24.1.2垂直于弦的直徑練習(xí)教師版

課后鞏固1．如圖，⊙O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長為4，則弦AB的長是（）A．3 B．6 C．4 D．8【分析】先根據(jù)垂徑定理求出AM=AB，再根據(jù)勾股定理求出AD的值．【解答】解：連接OA，∵⊙O的直徑為10，∴OA=5，∵圓心O到弦AB的距離OM的長為4，由垂徑定理知，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，AM=AB，由勾股定理可得，AM=3，所以AB=6．故選B．【點(diǎn)評】本題利用了垂徑定理和勾股定理求解，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形．2．CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于M，若CM=12，DM=8，則AB等于（）A．4 B．8 C．8 D．4【分析】根據(jù)題意畫出圖形，先由CM=12，DM=8求出⊙O的半徑及OM的長，再由垂徑定理得出AB=2AM，在Rt△AOM內(nèi)利用勾股定理求出AM的長，進(jìn)而可得出AB的長．【解答】解：如圖所示：∵CM=12，DM=8，∴OA=OD=（CM+DM）=×20=10，∴OM=OD﹣DM=10﹣8=2，∵弦AB⊥CD于M，∴AB=2AM，在Rt△AOM中，∵AM2=OA2﹣OM2，即AM2=102﹣22，解得AM=4，∴AB=2AM=8．故選C．【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，BC為⊙O直徑，交弦AD于點(diǎn)E，若B點(diǎn)為中點(diǎn)，則說法錯誤的是（）A．AD⊥BC B．= C．AE=DE D．OE=BE【分析】根據(jù)垂徑定理對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：∵BC為⊙O直徑，交弦AD于點(diǎn)E，B點(diǎn)為中點(diǎn)∴AD⊥BC，故A選項(xiàng)正確；∵BC為⊙O直徑，B點(diǎn)為中點(diǎn)，∴=，AE=DE，故B、C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯誤．故選D．【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。?．已知如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P是弦AB上一個動點(diǎn)，則OP長的取值范圍為（）A．OP＜5 B．8＜OP＜10 C．3＜OP＜5 D．3≤OP≤5【分析】首先明確OP最長時，應(yīng)該與A或B重合，OP最短時，應(yīng)該是OP⊥AB時，然后根據(jù)垂徑定理即可求出．【解答】解：OP最長時，應(yīng)該與A或B重合，此時OP=5；OP最短時，應(yīng)該是OP⊥AB時，此時OP==3．故選D．【點(diǎn)評】此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計算的問題，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解，常見輔助線是過圓心作弦的垂線．5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD垂直平分OB，則∠BAC等于（）A．15° B．20° C．30° D．45°【分析】連接OC，在直角△OCE中，即可求得∠COE的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：連接OC，∵OE=OB=OC，∴∠OCD=30°，∴∠COB=60°，∵OA=OC，∴∠BAC=30°．故選C．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確解直角三角形，求得∠COE的度數(shù)是關(guān)鍵．6．如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A、B兩點(diǎn)，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，AB=16厘米，若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海面的時間為10分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）A．0.4厘米/分 B．0.6厘米/分 C．1.0厘米/分 D．1.6厘米/分【分析】首先過⊙O的圓心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，連接OA，由垂徑定理，即可求得OC的長，繼而求得CD的長，又由從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海面的時間為10分鐘，即可求得“圖上”太陽升起的速度．【解答】解：過⊙O的圓心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，連接OA，∴AC=AB=×16=8（厘米），在Rt△AOC中，OC===6（厘米），∴CD=OC+OD=16（厘米），∵從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海面的時間為10分鐘，∴16÷10=1.6（厘米/分）．∴“圖上”太陽升起的速度為1.6厘米/分．故選D．【點(diǎn)評】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．7．已知⊙O的半徑是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD的距離是（）A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．無法判斷【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的兩種情況，過O作OE⊥AB于E，交CD于F，連接OA、OC，根據(jù)垂徑定理求出AE、CF、根據(jù)勾股定理求出OE、OF，結(jié)合圖形求出EF即可．【解答】解：分為兩種情況：①當(dāng)AB和CD在O的同旁時，如圖1，過O作OE⊥AB于E，交CD于F，連接OA、OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴由垂徑定理得：AE=AB=3cm，CF=CD=4cm，在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE===4（cm）同理求出OF=3cm，EF=4cm﹣3cm=1cm；②當(dāng)AB和CD在O的兩側(cè)時，如圖2，同法求出OE=4cm，OF=3cm，則EF=4cm+3cm=7cm；即AB與CD的距離是1cm或7cm，故選C．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，垂徑定理得應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確求出符合條件的兩種情況，題目比較典型，是一道比較好的題目．二．填空題（共7小題）8．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD=6，EB=1，則⊙O的半徑為5．【分析】連接OC，由垂徑定理知，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到關(guān)于半徑的方程，求得圓半徑即可．【解答】解：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，設(shè)⊙O的半徑為xcm，則OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半徑為5，故答案為：5．【點(diǎn)評】本題利用了垂徑定理和勾股定理求解，熟練掌握并應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB=8cm，DC=2cm，則OC=5cm．【分析】連接OA，根據(jù)垂徑定理求出AD，根據(jù)勾股定理R2=42+（R﹣2）2，計算求出R即可．【解答】解：連接OA，∵OC⊥AB，∴AD=AB=4cm，設(shè)⊙O的半徑為R，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，∴R2=42+（R﹣2）2，解得R=5∴OC=5cm．故答案為5．【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．10．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB=，點(diǎn)C在弦AB上，AC=AB，則OC的長為．【分析】過O作OD⊥AB于D，根據(jù)垂徑定理求出BD，根據(jù)勾股定理求出OD，根據(jù)勾股定理求出OC即可．【解答】解：過O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD過O，AB=，∴AD=BD=AB=，∵AB=，點(diǎn)C在弦AB上，AC=AB，∴AC=，CD=AD﹣AC=，在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD==1，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC===，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了初級定理和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計算的能力．11．如圖，⊙O的半徑為5，弦BC=8，點(diǎn)A在⊙O上，AO⊥BC，垂足為D、E為BC延長線上一點(diǎn)，AE=10，則CE的長為2．【分析】連接OC，根據(jù)垂徑定理得到BD=DC=BC=4，根據(jù)勾股定理求出OD，根據(jù)勾股定理求出DE，計算即可．【解答】解：連接OC，∵AO⊥BC，∴BD=DC=BC=4，∴OD==3，則AD=AO+OD=8，∴DE==6，∴CE=DE﹣DC=2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）12．如圖，AB為⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，且CD=l，求⊙O的半徑．【分析】根據(jù)垂徑定理得到直角三角形，然后在直角三角形中運(yùn)用勾股定理計算出半徑的長．【解答】解：如圖：連接OA，由OC⊥AB于D，得：AD=DB=AB=4．設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2∴r2=（r﹣1）2+42整理得：2r=17∴r=．所以圓的半徑是．【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)垂徑定理求出AD的長，連接OA，得到直角三角形，然后在直角三角形中計算出半徑的長．13．如圖，已知AD是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)E，AE=BC=16，求⊙O的直徑．【分析】連接OB，根據(jù)垂徑定理求出BE，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：連接OB，設(shè)OB=OA=R，則OE=16﹣R，∵AD⊥BC，BC=16，∴∠OEB=90°，BE=BC=8，由勾股定理得：OB2=OE2+BE2，R2=（16﹣R）2+82，解得：R=10，即⊙O的直徑為20．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，能根據(jù)垂徑定理求出BE的長是解此題的關(guān)鍵，注意：垂直于弦的直徑平分弦．14．如圖，⊙O直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD長．【分析】過O作OF垂直于CD，連接OD，利用垂徑定理得到F為CD的中點(diǎn)，由AE+EB求出直徑AB的長，進(jìn)而確定出半徑OA與OD的長，由OA﹣AE求出OE的長，在直角三角形OEF中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出OF的長，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的長，由CD=2DF即可求出CD的長．【解答】解：過O作OF⊥CD，交CD于點(diǎn)F，連接OD，∴F為CD的中點(diǎn)，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根據(jù)勾股定理得：DF==，則CD=2DF=2．【點(diǎn)評】此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．15．如圖，⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圓心O位于AB、CD的上方，求AB和CD間的距離．【分析】過點(diǎn)O作弦AB的垂線，垂足為E，延長AE交CD于點(diǎn)F，連接OA，OC；由于AB∥CD，則OF⊥CD，EF即為AB、CD間的距離；由垂徑定理，易求得AE、CF的長，在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)勾股定理即可求出OE、OF的長，也就求出了EF的長，即弦AB、CD間的距離．【解答】解：過點(diǎn)O作弦AB的垂線，垂足為E，延長OE交CD于點(diǎn)F，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=30cm，CD=16cm，∴AE=AB=×16=8cm，CF=CD=×12=6cm，在Rt△AOE中，OE===6cm，在Rt△OCF中，OF===8cm，∴EF=OF﹣OE=8﹣6=2cm．答：AB和CD的距離為2cm．【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理及垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．16．如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE=4米時，是否要采取緊急措施？【分析】（1）連結(jié)OA，利用r表示出OD的長，在Rt△AOD中根據(jù)勾股定理求出r的值即可；（2）連結(jié)OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的長，進(jìn)而可得出A′B′的長，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：（1）連結(jié)OA，由題意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2，解得，r=34；（2）連結(jié)OA′，∵OE=OP﹣PE=30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302，解得：A′E=16．∴A′B′=32．∵A′B′=32＞30，∴不需要采取緊急措施．【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．課堂測試一．選擇題（共2小題）1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB=10，AE=2，則弦CD的長是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】連接OC，根據(jù)題意得出OC=5，再由垂徑定理知，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，CE=CD，在直角△OCE中，由勾股定理得出CE，從而得出CD的長．【解答】解：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，∴CE=DE=CD，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∵AE=2，AB=10，∴OC=5，OE=3，∴CE=4，∴CD=8，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，掌握垂徑定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，OD∥AC交BC于點(diǎn)E．若BC=8，ED=2，則AC的長為（）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【分析】根據(jù)垂徑定理得出OB，進(jìn)而利用比例關(guān)系解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，∵OD∥AC，∴OD⊥BC，∵BC=8，ED=2，∴OB2=BE2+OE2，即OB2=42+（OB﹣2）2，解得：OB=5，∴，即，解得；AC=6，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查垂徑定理，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出OB．二．填空題（共2小題）3．已知⊙O的弦AB=8cm，圓心O到弦AB的距離為3cm，則⊙O的直徑為10cm．【分析】連結(jié)OA，先根據(jù)垂徑定理得到AC=4，然后根據(jù)勾股定理計算出OA，從而得到圓的直徑．【解答】解：連結(jié)OA，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OC=3，OA==5，∴⊙O的直徑為10cm．故答案為10．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?．如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，動點(diǎn)M在弦AB上運(yùn)動（可運(yùn)動至A和B），設(shè)OM=