2025屆江蘇省江陰市暨陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析_第1頁
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2025屆江蘇省江陰市暨陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.向量,,且,則()A. B. C. D.2.已知函,,則的最小值為()A. B.1 C.0 D.3.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A. B. C. D.4.為了進一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R,駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗,協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個不同的路口站崗,每個路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種5.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說,他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論,要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.6.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個不同的平面,給出下列四個命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④7.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù),指數(shù)值趨小,表明空氣質(zhì)量越好,下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢,下列敘述錯誤的是()A.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上(指數(shù))的天數(shù)占C.該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好D.總體來說,該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好8.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖,則它的外接球的表面積為()A.4π B.8π C. D.9.設(shè)點是橢圓上的一點,是橢圓的兩個焦點,若,則()A. B. C. D.10.已知函數(shù),則下列判斷錯誤的是()A.的最小正周期為 B.的值域為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.的圖象關(guān)于點對稱11.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實數(shù)()A. B. C. D.12.如圖所示,矩形的對角線相交于點,為的中點,若,則等于().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式中的系數(shù)為________.14.如圖所示,邊長為1的正三角形中,點,分別在線段,上,將沿線段進行翻折,得到右圖所示的圖形,翻折后的點在線段上,則線段的最小值為_______.15.的展開式中的常數(shù)項為__________.16.已知,如果函數(shù)有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是____________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左焦點坐標(biāo)為,,分別是橢圓的左,右頂點,是橢圓上異于,的一點,且,所在直線斜率之積為.(1)求橢圓的方程;(2)過點作兩條直線,分別交橢圓于,兩點(異于點).當(dāng)直線,的斜率之和為定值時,直線是否恒過定點?若是,求出定點坐標(biāo);若不是,請說明理.18.(12分)隨著時代的發(fā)展,A城市的競爭力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日,某報社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷,參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并判斷是否有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(12分)已知動圓恒過點,且與直線相切.(1)求圓心的軌跡的方程;(2)設(shè)是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點,的平行線交軌跡于,兩點,交軌跡在處的切線于點,問:是否存在實常數(shù)使,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.20.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為、,點在橢圓上,且.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點,與圓相交于、兩點,求的取值范圍.21.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面,分別為棱的中點.(1)求證:平面;(2)(文科)求三棱錐的體積;(理科)求二面角的正切值.22.(10分)已知動圓經(jīng)過點,且動圓被軸截得的弦長為,記圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點的橫坐標(biāo)為,,為圓與曲線的公共點,若直線的斜率,且,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算以及誘導(dǎo)公式,即可得出答案.【詳解】故選:D【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.2、B【解析】

,利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知,又,,故當(dāng),即時,.故選:B.【點睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值,涉及到二倍角公式的應(yīng)用,是一道中檔題.3、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為,故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用,以及古典概型及其概率的計算問題,其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù),利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體,當(dāng)作一個元素,再將這四個元素分成3個部分,每一個部分至少一個,再將這3部分分配到3個不同的路口,根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體,個人變成了4個元素,再把這4個元素分成3部分,每部分至少有1個人,共有種方法,再把這3部分分到3個不同的路口,有種方法,由分步計數(shù)原理,共有種方案。故選:C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法,插空法,先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題,屬于中檔題.5、C【解析】

設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對數(shù)學(xué)史了解,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯②:因為,,所以或,因為,所以,故②對③:或,故③錯④:如圖因為,,在內(nèi)過點作直線的垂線,則直線,又因為,設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線,則又,所以因為,,所以,所以,故④對.故選:C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.7、C【解析】

結(jié)合題意,根據(jù)題目中的天的指數(shù)值,判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于,由圖可知天的指數(shù)值中有個低于,個高于,其中第個接近,第個高于,所以中位數(shù)略高于,故正確.對于,由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的,故正確.對于,由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來越好,從第天到第天空氣質(zhì)量越來越差,故錯誤.對于,由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下,中旬大部分指數(shù)在以上,所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好,故正確.故選:【點睛】本題考查了對折線圖數(shù)據(jù)的分析,讀懂題意是解題關(guān)鍵,并能運用所學(xué)知識對命題進行判斷,本題較為基礎(chǔ).8、B【解析】

由三視圖判斷出原圖,將幾何體補形為長方體,由此計算出幾何體外接球的直徑,進而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜邊為2,側(cè)棱長為2且與底面垂直,因為直三棱柱可以復(fù)原成一個長方體,該長方體外接球就是該三棱柱的外接球,長方體對角線就是外接球直徑,則,那么.故選:B【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖,考查幾何體外接球的有關(guān)計算,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故選B點睛:本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.10、D【解析】

先將函數(shù)化為,再由三角函數(shù)的性質(zhì),逐項判斷,即可得出結(jié)果.【詳解】可得對于A,的最小正周期為,故A正確;對于B,由,可得,故B正確;對于C,正弦函數(shù)對稱軸可得:解得:,當(dāng),,故C正確;對于D,正弦函數(shù)對稱中心的橫坐標(biāo)為:解得:若圖象關(guān)于點對稱,則解得:,故D錯誤;故選:D.【點睛】本題考查三角恒等變換,三角函數(shù)的性質(zhì),熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì),考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因為準(zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點睛】本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由平面向量基本定理,化簡得,所以,即可求解,得到答案.【詳解】由平面向量基本定理,化簡,所以,即,故選A.【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,其中解答熟記平面向量的基本定理,化簡得到是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,數(shù)基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、30【解析】

先將問題轉(zhuǎn)化為二項式的系數(shù)問題,利用二項展開式的通項公式求出展開式的第項,令的指數(shù)分別等于2,4,求出特定項的系數(shù).【詳解】由題可得:展開式中的系數(shù)等于二項式展開式中的指數(shù)為2和4時的系數(shù)之和,由于二項式的通項公式為,令,得展開式的的系數(shù)為,令,得展開式的的系數(shù)為,所以展開式中的系數(shù),故答案為30.【點睛】本題考查利用二項式展開式的通項公式解決二項展開式的特定項的問題,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè),,在中利用正弦定理得出關(guān)于的函數(shù),從而可得的最小值.【詳解】解:設(shè),,則,,∴,在中,由正弦定理可得,即,∴,∴當(dāng)即時,取得最小值.故答案為.【點睛】本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用,屬中檔題.15、31【解析】

由二項式定理及其展開式得通項公式得:因為的展開式得通項為,則的展開式中的常數(shù)項為:,得解.【詳解】解:,則的展開式中的常數(shù)項為:.故答案為:31.【點睛】本題考查二項式定理及其展開式的通項公式,求某項的導(dǎo)數(shù),考查計算能力.16、【解析】

首先把零點問題轉(zhuǎn)化為方程問題,等價于有三個零點,兩側(cè)開方,可得,即有三個零點,再運用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有三個零點,即零點有,顯然,則有,可得,即有三個零點,不妨令,對于,函數(shù)單調(diào)遞增,,,所以函數(shù)在區(qū)間上只有一解,對于函數(shù),,解得,,解得,,解得,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,此時函數(shù)若有兩個零點,則有,綜上可知,若函數(shù)有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點睛】本題考查了函數(shù)零點的零點,恰當(dāng)?shù)拈_方,轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點問題,注意恰有三個零點條件的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)的范圍,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)直線過定點【解析】

(1),再由,解方程組即可;(2)設(shè),,由,得,由直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,代入計算即可.【詳解】(1)由題意知:,又,且解得,,∴橢圓方程為,(2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,設(shè),,由,得.則,(*)由,得,整理可得(*)代入得,整理可得,又,∴,即,∴直線過點當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè)直線的方程為,,,其中,∴,由,得,所以∴當(dāng)直線的斜率不存在時,直線也過定點綜上所述,直線過定點.【點睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓位置關(guān)系中的定點問題,在處理直線與橢圓的位置關(guān)系的大題時,一般要利用根與系數(shù)的關(guān)系來求解,本題是一道中檔題.18、(1)(萬)(2)(3)填表見解析;有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【解析】

(1)在1000個樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個,根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識可得,抽取6人中,4人選擇“森林城市,空氣清新”,2人選擇“降水充足,氣候怡人”求出對應(yīng)的基本事件數(shù),即可求得結(jié)果.(3)計算的值,對照臨界值表可得答案.【詳解】(1)(萬)(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,其中4人是選擇“森林城市,空氣清新”,2人是選擇“降水充足,氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”,則,.(3)列聯(lián)表如下自然環(huán)境人文環(huán)境合計男100400500女200300500合計3007001000,所以有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān).【點睛】本題主要考查獨立性檢測的相關(guān)知識、分層抽樣與古典概念計算概率、考查學(xué)生的綜合分析與計算能力,難度較易.19、(1);(2)存在,.【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義,容易知其軌跡為拋物線;結(jié)合已知點的坐標(biāo),即可求得方程;(2)由拋物線方程求得點的坐標(biāo),設(shè)出直線的方程,利用導(dǎo)數(shù)求得點的坐標(biāo),聯(lián)立直線的方程和拋物線方程,結(jié)合韋達定理,求得,進而求得與之間的大小關(guān)系,即可求得參數(shù).【詳解】(1)由題意得,點與點的距離始終等于點到直線的距離,由拋物線的定義知圓心的軌跡是以點為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線,則,.∴圓心的軌跡方程為.(2)因為是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點,由(1)不妨取,所以直線的斜率為1.因為,所以設(shè)直線的方程為,.由,得,則在點處的切線斜率為2,所以在點處的切線方程為.由得所以,所以.由消去得,由,得且.設(shè),,則,.因為點,,在直線上,所以,,所以,所以.∴故存在,使得.【點睛】本題考查拋物線軌跡方程的求解,以及拋物線中定值問題的求解,涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬綜合性中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)利用勾股定理結(jié)合條件求得和,利用橢圓的定義求得的值,進而可得出,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(Ⅱ)設(shè)點、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達定理與弦長公式求出,利用幾何法求得直線截圓所得弦長,可得出關(guān)于的函數(shù)表達式,利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)在橢圓上,,,,,,,又,,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ)設(shè)點、,聯(lián)立消去,得,,則,,設(shè)圓的圓心到直線的距離為,則.,,,,的取值范圍為.【點睛】本題考查橢圓方程的求解,同時也考查了橢圓中弦長之積的取值范圍的求解,涉及韋達定理與弦長公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.21、(1)見解析(2)(文)(理

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