綜上所述：函數(shù)在上的最大值為，最小值為.21、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）將線面平行轉化為面面平行，由已知易證；（2）延長相交與點F，利用等體積法求點A到平面PCE，然后由可得.【小問1詳解】四邊形ABCD為正方形平面PAD，平面PAD平面PAD同理，，平面PAD又平面，平面平面平面PAD平面平面PAD【小問2詳解】延長相交與點F，因為，所以分別為的中點.記點到平面PCF為d，直線AB與平面PCE所成角為，則.易知，