第01講一元二次方程的定義與解法（核心考點講與練）2022年暑假新九年級數(shù)學(xué)核心考點講與練（蘇科版）

第01講一元二次方程的定義與解法（核心考點講與練）【基礎(chǔ)知識】一．一元一次方程的定義（1）一元一次方程的定義只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b＝0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標(biāo)準形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．（2）一元一次方程定義的應(yīng)用（如是否是一元一次方程，從而確定一些待定字母的值）這類題目要嚴格按照定義中的幾個關(guān)鍵詞去分析，考慮問題需準確，全面．求方程中字母系數(shù)的值一般采用把方程的解代入計算的方法．二．二元一次方程組的解（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．三．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．四．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當(dāng)a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．五．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．六．解一元二次方程直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．七．解一元二次方程配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．八．解一元二次方程公式法（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．九．解一元二次方程因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．十．換元法解一元二次方程1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準型問題標(biāo)準化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．【考點剖析】一．一元二次方程的定義（共3小題）1．（2022春?泰興市校級月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2-3x+1=0 B．（x+1）（x﹣C．5x2﹣4＝0 D．a(chǎn)x2+bx+c＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且最高次項的次數(shù)是2次，并且得是整式方程，即可判斷．【解答】解：根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．∴A選項不是整式方程，不符合題意；B選項化簡，得x﹣1＝0，不含有2次項，∴B選項不符合題意；C選項符合題意；D選項當(dāng)a＝0時，不含有2次項，∴D選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程，對一元二次方程的定義的準確理解是解決本題的關(guān)鍵．2．（2021秋?宜興市月考）已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m＝0是一元二次方程，則m＝﹣1．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：|m|+1＝2，m﹣1≠0，∴m＝﹣1，故答案為：﹣1．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，掌握只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?玉屏縣期中）向陽中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程（m+1）xm2+1+（m﹣（1）是否存在m的值，使方程為一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；（2）是否存在m的值，使方程為一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義可得m2+1=2m+1?0（2）當(dāng)m2+1＝1或m+1＝0時方程為一元一次方程，求出m的值，進一步解方程即可．【解答】解：（1）根據(jù)一元二次方程的定義可得m2+1=2m+1?0，解得m＝1，此時方程為2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x（2）由題可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0時方程可能為一元一次方程當(dāng)m2+1＝1時，解得m＝0，此時方程為﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，當(dāng)m+1＝0時，解得m＝﹣1，此時方程為﹣3x﹣1＝0，解得x=-當(dāng)m2+1＝0時，方程無解．【點評】本題主要考查一元二次和一元一次方程的定義，對（2）中容易漏掉m2+1＝1的情況．二．一元二次方程的一般形式（共4小題）4．（2021秋?南京期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常數(shù)項是﹣1，一次項系數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次項系數(shù)即可．【解答】解：2x2﹣1＝4x，移項得：2x2﹣4x﹣1＝0，即一次項系數(shù)是﹣4，故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，多項式的項和單項式的系數(shù)等知識點，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），②找項的系數(shù)帶著前面的符號．5．（2021秋?海州區(qū)校級期中）一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（）A．1、0 B．1、3 C．1、﹣3 D．﹣1、﹣3【分析】根據(jù)方程的特點和二次項系數(shù)、一次項系數(shù)的意義找出即可．【解答】解：一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為1，﹣3．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c都是常數(shù)，且a≠0），說系數(shù)時要帶著前面的符號．6．（2021秋?黃石期末）將方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化為一般形式是2x2+x﹣1＝0．【分析】先根據(jù)完全平方公式進行計算，再移項，合并同類項，最后得出答案即可．【解答】解：2（x﹣1）2＝3﹣5x，2x2﹣4x+2＝3﹣5x，2x2﹣4x+2﹣3+5x＝0，2x2+x﹣1＝0，即方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化為一般形式是2x2+x﹣1＝0，故答案為：2x2+x﹣1＝0．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）．7．（2020秋?常州期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項為0．（1）求m的值；（2）求此時一元二次方程的解．【分析】（1）直接利用常數(shù)項為0，進而得出關(guān)于m的等式進而得出答案；（2）利用（1）中所求得出方程的解．【解答】解：（1）由題意，得：m2﹣3m+2＝0解之，得m＝2或m＝1①，由m﹣1≠0，得：m≠1②，由①，②得：m＝2；（2）當(dāng)m＝2時，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，得x2+5x＝0，x（x+5）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣5．【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正確解方程是解題關(guān)鍵．三．一元二次方程的解（共5小題）8．（2021秋?金湖縣期末）若a為方程x2+2x﹣4＝0的解，則a2+2a﹣8的值為（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12【分析】將x＝a代入方程x2+2x﹣4＝0，求出a2+2a＝4，再代入所求代入式即可．【解答】解：∵a為方程x2+2x﹣4＝0的解，∴a2+2a﹣4＝0，∴a2+2a＝4，∴a2+2a﹣8＝4﹣8＝﹣4，故選：C．【點評】本題考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（2022?常州模擬）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式a（2a﹣7）+5＝6．【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到2a2﹣7a＝1，再去括號得到a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個根，∴2a2﹣7a﹣1＝0，∴2a2﹣7a＝1，∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．10．（2022?邗江區(qū)一模）關(guān)于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n為實數(shù)且m≠0），m恰好是該方程的根，則m+n的值為5．【分析】把x＝m代人整理后即可求得答案．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n為實數(shù)且m≠0），m恰好是該方程的根，∴m2+mn﹣5m＝0，∴m（m+n）＝5m，∴m+n＝5，故答案為：5．【點評】考查了一元二次方程的解的知識，解題的關(guān)鍵是代人后正確的變形，難度不大．11．（2021?南海區(qū)二模）若關(guān)于x，y的二元一次方程組x+2y=7a-12x-y=-a+3的解x（1）求a的取值范圍；（2）若x是一個直角三角形的直角邊長，y是其斜邊長，此三角形另一條直角邊的長為方程m2﹣8m+16＝0的解，求這個直角三角形的面積．【分析】（1）通過解方程組得到a+1>（2）利用勾股定理得到（a+1）2+16＝（3a﹣1）2，解得a1＝﹣1（舍去），a2＝2，從而得到x的值，然后計算三角形的面積．【解答】解：（1）解方程組得x=a+1y=3a-1∴a+1>解得a＞1（2）解方程m2﹣8m+16＝0得m1＝m2＝4，根據(jù)題意得x2+42＝y(tǒng)2，即（a+1）2+16＝（3a﹣1）2，整理得a2﹣a﹣2＝0，解得a1＝﹣1（舍去），a2＝2，∴a＝2，∴x＝a+1＝3，∴這個直角三角形的面積=12×【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了解二元一次方程組和不等式組．12．（2021秋?高港區(qū)期中）定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰方程”．（1）判斷一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否為鳳凰方程，說明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是關(guān)于x的鳳凰方程，若m是此鳳凰方程的一個根，求m得值．【分析】（1）利用有一個根為﹣1的一元二次方程為“鳳凰方程”對一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否為鳳凰方程進行判斷；（2）根據(jù)“鳳凰方程“的定義得到2+m﹣n＝0①，再把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0，然后消去n得到m的一元二次方程，最后解關(guān)于m的方程即可．【解答】解：（1）是．理由如下：當(dāng)x＝﹣1時，3x2﹣4x﹣7＝0，所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0為鳳凰方程；（2）根據(jù)題意得2+m﹣n＝0①，把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②，②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m1＝2，m2＝﹣1，即m的值為2或﹣1．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．四．解一元二次方程直接開平方法（共4小題）13．（2021秋?鹽都區(qū)期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解為（）A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝25【分析】利用直接開平方法解方程得出答案．【解答】解：x2﹣25＝0，則x2＝25，解得：x1＝5，x2＝﹣5．故選：B．【點評】此題主要考查了直接開平方法解方程，正確開平方是解題關(guān)鍵．14．（2021秋?東臺市期中）解方程：2x2＝6．【分析】利用直接開平方法求解即可．【解答】解：2x2＝6，x2＝3，∴x=±∴x1=3，x2=【點評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．15．（2020秋?邗江區(qū)校級月考）求滿足條件的x值：（1）3（x﹣1）2＝12；（2）x2﹣3＝5．【分析】利用直接開平方法求解即可．【解答】解：（1）3（x﹣1）2＝12，∴（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）x2﹣3＝5，∴x2＝8，∴x=±∴x1＝22，x2＝﹣22．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．16．（2018秋?鼓樓區(qū)期末）求4x2﹣25＝0中x的值．【分析】先移項，把方程化為x2＝a的形式再直接開平方．【解答】解：移項，得4x2＝25，系數(shù)化為1，得x2=25開平方，得x＝±52【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開方法，法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．五．解一元二次方程配方法（共3小題）17．（2020秋?香洲區(qū)期末）解方程：x2﹣4x+1＝0（配方法）．【分析】方程常數(shù)項移到右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．【解答】解：方程變形得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，開方得：x﹣2＝±3，則x1＝2+3，x2＝2-【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，利用配方法解方程時，首先將方程二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移到右邊，然后兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．18．（2022?碑林區(qū)校級三模）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）【分析】解題時要注意解題步驟的準確應(yīng)用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．然后利用直接開平方法即可求解．【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0x2﹣2x-1x2﹣2x+1=1（x﹣1）2=∴x1＝1+62，x2＝1【點評】用配方法解一元二次方程的步驟：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移項，把常數(shù)項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，即化成x2+px+q＝0，然后配方．19．（2019秋?榕城區(qū)期中）用配方法解方程：2x2﹣4x＝1．【分析】利用配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應(yīng)用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．【解答】解：二次項系數(shù)化為1，得x2﹣2x=1配方得x2﹣2x+1=1即（x﹣1）2=3開方得：x﹣1＝±62∴x1＝1+62，x2＝1【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移項，把常數(shù)項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，即化成x2+px+q＝0，然后配方．六．解一元二次方程公式法（共3小題）20．（2019?合浦縣二模）解方程：x2+3x﹣2＝0．【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣2）＝17，∴x=-3±∴x1=-3+172，x【點評】本題考查解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力．21．（2019?鼎城區(qū)模擬）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．【分析】利用公式法解方程即可求解．【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴Δ＝9+8＝17＞0，∴x=3±x1=3+174，x【點評】此題這樣考查了利用公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握求根公式即可解決問題．22．（2019?常德）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．【分析】公式法的步驟：①化方程為一般形式；②找出a，b，c；③求b2﹣4ac；④代入公式x=-b±【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0；∴x==3±∴x1=3+172，x【點評】本題主要考查了解一元二次方程的解法．要會熟練運用公式法求得一元二次方程的解．此法適用于任何一元二次方程．七．解一元二次方程因式分解法（共2小題）23．（2021秋?廣陵區(qū)期末）解方程：（1）x2+5x+4＝0．（2）4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．【分析】（1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，再進一步求解即可；（2）利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，再進一步求解即可．【解答】解：（1）∵x2+5x+4＝0，∴（x+1）（x+4）＝0，則x+1＝0或x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1；（2）∵4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（4x﹣1）＝0，則x﹣2＝0或4x﹣1＝0，解得x1＝2，x2【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．24．（2021秋?泗陽縣期末）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣12＝0；（2）x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）．【分析】（1）將左邊利用十字相乘法因式分解，繼而可得兩個關(guān)于x的一元一次方程，分別求解即可得出答案；（2）先移項，再將左邊利用提公因式法因式分解，繼而可得兩個關(guān)于x的一元一次方程，分別求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣12＝0，∴（x﹣6）（x+2）＝0，則x﹣6＝0或x+2＝0，解得x1＝6，x2＝﹣2；（2）∵x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），∴x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，則（x﹣3）（x+2）＝0，∴x﹣3＝0或x+2＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．八．換元法解一元二次方程（共3小題）25．（2022春?射陽縣校級月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，則x2+y2的值為（）A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2【分析】設(shè)x2+y2＝z，則原方程換元為z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，即可求解．【解答】解：設(shè)x2+y2＝z，則原方程換元為z2﹣2z﹣8＝0，∴（z﹣4）（z+2）＝0，解得：z1＝4，z2＝﹣2，即x2+y2＝4或x2+y2＝﹣2（不合題意，舍去），∴x2+y2＝4．故選：B．【點評】本題考查了換元法解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．26．（2021秋?山亭區(qū)期末）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，則a2+b2＝3．【分析】設(shè)a2+b2＝y(tǒng)，則原方程換元為y2﹣2y﹣3＝0，可得y1＝3，y2＝﹣1，即可求解．【解答】解：設(shè)a2+b2＝y(tǒng)，則原方程換元為y2﹣2y﹣3＝0，∴（y﹣3）（y+1）＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣1，即a2+b2＝3或a2+b2＝﹣1（不合題意，舍去），∴a2+b2＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了解一元二次方程及換元法解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．27．（2020春?開江縣期末）基本事實：“若ab＝0，則a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通過因式分解化為（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事實得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解為x＝3或x＝﹣2．（1）試利用上述基本事實，解方程：3x2﹣x＝0；（2）若實數(shù)m、n滿足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．【分析】（1）利用材料中的因式分解法解該方程；（2）設(shè)t＝m2+n2（t≥0），將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，通過解該方程求得t的值即可．【解答】解：（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0∴x＝0或3x﹣1＝0解得：x1＝0，x2=1（2）t＝m2+n2（t≥0），則由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．即m2+n2的值是3．【點評】本題主要考查了因式分解法和換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準型問題標(biāo)準化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共5小題）1．（2019?懷集縣一模）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一個根是0，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x＝0代入方程，即可得到關(guān)于a的方程，再根據(jù)一元二次方程的定義即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故選：B．【點評】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，特別需要注意的條件是二次項系數(shù)不等于0．2．（2019秋?競秀區(qū)期末）將方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可變形為（）A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x+4）2＝﹣9 D．（x+8）2＝7【分析】先移項得到x2+8x＝﹣9，然后把方程作邊利用完全平方公式變形得到（x+4）2＝7即可．【解答】解：x2+8x＝﹣9，x2+8x+16＝7，（x+4）2＝7．故選：A．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．3．（2021秋?順德區(qū)月考）把一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式，則a，b，c的值分別是（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），可得出答案．【解答】解：將一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式有：x2﹣3x+10＝0，故a＝1，b＝﹣3，c＝10．故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，屬于基礎(chǔ)題，注意一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．4．（2019秋?蘇州期末）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）A．x+2＝3 B．x+y＝1 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2+1【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．【解答】解：A、原方程為一元一次方程，不符合題意；B、原方程為二元一次方程，不符合題意；C、原方程為一元二次方程，符合題意；D、原方程為分式方程，不符合題意，故選：C．【點評】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．5．（2021?吳中區(qū)開學(xué)）方程（x+1）2＝1的根為（）A．0或﹣2 B．﹣2 C．0 D．1或﹣1【分析】兩邊開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x+1）2＝1，開方，得x+1＝±1，解得：x1＝0，x2＝﹣2，故選：A．【點評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：解一元二次方程的方法有：直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．二．填空題（共3小題）6．（2018春?商南縣期末）若（x﹣1）2＝4，則x＝3或﹣1．【分析】把x﹣1看作整體直接開方后再計算即可求解．【解答】解：x﹣1＝±2x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2x＝3或x＝﹣1．【點評】主要考查直接開平方法解方程．要注意整體思想的運用．（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．（2）運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體．（3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．7．（2018春?西城區(qū)期末）將一元二次方程x2+8x+13＝0通過配方轉(zhuǎn)化成（x+n）2＝p的形式（n，p為常數(shù)），則n＝4，p＝3．【分析】依據(jù)配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方求解可得．【解答】解：∵x2+8x+13＝0，∴x2+8x＝﹣13，則x2+8x+16＝﹣13+16，即（x+4）2＝3，∴n＝4、p＝3，故答案為：4、3．【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．8．（2016?江陰市校級開學(xué)）如果（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，則a2+b2＝2．【分析】設(shè)y＝a2+b2，將已知方程整理為關(guān)于y的一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解得到y(tǒng)的值，即可確定出a2+b2的值．【解答】設(shè)y＝a2+b2，原方程化為y2﹣y﹣2＝0，分解因式得：（y﹣2）（y+1）＝0，可得y﹣2＝0或y+1＝0，解得：y＝2或y＝﹣1，∵a2+b2≥0，∴a2+b2的值為2．故答案是：2．【點評】本題考查了換元法解一元二次方程．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準型問題標(biāo)準化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．三．解答題（共9小題）9．（2020秋?沭陽縣期末）解方程：（1）2（x﹣1）2﹣18＝0．（2）8（x+1）3＝27．【分析】（1）先變形得到（x﹣1）2＝9，然后利用直接開平方法解方程；（2）先變形得到（x+1）3=278，根據(jù)立方根的定義得到x+1【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，所以x1＝4，x2＝﹣2；（2）（x+1）3=27x+1=3所以x=1【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．也考查了立方根．10．（2021秋?新北區(qū)校級期中）用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）（x﹣3）2﹣9＝0；（2）x2+4x﹣1＝0；（3）x2﹣3x﹣2＝0；（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）利用公式法解方程；（4）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣9＝0，（x﹣3+3）（x﹣3﹣3）＝0，x﹣3+3＝0或x﹣3﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝6；（2）x2+4x﹣1＝0，x2+4x＝1，x2+4x+4＝5，（x+2）2＝5，x+2＝±5，所以x1=5-2，x2（3）x2﹣3x﹣2＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∵Δ＝9﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0，∴x=3±∴x1=3+172，x（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1），（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x+3﹣5）＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，x﹣1＝0或x+3﹣5＝0，所以x1＝1，x2＝2．【點評】本題考查的是解一元二次方程，在解答此類問題時要根據(jù)方程的特點選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓?1．（2021秋?南京期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）100（x﹣1）2＝121．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）先求出（x﹣1）2的值，然后利用直接開平方法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x﹣+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，∴x﹣2=5或x﹣2=∴x1＝2+5，x2＝2-（2）（x﹣1）2＝1.21，開平方得，x﹣1＝±1.1，∴x﹣1＝1.1或x﹣1＝﹣1.1，∴x1＝2.1，x2＝﹣0.1．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．12．（2022?常州模擬）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣45＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．【分析】（1）將左邊利用十字相乘法因式分解，繼而可得兩個關(guān)于x的一元一次方程，分別求解即可得出答案；（2）先移項，再將左邊利用提公因式法因式分解，繼而可得兩個關(guān)于x的一元一次方程，分別求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣45＝0，∴（x﹣9）（x+5）＝0，則x﹣9＝0或x+5＝0，解得x1＝9，x2＝﹣5；（2）∵x（x+4）＝﹣3（x+4），∴x（x+4）+3（x+4）＝0，則（x+4）（x+3）＝0，∴x+4＝0或x+3＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣3．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．13．（2016秋?鹽都區(qū)期末）（1）解方程：（x+1）2＝9；（2）解方程：x2﹣4x+2＝0．【分析】（1）兩邊開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）兩邊開方得：x+1＝±3，解得：x1＝2，x2＝﹣4；（2）這里a＝1，b＝﹣4，c＝2，b2﹣4ac＝8＞0，x=4±222=即x1＝2+2，x2＝2-【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．14．（2021?吳中區(qū)開學(xué)）解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0；（2）（x+1）2＝2（x+1）．【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2﹣4＝0，∴（x﹣1）2＝4，則x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得x1＝3，x2＝﹣1；（2）∵（x+1）2﹣2（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣1）＝0，則x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．15．