專題07二次函數(shù)中的將軍飲馬(原卷版+解析)

專題07二次函數(shù)中的將軍飲馬1．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是___________．（2）已知P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是___________．2．已知拋物線的圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式及與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，？(3)在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．(1)該拋物線的解析式為______．(2)若拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得的值最小？若存在求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在該函數(shù)圖象上（其中），求m的值；(4)在（3）的條件下，試問在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使的值最小，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，繞點(diǎn)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在這樣的點(diǎn)，使得最小值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)在拋物線上有一點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．6．如圖，已知拋物線經(jīng)過B(?3，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．(1)求拋物線的解析式；(2)若直線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，則m=_____________；n=_____________；(3)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E，使得的值最小，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(4)設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在使為等腰三角形的點(diǎn)P，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．7．如圖，二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線的對(duì)稱軸；(3)點(diǎn)P是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，求P的坐標(biāo)．8．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，與軸正半軸交于點(diǎn)，且，拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)．(1)求拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的最小值．9．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)M是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．10．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)若點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，線段PQ是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．11．如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求的最小值12．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．已知A（－1，0），C（0，3）．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M，使得的值最大，求此點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在P點(diǎn)，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．13．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)．(1)求直線及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)P為x軸上方拋物線上一點(diǎn)．①若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖，軸交于點(diǎn)D，軸交于點(diǎn)E，求的最大值；(3)Q為拋物線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．專題07二次函數(shù)中的將軍飲馬1．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是___________．（2）已知P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是___________．【答案】

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得解析式中m的值，繼而求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）首先連接BC交拋物線的對(duì)稱軸l于P點(diǎn)，此時(shí)的值最小時(shí)，然后利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，繼而求得答案．【詳解】（1）把點(diǎn)代入拋物線，解得，∴該拋物線的表達(dá)式為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）連接BC，交拋物線的對(duì)稱軸l于一點(diǎn)，由拋物線的對(duì)稱性可知，該點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，把和代入，得：解得：，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為．∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式以及距離最短問題，注意找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．2．已知拋物線的圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式及與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，？(3)在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，，即可；（3）作拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)P，則交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解∶把點(diǎn)，代入拋物線可得方程組，解得：，所以函數(shù)表達(dá)式為，

當(dāng)時(shí)，，解得；另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）解∶觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，；（3）解∶如圖，作拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)P，則交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)式為，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解兩條線段和的最小值，利用拋物線的圖象解一元二次不等式，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．(1)該拋物線的解析式為______．(2)若拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得的值最??？若存在求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，面積最大值為8【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）根據(jù)題意得：點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為Q，此時(shí)最?。蟪鲋本€的解析式，即可求解；（3）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D．設(shè)P點(diǎn)，則D點(diǎn)，可得，再根據(jù)結(jié)合二次函的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴該拋物線的解析式為：；（2）解：如圖1，根據(jù)題意得：點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為Q，此時(shí)最小．設(shè)直線BC的解析式為：，將點(diǎn)，代入得：，解得：．∴直線解析式為：，解方程組得：，∴點(diǎn)即為所求；（3）解：如圖2，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D．設(shè)P點(diǎn)，則D點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)時(shí)，最大值，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意距離最短問題的求解關(guān)鍵是點(diǎn)的確定，特別是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在該函數(shù)圖象上（其中），求m的值；(4)在（3）的條件下，試問在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使的值最小，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)對(duì)稱軸：直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)：(3)6(4)存在，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為時(shí)，最小【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答解答，即可求解；（2）把二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解；（3）把代入二次函數(shù)的解析式，即可求解；（4）作點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)和點(diǎn)代入，得∶，解得：，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：∵∴對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)：；（3）解：∵點(diǎn)在函數(shù)圖象上，∴，∴或6．∵，∴m的值為6；（4）解：存在．如圖，由（2）可知，作點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)、代入得：，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，∴．∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為時(shí)，最?。军c(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，繞點(diǎn)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在這樣的點(diǎn)，使得最小值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)在拋物線上有一點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，(3)或或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，然后求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后代入求解即可；（2）首先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，然后根據(jù)題意得到，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出直線BD的解析式，代入即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)，根據(jù)題意表示出，，，分情況討論分別列出方程求解即可．（1）∵繞點(diǎn)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到，，∴，，∴，，把，代入得，∴，∴；（2）存在．點(diǎn)A與點(diǎn)B為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，則與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為P，如圖1，∴，∴此時(shí)的值最小，當(dāng)時(shí)，，∴，，則，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，∴，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）如圖2，設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，∴，，此時(shí)Q的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，，即，整理得，∴，，此時(shí)Q的坐標(biāo)為或；綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為或或；【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)綜合問題，數(shù)形結(jié)合思想，直角三角形存在性問題等知識(shí)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意求出二次函數(shù)表達(dá)式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．6．如圖，已知拋物線經(jīng)過B(?3，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．(1)求拋物線的解析式；(2)若直線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，則m=_____________；n=_____________；(3)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E，使得的值最小，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(4)設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在使為等腰三角形的點(diǎn)P，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)1，3(3)點(diǎn)E（1，2）；(4)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0)或(3，0)或(，0)或(，0)．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由待定系數(shù)法即可求解；（3）點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱，則BC與對(duì)稱軸l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)E，進(jìn)而求解；（4）求得BC的長(zhǎng)，分B為頂點(diǎn)、C為頂點(diǎn)、BC底邊三種情況討論，進(jìn)而求解．（1）解：將點(diǎn)B(?3，0)，C(0，3)的坐標(biāo)代入拋物線解析式得，解得，故拋物線的解析式為；（2）解：∵直線經(jīng)過B(?3，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，∴，解得，∴直線BC的解析式為y=x+3；故答案為：1，3；（3）解：∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對(duì)稱，∴BC與對(duì)稱軸l的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，如下圖，則此時(shí)AE+CE=BE+CE=BC為最小，當(dāng)時(shí)，y=x+3=2，∴點(diǎn)E（1，2）；（4）解：∵B(?3，0)，C(0，3)，∴OB=OC=3，∴BC=，當(dāng)B為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，則PB=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)或(，0)；當(dāng)C為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，則PC=BC，∴點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，0)；當(dāng)BC為底邊時(shí)，則PC=PB，即點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0)；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0)或(3，0)或(，0)或(，0)．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．7．如圖，二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線的對(duì)稱軸；(3)點(diǎn)P是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，求P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)直線x＝1(3)點(diǎn)P（1，2）【分析】（1）把點(diǎn)，代入拋物線解析式求出b,c即可．（2）由頂點(diǎn)式可得對(duì)稱軸直線x＝1，（3）當(dāng)A、P、B在同一直線上時(shí)，達(dá)到最小值,求直線BA解析式，把x＝1代入即求得點(diǎn)P縱坐標(biāo)．（1）∵拋物線過點(diǎn)，∴把點(diǎn)A（0，3）代入得：c＝3∴c＝3∴把點(diǎn)代入得：-9+3b+3＝0∴b＝2∴拋物線解析式為（2）∵拋物線解析式為∴∴對(duì)稱軸為直線x＝1（3）當(dāng)A、P、B在同一直線上時(shí)，PA+PB＝AB最小設(shè)直線BA解析式為y＝kx+3把點(diǎn)B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1∴直線BA：y＝﹣x+3∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸上∴＝﹣1+3＝2∴當(dāng)點(diǎn)P（1，2）時(shí)，最小．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的最短路徑問題，解題的關(guān)鍵要準(zhǔn)確求出二次函數(shù)的解析式．8．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，與軸正半軸交于點(diǎn)，且，拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)．(1)求拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）點(diǎn)、關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求點(diǎn)，此時(shí)的值最小，根據(jù)的橫坐標(biāo)，代入直線的函數(shù)表達(dá)式即可求出的坐標(biāo)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)度即可．（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)知，，∵，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得.故拋物線的表達(dá)式為；將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得，故直線的表達(dá)式為；（2）∵點(diǎn)、關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求點(diǎn)，此時(shí)的值最小，理由：由函數(shù)的對(duì)稱性知，，則為最小，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)知，，則，即點(diǎn)的坐標(biāo)為、的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用：線段周長(zhǎng)問題．解題的關(guān)鍵是：利用待定系數(shù)法正確的求出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．本題考查將軍飲馬問題，找到定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，與另一定點(diǎn)形成的線段即為線段和的最小值．9．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)M是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩點(diǎn)式和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）連接BC，BC與直線l的交點(diǎn)即為M．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將點(diǎn)C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴；∴函數(shù)的解析式為：．（2）解：拋物線的對(duì)稱軸為：；點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接BC，則BC是點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和的最小值，設(shè)直線BC的解析式為：，則：，解得：，∴，設(shè)，代入得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確求出函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題是解題的關(guān)鍵．本題的動(dòng)點(diǎn)問題是將軍飲馬問題，找到定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，與另一個(gè)定點(diǎn)形成的線段即為最短距離．10．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)若點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，線段PQ是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)線段PQ存在最大值，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)使用待定系數(shù)法求解即可．（2）連接MA，設(shè)直線AC與二次函數(shù)的對(duì)稱軸交于N．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短確定當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，MB+MC取得最小值為AC，根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理即可求解．（3）過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交直線AC于E，設(shè)，其中，設(shè)直線AC解析式為y=kx+d．根據(jù)等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊確定QE=PQ，根據(jù)勾股定理確定，進(jìn)而確定當(dāng)EP取得最大值時(shí)，PQ取得最大值，根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C坐標(biāo)使用待定系數(shù)法求出直線AC解析式，進(jìn)而用p表示EP的長(zhǎng)度，再根據(jù)二次函數(shù)的最值求出p的值，最后代入計(jì)算即可．（1）解：把點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式得解得所以拋物線的解析式為．（2）解：如下圖所示，連接MA，設(shè)直線AC與二次函數(shù)的對(duì)稱軸交于N．∵、，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱，OA=2．∴MA=MB．∴MB+MC=MA+MC．∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值為AC．∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，∴．∴OC=2．∴．∴MB+MC的最小值為．（3）解：如下圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交直線AC于E，設(shè)，其中，設(shè)直線AC解析式為y=kx+d．∵OA=2，OC=2，∴OA=OC．∴．∵PD⊥x軸，∴∠ADE=90°．∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．∴∠QEP=∠DEA=45°．∵PQ⊥AC，∴∠PQE=90°，．∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．∴∠QPE=∠QEP．∴QE=PQ．∴．∴．∴當(dāng)EP取得最大值時(shí)，PQ取得最大值．把點(diǎn)A和點(diǎn)C坐標(biāo)代入直線AC解析式得解得∴直線AC解析式為．∴．∴．∴當(dāng)時(shí)，EP取得最大值．∴．∴線段PQ存在最大值，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，勾股定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．11．如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求的最小值【答案】(1)(2)10【分析】（1）設(shè)，將代入求解即可；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，利用勾股定理及軸對(duì)稱的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線交x軸于兩點(diǎn)，∴設(shè)，將代入，得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為；（2）如圖1，作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，∵，，∴，∵O、關(guān)于直線對(duì)稱，∴垂直平分，∴垂直平分，∴四邊形BOCO′是正方形，∴，在中，，∵，∴，即點(diǎn)Q位于直線與直線交點(diǎn)時(shí)，有最小值10．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，線段最短及軸對(duì)稱的性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．12．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．已知A（－1，0），C（0，3）．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M，使得的值最大，求此點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在P點(diǎn)，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)該拋物線的解析式為；(2)點(diǎn)M（1，6）；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，6）或或或．【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A，從而可得當(dāng)A，C，M三點(diǎn)共線時(shí)，最小，連接AC，并延長(zhǎng)AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，求出直線AC的解析式，即可求解；（3）分三種情況討論，即可求解．（1）解：∵拋物線經(jīng)過A（-1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為；（2）解：由拋物線的對(duì)稱性得，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A，∴BM=AM，∴，∴當(dāng)A，C，M三點(diǎn)共線時(shí)，最小，如圖，連接AC，并延長(zhǎng)AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋d，把A（-1，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直線AC的解析式為y＝3x＋3，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3＋3＝6，∴點(diǎn)M（1，6）；（3）解：根據(jù)題意得：點(diǎn)D（1，0），∴，設(shè)