專(zhuān)題49與角有關(guān)的等腰三角形的存在性問(wèn)題(原卷版+解析)

專(zhuān)題49與角有關(guān)的等腰三角形的存在性問(wèn)題【題型演練】一、解答題1．在等邊中，D為上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，過(guò)B作，連接，，且．(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若D為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，試探究、、的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，若D為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的比值．2．已知是銳角三角形，且，點(diǎn)，分別是邊，上一點(diǎn)，點(diǎn)是和的交點(diǎn)．(1)如圖1，若，且，，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，且，過(guò)點(diǎn)作，且，線(xiàn)段與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，求證：．3．在等邊中，為射線(xiàn)上一點(diǎn)，是外角的平分線(xiàn)，，于．(1)如圖1，求證；(2)如圖1，若點(diǎn)在線(xiàn)段上（不與，點(diǎn)重合），求證：；(3)如圖2，若點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，是等邊三角形．

(1)點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)至E，使，連接．求證：；②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以為邊在上方作等邊，連接，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(2)是的高，記長(zhǎng)為a，動(dòng)點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)，在上方以為邊作等邊，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．5．如圖1，在中，，，點(diǎn)O為兩外角，的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，連接，．(1)求證；(2)如圖2，點(diǎn)M在線(xiàn)段上，點(diǎn)N為射線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．求的周長(zhǎng)；如圖3，若，且點(diǎn)為，的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)G，使得與的周長(zhǎng)相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．在等邊三角形ABC中，，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)，連接PD，以PD為邊作等邊三角形PDE，連接BE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：．(2)如圖2，若，請(qǐng)計(jì)算的值．7．已知和均為等腰三角形，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在射線(xiàn)上．(1)如圖1，若，點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；(2)如圖2，若，求證：．(3)若，在（2）的條件下，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，P為所在直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．8．如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，．將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接．(1)當(dāng)時(shí)，通過(guò)上述旋轉(zhuǎn)可得到三條線(xiàn)段、、之間的等量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)探究：當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？（只填出探究結(jié)果即可）=．9．如圖1，C、D是以為直徑的上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，點(diǎn)P在上，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)H．(1)求的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，①求證：是等腰三角形．②求的值．(3)如圖1，設(shè)，與的面積差為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．10．如圖，在中，，，射線(xiàn)于點(diǎn)D．

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是射線(xiàn)，邊上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，．①如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；②如圖3，當(dāng)最小時(shí)，求證：．11．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為，，上的點(diǎn)，，，交于點(diǎn)G，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連接，．若，，，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在中，，與交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F．若，平分，，求的長(zhǎng)．12．如圖1，若P是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則稱(chēng)點(diǎn)P為的布洛卡點(diǎn)，同時(shí)稱(chēng)為的布洛卡角．布洛卡點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮．(1)如圖2，P為等邊三角形的布洛卡點(diǎn)，求的布洛卡角的度數(shù)；(2)如圖3，在中，，P是內(nèi)部一點(diǎn)，且，．①求證：P為的布洛卡點(diǎn)；②若，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，求證：D是中點(diǎn)．13．如圖，等腰直角中，，，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得線(xiàn)段，連結(jié)，．(1)【基礎(chǔ)鞏固】求證：；(2)【嘗試應(yīng)用】如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，若，求的面積；(3)【拓展思考】如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)與的交點(diǎn)為，若的面積為，分別求線(xiàn)段和的長(zhǎng)．14．在中，，兩條高，交于點(diǎn)H，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G．(1)如圖1，若是等邊三角形．①求證：；②求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若，，求的面積．15．如圖①，，以的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作正，延長(zhǎng)邊與的邊交于點(diǎn)，在邊上截取一點(diǎn)，使得，并連結(jié)．(1)求證：；(2)①將正繞頂點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使頂點(diǎn)落在內(nèi)部，如圖②，請(qǐng)確定，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②將圖②中的正繞頂點(diǎn)繼續(xù)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使頂點(diǎn)落在射線(xiàn)下方，如圖③，請(qǐng)確定，，之間的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由；(3)在(1)和(2)的條件下，若，，求BE的長(zhǎng)．16．如圖1，在線(xiàn)段上取一點(diǎn)，如果以，為邊在同一側(cè)作正方形與正方形，連接，取的中點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N．(1)請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．(2)如圖2，將正方形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得A，C，E在同一條直線(xiàn)上，其余條件不變．①填空：的度數(shù)是______，的度數(shù)是______．②探究（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由．17．已知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，D為中點(diǎn)．(1)如圖1，連接，E為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊長(zhǎng)向下作等邊三角形，連接，證明：．(2)在（1）的條件下，求的最小值．(3)如圖2，G，H分別為上的動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)I，，連接交于點(diǎn)J，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，，試探究的數(shù)量關(guān)系．18．背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。@個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出___________．知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線(xiàn)通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)題．(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過(guò)的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求的值．19．如圖，中，，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為秒，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)是以為斜邊的直角三角形時(shí)，求t的值．(2)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求t的值．專(zhuān)題49與角有關(guān)的等腰三角形的存在性問(wèn)題【題型演練】一、解答題1．在等邊中，D為上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，過(guò)B作，連接，，且．(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若D為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，試探究、、的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，若D為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的比值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，易得為等邊三角形，證明，得到，利用求出的長(zhǎng)即可．（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，易得為等邊三角形，證明，得到，根據(jù)，即可得到；（3）在上截取，易得為等邊三角形，證明，得到，設(shè)，求出，即可得解．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，∵三角形是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：；理由如下：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，∵三角形是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：在上截取，∵三角形是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，設(shè)，∴，，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．通過(guò)添加輔助線(xiàn)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．2．已知是銳角三角形，且，點(diǎn)，分別是邊，上一點(diǎn)，點(diǎn)是和的交點(diǎn)．(1)如圖1，若，且，，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，且，過(guò)點(diǎn)作，且，線(xiàn)段與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，求證：．【答案】(1)2(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，先證明，得到，，根據(jù)，可得，由，可得，則，即可得到答案；（2）先證明是等邊三角形，進(jìn)一步證明，延長(zhǎng)到，使得，連接．可證，得，延長(zhǎng)到，使，連接，則是等邊三角形，證，得到是等邊三角形，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，又∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為2．（2）證明：如圖2，∵，，∴是等邊三角形，∴，．在與中，∵，∴，∴，∴，∴．如圖2中，延長(zhǎng)到，使得，連接．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，在與中，∵，∴，∴，，∴，延長(zhǎng)到，使得，連接，則是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，在與中，∵，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．在等邊中，為射線(xiàn)上一點(diǎn)，是外角的平分線(xiàn)，，于．(1)如圖1，求證；(2)如圖1，若點(diǎn)在線(xiàn)段上（不與，點(diǎn)重合），求證：；(3)如圖2，若點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)答案見(jiàn)解析．(2)答案見(jiàn)解析．(3)不成立．理由見(jiàn)解析．【分析】（1）∵為等邊三角形，，∴，∵為角平分線(xiàn)，∴即可得出結(jié)論．（2）過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于，證得，得出，進(jìn)一步利用，得出結(jié)論．（3）證明方法同（1）得出（2）不成立．【詳解】（1）∵為等邊三角形，∴，∴，∵為角平分線(xiàn)，∴，∴．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作交AB于G，∵是等邊三角形，，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，∵是外角平分線(xiàn)，∴,∴∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∴．（3）不成立，此時(shí)，理由如下：如圖，∵∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定，利用邊角關(guān)系及等量代換求得結(jié)論．4．如圖，是等邊三角形．

(1)點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)至E，使，連接．求證：；②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以為邊在上方作等邊，連接，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(2)是的高，記長(zhǎng)為a，動(dòng)點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)，在上方以為邊作等邊，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②(2)a【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的定義得到，根據(jù)三線(xiàn)合一的性質(zhì)求出，利用三角形外角性質(zhì)求出，由此得到結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)P是中點(diǎn)時(shí)，證明，求出；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，，根據(jù)，得到的取值范圍；（2）取的中點(diǎn)E，連接，如圖，證明，得到，，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，由此求出點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．【詳解】（1）①∵是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)P是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)P是中點(diǎn)時(shí)，，，∵的等邊三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，，∵，∴；（2）取的中點(diǎn)E，連接，如圖，∵，∴，∵，∴，∵和都是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，∴點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為a．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，熟練掌握三角形的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．如圖1，在中，，，點(diǎn)O為兩外角，的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，連接，．(1)求證；(2)如圖2，點(diǎn)M在線(xiàn)段上，點(diǎn)N為射線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．求的周長(zhǎng)；如圖3，若，且點(diǎn)為，的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)G，使得與的周長(zhǎng)相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)2，【分析】（1）由，可得，根據(jù)點(diǎn)O為兩外角，的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，即有，，問(wèn)題隨之得解；（2）先證明，再根據(jù)，證明，在上取一點(diǎn)T，使得，連接，證明，接著證明，問(wèn)題隨之得解；②先計(jì)算出，根據(jù)點(diǎn)為，的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，可得，，在上取一點(diǎn)H，使得，連接，，如圖，根據(jù)與的周長(zhǎng)相等，可得，再證明，即有，，接著證明，即有，即可得，問(wèn)題得解．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵點(diǎn)O為兩外角，的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴，，∴，∴；（2）在（1）中已有，，，，即有，∵，∴，∴，∵，∴，在上取一點(diǎn)T，使得，連接，如圖，∵，，，∴，∴，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即的周長(zhǎng)為2；∵，，∴，∵點(diǎn)為，的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴，∴，，在上取一點(diǎn)H，使得，連接，，如圖，∵與的周長(zhǎng)相等，在中有：，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是一道三角形的綜合題，考查了角平分線(xiàn)的定義，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，做輔助線(xiàn)，證明、是解答本題的關(guān)鍵．6．在等邊三角形ABC中，，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)，連接PD，以PD為邊作等邊三角形PDE，連接BE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：．(2)如圖2，若，請(qǐng)計(jì)算的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)15【分析】（1）根據(jù)和均是等邊三角形，得到，同時(shí)結(jié)合角度得和差關(guān)系得到，即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)作交于，可以證得是等邊三角形，從而根據(jù)（1）中的方法證明，即可求解；【詳解】（1）∵和均是等邊三角形即在和中：∴（2）過(guò)點(diǎn)作交于是等邊三角形,且，是等邊三角形,即是等邊三角形在和中：即．【點(diǎn)睛】本題主要結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，考查全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確的作出輔助線(xiàn)是求解本題的關(guān)鍵．7．已知和均為等腰三角形，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在射線(xiàn)上．(1)如圖1，若，點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；(2)如圖2，若，求證：．(3)若，在（2）的條件下，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，P為所在直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意得出，為等邊三角形，證明，根據(jù)，即可得證；（2）在上截取，連接，證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（3）如圖所示，延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出當(dāng)取得最大值時(shí)，則的最大值為的長(zhǎng)，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，為等邊三角形，∴，∴，在和中，∴，∴，∵為等邊三角形，∴．∴，∴（2）如圖2，在上截取，連接，連接交于N，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，即．∴，在和中，∴，∴，∴．即．（3）解：如圖所示，延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，則的最大值為的長(zhǎng)，由（2）可得∴,∴，∴，∵為的中點(diǎn)，則，又∵∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．8．如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，．將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接．(1)當(dāng)時(shí)，通過(guò)上述旋轉(zhuǎn)可得到三條線(xiàn)段、、之間的等量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)探究：當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？（只填出探究結(jié)果即可）=．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)或或【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得即，進(jìn)而得到是等邊三角形即則，最后根據(jù)勾股定理即可解答；（2）分、、三種情況，然后分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得∴，

∴∴是等邊三角形

∴

∴∴是直角三角形

∴∴．（2）解：①要使，需∵，∴，解得：；②要使，需∴∴，∴；③要使，需∴，∴，解得綜上，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．9．如圖1，C、D是以為直徑的上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，點(diǎn)P在上，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)H．(1)求的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，①求證：是等腰三角形．②求的值．(3)如圖1，設(shè)，與的面積差為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)①見(jiàn)解析，②(3)【分析】(1)根據(jù)圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，計(jì)算即可．(2)①根據(jù)等腰三角形的定義證明即可．②利用圓周角定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)計(jì)算即可．(3)利用圓周角定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)計(jì)算即可．．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴．（2）①∵P是的中點(diǎn)，是直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．②∵，∴，∵是直徑，∴，∴，∴．∴，∵，又∵，∴，∴．（3）∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，，∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，射線(xiàn)于點(diǎn)D．

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是射線(xiàn)，邊上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，．①如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；②如圖3，當(dāng)最小時(shí)，求證：．【答案】(1)(2)①；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一進(jìn)行解答即可；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，得出，根據(jù)等腰三角形的判定得出，即可證明，得出，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出，證明，根據(jù)即可得出答案；②過(guò)點(diǎn)C作，在上截取，證明，得出，從而得出，、F、G在同一直線(xiàn)上時(shí)，最小，即最小，連接交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為F，交于點(diǎn)H，證明，得出，證明，得出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴；（2）解：①延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，如圖所示：∵在中，，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②過(guò)點(diǎn)C作，在上截取，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴、F、G在同一直線(xiàn)上時(shí)，最小，即最小，連接交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為F，交于點(diǎn)H，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∵，又∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．11．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為，，上的點(diǎn)，，，交于點(diǎn)G，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連接，．若，，，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在中，，與交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F．若，平分，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）利用，證明，，利用相似三角形的性質(zhì)可證得，結(jié)合可的結(jié)論；（2）由（1）得，，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，依據(jù)的性質(zhì)即可求出的值；（3）遵循第（1）、（2）小問(wèn)的思路，延長(zhǎng)交于M，連接，過(guò)點(diǎn)M作于N，根據(jù)角平分線(xiàn)和等腰三角形性質(zhì)構(gòu)造出含、角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴；（3）解：延長(zhǎng)交于M，連接，過(guò)點(diǎn)M作于N，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、等腰三角形的性質(zhì)及判定、解特殊的直角三角形等知識(shí)，遵循構(gòu)第（1）、（2）小問(wèn)的思路，構(gòu)造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖1，若P是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則稱(chēng)點(diǎn)P為的布洛卡點(diǎn)，同時(shí)稱(chēng)為的布洛卡角．布洛卡點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮．(1)如圖2，P為等邊三角形的布洛卡點(diǎn)，求的布洛卡角的度數(shù)；(2)如圖3，在中，，P是內(nèi)部一點(diǎn)，且，．①求證：P為的布洛卡點(diǎn)；②若，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，求證：D是中點(diǎn)．【答案】(1)(2)①見(jiàn)詳解；②見(jiàn)詳解；【分析】（1）證明，根據(jù)等邊所對(duì)的角相等列出等量關(guān)系式即可解得．（2）①通過(guò)角的和差即可證明；②延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C作，證明是等腰直角三角形，證明，證明即可證明．【詳解】（1）∵P為等邊三角形的布洛卡點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，同理可得，在和中，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①在和中，，∴，∵，∴，∴，∴P為的布洛卡點(diǎn)；②延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C作∵又∵，，∴，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴根據(jù)題干可知，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴D是中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找相似三角形，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．13．如圖，等腰直角中，，，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得線(xiàn)段，連結(jié)，．(1)【基礎(chǔ)鞏固】求證：；(2)【嘗試應(yīng)用】如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，若，求的面積；(3)【拓展思考】如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)與的交點(diǎn)為，若的面積為，分別求線(xiàn)段和的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)5；(3)，．【分析】（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）證明：由，推出，，可得，再利用勾股定理求出，可得結(jié)論；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．利用三角形的面積公式求出，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，∴，，，∵，，∴，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴的面積；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．同法可證，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．14．在中，，兩條高，交于點(diǎn)H，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G．(1)如圖1，若是等邊三角形．①求證：；②求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若，，求的面積．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②；(2)．【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到，，即可；②過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得，，從而得到，，進(jìn)而得到，即可；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得，，從而得到，進(jìn)而得到，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）①證明：，是等邊三角形的高，，，，分別平分和，，，，；②解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，等邊三角形的邊長(zhǎng)為8，，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，∵是的中點(diǎn)，∴，，，．，，．，，，．，，，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖①，，以的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作正，延長(zhǎng)邊與的邊交于點(diǎn)，在邊上截取一點(diǎn)，使得，并連結(jié)．(1)求證：；(2)①將正繞頂點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使頂點(diǎn)落在內(nèi)部，如圖②，請(qǐng)確定，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②將圖②中的正繞頂點(diǎn)繼續(xù)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使頂點(diǎn)落在射線(xiàn)下方，如圖③，請(qǐng)確定，，之間的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由；(3)在(1)和(2)的條件下，若，，求BE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①，理由見(jiàn)解析，②(3)3或5【分析】（1）證明，進(jìn)而即可得證；（2）①同（1）證明，進(jìn)而即可得出結(jié)論；②同①證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意，結(jié)合圖形，即可求解．【詳解】（1）證明：為正三角形，，，，，，，在與中，，，，，；（2）解：①結(jié)論為：，如圖②，理由如下：為正三角形，，，，，，，在與中，，，，，，②結(jié)論為：，如圖③，理由如下：為正三角形，，，，，，，在與中，，，，，；（3）解：在（1）條件下，；在（2）條件下，，綜上所述，或，答案：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16．如圖1，在線(xiàn)段上取一點(diǎn)，如果以，為邊在同一側(cè)作正方形與正方形，連接，取的中點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N．(1)請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．(2)如圖2，將正方形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得A，C，E在同一條直線(xiàn)上，其余條件不變．①填空：的度數(shù)是______，的度數(shù)是______．②探究（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由．【答案】(1)且；見(jiàn)解析(2)①；；②成立；見(jiàn)解析【分析】（1）證明，得出，，證明，得出是等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半和等腰三角形三線(xiàn)合一即可證明結(jié)論；（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出，根據(jù)，求出；②延長(zhǎng)交于N，連接，，同（1）可證，得出，，證明，得出，，證明是等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半和等腰三角形三線(xiàn)合一即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：且．∵以，為邊在同一側(cè)作正方形與正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，．（2）解：①∵A，C，E在同一條直線(xiàn)上，，，∴，，∴．故答案為：；．②成立．理由如下：如圖，延長(zhǎng)交于N，連接，．同（1）可證，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即是等腰直角三角形，∵，∴，，綜上可知，且．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．17．已知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，D為中點(diǎn)．(1)如圖1，連接，E為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊長(zhǎng)向下作等邊三角形，連接，證明：．(2)在（1）的條件下，求的最小值．(3)如圖2，G，H分別為上的動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)I，，連接交于點(diǎn)J，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，，試探究的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明，即可證明；（2）將沿所在直線(xiàn)折疊得，作于H，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，最后根據(jù)勾股定理求出即可；（3）延長(zhǎng)至M，使得，連接，先根據(jù)證明，進(jìn)而證明，然后求出，再根據(jù)求出，證明，求出，最后根據(jù)等量代換得到即可．【詳解】（1）證明：∵，均為等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴．（2）解：將沿所在直線(xiàn)折疊得，作于H，由（1）知，∴，∴，∴．可知，當(dāng)B，F(xiàn)，H共線(xiàn)時(shí)，最小，此時(shí)最小值為，∴．（3）解：，理由如下：延長(zhǎng)至M，使得，連接．∵，∴，∴，．又，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．18．背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。@個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出___________．知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)