專題02二次函數(shù)(滿分突破卷)【滿分王】(原卷版+解析)

專題02二次函數(shù)（滿分突破卷）1．將拋物線y＝3x2向上平移4個單位，再向右平移2個單位，所得拋物線的函數(shù)解析式為．2．當(dāng)m﹣2≤x≤m時，函數(shù)y＝x2﹣4x+4的最小值為4，則m的值為．3．已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣k）2+h，當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減小，則函數(shù)中k的取值范圍是（）A．k≥2 B．k≤2 C．k＝2 D．k≤﹣24．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2的圖象如圖所示．已知點A的坐標(biāo)為（1，1），過點A作AA1∥x軸交拋物線于點A1，過點A1作A1A2∥OA交拋物線交于點A2，過點A2作A2A3∥x軸交拋物線于點A3，過點A3作A3A4∥OA交拋物線交于點A4，…，依此規(guī)律進(jìn)行下去，則點A2020的坐標(biāo)為．5．（2022?萊蕪區(qū)一模）將拋物線y＝﹣（x+1）2的圖象位于直線y＝﹣4以下的部分向上翻折，得到如圖所示的圖象，若直線y＝x+m與圖象只有四個交點，則m的取值范圍是（）A．﹣1＜m＜1 B．1＜m＜ C．﹣1＜m＜ D．﹣1＜m＜6．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，點P和點Q分別從點B和點C出發(fā)，沿射線BC向右運動，且速度相同，過點Q作QH⊥BD，垂足為H，連接PH，設(shè)點P運動的距離為x（0＜x≤2），△BPH的面積為S，則能反映S與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為（）A． B． C． D．7．（2022?日照一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為2，其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個8．“燃情冰雪，拼出未來”，北京冬奧會將于2022年2月4日如約而至．某商家已提前開始冬奧會吉祥物“冰墩墩”紀(jì)念品的銷售．每個紀(jì)念品進(jìn)價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；（2）求當(dāng)每個紀(jì)念品的銷售單價是多少元時，商家每天獲利2400元；（3）將紀(jì)念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？9．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝，D為斜邊BC上的一點（D與B、C均不重合），連接AD，把△ABD繞點A按逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，連接DE，設(shè)BD＝x．（1）求證∠DCE＝90°；（2）當(dāng)△DCE的面積為1.5時，求x的值；（3）試問：△DCE的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值，并指出此時x的取值；若不存在，請說明理由．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標(biāo)和△PBC的最大面積．11．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+mx+m﹣2的頂點為A，且經(jīng)過點B（3，﹣3）．（1）求頂點A的坐標(biāo)；（2）在對稱軸左側(cè)的拋物線上存在一點P，使得∠PAB＝45°，求點P坐標(biāo)；（3）如圖（2），將原拋物線沿射線OA方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點，請問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．12．如圖，直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點B，與直線y＝x﹣3交于點E（8，5），且與x軸交于C，D兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上有一點M，當(dāng)∠MBE＝75°時，求點M的橫坐標(biāo)；（3）點P在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使得以點P，Q，B，C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．13．直線l：y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）交于點B，如圖所示．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，四邊形OAMB的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；（3）若點D在平面內(nèi)，點C在直線AB上，平面內(nèi)是否存在點D使得以O(shè)，B，C，D為頂點的四邊形是菱形．若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專題02二次函數(shù)（滿分突破卷）1．將拋物線y＝3x2向上平移4個單位，再向右平移2個單位，所得拋物線的函數(shù)解析式為．【答案】y＝3（x﹣2）2+4．【解答】解：將拋物線y＝3x2向上平移4個單位，再向右平移2個單位，所得拋物線的函數(shù)解析式為y＝3（x﹣2）2+4，故答案是：y＝3（x﹣2）2+4．2．當(dāng)m﹣2≤x≤m時，函數(shù)y＝x2﹣4x+4的最小值為4，則m的值為．【答案】：0或6．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴該函數(shù)的對稱軸是直線x＝2，∵當(dāng)m﹣2≤x≤m時，函數(shù)y＝x2﹣4x+4的最小值為4，且x＝0和x＝4時，y＝4，①當(dāng)m≤0，得m＝0時，當(dāng)m﹣2≤x≤m時，函數(shù)y＝x2﹣4x+4的最小值為4；②當(dāng)m﹣2≥4，得m＝6時，當(dāng)m﹣2≤x≤m時，函數(shù)y＝x2﹣4x+4的最小值為4；由上可得，m的值是0或6，故答案為：0或6．3．已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣k）2+h，當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減小，則函數(shù)中k的取值范圍是（）A．k≥2 B．k≤2 C．k＝2 D．k≤﹣2【答案】B【解答】解：拋物線的對稱軸為直線x＝k，因為a＝﹣1＜0，所以拋物線開口向下，所以當(dāng)x＞k時，y的值隨x值的增大而減小，而x＞2時，y的值隨x值的增大而減小，所以k≤2．故選：B．4．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2的圖象如圖所示．已知點A的坐標(biāo)為（1，1），過點A作AA1∥x軸交拋物線于點A1，過點A1作A1A2∥OA交拋物線交于點A2，過點A2作A2A3∥x軸交拋物線于點A3，過點A3作A3A4∥OA交拋物線交于點A4，…，依此規(guī)律進(jìn)行下去，則點A2020的坐標(biāo)為．【解答】解：∵A點坐標(biāo)為（1，1），∴直線OA為y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直線A1A2為y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直線A3A4為y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9）…，∴A2020（1011，10112），故答案為（1011，10112）．5．（2022?萊蕪區(qū)一模）將拋物線y＝﹣（x+1）2的圖象位于直線y＝﹣4以下的部分向上翻折，得到如圖所示的圖象，若直線y＝x+m與圖象只有四個交點，則m的取值范圍是（）A．﹣1＜m＜1 B．1＜m＜ C．﹣1＜m＜ D．﹣1＜m＜【答案】C【解答】解：令y＝﹣4，則﹣4＝﹣（x+1）2，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，﹣4），平移直線y＝x+m知：直線位于l1和l2時，它與新圖象有三個不同的公共點．①當(dāng)直線位于l1時，此時l1過點A（﹣3，﹣4），∴﹣4＝﹣3+m，即m＝﹣1．②當(dāng)直線位于l2時，此時l2與函數(shù)y＝﹣（x+1）2的圖象有一個公共點，∴方程x+m＝﹣x2﹣2x﹣1，即x2+3x+1+m＝0有兩個相等實根，∴△＝9﹣4（1+m）＝0，即m＝．由①②知若直線y＝﹣x+m與新圖象只有四個交點，m的取值范圍為﹣1＜m＜．故選：C．6．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，點P和點Q分別從點B和點C出發(fā)，沿射線BC向右運動，且速度相同，過點Q作QH⊥BD，垂足為H，連接PH，設(shè)點P運動的距離為x（0＜x≤2），△BPH的面積為S，則能反映S與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，∴∠DBC＝60°，∵BQ＝2+x，QH⊥BD，∴BH＝BQ＝1+x，過H作HG⊥BC，∴HG＝BH＝+x，∴S＝PB?GH＝x2+x，（0＜x≤2），故選：A．7．（2022?日照一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為2，其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵拋物線與y軸交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，①錯誤．∵拋物線與x軸有2個交點，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，②錯誤．∵x＝﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∵b＝﹣2a，∴a＝﹣，∴﹣b+c＜0，∴2c＜3b，③正確．∵x＝1時，y＝a+b+c為函數(shù)最大值，∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1），∴a+b＞m（am+b）（m≠1），∵b＞0，∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正確．方程|ax2+bx+c|＝1的四個根分別為ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，∵拋物線y＝ax2+bx+c關(guān)于直線x＝1對稱，∴拋物線與直線y＝1的交點的橫坐標(biāo)為之和為2，拋物線與直線y＝﹣1的交點橫坐標(biāo)為之和為2，∴方程|ax2+bx+c|＝1的四個根的和為4，⑤錯誤．故選：A8．“燃情冰雪，拼出未來”，北京冬奧會將于2022年2月4日如約而至．某商家已提前開始冬奧會吉祥物“冰墩墩”紀(jì)念品的銷售．每個紀(jì)念品進(jìn)價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；（2）求當(dāng)每個紀(jì)念品的銷售單價是多少元時，商家每天獲利2400元；（3）將紀(jì)念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根據(jù)題意得：（﹣10x+740）（x﹣40）＝2400，整理得：x2﹣114x+3200＝0，解得：x1＝50，x2＝64，∵44≤x≤52，∴x＝50，∴當(dāng)每個紀(jì)念品的銷售單價是50元時，商家每天獲利2400元；（3）根據(jù)題意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，∵﹣10＜0，∴當(dāng)x＜57時，w隨x的增大而增大，∵44≤x≤52，∴當(dāng)x＝52時，w有最大值，最大值為2640，∴將紀(jì)念品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元最大，最大利潤是2640元．9．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝，D為斜邊BC上的一點（D與B、C均不重合），連接AD，把△ABD繞點A按逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，連接DE，設(shè)BD＝x．（1）求證∠DCE＝90°；（2）當(dāng)△DCE的面積為1.5時，求x的值；（3）試問：△DCE的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值，并指出此時x的取值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵△ABD繞點A按逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，∴△ACE≌△ABD，∴∠ABD＝∠ACE，（2分）又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC為斜邊，∴∠ABD+∠ACD＝90°，（3分）∴∠ACE+∠ACD＝90°，即：∠DCE＝90°；（5分）（2）∵AC＝AB＝，∴BC2＝AC2+AB2＝，∴BC＝4．（6分）∵△ACE≌△ABD，∠DCE＝90°，∴CE＝BD＝x，而BC＝4，∴DC＝4﹣x，∴Rt△DCE的面積為：DC?CE＝（4﹣x）x．∴（4﹣x）x＝1.5，（8分）即x2﹣4x+3＝0．解得x＝1或x＝3．（10分）（3）△DCE存在最大值．（11分）理由如下：設(shè)△DCE的面積為y，于是得y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝（4﹣x）x（0＜x＜4），（12分）＝﹣（x﹣2）2+2，∵a＝﹣＜0，∴當(dāng)x＝2時，函數(shù)y有最大值2．（13分）又∵x滿足關(guān)系式0＜x＜4，故當(dāng)x＝2時，△DCE的最大面積為2．（14分）10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標(biāo)和△PBC的最大面積．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，把A、B、C三點坐標(biāo)代入可得，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖1，∴PO＝PC，此時P點即為滿足條件的點，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點縱坐標(biāo)為﹣2，代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在滿足條件的P點，其坐標(biāo)為（，﹣2）；（3）∵點P在拋物線上，∴可設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC解析式為y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，∴S△PBC＝S△PFC+S△PFB＝PF?OE+PF?BE＝PF?（OE+BE）＝PF?OB＝（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，∴當(dāng)t＝2時，S△PBC最大值為8，此時t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴當(dāng)P點坐標(biāo)為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．11．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+mx+m﹣2的頂點為A，且經(jīng)過點B（3，﹣3）．（1）求頂點A的坐標(biāo)；（2）在對稱軸左側(cè)的拋物線上存在一點P，使得∠PAB＝45°，求點P坐標(biāo)；（3）如圖（2），將原拋物線沿射線OA方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點，請問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【解答】解：（1）依題意﹣32+3m+m﹣2＝﹣3∴m＝2，∴y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1∴頂點A（1，1）；（2）過B作BQ⊥BA交AP于Q，過B作GH∥y軸分別過A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H，∠AGB＝∠ABQ＝∠BHQ＝90°，∴∠ABG＝∠BQH．∵∠PAB＝45°，∴BA＝BQ．在△ABG和△BQH中，，∴△ABG≌△BQH（AAS），∴AG＝BH＝3﹣1＝2，BG＝QH＝1﹣（﹣3）＝4∴Q（﹣1，﹣5）∴直線AP的解析式為y＝3x﹣2聯(lián)立拋物線與AP，得∴﹣x2+2x＝3x﹣2∴x1＝1（不符合題意的解要舍去），x2＝﹣2∴P（﹣2，﹣8）；（3）在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是為定值，∵直線OA的解析式為y＝x，∴可設(shè)新拋物線解析式為y＝﹣（x﹣a）2+a聯(lián)立拋物線與OA，，∴﹣（x﹣a）2+a＝x，∴x1＝a，x2＝a﹣1，x1﹣x2＝1；y1＝x1＝a，y2＝x2＝a﹣1，y1﹣y2＝1；即C，D兩點橫坐標(biāo)的差是常數(shù)1，C，D兩點縱坐標(biāo)的差是常數(shù)1，∴CD＝＝＝＝，∴在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是定值．12．如圖，直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點B，與直線y＝x﹣3交于點E（8，5），且與x軸交于C，D兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上有一點M，當(dāng)∠MBE＝75°時，求點M的橫坐標(biāo)；（3）點P在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使得以點P，Q，B，C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，則A（3，0）B（0，﹣3），把B、E點坐標(biāo)代入二次函數(shù)方程，解得：拋物線的解析式y(tǒng)＝x2﹣x﹣3…①，則：C（6，0）；（2）符合條件的有M和M′，如下圖所示，當(dāng)∠MBE＝75°時，∵OA＝OB，∴∠MBO＝30°，此時符合條件的M只有如圖所示的一個點，MB直線的k為﹣，所在的直線方程為：y＝﹣x﹣3…②，聯(lián)立方程①、②可求得：x＝4﹣4，即：點M的橫坐標(biāo)4﹣4；當(dāng)∠M′BE＝75°時，∠OBM′＝120°，直線M′B的k值為﹣，其方程為y＝﹣x﹣3，將M′B所在的方程與拋物線表達(dá)式聯(lián)立，解得：x＝，故：即：點M的橫坐標(biāo)4﹣4或．（3）存在．①當(dāng)BC為矩形對角線時，矩形BP′CQ′所在的位置如圖所示，設(shè)：P′（m，n），n＝m2﹣m﹣3…③，P′C所在直線的k1＝，P′B所在的直線k2＝，則：k1?k2＝﹣1…④，③、④聯(lián)立得：＝0，解得：m＝0或6，這兩個點分別和點B、C重合，與題意不符，故：這種情況不存在，舍去．②當(dāng)BC為矩形一邊時，情況一：矩形BCQP所在的位置如圖所示，直線BC所在的方程為：y＝x﹣3，則：直線BP的k為﹣2，所在的方程為y＝﹣2x﹣3…⑤，聯(lián)立①⑤解得點P（﹣4，5），則Q（2，8），情況二：矩形BCP″Q″所在的位置如