工程力學(xué)- 材料力學(xué)之能量法

材料力學(xué)劉鴻文主編(第5版)高等教育出版社目錄13.14a、13.15、13.17、夏學(xué)期作業(yè)11：材料力學(xué)第十三章能量法(Chapter13

EnergyMethod)MechanicsofMaterials3

組合變形應(yīng)變能的計(jì)算

變形能的普遍表達(dá)式-克拉貝隆原理

變形能的應(yīng)用1、計(jì)算變形能2、利用功能原理計(jì)算變形知識(shí)要點(diǎn)回顧知識(shí)要點(diǎn)回顧

單位荷載法-摩爾定理

互等理論功的互等定理位移互等定理桁架：三、使用莫爾定理的注意事項(xiàng)⑤莫爾積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu).①M(fèi)(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力;③所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱;——去掉主動(dòng)力，在所求廣義位移點(diǎn)，沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時(shí)，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力;M④與M(x)的坐標(biāo)系必須一致，每段桿的坐標(biāo)系可自由建立;M(x)6A例題5抗彎剛度為EI的等截面簡支梁受均布荷載作用，用單位載荷法求梁中點(diǎn)的撓度fc和支座A截面的轉(zhuǎn)角.剪力對(duì)彎曲的影響不計(jì).qBCll/2ql/2ql/2解：在實(shí)際荷載作用下，任一x

截面的彎矩為7AAB11/21/2C(1)求C

截面的撓度在C點(diǎn)加一向下的單位力，任一x

截面的彎矩為xqBCll/2ql/2ql/28ql/2AAB11/l1/lx(2)求A截面的轉(zhuǎn)角在A截面加一單位力偶引起的x截面的彎矩為qCll/2（順時(shí)針）ql/29B例題6圖示外伸梁，其抗彎剛度為EI.用單位載荷法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角.ACqF=qaa2a10BAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的撓度（在c

處加一單位力“1”）CqF=qaa2aRAx1/211BC:BAABCa2aCqF=qaa2aRA1/2xx112BABC:AB:(2)求C

截面的轉(zhuǎn)角(在c

處加一單位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2aRAx1/2（）13例題7剛架的自由端A作用集中力F.剛架各段的抗彎剛度已于圖中標(biāo)出.不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響.計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移及B截面的轉(zhuǎn)角.aABCFlEI1EI214解：(1)計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移，在A點(diǎn)加垂直向下的單位力AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa15(2)計(jì)算B截面的轉(zhuǎn)角，在B上加一個(gè)單位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）116例題9圖示為一水平面內(nèi)的曲桿，B

處為一剛性節(jié)點(diǎn),

ABC=90°在C

處承受豎直力F，設(shè)兩桿的抗彎剛度和抗扭剛度分別是

EI

和GIp，求C

點(diǎn)豎向的位移.ABCFab17xx解：在C點(diǎn)加豎向單位力BC:ABCFabABC1abxxAB:18xxABCFabABC1abxx19例題10由三桿組成的剛架，B，C為剛性節(jié)點(diǎn)，三桿的抗彎剛度都是EI，試用單位載荷法求A1，A2兩點(diǎn)的相對(duì)位移.A1A2BCllFF20x解：在A1，A2處加一對(duì)水平單位力.B，C

兩支座的反力均為零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1121例題11剛架受力如圖，求A截面的垂直位移，水平位移及轉(zhuǎn)角.ABCllq22AB：BC：解：求A點(diǎn)鉛垂位移（在A點(diǎn)加豎向單位力）xxxxABCllqABCllq123xx求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角（在A點(diǎn)加一單位力偶）AB：BC：xxABCllqABCllq1（）24例題12圖示為一簡單桁架，其各桿的EI相等.在圖示荷載作用下，A，C兩節(jié)點(diǎn)間的相對(duì)位移.FaaFABCDE132456789a25FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的單位荷載法為112612345678桿件編號(hào)90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A，C兩點(diǎn)間的距離縮短.27例題13計(jì)算圖（a）所示開口圓環(huán)在F力作用下切口的張開量ΔAB.EI=常數(shù).BAORFF(a)28BARPF(b)BARP1(c)解：OO29

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1

概述（Introduction)§13-2

桿件變形能的計(jì)算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3

互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4

單位荷載法

莫爾定理

(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5

卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6

計(jì)算莫爾積分的圖乘法

(Themethodofmomentareasformohr’sintegration)30

2

1

3設(shè)彈性結(jié)構(gòu)在支座的約束下無任何剛性位移.作用有外力：F1，F(xiàn)2，，F(xiàn)i，

相應(yīng)的位移為：

1，

2，

，

i

，

§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)F1F2F3結(jié)構(gòu)的變形能31只給Fi一個(gè)增量

Fi.引起所有力的作用點(diǎn)沿力方向的位移增量為

2

1

3F1F2F3在作用

Fi的過程中，

Fi完成的功為原有的所有力完成的功為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的增量為32如果把原來的力看作第一組力，而把

Fi

看作第二組力.根椐互等定理略去高階微量或者當(dāng)

Fi

趨于零時(shí)，上式為這就是卡氏第二定理(Castigliano’sSecondTheorem)（卡氏定理）

(Castigliano’sTheorem)33(1)卡氏第二定理只適用于線性彈性體(Applyingonlytolinearlyelasticbodies).說明

(Directions)

(2)Fi

為廣義力（generalizedforce)

i

為相應(yīng)的位移(displacementcorrespondingtoforceFi).一個(gè)力一個(gè)力偶一對(duì)力一對(duì)力偶一個(gè)線位移一個(gè)角位移相對(duì)線位移相對(duì)角位移34卡氏第二定理的應(yīng)用(Applicationofcastigliano’ssecondtheorem)

軸向拉、壓(Axialtensionandcompression)

扭轉(zhuǎn)(Torsion)

彎曲

(Bending)35

平面桁架

(Planetruss)

組合變形(Combineddeformation)36

例題14外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI.梁材料為線彈性體.求梁C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角.FABCMelaRA37AB：BC：ABClaRAFx1x2解：Me38ABClaRAFx1x2Me（）39例題15剛架結(jié)構(gòu)如圖所示.彈性模量EI已知。材料為線彈性.不考慮軸力和剪力的影響，計(jì)算C截面的轉(zhuǎn)角和D截面的水平位移.ABCDaa2aMe解:在C截面虛設(shè)一力偶

Mc

,

在D截面虛設(shè)一水平力F.FRDFRAxFRAyMcF40CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAy412axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF42例題16圓截面桿ABC，（

ABC=90°）位于水平平面內(nèi)，已知桿截面直徑d

及材料的彈性常數(shù)E,G.求C

截面處的鉛垂位移.不計(jì)剪力的影響.ABCllq43BC：彎曲變形ABlQMBxABCllqFxxAB：彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形（扭轉(zhuǎn)變形）（彎曲變形）4445例題17圖示剛架各段的抗彎剛度均為EI.不計(jì)軸力和剪力的影響.用卡氏第二定理求截面D

的水平位移

D

和轉(zhuǎn)角

D

.MeF1xFFABCDll2l解：在點(diǎn)虛設(shè)一力偶矩MeCD：彎曲變形46但是軸力不計(jì)，因此橫截面上的內(nèi)力只計(jì)彎矩.FF1ABCF2FlM