2021屆高三大題優(yōu)練6 圓錐曲線之定值定點問題（文）

22

例1.已知橢圓。：會+方=1（。>8>0）,其上頂點與左右焦點￡、入圍成的是面積為6的正三角形.

⑴求橢圓C的方程;

⑵過橢圓C的右焦點8的直線/（/的斜率存在）交橢圓c于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交X軸于

\MN\

點p，問：叵丁是否是定值？若是，求出定值；若不是，說明理由?

22

（1）二+二=1；⑵是定值，定值為4.

43

（1）???△尸耳心為正三角形，二5"匹儲=2=百，可得c=l,

1

且一二一，^7=2,

a2

22

???橢圓C的方程為土+2-=1.

43

（2）分以下兩種情況討論:

①當直線/斜率不為。時，設(shè)其方程為x=my+l（M2O）,且M（X，y）,N（x2,y2）,

x=my+1

聯(lián)立〈尤2+y2,消去X得（3加2+4）9+6叩一9=0,

彳十5一

/>0

-6m/、c8

則〈x+曠藐彳，且不+々=〃心+%)+2=京0，

-9

%%=22：

5m+4

(4-3m

，弦MN的中點。的坐標為y3m2+4'3m2+4J

(43m

則弦MN的垂直平分線為y=-mx--------

、3加~+43m2+4

113(m2+1)

令y=o,得/=.?.IPF21=1———=~L

3m2+43m2+43療+4

又|MN|=Vl+m2-y\=Jl+MJ(y+y)2-4,必=Vl+m236加36

22(3加+4『+3〃，+4

12"+i)

3m2+4

.同一「;

,,,,IMA^I

②當直線/斜率為0時，貝“肱V|=2a=4,|P6|=c=l,貝ij扇=4,

IMN\

綜合①②得「曰是定值且為4.

1尸工1

22

例2.已知產(chǎn)是橢圓c：A+當1(。＞人＞0)的左焦點，焦距為4,且C過點p(百,1).

ab

(1)求C的方程；

(2)過點E作兩條互相垂直的直線4,，2,若4與。交于A,8兩點，4與。交于。,E兩點，記AB的中點為

加,。石的中點為可，試判斷直線MN是否過定點，若過點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

22=1；(2)過定點，［一：，°-

⑴土+匕

62I2，

2c=4

31

（1）由題意可得+后=1解得a2=6或2（舍）,

a2=h2^c2

廿二2,

故橢圓。的方程為上+上=1.

62

(2)由題意知，當4,4其中一條的斜率不存在時，另外一條的斜率為0,此時直線MN為x軸;

當4,4的斜率都存在且不為0時，設(shè)4：X=-2(m*0),

x=niy-2

設(shè)A（x“|）,B（x,y）,聯(lián)立<x2y2,整理得（機2+3）y2_4根y_2=0,

22---1---=1

62

J=16w2+8（m2+3）＞0,y+-2

/、-12

則%+々=加（X+%）-4=

m~+3

-62m）

所以A3的中點”/+3'm2+3J5

x=--y-2

m-6m2-2m、

同理由V,可得。石的中點N

2222

廠J1、3m+1'3m+1,

162

2m2m

nr+33nr+14m

66m23（m2-1）

2m4m(6、

所以直線MN的方程為k"=而刁/>

4m2m4m（3、

化簡得尸跡刁"月=談口卜+5〉

故直線MN恒過定點（一口.

I2J

綜上，直線MN過定點J：,。）.

1.已知橢圓C:J+，=l(a>b>0)的左、右焦點分別為片，尸2,離心率為母，點G是橢圓上一點，

△6打工的周長為6+4百.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/：丁=丘+加與橢圓C交于A,8兩點，且四邊形。4GB為平行四邊形，求證：OAGB的面積

為定值.

2.如圖，已知橢圓C:5+y2=i(q>i)的左焦點為/，直線>="(％>0)與橢圓C交于A,6兩點,

且胡?方=0時，k=—

(1)求a的值；

(2)設(shè)線段AE,8尸的延長線分別交橢圓C于。，E兩點,當左變化時，直線OE與直線A8的斜率之

比是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，請說明理由.

3.已知橢圓c：5■+，=1(。＞。＞0)的離心率6=孝，過右焦點尸(。,0)的直線y=x-c與橢圓交

于A,8兩點，A在第一象限，且|AF|=g.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若過點尸的任一直線/與橢圓C交于兩點尸、。.證明：在x軸上存在點M,使得麗?而為定

值.

22

4.已知經(jīng)過原點。的直線與離心率為日的橢圓。：￡+今=1(“>〃>0)交于4B兩點，耳、工是橢

圓C的左、右焦點，且“耳人面積的最大值為1.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)如圖所示，設(shè)點P是橢圓C上異于左右頂點的任意一點，過點P的橢圓。的切線與％=-2交于點

M.記直線的斜率為匕，直線M與的斜率為42,證明：仁a2為定值，并求出該定值.

5.設(shè)橢圓C:[+]=l(a>b>0),。為原點，點44,0)是x軸上一定點，已知橢圓的長軸長等于

a~b~

1041,離心率為也.

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/：丁=丘+，與橢圓C交于兩個不同點M,N,已知M關(guān)于y軸的對稱點為,N關(guān)于原點。的

對稱點為N',若點AM',N'三點共線，求證：直線/經(jīng)過定點.

6.已知橢圓C:=+與=1(。＞。＞0),直線/:x—46y+6=0過橢圓的左焦點尸，與橢圓C在第一象

ah

限交于點M,三角形MR9的面積為立，A、8分別為橢圓的上下頂點，P、。是橢圓上的兩個不同的

4

動點?

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)直線Q4的斜率為即”，直線Q8的斜率為％B,若2MA+%°B=0,問直線PQ是否過定點，若過定

點，求出定點；否則說明理由.

7.設(shè)定圓M：(x+2)2+y2=24,動圓N過點F(2,0)且與圓/相切，記動圓N圓心N的軌跡為曲線

C.

(1)求曲線。的方程;

(2)直線/與曲線。有兩個交點P,Q,若麗?麗=(),證明：原點。到直線/的距離為定值.

8.設(shè)為拋物線C:y2=2px(p>0)上兩點，且線段的中點在直線'=〃上.

(1)求直線AB的斜率；

(2)設(shè)直線丁=〃與拋物線C交于點M,記直線M4,MB的斜率分別為左，Q當直線A3經(jīng)過拋物線

C的焦點/時，求K+網(wǎng)的值?

X2y2

9.已知橢圓C:亍+》=1(。＞人＞0)的左、右頂點分別為A,A,上頂點8(0)).若的面

積為0,橢圓C的離心率為半.

(0求橢圓。的方程；

(2)設(shè)不經(jīng)過點8的直線/與橢圓。交于尸，。兩點，若PB_LQB,證明：直線/經(jīng)過定點，并求出該定

點的坐標.

1.(1)工+匕=1；(2)證明見解析.

123

(1)因為4G耳外的周長為6+46，

所以2a+2c=6+4&,即a+c=3+26.

又離心率e=￡=@,解得a=26,c=3,

a2

h2=a2—c2=3

22

橢圓。的方程為二+二=1.

123

⑵設(shè)A(%,y),8(w，%),G(%%),

將y=丘+機代入土+上-=1,

-123

消去y并整理得(1+)/+8k71r+412=0,

8km4m2-12

則X+xx-x=

i21+4Ft21+4二

2m

Y+%=k(須+x)+2m=

21+4/

,??四邊形OAGB為平行四邊形,

8km2m

(x+%2，X+必)>得G

OG=OA+OB=)1+4氏2'1+4氏2

將G點坐標代入橢圓C方程得m2=［（1+4公），

\m\)------

2

點。到直線A6的距離為4=訪前,\AB\=yJl+k1%1-%2|,

，平行四邊形。4GB的面積為

S=dMM"|時N―即二|加|而+々）2-以也=4MJ：+；：；1ZL

|/n|\l?>m2

=4"蒜=3g，

1+4公

故平行四邊形OAGB的面積為定值為3百.

2.（1）百；（2）為定值5.

（1）設(shè)A（/,%），則3（f,-%），

由題意得焦點為F（-77^1,0）,

所以,FA-FB=(x0+\ja~—1,y0j-(—x0+>Ja~—1,—j=-—%+a~

當麗?麗=0時，有片+y；=〃_i

)=區(qū)2

2

4+/=i,得*=備12_Ha

%=F7TT

ii—〃k)2

從而一;~~----1~~----/—1

k'a'+\k-a'+1

將々=走代入，得￥，=/_],

3a2+3

所以/=3（。＞1）,故a=B

（2）由⑴知，F(xiàn)（-V2,0）,橢圓C：：1_+y2=].

設(shè)4。：%=^^y一血，代入橢圓。：無2+3/=3,

%

3?體+⑷,2_2如+鞏_]=0

得

%

而x；+3%=3,即(5+2夜％)丁_28[0+夜)%,_尤=(),

一.%

從而力

5+2&再).

同理歷"二胃2'_0，九=W，從而出2垃X。

5

)人一如1

于是既＞￡—'Ef—=5.&=5%,

龍。血九+%

/一/)xn_y/2xa+>/2

-------九一------%

%%%為yE-yD

所以DE,BC的斜率之比為定值5.

22

3.(1)—+^=1；(2)證明見解析.

189

(1)由6=變，得Q=2c=2b,設(shè)橢圓方程為￡+力=1,

22b2b2

x2+2y2=2b2

聯(lián)立方程組<<，得3/一4加=0,

y=x-b

,4b

則/=彳，

所以|4司=近值-巧7|=血-'|=&,所以b=3,

所以橢圓。的方程為土+匕=1.

189

(2)證明：當直線/不與x軸重合時，設(shè)/:x=〃y+3,

x*2+2y2=18/,\,八八

聯(lián)立方程組〈,得（〃2+2）式+6g，-9=0.

x=ny+3

6“o

設(shè)P（%，x），。（孫必），M—0）,則有y+%=--「7，%.丫2=一一V—；■

于是-MQ=（%-f）（々—°+y%=（"X+3—0（"%+3-r）+X%

=（〃2+l）M%+〃（3-。（弘+%）+（37）2=^7^-9（n2+l）-6n2（3-?）+（3-r）2（n2+2

[6z-27+（3-/）2]?2+2（3-f）2-9（z2-18）n2+2z2-12r+9

n2+2n2+2

若而心而為定值，則有2『—⑵+9=2（/一18）,得⑵=45,f=

此時荻?汨=/一18；

當直線/與x軸重合時，P（-3>/2,0）,以3衣0）,

也有血.詼=（%一）（々-）=（一3五一）（3&T）=y_18,

（15、_________63

綜上，存在點M下,0,滿足=-=.

k4）16

r21

4.（1）—+/=1；（2）證明見解析，定值為一二

2-3

（1）因為橢圓的離心率為受，所以e=￡=?Z,

2a2

設(shè)A（x（）,%）,則,

當|%|時，入面積取得最大值，

所以。C=1,

222

又/=+c,解得a=2,Z?=1}

XC

所以橢圓的方程是一+丁=1.

2-

2

(2)設(shè)直線PM:》=履+加與三+>2=1聯(lián)立得(1+2公卜2+4A/nx+2m2-2=0,

因為PM是橢圓的切線，

所以/=(4k〃)2-4X(1+2%2)X(2，/_2)=0,即2公-病+I=O,

22

由—+y2=1,得y2=1—-,

一，，犬

所以2?=—%，貝ijy=--,

2y

設(shè)則％=一■"①，

2

因為4-+%2=1,所以%2=2(1—%2)②,

將①②代入2左2-m2+1=0,得〃L2=—1

)’0

1

因為肛方同號，所以酬=一，

為

因為M在直線x=—2上，所以M（—2,—2A+根），耳（一1,0）,5（1,0）,

-2k+m

所以k2

%+1—3

%

%~--m

%(2J")

=I%--/一期x()+l_1

所以&?&=3(%+1)

3(%+1)3(%+1)3(x0+l)=—3

5.(1)—+/=1；(2)證明見解析.

4

（1）由題意得a=2,c=V3,所以。2=/一。2=1,

r2

所以橢圓c的方程為L+y2=1.

4-

⑵證明：設(shè)加（玉,凹），N（x2,y2）,則M'（—XQJ,N'（-/,一%）,

y=kx+t

直線MN:y=^+r,與橢圓方程聯(lián)立＜X22,

—+y-1

14-

8kt4/一4

得（1+4&2）V+8依+4產(chǎn)-4=0,貝iJx+x2

Mie'中2=77^7

k一%k

*-x,-4'A”4+X2-

因為點AM',N'三點共線，所以心”，=的.，即一&7=9一，

一F一44+X,

而、/=必（々+4）+為（斗+4）=0

%+44+/（%+4）（々+4）

即（依+，）（9+4）+（優(yōu)+，）（玉+4）=0,

整理得2g%2+H+4攵）（玉+%2）+&=0.①

,8H4/一4八g

由％+=—-yr,x.x=------,代入①

￡■1+4%2121+4/

4產(chǎn)一4Xkt

2k—―一”+4Z）?一^v+8f=0,整理得/=攵，

1+4/1）1+4公

所以直線/的方程為y=^+z=z（x+i）,即直線/恒過定點（T,o）.

2

6.（1）?+丁=1；（2）直線。。過定點（0,3）.

(1)直線/:》一40y+G=O過左焦點尸，所以尸卜百,0),c=Ji,

I]

又由SAOMF=；x6xy”=7，可知％=不

Z44

從而橢圓經(jīng)過點

由橢圓定義知2。=工+、12+,1=4,即。=2,

24

故橢圓的方程為C：二+V=1.

4-

(2)設(shè)直線R4的方程為丁="+1,則Q8的方程為y=-2日—1,

由。y=+k4x/+\=4得（4攵2+1*+86=0,

—8人\-4k2

從而點尸坐標為

4公+1'4人2+1

y=-2kx-1

由4,,得（16公+l）d+i6奴=0,

x+4y=4

—16左16左2一1、

從而點。坐標為16公+1'16公+1『

由條件知攵。0,從而直線PQ的斜率存在，即0=登士

4k

所以直線PQ的方程為y—片彳=+》吟］,

4H+14AI4/+1J

即y=8：Jx+3,過定點((),3),

故直線PQ過定點(0,3).

7.(1)—+^-=1；(2)證明見解析.

62

(1);點/(2,0)在圓“：0+2)2+,2=24內(nèi)，

二圓N內(nèi)切于圓M,，|770|+|八呵=26>|月0|，

所以N點軌跡是以M,尸為焦點的橢圓，且〃=J6,c=2,從而b=

22

.??點N的軌跡。的方程為土+匕=1.

62

⑵設(shè)P（X］，X）,。（々，%）,

y=kx+m

若直線/斜率存在，設(shè)/:丁=機，聯(lián)立.72

6+廠+，-i,

1-6--1---2--1

整理得（1+3Y）Y+6kmx+3m2-6=0,

-6km34-6小

玉+々一，一,2，為工2-，，①

1+3K1-1+3公

.■OPOQ=0,x,x2+=0,①

+2

化簡得（1+%2）西工2km（xt+x2）+m=0即2m2-3A2_3=0,

|m\展

故原點。到直線/的距離為d=丁"=-

V1+F-

目澗

x=n

若直線/斜率不存在，設(shè)/:x=〃，聯(lián)立，x2>'2]'

--1----=1

.（52

解得p］〃,歸q,。［〃,一月匚:

代人①化簡得I〃|=乎，

即原點。到直線的距離為d=—,

2

綜上所述，原點。到直線/的距離為定值立.

2

8.(1)1；(2)4.

(1)設(shè)A(%,y),89,%)，

因為A3在拋物線C:y2=2px(p>0)上，且的中點在直線P=〃上，

22

則石=*，々=?，X+%=2〃，

2p2p

所以直線AB的斜率％=入二&=2二4=上二=1.

玉一々一一必y+必

2〃

(2)?.?直線A8經(jīng)過拋物線C的焦點/?..直線AB的方程為》=>+5，