(沖刺高分必刷)專題14三角形和旋轉(zhuǎn)綜合壓軸挑戰(zhàn)突破(原卷版+解析)

沖刺高分必刷專題14三角形和旋轉(zhuǎn)綜合壓軸挑戰(zhàn)突破1．（2022?菏澤）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D，在DA上取點E，使DE＝DC，連接BE、CE．（1）直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；（2）如圖2，將△BED繞點D旋轉(zhuǎn)，得到△B′E′D（點B′、E′分別與點B、E對應(yīng)），連接CE′、AB′，在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致？請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線CE′與AD、AB′分別交于點G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的長．2．（2022?濰坊）【情境再現(xiàn)】甲、乙兩個含45°角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足O處．將甲繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接AG，BH，如圖③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通過證明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．請你證明：AG＝BH．【遷移應(yīng)用】延長GA分別交HO，HB所在直線于點P，D，如圖④，猜想并證明DG與BH的位置關(guān)系．【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含30°角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接HB，AG，如圖⑥所示，其他條件不變，請你猜想并證明AG與BH的數(shù)量關(guān)系．3．（2022?青島）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動、速度為1cm/s；同時，點Q從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s．PQ交AC于點F，連接CP，EQ，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當(dāng)EQ⊥AD時，求t的值；（2）設(shè)四邊形PCDQ的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．4．（2022?黑龍江）△ABC和△ADE都是等邊三角形．（1）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需證明）；（2）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；（3）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．5．（2022?岳陽）如圖，△ABC和△DBE的頂點B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點D，E分別在AB，BC上時，可以得出結(jié)論：＝，直線AD與直線CE的位置關(guān)系是；（2）探究證明：如圖2，將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點D恰好落在線段AC上，連接EC，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α（19°＜α＜60°），連接AD、EC，它們的延長線交于點F，當(dāng)DF＝BE時，求tan（60°﹣α）的值．6．（2022?湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，過點B、C分別作l的垂線，垂足分別為點D、E．（1）特例體驗：如圖①，若直線l∥BC，AB＝AC＝，分別求出線段BD、CE和DE的長；（2）規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線段BC相交于點H，請再探線段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段BD交線段AC于點F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．7．（2022?達(dá)州）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如圖1的方式擺放，∠ACB＝∠ECD＝90°，隨后保持△ABC不動，將△CDE繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），連接AE，BD，延長BD交AE于點F，連接CF．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請你幫忙解答：【初步探究】（1）如圖2，當(dāng)ED∥BC時，則α＝；（2）如圖3，當(dāng)點E，F(xiàn)重合時，請直接寫出AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系：；【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．【拓展延伸】（4）如圖5，在△ABC與△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m為常數(shù)）．保持△ABC不動，將△CDE繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），連接AE，BD，延長BD交AE于點F，連接CF，如圖6．試探究AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．8．（2021?錦州）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D為線段AB上的動點，連接DC，將DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α得到DE，連接CE，BE．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，求證：△CAD≌△CBE；（2）如圖2，當(dāng)tanα＝時，①探究AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC＝5，H是BC上一點，在點D移動過程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，請直接寫出CE+EH的最小值；若不存在，請說明理由．9．（2021?郴州）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AG，連接GC，HB．（1）證明：△AHB≌△AGC；（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點Q．①證明：在點H的運(yùn)動過程中，總有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，當(dāng)EH的長度為多少時△AQG為等腰三角形？10．（2020?甘孜州）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點D落在線段AB上，連接BE．（1）求證：DC平分∠ADE；（2）試判斷BE與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．11．（2022?清豐縣校級三模）如圖，△ABC中，CA＝CB、∠ACB＝α，過點B作直線l∥AC，D為線段AB上一動點，連接CD，將射線DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α，交直線l于點E．（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時，線段CD和ED的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)0°＜α＜180°時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請僅就圖2的情形給出證明；若不成立，請說明理由．（3）若α＝120°，AC＝，當(dāng)△DEB為直角三角形時，請直接寫出線段DE的長．12．（2022?武進(jìn)區(qū)校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（4，0），點B（0，3），（Ⅰ）連接AB，若把線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則得線段A0B，請在圖①中用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點A的對應(yīng)點A0（不寫作法，保留作圖痕跡），直接寫出點A0的坐標(biāo)；（Ⅱ）若把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別為A′，O′，如圖②，求點O′和點A′的坐標(biāo)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊OA上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P′，求P′B+BA+AP的最小值．13．（2022?東麗區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（8，0），點B（0，6），把△ABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得△AB'O'，點B，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為B'，O'，記旋轉(zhuǎn)角為α．（Ⅰ）如圖①，若α＝90°，求BB'的長；（Ⅱ）如圖②，若α＝120°，求點O'的坐標(biāo)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊OB上有一點P，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P'，當(dāng)AP'+O'P取得最小值時，求點P的坐標(biāo)．（直接寫出結(jié)果即可）14．（2022?湖北模擬）在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，直線AC與BD交于點M．（1）如圖1，若∠OAB＝∠OCD＝45°，求的值；（2）如圖2，若∠OAB＝∠OCD＝α，求的值（用含α的式子表示）；（3）若∠OAB＝∠OCD＝30°，OD＝2，OB＝4，將三角形OCD繞著點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，直接寫出當(dāng)點A、C、D在同一直線上時，線段BD的長．15．（2022?六盤水模擬）[問題提出]如圖1，在△ABC中，每個內(nèi)角都小于120°，在△ABC內(nèi)有一點P，請確定點P的位置，使PA+PB+PC最?。?）[問題解決]如圖2，把△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CED，連接PD和AE，當(dāng)點B，P，D，E四點共線時，PA+PB+PC的最小值即為線段BE的長，此時∠APB＝度；（2）[問題拓展]如圖3，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點P是△ABC內(nèi)一點，若∠APC＝135°，PA＝2，PC＝1，求PB的長；（3）[實際應(yīng)用]如圖4，△ABC是A，B，C三座城市位置的平面示意圖，要在△ABC內(nèi)規(guī)劃建設(shè)一個物流基地（用點P表示），連接PA，PB，PC，并使PA+PB+PC最?。唤?jīng)測量：AC＝40km，BC＝30km，∠ACB＝60°，求PA+PB+PC的最小值．16．（2022?西青區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，0），點B（0，2）分別是坐標(biāo)軸上的點，連接AB．把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得△A′BO′．點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為點A′，O′．記旋轉(zhuǎn)角為α．（Ⅰ）如圖①，當(dāng)點O′落在AB邊上時，求α的值和點O′的坐標(biāo)：（Ⅱ）如圖②，當(dāng)α＝60°時，求AA′的長和點O′的坐標(biāo)：（Ⅲ）連接AO′，直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中△AO′A′面積的最大值．17．（2022?歷下區(qū)二模）如圖1，Rt△ABC中，∠C＝90°，點E是AB邊上一點，且點E不與A、B重合，ED⊥AC于點D．（1）當(dāng)∠B＝30°時，①＝；②當(dāng)△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時（60°＜∠CAD＜90°），上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（2）當(dāng)∠B＝45°時，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得∠DEB＝90°，若AC＝5，AD＝，請直接寫出線段CD的長．18．（2022?南關(guān)區(qū)校級模擬）【問題提出】如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【問題解決】解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E，使DE＝AD，再連結(jié)BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．由此得出中線AD的取值范圍是．【應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，D為邊BC的中點、已知AB＝10，AC＝6，AD＝4，求BC的長．【拓展】如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上，過點D作DF⊥DE交邊AC于點F，連結(jié)EF．已知BE＝5，CF＝6，則EF的長為．19．（2022?伊川縣模擬）已知△ACB和△EDB均為直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，直線AE與直線CD交于點M．（1）觀察猜想如圖①，當(dāng)∠ABC＝∠EBD＝45°時，線段AE和CD的數(shù)量關(guān)系是；∠AMC＝°．（2）探究證明如圖②，當(dāng)∠ABC＝∠EBD＝30°時，線段AE和CD的數(shù)量關(guān)系是什么？∠AMC的度數(shù)又是多少？請說明理由．（3）拓展延伸在（2）的條件下，若BC＝9，BD＝6，將△EDB繞點B旋轉(zhuǎn)，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A、E、D三點共線時，請直接寫出點C到直線AE的距離．20．（2022?息烽縣二模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點A，D，E在同一直線上，連接BE，易證△BCE≌△ACD．則①∠BEC＝°；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，若AE＝15，DE＝7，求AB的長度．（3）探究發(fā)現(xiàn)：如圖3，P為等邊△ABC內(nèi)一點，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的長．21．（2021?東莞市校級二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過點A，E為直線l上一點，將△ACE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BCE'的位置，且點E'恰好在直線l上．（1）求證：∠AE'B＝90°且E'C平分∠AE'B；（2）若AE'＝CE'＝2+，求證：△ACE≌△OAE'；（3）在（2）的條件下，求S△ABC．22．（2021?東港區(qū)校級一模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，點P是平面內(nèi)不與A，C重合的任意一點，連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)α＝60°時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當(dāng)α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當(dāng)α＝90°時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．23．（2022?立山區(qū)一模）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，點D是BC上一點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連接DE．（1）如圖①，當(dāng)點E落在邊BA的延長線上時，∠EDC＝90度（直接填空）；（2）如圖②，當(dāng)點E落在邊AC上時，求證：BD＝EC；（3）當(dāng)AB＝2，且點E到AC的距離EH＝﹣1時，直接寫出AH的值．24．（2021?河北區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（3，0），點B（0，4），把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得△A'BO′．點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為A'，O'，記旋轉(zhuǎn)角為α．（Ⅰ）如圖①，若α＝90°，求AA'的長；（Ⅱ）如圖②．若α＝45°，求點O'的坐標(biāo)；（Ⅲ）若M為AB邊上的一動點，在OB上取一點N（0，1），將△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，求MN的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．25．（2021?金東區(qū)校級模擬）【問題探索】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D、E分別在AC、BC邊上，DC＝EC，連接DE、AE、BD，點M、N、P分別是AE、BD、AB的中點，連接PM、PN、MN．探索BE與MN的數(shù)量關(guān)系．聰明的小華推理發(fā)現(xiàn)PM與PN的關(guān)系為，最后推理得到BE與MN的數(shù)量關(guān)系為．【深入探究】將△DEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，判斷（1）中的BE與MN的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，如果成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；【解決問題】若CB＝8，CE＝2，在將圖1中的△DEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)B、E、D三點在一條直線上時，求MN的長度．沖刺高分必刷專題14三角形和旋轉(zhuǎn)綜合壓軸挑戰(zhàn)突破1．（2022?菏澤）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D，在DA上取點E，使DE＝DC，連接BE、CE．（1）直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；（2）如圖2，將△BED繞點D旋轉(zhuǎn)，得到△B′E′D（點B′、E′分別與點B、E對應(yīng)），連接CE′、AB′，在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致？請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線CE′與AD、AB′分別交于點G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的長．【解答】解：（1）如圖1，延長CE交AB于H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，∵DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是一致，理由如下：如圖2，延長CE'交AB'于H，由旋轉(zhuǎn)可得：CD＝DE'，B'D＝AD，∵∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠CDE'＝∠ADB'，又∵＝1，∴△ADB'∽△CDE'，∴∠DAB'＝∠DCE'，∵∠DCE'+∠DGC＝90°，∴∠DAB'+∠AGH＝90°，∴∠AHC＝90°，∴CE'⊥AB'；（3）如圖3，過點D作DH⊥AB'于點H，∵△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°，∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，∵DH⊥AB'，∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，∴AB'＝AD，由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，∵AD⊥BC，CD＝，∴DG＝1，CG＝2DG＝2，∴CG＝FG＝2，∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，∴AG＝2GF＝4，∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，∴AB'＝AD＝5．2．（2022?濰坊）【情境再現(xiàn)】甲、乙兩個含45°角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足O處．將甲繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接AG，BH，如圖③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通過證明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．請你證明：AG＝BH．【遷移應(yīng)用】延長GA分別交HO，HB所在直線于點P，D，如圖④，猜想并證明DG與BH的位置關(guān)系．【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含30°角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接HB，AG，如圖⑥所示，其他條件不變，請你猜想并證明AG與BH的數(shù)量關(guān)系．【解答】【情境再現(xiàn)】證明：由閱讀材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【遷移應(yīng)用】解：猜想：DG⊥BH；證明如下：由【情境再現(xiàn)】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，證明如下：設(shè)AB交OH于T，OG交AC于K，如圖：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG．3．（2022?青島）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動、速度為1cm/s；同時，點Q從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s．PQ交AC于點F，連接CP，EQ，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當(dāng)EQ⊥AD時，求t的值；（2）設(shè)四邊形PCDQ的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）如圖：在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，∵EQ⊥AD，∴∠AQE＝∠AED＝90°，∵∠EAQ＝∠DAE，∴△AQE∽△AED，∴＝，即＝，∴AQ＝，∴t＝＝；答：t的值為；（2）過P作PN⊥BC于N，過C作CM⊥AD于M，如圖：∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，∵∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠CAM，∵∠ACB＝90°＝∠AMC，∴△ABC∽△CAM，∴＝，即＝，∴CM＝，∴S△ACD＝AD?CM＝×5×＝8，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+8＝14，∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，∴△PBN∽△ABC，∴＝，即＝，∴PN＝t，∴S△BCP＝BC?PN＝×3×t＝t，∴S＝S四邊形ABCD﹣S△BCP﹣S△APQ＝14﹣t﹣（5﹣t）?t＝t2﹣t+14；答：S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是S＝t2﹣t+14；（3）存在某一時刻t，使PQ∥CD，理由如下：過C作CM⊥AD于M，如圖：由（2）知CM＝，∴AM＝＝＝，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣＝，∵PQ∥CD，∴∠AQP＝∠MDC，∵∠PAQ＝∠CMD＝90°，∴△APQ∽△MCD，∴＝，即＝，解得t＝，答：存在時刻t＝，使PQ∥CD．4．（2022?黑龍江）△ABC和△ADE都是等邊三角形．（1）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需證明）；（2）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；（3）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：如圖②，在BP上截取BF＝PC，連接AF，∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAF＝60°，∴△AFP是等邊三角形，∴PF＝PA，∴PB＝BF+PF＝PC+PA；（3）PC＝PA+PB，理由如下：如圖③，在PC上截取CM＝PB，連接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠PAM＝60°，∴△AMP是等邊三角形，∴PM＝PA，∴PC＝PM+CM＝PA+PB．5．（2022?岳陽）如圖，△ABC和△DBE的頂點B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點D，E分別在AB，BC上時，可以得出結(jié)論：＝，直線AD與直線CE的位置關(guān)系是垂直；（2）探究證明：如圖2，將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點D恰好落在線段AC上，連接EC，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α（19°＜α＜60°），連接AD、EC，它們的延長線交于點F，當(dāng)DF＝BE時，求tan（60°﹣α）的值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，∠A＝30°，∴AB＝BC＝3，在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BE＝2，∴BD＝BE＝2，∴EC＝1，AD＝，∴＝，此時AD⊥EC，故答案為：，垂直；（2）結(jié)論成立．理由：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∵AB＝BC，BD＝BE，∴＝，∴△ABD∽△CBE，∴＝＝，∠ADB＝∠BEC，∵∠ADB+∠CDB＝180°，∴∠CDB+∠BEC＝180°，∴∠DBE+∠DCE＝180°，∵∠DBE＝90°，∴∠DCE＝90°，∴AD⊥EC；（3）如圖3中，過點B作BJ⊥AC于點J，設(shè)BD交AK于點K，過點K作KT⊥AC于點T．∵∠AJB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABJ＝60°，∴∠KBJ＝60°﹣α．∵AB＝3，∴BJ＝AB＝，AJ＝BJ＝，當(dāng)DF＝BE時，四邊形BEFD是矩形（由∠DBE＝90°，∠F＝90，取DE中點，證明BDFE四點共圓，再由BE＝DF推得弧等，從而圓周角∠DEF＝∠BDE＝30°，則∠BEF＝90°，由3個直角得矩形），∴∠ADB＝90°，AD＝＝＝，設(shè)KT＝m，則AT＝m，AK＝2m，∵∠KTB＝∠ADB＝90°，∴tanα＝＝，∴＝，∴BT＝m，∴m+m＝3，∴m＝，∴AK＝2m＝，∴KJ＝AJ﹣AK＝﹣＝，∴tan（60°﹣α）＝＝．解法二：證明∠CAF＝60°﹣α，通過tan（60°﹣α）＝求解即可．6．（2022?湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，過點B、C分別作l的垂線，垂足分別為點D、E．（1）特例體驗：如圖①，若直線l∥BC，AB＝AC＝，分別求出線段BD、CE和DE的長；（2）規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線段BC相交于點H，請再探線段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段BD交線段AC于點F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC＝，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△FBA，∴AB：FB＝BD：AB，∵CE＝3，DE＝1，∴AE＝BD＝4，∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．7．（2022?達(dá)州）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如圖1的方式擺放，∠ACB＝∠ECD＝90°，隨后保持△ABC不動，將△CDE繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），連接AE，BD，延長BD交AE于點F，連接CF．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請你幫忙解答：【初步探究】（1）如圖2，當(dāng)ED∥BC時，則α＝45°；（2）如圖3，當(dāng)點E，F(xiàn)重合時，請直接寫出AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系：BF＝AF+CF；【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．【拓展延伸】（4）如圖5，在△ABC與△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m為常數(shù)）．保持△ABC不動，將△CDE繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），連接AE，BD，延長BD交AE于點F，連接CF，如圖6．試探究AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1）∵△CED是等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，∵ED∥BC，∴∠BCD＝∠CDE＝45°，即α＝45°，故答案為：45°；（2）BF＝AF+CF，理由如下：如圖3，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CD＝CE，DF＝CF，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AF＝BD，∵BF＝DF+BD，∴BF＝AF+CF；故答案為：BF＝AF+CF；（3）如圖4，當(dāng)點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：由（2）知，△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAF＝∠CBD，過點C作CG⊥CF交BF于點G，∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，∴∠ACF＝∠BCG，∵∠CAF＝∠CBG，BC＝AC，∴△BCG≌△ACF（ASA），∴GC＝FC，BG＝AF，∴△GCF為等腰直角三角形，∴GF＝CF，∴BF＝BG+GF＝AF+CF；（4）BF＝mAF+?FC．理由如下：由（2）知，∠ACE＝∠BCD，而BC＝mAC，CD＝mEC，即＝＝m，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，過點C作CG⊥CF交BF于點G，如圖6所示：由（3）知，∠BCG＝∠ACF，∴△BGC∽△AFC，∴＝＝＝m，∴BG＝mAF，GC＝mFC，在Rt△CGF中，GF＝＝＝?CF，∴BF＝BG+GF＝mAF+?FC．8．（2021?錦州）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D為線段AB上的動點，連接DC，將DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α得到DE，連接CE，BE．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，求證：△CAD≌△CBE；（2）如圖2，當(dāng)tanα＝時，①探究AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC＝5，H是BC上一點，在點D移動過程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，請直接寫出CE+EH的最小值；若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：如圖1中，∵α＝60°，AC＝AB，∴△ABC是等邊三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝60°，∵將DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α得到DE，∴DC＝DE，∠CDE＝60°，∴△CDE是等邊三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△CAD≌△CBE（SAS）．（2）解：①結(jié)論：＝．如圖2中，過點C作CK⊥AB于K．∵tan∠CAK＝＝，∴可以假設(shè)CK＝3k，AK＝4k，則AC＝AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，∴BC＝＝k，∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴＝，∴＝，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝＝．②如圖2中，過點C作CJ⊥BE交BE的延長線于J．作點C關(guān)于BE的對稱點R，連接BR，ER，過點R作RT⊥BC于T．∵AC＝5，由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝，∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，∴＝＝（全等三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比），∴CJ＝，∴點E的運(yùn)動軌跡是線段BE，∵C，R關(guān)于BE對稱，∴CR＝2CJ＝，∵BJ＝＝＝，∵S△CBR＝?CR?BJ＝?CB?RT，∴RT＝＝，∵EC+EH＝ER+EH≥RT，∴EC+EH≥，∴EC+EH的最小值為．9．（2021?郴州）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AG，連接GC，HB．（1）證明：△AHB≌△AGC；（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點Q．①證明：在點H的運(yùn)動過程中，總有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，當(dāng)EH的長度為多少時△AQG為等腰三角形？【解答】（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：AH＝AG，∠HAG＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH＝∠CAG，∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACG（SAS）；（2）①證明：如圖2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，∴△AEH≌△AFG（SAS），∴∠AFG＝∠AEH＝45°，∴∠HFG＝45°+45°＝90°；②分兩種情況：i）如圖3，AQ＝QG時，∵AQ＝QG，∴∠QAG＝∠AGQ，∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，∴∠QAH＝∠AHQ，∴AQ＝QH＝QG，∵AH＝AG，∴AQ⊥GH，∵∠AFG＝∠AFH＝45°，∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，∴四邊形AHFG是正方形，∵AC＝4，∴AF＝2，∴FG＝EH＝，∴當(dāng)EH的長度為時，△AQG為等腰三角形；ii）如圖4，當(dāng)AG＝QG時，∠GAQ＝∠AQG，∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，∴EH＝AE＝2，∴當(dāng)EH的長度為2時，△AQG為等腰三角形；綜上，當(dāng)EH的長度為或2時，△AQG為等腰三角形．10．（2020?甘孜州）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點D落在線段AB上，連接BE．（1）求證：DC平分∠ADE；（2）試判斷BE與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．【解答】（1）證明：∵△DCE是由△ACB旋轉(zhuǎn)得到，∴CA＝CD，∠A＝∠CDE∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠CDE，∴CD平分∠ADE．（2）解：結(jié)論：BE⊥AB．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠DBC＝∠CED，∴D，C，E，B四點共圓，∴∠DCE+∠DBE＝180°，∵∠DCE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴BE⊥AB．（3）如圖，設(shè)BC交DE于O．連接AO．∵BD＝BE，∠DBE＝90°，∴∠DEB＝∠BDE＝45°，∵C，E，B，D四點共圓，∴∠DCO＝∠DEB＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠OCD，∵CD＝CD，∠ADC＝∠ODC，∴△ACD≌△OCD（ASA），∴AC＝OC，∴∠AOC＝∠CAO＝45°，∵∠ADO＝135°，∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，∴∠ABC＝22.5°，∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO，∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°，∴OA＝OB，設(shè)AC＝OC＝m，則AO＝OB＝m，∴tan∠ABC＝＝＝﹣1．11．（2022?清豐縣校級三模）如圖，△ABC中，CA＝CB、∠ACB＝α，過點B作直線l∥AC，D為線段AB上一動點，連接CD，將射線DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α，交直線l于點E．（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時，線段CD和ED的數(shù)量關(guān)系是CD＝ED．（2）如圖2，當(dāng)0°＜α＜180°時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請僅就圖2的情形給出證明；若不成立，請說明理由．（3）若α＝120°，AC＝，當(dāng)△DEB為直角三角形時，請直接寫出線段DE的長．【解答】解：（1）如圖1，連接CE，∵AC∥BE，∠ACB＝90°，∴∠CBE＝180°﹣∠ACB＝90°，∠ABE＝∠A，∵∠CDE＝90°，∴∠CDE+∠CBE＝180°，∴點C、D、E、B共圓，∴∠DCE＝∠ABE，∠CED＝∠ABC，∴∠DCE＝∠CED，∴CD＝ED，故答案為：CE＝ED；（2）如圖2，（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：連接CE，∵l∥AC，∴∠CBE＝∠ACB＝α，∠ABF＝∠A，∵∠∠CDE＝α，∴∠CDE＝∠CBE，∴點C、D、B、E共圓，∴∠CED＝∠ABC，∠ABF＝∠DCE，∵AC＝∠CB，∴∠A＝∠ABC，∴∠DCE＝∠CED，∴CD＝DE；（3）如圖3，當(dāng)∠DEC＝90°時，∵AB＝CB＝，∴∠A＝∠ABC＝＝30°，∵l∥AC，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠BDE＝90°﹣∠ABE＝60°，∴∠CDB＝∠CDE﹣∠BDE＝120°﹣60°＝60，∴∠ABC+∠CDB＝90°，∴CD＝BC?tan∠ABC＝?tan30°＝1，∴DE＝CD＝1，如圖4，當(dāng)∠BAE＝90°時，點D與點A重合，DE＝AC＝，綜上所述：DE＝1或．12．（2022?武進(jìn)區(qū)校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（4，0），點B（0，3），（Ⅰ）連接AB，若把線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則得線段A0B，請在圖①中用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點A的對應(yīng)點A0（不寫作法，保留作圖痕跡），直接寫出點A0的坐標(biāo)；（Ⅱ）若把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別為A′，O′，如圖②，求點O′和點A′的坐標(biāo)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊OA上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P′，求P′B+BA+AP的最小值．【解答】解：（1）如圖①所示，點A0為所求點，過點A0作A0D⊥y軸于D，∴∠A0DB＝90°＝∠AOB，∵點A（4，0），點B（0，3），∴OA＝4，BO＝3，∵把線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，∴∠A0BA＝90°＝∠AOB，A0B＝AB，∴∠ABO+∠OAB＝90°＝∠ABO+∠A0BD，∴∠A0BD＝∠OAB，∴△A0BD≌△BAO（AAS），∴BD＝AO＝4，A0D＝BO＝3，∴點A0（3，7）；（2）如圖②，過點O'作O'H⊥y軸于H，過點A'作A'E⊥O'H于E，∵把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，∴BO＝BO'＝3，∠OBO'＝120°，A'O＝AO＝4，∠AOB＝∠A'O'B＝90°，∴∠O'BH＝60°，∴∠BO'H＝30°，∴BH＝，O'H＝BH＝，∴OH＝，∴點O'（，），∵∠A'O'E＝90°﹣∠BO'H＝60°，∴∠O'AE'＝30°，∴EO'＝A'O'＝2，A'E＝EO'＝2，∴HE＝﹣2，∴點A'（﹣2，+2）；（3）如圖③，過點P作PC⊥AB于C，∵OA＝4，BO＝3，∴AB＝＝＝5，∴sin∠BAO＝＝＝，∴PC＝AP，∵旋轉(zhuǎn)，∴BP'＝BP，∴P′B+BA+AP＝BP+5+PC，作點B關(guān)于x軸的對稱點B'，過點B'作B'C'⊥AB于C'，交x軸于P''，此時BP+PC的最小值為B'C'的長，∴BO＝B'O＝3，∴BB'＝6，∵sin∠ABO＝＝，∴B'C'＝，∴P′B+BA+AP的最小值為5+＝．13．（2022?東麗區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（8，0），點B（0，6），把△ABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得△AB'O'，點B，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為B'，O'，記旋轉(zhuǎn)角為α．（Ⅰ）如圖①，若α＝90°，求BB'的長；（Ⅱ）如圖②，若α＝120°，求點O'的坐標(biāo)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊OB上有一點P，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P'，當(dāng)AP'+O'P取得最小值時，求點P的坐標(biāo)．（直接寫出結(jié)果即可）【解答】解：（Ⅰ）∵A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝＝10，由旋轉(zhuǎn)知，BA＝B'A，∠BAB'＝90°，∴△ABB'是等腰直角三角形，∴BB'＝AB＝10；（Ⅱ）如圖2過點O'作O'H⊥x軸于H，由旋轉(zhuǎn)知，O'A＝OA＝8，∠OAO'＝120°，∴∠HAO'＝60°，在Rt△AHO'中，∠HAO'＝60°，∴AH＝AO'＝4，O'H＝AH＝4，∴OH＝OA+AH＝12，∴O'（12，4）；（Ⅲ）由旋轉(zhuǎn)知，AP＝AP'，∴O'P+AP'＝O'P+AP，如圖3，作A關(guān)于y軸的對稱點，連接O'C交y軸于P，∴O'P+AP＝O'P+CP＝O'C，此時，O'P+AP的值最小，∵點C與點A關(guān)于y軸對稱，∴C（﹣，08），∵O'（12，4），∴直線O'C的解析式為y＝x+，令x＝0，∴y＝，∴P（0，），∴O'P'＝OP＝，作P'D⊥O'H于D，∵∠B'O'A＝∠BOA＝90°，∠AO'H＝30°，∴∠DP'O'＝30°，∴O'D＝O'P'＝，P'D＝O'D＝，∴DH＝O'H﹣O'D＝，O'H+P'D＝，∴P'（，），14．（2022?湖北模擬）在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，直線AC與BD交于點M．（1）如圖1，若∠OAB＝∠OCD＝45°，求的值；（2）如圖2，若∠OAB＝∠OCD＝α，求的值（用含α的式子表示）；（3）若∠OAB＝∠OCD＝30°，OD＝2，OB＝4，將三角形OCD繞著點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，直接寫出當(dāng)點A、C、D在同一直線上時，線段BD的長．【解答】解：（1）在△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，∴∠OBA＝90°﹣∠OAB＝45°＝∠OAB，∴OA＝OB，同理：OC＝OD，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∴＝1；（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝α，∴tanα＝，在Rt△COD中，∠COD＝90°，∠OCD＝α，∴tanα＝，∴＝，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠COD+∠AOD＝∠AOB+∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD，∴△BOD∽△AOC，∴＝＝tanα，即＝tanα；（3）﹣或+，理由：同（2）的方法知，△BOD∽△AOC，＝tan30°＝，∴∠ACO＝∠BDO，∴∠ADB＝∠COD＝90°，設(shè)BD＝x，則AC＝3x，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝4，∴AB＝2OB＝8，在Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝2，∴CD＝2OD＝4，①當(dāng)點C在線段AD上時，如圖1，AD＝AC+CD＝3x+4，由（2）知，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，∴（3x+4）2+（x）2＝64，∴x＝﹣﹣1（舍）或x＝﹣1，∴BD＝x＝﹣；②當(dāng)點D在線段AC上時，如圖2，AD＝AC﹣CD＝3x﹣4，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，∴（3x﹣4）2+（x）2＝64，∴x＝﹣+1（舍）或x＝+1；∴BD＝x＝+，即線段BD的長為﹣或+．15．（2022?六盤水模擬）[問題提出]如圖1，在△ABC中，每個內(nèi)角都小于120°，在△ABC內(nèi)有一點P，請確定點P的位置，使PA+PB+PC最?。?）[問題解決]如圖2，把△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CED，連接PD和AE，當(dāng)點B，P，D，E四點共線時，PA+PB+PC的最小值即為線段BE的長，此時∠APB＝120度；（2）[問題拓展]如圖3，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點P是△ABC內(nèi)一點，若∠APC＝135°，PA＝2，PC＝1，求PB的長；（3）[實際應(yīng)用]如圖4，△ABC是A，B，C三座城市位置的平面示意圖，要在△ABC內(nèi)規(guī)劃建設(shè)一個物流基地（用點P表示），連接PA，PB，PC，并使PA+PB+PC最?。唤?jīng)測量：AC＝40km，BC＝30km，∠ACB＝60°，求PA+PB+PC的最小值．【解答】解：（1）∵把△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CED，∴∠PCD＝60°，CP＝CD，∴△PCD為等邊三角形，∴∠CPD＝∠CDP＝60°，∠CDE＝∠APC＝∠BPC＝180°﹣60°＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠APC﹣∠BPC＝120°，∴∠APB＝120°，故答案為：120；（2）如圖，將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP'，∴AP＝AP'，BP'＝PC，∵AB＝AC，∠PAP'＝∠BAC＝90°，∴△PAP'為等腰直角三角形，∴∠AP'P＝45°，又∵∠APC＝135°，∴∠BP'P＝∠APC﹣∠AP'P＝90°，∵PA＝2，PC＝1，∴P'A＝PA＝2，P'B＝PC＝1，∴PP'＝＝2，∴PB＝＝3，∴PB的長為3；（3）如圖，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EDC，連接PD，BE，過點E作EH⊥BC交BC的延長線于H，∴∠ACP＝∠ECD，EC＝AC＝40km，∵∠PCD＝60°，∠ACP+∠PCB＝∠ACB＝60°，∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝120°，∴∠ECH＝60°，又∵EH⊥CH，∴∠CHE＝90°，∴CH＝km，EH＝CH＝20km，又∵BH＝BC+CH＝50km，∴BE＝＝10km，∵PA+PB+PC≥10km，∴PA+PB+PC的最小值為10km．16．（2022?西青區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，0），點B（0，2）分別是坐標(biāo)軸上的點，連接AB．把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得△A′BO′．點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為點A′，O′．記旋轉(zhuǎn)角為α．（Ⅰ）如圖①，當(dāng)點O′落在AB邊上時，求α的值和點O′的坐標(biāo)：（Ⅱ）如圖②，當(dāng)α＝60°時，求AA′的長和點O′的坐標(biāo)：（Ⅲ）連接AO′，直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中△AO′A′面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）如圖1，過點O'作O'D⊥OB于D，∵B（0，2），A（2，0），∴OB＝OA＝2，∴△AOB是等腰直角三角形∴∠ABO＝45°∴△BDO'是等腰直角三角形由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，α＝45°，BO＝BO′＝2，∴BD＝O'D＝∴O′（，2﹣）；（Ⅱ）如圖2，過點O′作O′H⊥OB于點H，在Rt△O′BH中，∵O'B＝2，∠OBO'＝60°，∴∠HO'B＝30°，∴BH＝O'B＝1，O'H＝，∴O′（，1）；由旋轉(zhuǎn)得：∠ABA'＝60°，AB＝A'B，∴△ABA'是等邊三角形，∴AA'＝AB＝2；（Ⅲ）如圖3，過點A作AG⊥A'O'于G，∵△AO′A′面積＝?A'O'?AG，∵A'O'＝2是定值，∴在旋轉(zhuǎn)過程中當(dāng)AG最大時，△AO′A′面積最大，如圖4，當(dāng)AO'過點B時最大，此時AO'＝2+2，∴△AO′A′面積＝?A'O'?AG＝×2×（2+2）＝2+2；答：在旋轉(zhuǎn)過程中△AO′A′面積的最大值是2+2．17．（2022?歷下區(qū)二模）如圖1，Rt△ABC中，∠C＝90°，點E是AB邊上一點，且點E不與A、B重合，ED⊥AC于點D．（1）當(dāng)∠B＝30°時，①＝；②當(dāng)△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時（60°＜∠CAD＜90°），上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（2）當(dāng)∠B＝45°時，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得∠DEB＝90°，若AC＝5，AD＝，請直接寫出線段CD的長．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，①如圖1，過點E作EH⊥BC于點H，則∠EHC＝∠EHB＝90°，∵ED⊥AC∴∠ADE＝∠CDE＝90°，∵∠C＝90°，∴四邊形CDEH是矩形，∴EH＝CD，在Rt△BEH中，∠B＝30°，∴EH＝BE，∴CD＝BE，∴＝，故答案為：；②成立，理由如下：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠BAC+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，由①可知，＝，＝，∴＝＝，∴△ACD∽△ABE，∴＝＝；（2）∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，∵ED⊥AD，∴∠AED＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE，AC＝BC，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)∠DEB＝90°，分兩種情況：①如圖3，過A作AF⊥BE交BE的延長線于F，則∠F＝90°，當(dāng)∠DEB＝90°時，∠ADE＝∠DEF＝90°，∴四邊形ADEF是矩形，又∵AD＝DE，∴矩形ADEF是正方形，∴AD＝AF＝EF＝，∵BC＝AC＝5，∴AB＝＝＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝3，∴BE＝BF﹣EF＝2，又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，∵＝，＝，∴＝，∴△ACD∽△ABE，∴＝＝，即＝，解得：CD＝；②如圖4，過A作AF⊥BE于F，則∠AFE＝∠AFB＝90°，當(dāng)∠DEB＝90°時，∠DEB＝∠ADE＝90°，∴四邊形ADEF是矩形，又∵AD＝ED，∴矩形ADEF是正方形，∴AD＝EF＝AF＝，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3，∴BE＝BF+EF＝4，同①得：△ACD∽△ABE，∴＝＝，即＝，解得：CD＝2；綜上所述，線段CD的長為或2．18．（2022?南關(guān)區(qū)校級模擬）【問題提出】如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【問題解決】解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E，使DE＝AD，再連結(jié)BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．由此得出中線AD的取值范圍是2＜AD＜6．【應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，D為邊BC的中點、已知AB＝10，AC＝6，AD＝4，求BC的長．【拓展】如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上，過點D作DF⊥DE交邊AC于點F，連結(jié)EF．已知BE＝5，CF＝6，則EF的長為．【解答】解：【問題解決】在△DAC和△DEB中，，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC＝EB＝4，∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝8，∴4＜AE＜12，∴2＜AD＜6，故答案為：2＜AD＜6；【應(yīng)用】延長AD到E，使得AD＝DE，連接BE，如圖②，在△DAC和△DEB中，，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC＝EB＝6，∵AE＝2AD＝8，AB＝10，∵62+82＝102，∴BE2+AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，∴BD＝＝＝2，∴BC＝2BD＝4；【拓展】延長FD到G，使得DG＝FD，連接BG，EG，如圖③，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF＝6，DG＝DF，∠DBG＝∠DCF，∵DE⊥DF，∴EG＝EF，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠DBG＝90°，∴EG＝＝＝，∴EF＝，故答案為：．19．（2022?伊川縣模擬）已知△ACB和△EDB均為直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，直線AE與直線CD交于點M．（1）觀察猜想如圖①，當(dāng)∠ABC＝∠EBD＝45°時，線段AE和CD的數(shù)量關(guān)系是AE＝CD；∠AMC＝45°．（2）探究證明如圖②，當(dāng)∠ABC＝∠EBD＝30°時，線段AE和CD的數(shù)量關(guān)系是什么？∠AMC的度數(shù)又是多少？請說明理由．（3）拓展延伸在（2）的條件下，若BC＝9，BD＝6，將△EDB繞點B旋轉(zhuǎn)，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A、E、D三點共線時，請直接寫出點C到直線AE的距離．【解答】解：（1）結(jié)論：AE＝CD，∠AMC＝45°．理由：如圖①中，設(shè)AM交BC于點O．∵△ACB和△EDB均為直角三角形，∠ABC＝∠EBD＝45°，∴△ABC，△DEB都是等腰直角三角形，∴BC＝BC，BE＝BD，∴＝＝，∵∠ABC＝∠DBE＝45°，∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△CBD，∴＝＝，∠BAE＝∠BCD，∴AE＝CD，∵∠AOB＝∠COM，∴∠AMC＝∠ABO＝45°，故答案為：AE＝CD，45．（2）結(jié)論：CD＝AE，∠AMC＝30°．理由：設(shè)AM交BC于點O．∵∠ACB＝∠EDB＝90°，∠ABC＝∠DBE＝30°，∴∠ABE＝∠CBD，∵＝＝cos30°＝，∴△CBD∽△ABE，∴＝＝，∠BAE＝∠BCD，∴CD＝AE，∵∠AOB＝∠COM，∴∠AMC＝∠ABO＝30°．（3）如圖③﹣1中，點E在線段AD上時，設(shè)AD交BC于點J，過點J作JK⊥AB于K，過點C作CH⊥AD于H．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝9，∴AC＝BC?tan30°＝3，∴AB＝6，在Rt△ADB中，AD＝＝＝6，∵tan∠DAB＝＝，∴＝，∵AK＝JK，設(shè)JK＝m，則BK＝m，AK＝m，∴m+m＝6，∴m＝18﹣6，∴JK＝18﹣6，BJ＝2JK＝36﹣12，∴CJ＝BC﹣BJ＝9﹣（36﹣12）＝12﹣27．∴AJ＝＝＝18（﹣），∵CH⊥AJ，∴CH＝＝＝．如圖③﹣2中，當(dāng)點D在線段AE上時，延長DA交BC的延長線于J，過點J作JK⊥AB交BA的延長線于點K，過點C作CH⊥DJ于點H．同法設(shè)JK＝m，則BK＝m，AK＝m，∴m﹣m＝6，∴m＝18+6，∴JK＝18+6，BJ＝2JK＝36+12，∴CJ＝BJ﹣BC＝27+12，∴AJ＝＝＝18（+），∵CH⊥AJ，∴CH＝＝＝，綜上所述，點C到直線AE的距離為或．20．（2022?息烽縣二模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點A，D，E在同一直線上，連接BE，易證△BCE≌△ACD．則①∠BEC＝120°；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是AD＝BE．（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，若AE＝15，DE＝7，求AB的長度．（3）探究發(fā)現(xiàn)：如圖3，P為等邊△ABC內(nèi)一點，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的長．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．故答案為：120．②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；故答案為：AD＝BE．（2）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE＝AE﹣DE＝15﹣7＝8，∠ADC＝∠BEC，∵△DCE為等腰直角三角形∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∴AB＝＝＝17；（3）把△APC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEC，連接PE，如圖所示：則△BEC≌△APC，∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°，∴△PCE是等邊三角形，∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，∴∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，即D、P、E在同一條直線上，∴DE＝DP+PE＝8+4＝12，在Rt△BDE中，，即BD的長為13．21．（2021?東莞市校級二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過點A，E為直線l上一點，將△ACE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BCE'的位置，且點E'恰好在直線l上．（1）求證：∠AE'B＝90°且E'C平分∠AE'B；（2）若AE'＝CE'＝2+，求證：△ACE≌△OAE'；（3）在（2）的條件下，求S△ABC．【解答】（1）證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，CE＝CE′，∠ECE′＝90°，CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠E′EC＝EE′C＝45°＝∠CAB＝∠CBA，AE＝BE′，∴∠EAC＝∠E′BC，∠AEC＝∠BE′C＝45°，∠ECA＝∠E′CB，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，△ACE≌△BCE′，∴∠AE′C＝∠BE′C＝45°，∴∠AE′B＝90°且E'C平分∠AE'B；（2）證明：∵∠EAC＝∠E′BC，∴∠E′BC＝∠ABC+∠ABE′＝45°+∠ABE′，∵CE′B＝45°，∴∠E′BC＝45°+∠ABE＝∠CE′B+∠ABE′＝∠AOE′，∴∠EAC＝∠AOE′，在△ACE和△OAE′中，，∴△ACE≌△OAE′（AAS）；（3）解：在Rt△ECE′中，CE＝CE′＝2+，∴EE′＝2+2，∴AE＝EE′﹣AE′＝，過點A作CE′的垂線，垂足為M，在Rt△AMC′中，∠AE′M＝45°，AE′＝2+，∴AN＝E′M＝+1，∴CM＝CE′﹣E′M＝1，在Rt△ACM中，CM＝1，AM＝+1，∴AC2＝AM，∴S△ABC＝AC2＝2+．22．（2021?東港區(qū)校級一模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，點P是平面內(nèi)不與A，C重合的任意一點，連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)α＝60°時，的值是1，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°．（2）類比探究如圖2，當(dāng)α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當(dāng)α＝90°時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．【解答】解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設(shè)AB交EC于點O．∵∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°，故答案為：1，60°．（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點H，BD交PC于點G．∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，，∵∠EHC＝∠AHB，∴∠CEH＝∠HAB＝45°，∴直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為45°．（2）如圖3中，當(dāng)點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四點共圓，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠