1.1 集合的含義與表示-(必修第一冊) (教師版)

集合的含義與表示1元素與集合的概念一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合(或集)，構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員).2集合的元素特征①確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.

Eg：街上叫聲帥哥，是男的都回個頭，帥哥沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，故“帥哥”不能組成集合.②互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.

Eg：兩個學(xué)生名字都是“熊濤”，老師也要給他們起小名"熊大""熊二"，以視區(qū)別.若集合A={1，2，a}，就意味a③無序性：集合中的元素?zé)o順序，可以任意排列、調(diào)換.Eg：高一(1)班每月都換座位也改變不了它是(1)班的事實，1，2，3={2，3，1}3元素與集合的關(guān)系若a是集合A的元素，則稱a屬于集合A，記作a∈A；

若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A，記作a?A.

Eg：菱形腦筋急轉(zhuǎn)彎你能證明上帝不是萬能的么？答案：如果上帝萬能，他能否創(chuàng)造一塊他舉不起來的石頭么？(這跟集合有什么關(guān)系呢？)4常用數(shù)集

自然數(shù)集(或非負(fù)整數(shù)集)，記作N；正整數(shù)集，記作N?或N+；整數(shù)集，記作有理數(shù)集，記作Q；實數(shù)集，記作R. 5集合的分類有限集，無限集，空集?.Eg：奇數(shù)集xx=2n+1,n∈Z屬于無限集，x∈R6集合的表示方法①列舉法

把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫列舉法.②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.

方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x∈A|p(x)}.

用符號描述法表示集合時應(yīng)注意：

A={x|x2?x?2=0}———方程x2?x?2=0的解，即A={?1，2}；

B={x|x2?x?2<0}———不等式xD={y|y=x2?x?2}———函數(shù)y=x2?x?2的值域，即D={y|y>?9【典題1】下列說法正確的是()

A.某個村子里的高個子組成一個集合；

B.所有小的正數(shù)組成的集合；

C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一個集合；

D.1,0.5,12【解析】由于“高個子”、“小的”沒有一個明確的標(biāo)準(zhǔn)，A,B的對象不具備確定性；D中的0.5,12,14集合具有無序性，所以C是正確的；故選C.【點撥】本題考核集合元素的三要素.【典題2】設(shè)集合A={2,1?a,a2?a+2}，若4∈A，則a=【解析】∵4∈A∴1?a=4或i若1?a=4，則a(ii)若a2?a+2=4a=2時，此時1?aa=?1時，此時1?a=2，則A={2,2,4}綜上a=?3或2．【點撥】本題考核集合元素的特征和元素與集合的關(guān)系；當(dāng)a=?1時，1?a=2，此時A={2,2,4}不符合集合的故求出集合后最好做下檢查.【典題3】用列舉法表示集合A={6x?2【解析】根據(jù)x∈N，且6x=0時，6x?2=?3；x=1時，x=4時，6x?2=3；x=5時，∴A={－3,－6,6,3,2,1}．【點撥】①看集合先確定元素類型(本題中元素是“6x?2”②集合若能化簡先化簡，用最簡潔的形式表示能讓我們更好理解集合.【典題4】若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}【解析】∵集合A={x|ax∴a=0或a≠0△=4?4a≤0，解得a=0∴a的取值范圍是{a|a=0或【點撥】注意二次項系數(shù)是否等于0，先確認(rèn)函數(shù)類型.鞏固練習(xí)1(★)下列各組對象能構(gòu)成集合的是()A．充分接近的所有實數(shù) B．所有的正方形C．著名的數(shù)學(xué)家 D．1，2，3，3，4，4，4，4【答案】B【解析】選項A、C不滿足集合的確定性；集合B正方形是確定的，故能構(gòu)成集合；選項D不滿足集合的互異性．故選：B．2(★)以實數(shù)x,?x,|x|,xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】當(dāng)x>0時，x=|x|=當(dāng)x=0時，x=|x|=當(dāng)x<0時，?x=|x|=故由以實數(shù)x,?x,|x|,x故選：C．3(★)下面有四個命題：(1)集合N中最小的數(shù)是1；(2)0是自然數(shù)；(3){1,2,3}是不大于3的自然數(shù)組成的集合；(4)a∈N,b∈N，則a+b不小于2..其中正確的命題的個數(shù)是 ( )A．１個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解析】(1)集合N中最小的數(shù)是0，(2)對，(3)不大于3的自然數(shù)組成的集合是{0,1,2,3}，(4)因為0∈N，所以a+b可能小于24(★★)設(shè)集合M={x|x=3k,k∈Z}，P={x|x=3k+1,k∈Z}，Q={x|x=3k?1,k∈Z}，若a∈M,b∈P,c∈Q，則a+b?c∈()

A.MB.PC.QD.M∪P【答案】A5(★★)已知x,y,z為非零實數(shù)，代數(shù)式x|x|+y|y|A．4∈M B．2∈M C．0?M D．?4?M【答案】A【解析】根據(jù)題意，分4種情況討論；①、x、y、z全部為負(fù)數(shù)時，則xyz也為負(fù)數(shù)，則x|x|②、x、y、z中有一個為負(fù)數(shù)時，則xyz為負(fù)數(shù)，則x|x|③、x、y、z中有兩個為負(fù)數(shù)時，則xyz為正數(shù)，則x|x|④、x、y、z全部為正數(shù)時，則xyz也正數(shù)，則x|x|則M={4,?4,0}；分析選項可得A符合．6(★★)點的集合M={(x,y)|xy≥0}是指()A．第一象限內(nèi)的點集B．第三象限內(nèi)的點集C．第一、第三象限內(nèi)的點集D．不在第二、第四象限內(nèi)的點集【答案】D【解析】xy≥0指x和y同號或至少一個為零，故為第一或第三象限內(nèi)的點或坐標(biāo)軸上的點．故選D7(★★)已知含有三個實數(shù)的集合既可表示成{a,ba,1}，又可表示成{a2【答案】?1【解析】根據(jù)題意，由{a,ba,1}={a2又由ba的意義，則a≠0，必有b則{a,0,1}={a則有a2=1，即集合{a,0,1}中，a≠1，則a故答案為：?18(★★)若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一個元素，則實數(shù)k【答案】0或1【解析】由集合A={x|kx當(dāng)k=0時，4x+4=0，即當(dāng)k≠0時，△=16?4?k?4=0，解得k=1．綜上，k=0或19(★★)用列舉法表示集合{m|m?23【答案】{2,5,8}．【解析】根據(jù)題意，∵m∈N∴m?2≤8,又因m?23∈N，∴(m?2)∈∴m?2=0或3或6，∴m=2或5或8，∴集合{m|m故答案為：{2,5,8}．10(★★)集合A=x∈Z∣y=【答案】12【解析】由題意，集合x∈Z∣y=12x+3∈由此可得x=?15，?9，?7，?6，?5，?4，?2，?1，0，1，3，9；此時y的值分別為：?1,?2,?3,?4,?6,?12,12,6,4,3,3,1，符合條件的x共有12個，11(★★)用列舉法表示下列集合(1)11以內(nèi)偶數(shù)的集合；(2)方程(x+1)(x(3)一次函數(shù)y=2x與y=x+1的圖象的交點組成的集合．【解析】(1){2,4,6,8,10}；(2)解方程(x+1)(x2?4)=0故方程(x+1)(x2?4)=0(3)解方程組&y=2x&y=x+1得&x=1因此一次函數(shù)y=2x與y=x+1的圖象的交點為(1,2)，故所求的集合為{(1,2)}．12(★★★)已知集合A1)若A是空集，求a的取值范圍；2)若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來；3)若A中至多只有一個元素，求a的取值范圍【答案】1)a>98;2)若a=0，則有A=23；若a=98