流體力學-第5章

第5章 量綱分析和相似原理§5.3

相似理論基礎(chǔ)§5.2量綱分析法§5.4模型實驗§5.1

量綱分析的意義和量綱和諧原理§5.1

量綱分析的意義和量綱和諧原理5.1.1量綱的概念1.量綱基本量綱：無任何聯(lián)系、相互獨立的量綱。質(zhì)量（M）、長度（L）、時間（T）、溫度（）基本量綱具有獨立性、唯一性，如：量綱，又稱為因次，是指物理量的屬性（性質(zhì)和種類）。用[]或dim表示，如[m]、[l]、[t]、[p]、[v]

、dimt物理量q屬性dimq量度單位1.基本量綱和導(dǎo)出量綱導(dǎo)出量綱：可以由基本量綱導(dǎo)出的量綱導(dǎo)出量綱：速度[v]=LT-1加速度dima=LT-2密度dim

=ML-3

力dimF=MLT-2

壓強dimp=ML-1T-2

表面張力dim

=MT-2

體積模量dimK=ML-1T-2

動力粘度dim

=ML-1T-1

運動粘度dim

=L2T-1基本量綱：質(zhì)量（M）、長度（L）、時間（T）、溫度（）國際單位制不可壓縮流體運動的量綱公式：常用物理量的量綱（因次）5.1.2無量綱量無量綱量：量綱指數(shù)為零（α=β=γ=0）的物理量無量綱量

*具有客觀性

*不受運動規(guī)模的影響

*可進行超越函數(shù)運算雷諾數(shù)是無量綱量5.1.3量綱和諧原理正確描述自然現(xiàn)象的物理方程，其各項的量綱必然相同。用量綱表示的物理方程必定是齊次性的。滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項去除其余各項，使其變?yōu)闊o量綱方程，即準則方程式例如:伯努利方程無量綱方程在量綱和諧原理基礎(chǔ)上發(fā)展起來的量綱分析法有兩種：用定性物理量x1、x2、….、xn的某種冪次之積的函數(shù)來表示被決定的物理量y基本思想：假定各物理量之間是指數(shù)形式的乘積組合。式中，k為無量綱系數(shù)，由試驗確定。

a1、a2、….、an為待定指數(shù)，根據(jù)量綱一致性原則求出。5.2.1瑞利法§5.2

量綱（因次）分析法[例1]

已知管流的特征流速vc與流體的密度ρ、動力粘度μ和管徑d有關(guān)，試用瑞利量綱分析法建立vc的公式結(jié)構(gòu)。[解]式中k為無量綱常數(shù)。將各物理量的量綱代入指數(shù)方程，則得相應(yīng)的量綱方程假定根據(jù)量綱齊次性原理，有解上述三元一次方程組得：故得：其中常數(shù)k需由實驗確定。瑞利法一般用于影響流動的參數(shù)個數(shù)不超過4個時較為方便。5.2.2

定理（巴金漢定理）基本思想：如果一個物理過程涉及到n個物理量,且n個變量互為函數(shù)關(guān)系，而這些變量中含有m個基本量綱，則這個物理過程可以由n個物理量組成的n-m個無量綱量（相似準則數(shù)

i）的函數(shù)關(guān)系來描述,即:即:[例2]

實驗發(fā)現(xiàn)，球形物體在粘性流體中運動所受阻力FD與球體直徑d、球體運動速度v、流體的密度ρ和動力粘度μ有關(guān)，試用π定理量綱分析法建立FD的公式結(jié)構(gòu)。[解]選基本物理量ρ、v、d，根據(jù)π定理，上式可變?yōu)槠渲屑俣▽Ζ?：代入，并就FD解出，可得解上述三元一次方程組得：其中同理：式中為繞流阻力系數(shù)，由實驗確定。5.2.3量綱分析方法的討論量綱分析方法的理論基礎(chǔ)是量綱和諧原理。量綱分析為組織實驗研究，以及整理實驗數(shù)據(jù)提供了科學的方法。量綱分析是判別經(jīng)驗公式是否完善的基礎(chǔ)。應(yīng)用量綱分析方法得到的物理公式是否符合客觀規(guī)律，與所選入的物理量是否正確有關(guān)。作業(yè)：5-14，16§5.3

相似理論基礎(chǔ)5.3.1相似概念流場的幾何形狀流體微團的運動狀態(tài)流體微團的動力性質(zhì)模型與原型的全部對應(yīng)線形長度的比例相等，任意相應(yīng)兩線段的夾角相同。1、幾何相似

長度比例尺面積比例尺體積比例尺夾角4類表征流動過程的物理量：邊界條件和初始條件模型與原型的流場所有對應(yīng)點上、對應(yīng)時刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。2、運動相似

速度比例尺加速度比例尺時間比例尺速度相似，加速度必然相似。反之亦然體積流量比例尺動力相似，要求受同名力作用，模型與原型的流場所有對應(yīng)點作用在流體微團上的各種力彼此方向相同，而它們大小的比例相等。3、動力相似

力的比例尺——總壓力——切向力——重力——慣性力慣性力相似是其它合力作用相似的結(jié)果。所以動力相似是運動相似的保證邊界條件相似，指兩個流動相應(yīng)邊界性質(zhì)相同。4、邊界條件和初始條件相似

邊界條件相似可歸于幾何相似非恒定流動要求初始條件相似恒定流動不存在初始條件相似5、幾何相似、運動相似和動力相似三者間的關(guān)系

動力相似是決定運動相似的主導(dǎo)因素。幾何相似、運動相似和動力相似是模型流場和原型流場相似的重要特征。幾何相似是流動力學相似的前提條件。運動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。滿足幾何相似(包含邊界條件相似)

、運動相似、動力相似的流動被稱為相似流動。

6、基本比例尺、其它動力學比例尺

長度比例尺速度比例尺密度比例尺常選取ρ、l、v的比例尺為為基本比例尺

用基本比例尺表示的其它動力學比例尺力矩（功、能）比例尺壓強（應(yīng)力）比例尺功率比例尺動力粘度比例尺5.3.2相似準則一、牛頓相似準則——牛頓數(shù)模型與原型的流場動力相似，它們的牛頓數(shù)必定相等。二、各單項力相似準則模型與原型的流場動力相似，則作用在流場上的各種性質(zhì)的力（如重力、粘滯力、總壓力、彈性力、表面力等）都要服從牛頓相似準則，即各單項力作用下的相似準則。重力相似準則粘滯力相似準則表面力相似準則非定常性相似準則彈性力相似準則壓力相似準則1.重力相似準則在重力作用下相似的流動，其重力場相似。代入

Fr——弗勞德數(shù)，意義？？1.重力相似準則在重力作用下相似的流動，其重力場相似。

Fr——弗勞德數(shù)，慣性力與重力的比值。弗勞德數(shù)準則2.粘滯力相似準則在粘滯力作用下相似的流動，其粘滯力場相似。代入

Re——雷諾數(shù)，慣性力與粘滯力的比值。雷諾數(shù)準則3.壓力相似準則在壓力作用下相似的流動，其壓力場相似。代入

Eu——歐拉數(shù)，總壓力與慣性力的比值。歐拉數(shù)準則4.彈性力相似準則對于可壓縮流的模型試驗，由壓縮引起的彈性力場相似。代入

Ca——柯西數(shù)，慣性力與彈性力的比值。氣體彈性力相似準則

M——馬赫數(shù)，慣性力與彈性力的比值。對于氣體滿足（c為聲速），5.非定常性相似準則對于非定常流動的模型試驗，模型與原型的流動隨時間的變化必相似。代入

St——斯特勞哈爾數(shù)，當?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。6.表面力相似準則在表面張力作用下相似的流動，其表面張力分布相似。代入

We——韋伯數(shù)，慣性力與張力的比值。三、定性準則和導(dǎo)出準則若決定流動的作用力是重力、粘滯力、壓力,則只要其中兩個同名作用力和慣性力成比例,令一個同名力也將成比例。如圖。由于壓力通常是待求量，這樣只要重力、粘滯力相似，壓力自行相似。即弗勞德準則、雷諾準則成立，歐拉準則自行成立。所以弗勞德準則、雷諾準則稱為定性準則（獨立準則），歐拉準則稱為導(dǎo)出準則。FGnFInFpnFμnFGmFImFpmFμm流體的運動是邊界條件和作用力決定的，當兩個流動一旦實現(xiàn)了幾何相似和動力相似，就必然以相同的規(guī)律運動。幾何相似和定性準則成立是實現(xiàn)流體力學相似的充分和必要條件§5.4模型實驗?zāi)Ｐ蛯嶒炇歉鶕?jù)相似原理，制成與原型相似的小尺度模型進行實驗研究，并以實驗的結(jié)果預(yù)測出原型將會發(fā)生的流動現(xiàn)象。進行模型實驗要解決下面兩個問題。一、模型律的選擇理論上要求各獨立的相似準則均滿足，但實際上同時滿足各準則很困難，甚至是不可能的。雷諾準則：弗勞德準則：同時滿足弗勞德準則和雷諾準則：當選用模型與原型為同種流體時即是原型測試而非模型實驗當選用模型與原型為不同種流體時假設(shè)模型試驗要做到完全相似非常困難，一般只能做到近似相似。在設(shè)計模型和組織模型試驗時，在與流動過程有關(guān)的定性準則中只考慮那些對流動過程起主導(dǎo)作用的定性準則，而忽略那些對過程影響較小的定性準則，以達到模型流動與原型流動的近似相似。這就遇到模型律的選擇問題例如:1、有壓的粘性管流，潛體繞流因為對流動起主導(dǎo)作用的力是粘性力,不是重力。故,忽略弗勞德準則,只考慮雷諾準則。2、明渠流動因為對流動起主導(dǎo)作用的力是重力。故只考慮弗勞德準則。二、模型設(shè)計實驗場地等條件相似準則例題1為了評估西陵長江大橋的抗風穩(wěn)定性，在風洞中進行1/120的全橋氣動彈性模型試驗，已知橋面處的設(shè)計風速為30.8m/s，顫振驗算風速為37m/s，（1）試設(shè)計確保橋梁安全的風洞試驗風速；（2）如果模型在風洞紊流場的試驗中當風速為2.9m/s時，由風振引起的模型跨中的振幅為23.8mm，彎矩為0.072N·m，扭矩為0.033N·m，試問對應(yīng)于實橋的工況如何？

Tacoma橋風毀解：（1）實橋的顫振驗算風速為37m/s，應(yīng)該求出這一風速對應(yīng)的模型風速作為確保橋梁安全的控制性試驗風速。風速的對應(yīng)比值取決于弗勞德準則，因此按弗勞德準則計算。即

因為

所以

風洞中的3.38m/s風速相當于實橋的37m/s風速，當全橋氣動彈性模型在風洞中經(jīng)受3.38m/s風速而不發(fā)生破壞性的顫振時，實橋在37m/s風速時就不會發(fā)生顫振，因此，為確保橋梁安全，試驗中控制的最大風洞風速不得低于3.38m/s。

（2）對應(yīng)實橋風速

對應(yīng)實橋振幅

彎矩的相似準則為

對應(yīng)實橋彎矩

對應(yīng)實橋扭矩

所以模型對應(yīng)的工況是實橋在31.8m/s風速時跨中振幅為2856mm，氣動彎矩為14929920N·m，氣動扭矩為6842880N·m例題2高454m的上海東方明珠電視塔在結(jié)構(gòu)設(shè)計時需要風荷載數(shù)據(jù)，因此采用1/100的模型在風洞中進行風荷載測量試驗，試驗中的關(guān)鍵是要模擬圓柱繞流相似，原型柱直徑為9m，已知建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范[7]給出的塔址處的設(shè)計風速為30m/s，（1）試確定試驗風速范圍；（2）寫出根據(jù)試驗數(shù)據(jù)計算阻力Fd、橫風向力Fl、底部彎矩M的公式。解：(1)本試驗應(yīng)滿足雷諾準則

因此

原型塔設(shè)計風速30m/s對應(yīng)的試驗風速是3000m/s，顯然這在風洞中是不可能實現(xiàn)的，必須另找辦法。圓柱結(jié)構(gòu)存在一個雷諾數(shù)“自準區(qū)”，也就是說，當雷諾數(shù)超過某一數(shù)值（約為