專題13三角形相似-5年(2018~2022)中考1年模擬數(shù)學(xué)分項匯編(北京專用)(原卷版+解析)

專題13三角形相似一、填空題1．（2018·北京·中考真題）如圖，在矩形中，是邊的中點，連接交對角線于點，若，，則的長為________．二、解答題2．（2021·北京·中考真題）如圖，在中，為的中點，點在上，以點為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）比較與的大小；用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過點作的垂線，交于點，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．（2021·北京·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，于點．（1）求證：；（2）連接并延長，交于點，交于點，連接．若的半徑為5，，求和的長．一、填空題1．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，P，Q分別為AB，AC的中點．若S△APQ=1，則S四邊形PBCQ=____．2．（2022·北京市師達中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，則_____．3．（2022·北京通州·一模）如圖，在△ABC中點D在AB上（不與點A，B重合），連接CD．只需添加一個條件即可證明△ACD與△ABC相似，這個條件可以是______（寫出一個即可）．4．（2022·北京·二模）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D為格點，連接AB、CD相交于點E，則AE的長為____．5．（2022·北京朝陽·一模）如圖，在中，，點D在上（不與點A，C重合），只需添加一個條件即可證明和相似，這個條件可以是____________（寫出一個即可）．6．（2022·北京東城·二模）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個“小孔成像”的實驗，闡釋了光的直線傳播原理，如圖（1）所示。如圖（2）所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是_________cm．7．（2022·北京師大附中模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，點E在邊BC上，DF⊥AE，垂足為F，若DF＝6，則線段EF的長為_____．8．（2022·北京北京·二模）如圖，為估算某魚塘的寬的長，在陸地上取點C，D，E，使得A，C，D在同一條直線上，B，C，E在同一條直線上，且．若測得的長為，則的長為____________m．9．（2022·北京房山·二模）如圖，切于A，B兩點．連接，連接交于點C，若，，則半徑為__________，的長為__________．10．（2022·北京大興·一模）如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上一點，連接DE，請你添加一個條件，使△ADE∽△ABC，則你添加的這一個條件可以是___________（寫出一個即可）.11．（2022·北京·清華附中一模）如圖，⊙O的半徑為3，A，P兩點在⊙O上，點B在⊙O內(nèi)，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的長為_____．12．（2022·北京朝陽·模擬預(yù)測）如圖，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在邊AB上取點P，使得△PAD與△PBC相似，則滿足條件的AP長_____．13．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測）如圖，為了測量兩個路燈之間的距離，小明在夜晚由路燈AB走向路燈CD，當(dāng)他走到點E時，發(fā)現(xiàn)身后他頭頂部F的影子剛好接觸到路燈AB的底部A處，當(dāng)他向前再步行15m到達G點時，發(fā)現(xiàn)身前他頭頂部H的影子剛好接觸到路燈CD的底部C處，已知小明同學(xué)的身高是1.7m，兩個路燈的高度都是8.5米，則AC＝_____m．14．（2022·北京·北理工附中模擬預(yù)測）如圖，正方形，是上一點，，于，則的長為______．二、解答題15．（2022·北京十一學(xué)校一分校模擬預(yù)測）如圖1，在中，于點，連接在上截取，使連接直接判斷與的位置關(guān)系如圖2，延長交于點，過點作交于點，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；在的條件下，若，求的長．16．（2022·北京·二模）如圖，在四邊形中，，過點D作于E，若．（1）求證：；（2）連接交于點，若，求DF的長．17．（2022·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E是AC中點，連接DE．（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；（2）設(shè)CD與OE的交點為F，若AB=10，BC=6，求OF的長．18．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測）如圖，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D在BC上，滿足BD＝2DC，BP⊥AD，說明：∠BPC＝∠APC＝135°．19．（2022·北京順義·一模）如圖，在四邊形ABCD中，，，垂足為O，過點D作BD的垂線交BC的延長線于點E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的長．20．（2022·北京西城·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點F在弧BC上，AF與CD交于點G，點H在DC的延長線上，且HG=HF，延長HF交AB的延長線于點M．(1)求證：HF是⊙O的切線；(2)若，BM=1，求AF的長．21．（2022·北京豐臺·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC．過點B作⊙O的切線，交AC的延長線于點D，在AD上取一點E，使AE＝AB，連接BE，交⊙O于點F，連接AF．(1)求證：∠BAF＝∠EBD；(2)過點E作EG⊥BD于點G．如果AB＝5，BE＝2，求EG，BD的長．22．（2022·北京石景山·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，=，連接AC，BC，AD，BD，過點D作DE//AB交CB的延長線于點E．(1)求證：直線DE是⊙O的切線；(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的長．23．（2022·北京東城·二模）如圖，在中，，，在上截取，過點作于點，連接AD，以點為圓心、的長為半徑作．(1)求證：是⊙A的切線；(2)若，，求的長．24．（2022·北京·北理工附中模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，對于點P，Q和圖形G，給出如下定義：若圖形G上存在一點C，使∠PQC＝90°，則稱點Q為點P關(guān)于圖形G的一個“直角聯(lián)絡(luò)點”，稱Rt△PCQ為其對應(yīng)的“聯(lián)絡(luò)三角形”．如圖為點P關(guān)于圖形G的一個“直角聯(lián)絡(luò)點”及其對應(yīng)的“聯(lián)絡(luò)三角形”的示例．（1）已知點A（4，0），B（4，4）①在點Q1（2，2），Q2（4，﹣1）中，點O關(guān)于點A的“直角聯(lián)絡(luò)點”是；②點E的坐標為（2，m），若點E是點O關(guān)于線段AB的“直角聯(lián)絡(luò)點”，直接寫出m的取值范圍；（2）⊙T的圓心為（t，0），半徑為，直線y＝﹣x+2與x，y軸分別交于H，K兩點，若在⊙T上存在一點P，使得點P關(guān)于⊙T的一個“直角聯(lián)絡(luò)點”在線段HK上，且其對應(yīng)的“聯(lián)絡(luò)三角形”是底邊長為2的等腰三角形，直接寫出t的取值范圍．25．（2022·北京朝陽·模擬預(yù)測）如圖①，RtABC和RtBDE重疊放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)觀察猜想：圖①中線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明：把BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接AD，CE，判斷線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系如何，并說明理由；(3)拓展延伸：若BC＝，BE＝1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝∠ACB時，請直接寫出線段AD的長度．26．（2022·北京一七一中一模）如圖，在中，，是的角平分線.的垂直平分線交AB于點O，以點O為圓心，OA為半徑作，交AB于點F.(1)求證：BC是的切線；(2)若，，求的半徑的值.27．（2022·北京朝陽·模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4．動點P以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，過點P作PF⊥AC于點F，以AF，AP為鄰邊作?FAPG；?FAPG與等腰直角△ABC的重疊部分面積為y（平方單位），y＞0，點F與點C重合時運動停止，設(shè)點P的運動時間為x秒．(1)直接寫出點G落在BC邊上時x的值．(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式．(3)直接寫出點G與△ABC各頂點的連線平分△ABC面積時x的值．專題13三角形相似一、填空題1．（2018·北京·中考真題）如圖，在矩形中，是邊的中點，連接交對角線于點，若，，則的長為________．【答案】【解析】解：∵四邊形是矩形，∴，//，，在中，，∴，∵是中點，∴，∵//，∴，∴．故答案為：．二、解答題2．（2021·北京·中考真題）如圖，在中，為的中點，點在上，以點為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）比較與的大小；用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過點作的垂線，交于點，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1），，理由見詳解；（2），理由見詳解．【解析】（1）證明：∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∵點M為BC的中點，∴，∵，∴；（2）證明：，理由如下：過點E作EH⊥AB，垂足為點Q，交AB于點H，如圖所示：∴，由（1）可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．3．（2021·北京·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，于點．（1）求證：；（2）連接并延長，交于點，交于點，連接．若的半徑為5，，求和的長．【答案】（1）見詳解；（2），【解析】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∴；（2）解：由題意可得如圖所示：由（1）可得點E為BC的中點，∵點O是BG的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∵的半徑為5，∴，∴，∴．一、填空題1．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，P，Q分別為AB，AC的中點．若S△APQ=1，則S四邊形PBCQ=____．【答案】3．【解析】∵P，Q分別為AB，AC的中點，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：3．2．（2022·北京市師達中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，則_____．【答案】【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案為：．3．（2022·北京通州·一模）如圖，在△ABC中點D在AB上（不與點A，B重合），連接CD．只需添加一個條件即可證明△ACD與△ABC相似，這個條件可以是______（寫出一個即可）．【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一，或∠ADC=∠ACB或均可）【解析】解：∵∠A=∠A∴添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．故答案是：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或（答案不唯一）．4．（2022·北京·二模）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D為格點，連接AB、CD相交于點E，則AE的長為____．【答案】【解析】解：根據(jù)題意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，∴△AEC∽△BED，∴＝，∴＝，解得AE＝．故答案為：．5．（2022·北京朝陽·一模）如圖，在中，，點D在上（不與點A，C重合），只需添加一個條件即可證明和相似，這個條件可以是____________（寫出一個即可）．【答案】∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）【解析】解：∵∠C=∠C∴添加∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC．故答案為：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）．6．（2022·北京東城·二模）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個“小孔成像”的實驗，闡釋了光的直線傳播原理，如圖（1）所示。如圖（2）所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是_________cm．【答案】4【解析】解：設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm，由相似三角形的性質(zhì)得到：．解得x＝4．即蠟燭火焰的高度是4cm．故答案為：4．7．（2022·北京師大附中模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，點E在邊BC上，DF⊥AE，垂足為F，若DF＝6，則線段EF的長為_____．【答案】3【解析】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF－AE＝8－5＝3，故答案為：3．8．（2022·北京北京·二模）如圖，為估算某魚塘的寬的長，在陸地上取點C，D，E，使得A，C，D在同一條直線上，B，C，E在同一條直線上，且．若測得的長為，則的長為____________m．【答案】20【解析】解：∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴，故答案為：209．（2022·北京房山·二模）如圖，切于A，B兩點．連接，連接交于點C，若，，則半徑為__________，的長為__________．【答案】

【解析】解：∵切于A，B兩點，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOC=∠BOC，又OA=OB，∴OC⊥AB，AC=BC=4，在Rt△OAC中，，∵∠OCA=∠OAP=90°，∠AOC=∠AOP，∴△AOC∽△POA，∴即，解得：PA=，故答案為：，．10．（2022·北京大興·一模）如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上一點，連接DE，請你添加一個條件，使△ADE∽△ABC，則你添加的這一個條件可以是___________（寫出一個即可）.【答案】【解析】根據(jù)“兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似”，可添加故答案為11．（2022·北京·清華附中一模）如圖，⊙O的半徑為3，A，P兩點在⊙O上，點B在⊙O內(nèi)，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的長為_____．【答案】1【解析】解：如圖，連接OA，作AM⊥OB交OB的延長線于M，作PN⊥MA交MA的延長線于N．則四邊形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四點共圓，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，設(shè)AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（負根已經(jīng)舍棄），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝，∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案為112．（2022·北京朝陽·模擬預(yù)測）如圖，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在邊AB上取點P，使得△PAD與△PBC相似，則滿足條件的AP長_____．【答案】2.8或1或6【解析】設(shè)AP=x，則有PB=AB?AP=7?x，當(dāng)△PDA∽△CPB時,,即，解得：x=1或x=6，當(dāng)△PDA∽△PCB時,,即，解得：x=.故答案為x=1或x=6或2.8.13．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測）如圖，為了測量兩個路燈之間的距離，小明在夜晚由路燈AB走向路燈CD，當(dāng)他走到點E時，發(fā)現(xiàn)身后他頭頂部F的影子剛好接觸到路燈AB的底部A處，當(dāng)他向前再步行15m到達G點時，發(fā)現(xiàn)身前他頭頂部H的影子剛好接觸到路燈CD的底部C處，已知小明同學(xué)的身高是1.7m，兩個路燈的高度都是8.5米，則AC＝_____m．【答案】25【解析】解：∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD，∴＝，即＝，即AE+15+CG＝5AE，∵GH∥AB，∴△CGH∽△CAB，∴＝，即＝，即AE+15+CG＝5CG，∴AE＝CG＝5，∴AC＝5+15+5＝25（m）．故答案為25．14．（2022·北京·北理工附中模擬預(yù)測）如圖，正方形，是上一點，，于，則的長為______．【答案】【解析】∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為．二、解答題15．（2022·北京十一學(xué)校一分校模擬預(yù)測）如圖1，在中，于點，連接在上截取，使連接直接判斷與的位置關(guān)系如圖2，延長交于點，過點作交于點，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；在的條件下，若，求的長．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）1【解析】解：（1）；理由如下：如圖，，，，，，，，∵，∴，即，故答案為：；（2）；過點作交于點，，，，，，，，，為等腰直角三角形，，，，，，又，，，，，，，；（3），為等腰直角三角形，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，經(jīng)檢驗：符合題意．．16．（2022·北京·二模）如圖，在四邊形中，，過點D作于E，若．（1）求證：；（2）連接交于點，若，求DF的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】解：（1）過D作BC的垂線，交BC的延長線于點G，連接BD，∵∠DEB=∠ABC=∠G=90°，DE=BE，∴四邊形BEDG為正方形，∴BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°，∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠CDG，又DE=DG，∠AED=∠G=90°，∴△ADE≌△CDG（ASA），∴AD=CD；（2）∵∠ADE=30°，AD=6，∴AE=CG=3，DE=BE==，∵四邊形BEDG為正方形，∴BG=BE=，BC=BG-CG=-3，設(shè)DF=x，則EF=-x，∵DE∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：x=，即DF的長為．17．（2022·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E是AC中點，連接DE．（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；（2）設(shè)CD與OE的交點為F，若AB=10，BC=6，求OF的長．【答案】（1）DE與⊙O相切，證明見解析；（2）【解析】（1）DE與⊙O相切，連接OD、CD、OE∵BC為⊙O的直徑∴∠CDA＝∠CDB＝90°∵E是AC中點∴ED＝EC∵OC＝OD，OE＝OE∴ΔOCE≌ΔODE（HL）∴∠ODE＝∠OCE＝90°∴OD⊥DE∴DE與⊙O相切（2）∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6∴AC=8，∵E是AC中點，為的中點∴，由勾股定理可得：∵DE、CE與⊙O相切∴DE=CE，∠CEO=∠DEO又∵∴垂直平分∴又∵∴，∴∴∵∴∴18．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測）如圖，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D在BC上，滿足BD＝2DC，BP⊥AD，說明：∠BPC＝∠APC＝135°．【答案】見解析【解析】解：過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAE=90°，∵∠ABP+∠BAE=90°，∴∠CAE＝∠ABP，∵∠APB＝∠AEC＝90°，AB＝AC，∴△ABP≌△CAE（AAS），∴AP＝CE，BP＝AE，∵BP⊥AD，CE⊥AD，∴BP∥CE，∴△BPD∽△CED，∴，∴BP＝2CE，∴AE＝AP+PE＝2CE，∴PE＝CE，∴∠EPC＝45°，∴∠BPC＝∠BPD+∠EPC＝90°+45°＝135°，∴∠APC＝360°﹣90°﹣135°＝135°，即∠BPC＝∠APC＝135°．19．（2022·北京順義·一模）如圖，在四邊形ABCD中，，，垂足為O，過點D作BD的垂線交BC的延長線于點E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的長．【答案】(1)證明見解析(2)BC的長為【解析】(1)證明：，，，，在四邊形ABCD中，，四邊形ACED是平行四邊形；(2)解：在中，，設(shè)，，在中，，，，，，即，解得（舍棄）或，．20．（2022·北京西城·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點F在弧BC上，AF與CD交于點G，點H在DC的延長線上，且HG=HF，延長HF交AB的延長線于點M．(1)求證：HF是⊙O的切線；(2)若，BM=1，求AF的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：連接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切線；(2)解：如圖，連接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴，∵，∴，∵BM=1，OB=OF，∴，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=，∴，∴，∵，∴，解得：．21．（2022·北京豐臺·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC．過點B作⊙O的切線，交AC的延長線于點D，在AD上取一點E，使AE＝AB，連接BE，交⊙O于點F，連接AF．(1)求證：∠BAF＝∠EBD；(2)過點E作EG⊥BD于點G．如果AB＝5，BE＝2，求EG，BD的長．【答案】(1)證明見解析(2)，【解析】(1)證明：∵是的直徑∴∵是的切線∴∵，∴．(2)解：如圖，∵，∴∵∴∴即解得在中，由勾股定理得∵，∴∴即解得∴EG的長為2，BD的長為．22．（2022·北京石景山·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，=，連接AC，BC，AD，BD，過點D作DE//AB交CB的延長線于點E．(1)求證：直線DE是⊙O的切線；(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的長．【答案】(1)見解析(2)AD=5，BE=．【解析】(1)證明：連接OD，∵AB為⊙O的直徑，點D是半圓AB的中點，∴∠AOD=∠AOB=90°，∵DE∥AB，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴直線DE是⊙O的切線；(2)解：連接CD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵=，∴DB=AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10×=5，∵AB=10，BC=6，∴AC==8，∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CAD+∠CBD=180°，∵∠DBE+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠DBE，由（1）知∠AOD=90°，∠OBD=45°，∴∠ACD=45°，∵DE∥AB，∴∠BDE=∠OBD=45°，∴∠ACD=∠BDE，∴△ACD∽△BDE，∴，∴，解得：BE=．23．（2022·北京東城·二模）如圖，在中，，，在上截取，過點作于點，連接AD，以點為圓心、的長為半徑作．(1)求證：是⊙A的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)過點作于，如圖所示，，，，，，，，，，在和中，，，，且為的半徑，是的半徑，是的切線．(2)，，，，，，，，解得，的長為．24．（2022·北京·北理工附中模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，對于點P，Q和圖形G，給出如下定義：若圖形G上存在一點C，使∠PQC＝90°，則稱點Q為點P關(guān)于圖形G的一個“直角聯(lián)絡(luò)點”，稱Rt△PCQ為其對應(yīng)的“聯(lián)絡(luò)三角形”．如圖為點P關(guān)于圖形G的一個“直角聯(lián)絡(luò)點”及其對應(yīng)的“聯(lián)絡(luò)三角形”的示例．（1）已知點A（4，0），B（4，4）①在點Q1（2，2），Q2（4，﹣1）中，點O關(guān)于點A的“直角聯(lián)絡(luò)點”是；②點E的坐標為（2，m），若點E是點O關(guān)于線段AB的“直角聯(lián)絡(luò)點”，直接寫出m的取值范圍；（2）⊙T的圓心為（t，0），半徑為，直線y＝﹣x+2與x，y軸分別交于H，K兩點，若在⊙T上存在一點P，使得點P關(guān)于⊙T的一個“直角聯(lián)絡(luò)點”在線段HK上，且其對應(yīng)的“聯(lián)絡(luò)三角形”是底邊長為2的等腰三角形，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）①點Q1；②；（2）．【解析】解：（1）①如圖1，作Q1H⊥OA于H，∵A（4，0），Q1（2，2），∴Q1H=AH=OH=2，∴∠OQ1A＝90°，∴點Q1是點O關(guān)于點A的“直角聯(lián)絡(luò)點”，∵A（4，0），Q2（4，-1），∴∠OAQ2＝90°，∴∠OQ2A≠90°，∴點Q2不是點O關(guān)于點A的“直角聯(lián)絡(luò)點”，故答案是：點Q1②如圖2，當(dāng)點E1是點O關(guān)于線段AB的“直角聯(lián)絡(luò)點”時，由①可知，點E1與點Q1關(guān)于OA對稱，所以當(dāng)點E1的坐標是（2，-2）；當(dāng)點E2是點O關(guān)于線段AB的“直角聯(lián)絡(luò)點”時，∠OE2B＝90°，作BP⊥Q1H于P，∴∠OE2H+∠BE2P＝90°，∠OE2H+∠E2OH＝90°，∴∠BE2P=∠E2OH，∴△OE2H∽△E2BP，∴，∴，∴E2H=或E2H=（不合題意，舍去），∴m的取值范圍是；故答案是：．（2）如圖3，點P1關(guān)于⊙T1的“直角聯(lián)絡(luò)點”是點K，對應(yīng)的“聯(lián)絡(luò)三角形”是△P1KM，點P2關(guān)于⊙T2的“直角聯(lián)絡(luò)點”是點H，對應(yīng)的“聯(lián)絡(luò)三角形”是△P2HN，∵直線y＝﹣x+2與x，y軸分別交于H，K兩點，∴H（2，0），K(0，2)，∵△P1KM是底邊長為2的等腰三角形，且∠P1KM=90°，T1P1=T1M=，∴T1K是P1M的垂直平分線，∴P1G=GM=KG=1，∴T1G=，∴T1K=T1G+GK=3+1=4，∴T1O=，∴t1=，同理可得HS=1，T2S=3，∴T2O=3+1+2=6，∴t2=6，∴t的取值范圍是．25．（2022·北京朝陽·模擬預(yù)測）如圖①，RtABC和RtBDE重疊放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)觀察猜想：圖①中線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明：把BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接AD，CE，判斷線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系如何，并說明理由；(3)拓展延伸：若BC＝，BE＝1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝∠ACB時，請直接寫出線段AD的長度．【答案】(1)AD＝2CE，AD⊥CE(2)AD＝2CE，AD⊥CE，見解析(3)4【解析】(1)∵AB＝2BC，BD＝2BE，∴＝＝2，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴△BDE∽△BAC，∴∠BDE＝∠A，∴DE∥AC，∴∴＝＝2，即AD=2CE，∵∠B＝90°，∴AD⊥CE，故答案為：AD＝2CE，AD⊥CE；(2)AD＝2DE，AD⊥CE，理由：∵把△BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，∴∠CBE＝∠ABD，∵AB＝2BC，BD＝2BE．∴＝＝2，∴△BCE∽△BAD，∴＝＝2，∠BEC＝∠BDA，∴AD＝2CE，延長CE交AD于H，∴∠CEB+∠BEH＝180°，∴∠BEH+∠BDA＝180°，∴∠DHE+∠DBE＝180°，∵∠DBE＝90°，∴∠DHE＝90°，∴CE⊥AD；(3)如圖③，過D作DG⊥AB于G，由（2）知，△BCE∽△BAD，∴，∠CBE＝∠ABD，∵BC＝，BE＝1，∴AB＝，BD＝2，∴AC＝＝5，∵∠CBE＝∠ACB＝∠ABD，∠DGB＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DGB，∴＝＝，∴＝＝，∴BG＝，DG＝，∴AG＝，∴AD＝＝＝4．26．（2022·北京一七一中一模）如圖，在中，，是的角平分線.的垂直平分線交AB于點O，以點O為圓心，OA為半徑作，交AB于點F.(1)求證：BC是的切線；(2)若，，求的半徑的值.【答案】(1)證