必修一至五高中數(shù)學知識點總結

高一數(shù)學必修1知識網絡

集合

函數(shù)

附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于

零；3、對數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于

零且不等于1;5、三角函數(shù)正切函數(shù)…anx中心所+夕丘Z);

余切函數(shù)y=cotx中；6、如果函數(shù)是由實際意義確定的解析式，

應依據(jù)自變量的實際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；

5、參數(shù)法；6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不

等式法；6、單調性法；7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、

單調性法

五、函數(shù)單調性的常用結論:

1、若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)在

這個區(qū)間上也為增(減)函數(shù)

2、若/(/)為增(減)函數(shù)，則-/(幻為減(增)函數(shù)

3、若f(x)及g(x)的單調性相同，則y=/[g(x)]是增函數(shù)；若/(X)

及g(x)的單調性不同,則y=/[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間

上的單調性相反。

5、常用函數(shù)的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、

解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結論：

1、如果一個奇函數(shù)在1=0處有定義，則"0)=0,如果一個函

數(shù)y=/(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，貝酎3=0(反之不成立)

2、兩個奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)

為偶函數(shù)。

3、一個奇函數(shù)及一個偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個函數(shù)y=和〃=g(x)復合而成的函數(shù)，只要其中有

一個是偶函數(shù)，則該復合函數(shù)就是偶函數(shù)；當兩個函數(shù)都是奇函

數(shù)時，該復合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)7(%)的定義域關于原點對稱，則f(x)可以表示為

fM=1r/(x)+/(-A-)]+1f/(x)-f(-x)],該式的特點是：右端為一個奇

表2幕函數(shù)y=%。(a￡R)

a=Pa<00<a<1a>1a-1

q

A/

./

\a,i)1

P為奇數(shù)一Jy/(】工

常函和

q為奇數(shù)1?口J倒AX

一

p為奇數(shù)u

、(LI)

為偶數(shù)1」—1------—1------1------?—

4

1

A

I

〃為偶數(shù)//ajT

\aj)偶函數(shù)

4為奇數(shù)f-H------1-------------------1------b

(T,1)7

第一象

過定點

減函數(shù)增函數(shù)

限性質(0,1)

高中數(shù)學必修2知識點

一、直線及方程

(1)直線的傾斜角

定義：x軸正向及直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜

角。特別地，當直線及x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角

為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0。＜180°

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切叫做這

條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即人tana。斜率反映直

線及軸的傾斜程度。

當“[o。,90。)時，k>0;當aE(90J80")時，A<0;當a=9(F

時，攵不存在。

②過兩點的直線的斜率公式：a=為二""尸川

注意下面四點：(1)當七=勺時，公式右邊無意義，直線的斜

率不存在，傾斜角為90。；

(2)4及片、E的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角

而由直線上兩點的坐標直接求得；

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。

(3)直線方程

①點斜式：y-兇=&。-2)直線斜率k,且過點&，M)

注意：當直線的斜率為0。時，k=0,直線的方程是萬刀。

當直線的斜率為90。時，直線的斜率不存在，它的方程不能

用點斜式表示.但因/上每一點的橫坐標都等于濟，所以它的方

程是A=Xi。

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為上直線在y軸上的截距為

b

③兩點式：）'=""（彳產和丁尸為）直線兩點（再,y）,（孫力）

④截矩式：土+9=1

ah

其中直線/及x軸交于點（"）），及），軸交于點（。⑼，即/及x軸、y

軸的截距分別為4人

⑤一般式：Ax+3y+C=0（4〃不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于x軸的直線：y=b（6為常數(shù)）；平行于y軸的直線:

x=a（a為常數(shù)）；

（5）直線系方程：即具有某一共同性質的直線

（-）平行直線系

平行于已知直線4/+為“孰=0（%,綜是不全為0的常數(shù)）的

直線系：4工+綜），+。=0（。為常數(shù)）

（二）過定點的直線系

（i）斜率為4的直線系：y-%=4-/）,直線過定點房,%）；

（ii）過兩條直線4：Ax+M），+G=0,QAzX+與y+G：。的

交點的直線系方程為

（冬+g+6）+4（41+町+。2）=0（%為參數(shù)），其中直線4不在直

線系中。

（6）兩直線平行及垂直

當/[：y=k]X+A,4：y=左2工+。2時，

注意：利用斜率判斷直線的平行及垂直時，要注意斜率的存

在及否。

(7)兩條直線的交點

/1:AjX+B1y+C1=0/2:A2X+B2y+C2=0相交

交點坐標即方程組!G+外,+G=°的一組解。

A2X+B2y+C2=0

方程組無解o/.///2;方程組有無數(shù)解O4及4重

合

(8)兩點間距離公式：設4%,y),BJ,”是平面直角坐標系

中的兩個點，

則I"1=J(X2—X)2+(M-y)2

(9)點到直線距離公式：一點P(x°,y。)到直線小Ax+為+C=0

的距離=iA%+及%+a

次+京

(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求

解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合

叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。

2、圓的方程

⑴標準方程(…＞+”)2=產,圓心(四,半徑為r；

(2)一般方程V+y2+以+或+尸=o

當爐一4尸＞0時，方程表示圓，此時圓心為卜2T,半

徑為r=-JD2+E2-4F

2

當。2+爐_4/=0時，表示一個點；當。2+爐一4尸＜0時，

方程不表示任何圖形。

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設后求。確定一個圓需要三個獨

立條件，若利用圓的標準方程，

需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；

另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原

點，以此來確定圓心的位置。

3、直線及圓的位置關系：

直線及圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，基本上

由下列兩種方法判斷：

(1)設直線I:Ax+By+C=0,圓C:(x—a)2+(y-b)?=/，圓心C(a,b)

至U1的距離為八色空絲g,貝lj有與C相離；d=ro/與。相切;

d<〃。/與。相交

也茫案喔幺瑞礴輸

線及

（3）過圓上一點的切線方程:

；一點為（x。，y。），則過此點的切線方程為

/o\raT_\2，L)2我的切

/?

（濟乏繇里攤量t定通過兩圓半徑的和（差），及圓心距

2222

設圓G：（工-。1）2+。-4）2=r9C2:（x-a2）+（y-b2）=R

魂通過兩圓半徑的和（差），及圓心距（d）

當d>R+〃時兩圓外離，此時有公切線四條；

內公前鏟菸時兩圓外切’連心線過切點’有外公切線兩條’

條外盤隔vd〈R+一時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩

如當d=|R_|時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切

線；

當dv|R-M寸，兩圓內含；當d=0時，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結構特征

（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊

形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成

的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四

棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱ABSE-AB'CDE'或用對角

線的端點字母，如五棱柱AQ

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角

面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是及底

面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的

三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四

棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐尸-AB'C'DE

幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面及

底面相似，其相似比等于頂點到截面距離及高的比的平方。

(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,

截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四

棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺尸力E'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形

③側棱交于原棱錐的頂點

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余

三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線及軸平行；③軸及底

面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。

轉一宣隘思輸贏由帝熹彈卻形的一條直角邊為旋轉軸,旋

面展4招贊征:穆攀面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側

截面噩蹈精就用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐'

頂點P簿扁管展她誓?照就圓；②側面母線交于原圓錐的

面旋肄懶僦球1半圓的直徑所在直線為旋轉軸’半圓

離珞隼裝征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距

2、空間幾何體的三視圖

側視鼾讖總％與視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）;

俯視圖（從上向下）

體的熏度轆:翳映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物

體的長度%端慢反映了物體左右、前后的位置關系’即反映了物

側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的

高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來及x軸平行的線段仍然及x平行且

長度不變；

②原來及y軸平行的線段仍然及y平行,長度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺體的表面積及體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，〃為

斜高，1為母線）

（3）柱體、錐體、臺體的體積公式

（4）球體的表面積和體積公式：S球面二4介

4、空間點、直線、平面的位置關系

（1）平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的;

a鬼珊烤南贏F希臘字母。、B、丫表示，如平面

也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。

③及巖面的關系：點力在平面a內，記作Asa;點A不在

平面a內，而作Aea

線/泉及簫耳藥系：點力的直線,上，記作：拒點力在直

/不腳咨?那的翻》獸/在平面a內，記作/ua；直線

線是3/翟斯?君贏線的兩點在一個平面內，則這條直

（即直線在平面內，或者平面經過直線）

應用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內

用符號語言表示公理1:AGl、BGl、AGa,BGanlua

（3）公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個

平面。

平葬曾平灌?瑞墾級奉獻確定一平面；兩相交直線確定一

它脂粉毓懿雒1：①它是空間內確定平面的依據(jù)②

有且&甯砥技普雷麟?馥合的平面有一個公共點'則它們

符號：平面a和8相交，交線是a,記作anB=a。

符號語言：PeAriB=AnB=/,P￡/

公理3的作用：

①它是判定兩個平面相交的方法。

線必■類瞿兩個平面的交線及兩個平面公共點之間的關系：交

③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。

（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

（6）空間直線及直線之間的位置關系

①異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線

②異面直線性質：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點及平面內一點的直線及平

面內不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線a、8是異面直線，經過空間任意

一點。，分別引直線a'//a,b'"b,則把直線a，和分所成

的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線

所成角的范圍是（0。，90。］,若兩條異面直線所成的角是直角,

我們就說這兩條異面直線互相垂直。

說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線

的定義；②異面直線的判定定理

（2）在異面直線所成角定義中，空間一點0是任取的，而

和點0的位置無關。

②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同

時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。B、證明

作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別

平行，則這兩角相等或互補。

（8）空間直線及平面之間的位置關系

直線在平面內一一有無數(shù)個公共點.

三種位置關系的符號表示：acaaCla=Aa//a

（9）平面及平面之間的位置關系：平行一一沒有公共點；

Q〃B

相交一一有一條公共直線。an8=6

5、空間中的平行問題

（1）直線及平面平行的判定及其性質

線面平行的判定定理：平面外一條直線及此平面內一條直線

平行,則該直線及此平面平行。

線線平行n線面平行

線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過

這條直線的平面和這個平面相交，

則這條直線和交線平行。線面平行n線線平行

（2）平面及平面平行的判定及其性質

兩個平面平行的判定定理

（1）如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面,

則這兩個平面平行

（線面平行一面面平行），

（2）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，則

這兩個平面平行。

（線線平行一面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，

兩個平面平行的性質定理

（1）如果兩個平面平行，則某一個平面內的直線及另一個

平面平行。（面面平行一線面平行）

（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，則它們的交

線平行。（面面平行一線線平行）

7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直

角，就說這兩條異面直線互相垂直。

直，徽嘎疆疆1twr個平面內的任何一條直線垂

顯耀硼1鼎耀僦艘耀嬲辜翻

（2）垂直關系的判定和性質定理

①線面垂直判定定理和性質定理

直，髓疆凝螃窗口一個平面內的兩條相交直線都垂

十一性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線

平行。

②面面垂直的判定定理和性質定理

兩個翠霜蠲:垂室一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這

他們黨夏麟:盜羹鷲隼顰?料翻，則在一個平面內垂直于

9、空間角問題

（1）直線及直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。。

角，兩條直線相交其中不大于直角的

穗11鬻矍嚼&蹄瞬輸1黯

（2）直線和平面所成的角

線及卑需既就年線備志嬲成的角：規(guī)定為0、②平面的垂

內的喻期僦蕤備即麟續(xù)命感題我翻鬻曲鱉平面

線上在亶鼐7盤劈義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜

I」需II限霸E辨墉越翻庫敏其瑞垂蕾'

（3）二面角和二面角的平面角

④求二面角的方法

直于繇膏線霜懶肄關點’過這個點分別在兩個面內作垂

平面鸚褊勰蠲翻破stawr，過兩垂線作

7、空間直角坐標系

（1）定義：如圖，088-DABC是單位正方體.以A為原點,

分別以0D,0A,0B的方向為正方向，建立三條數(shù)軸

x軸.y軸.z軸o

這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.

過每翩糜精鞫叫褪磷C軸’z軸叫做坐標軸?3）

22-

(4)空間兩點距離坐標公式：d=yl(x2-Xj)+(y2-jj)+(z2Zi)

額外補充:

第一章空間幾何體

L1柱、錐、臺、球的結構特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后

側視圖：從左往右

俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度

不變；

（3）.畫法要寫好c

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面

（3）畫側棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積及體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的蓑曲蝦

3圓錐的表面積S=M+"2

4圓臺的表面積s="/+++求/+成2

5球的表面積S=4成2

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積V=s氐X〃

2錐體的體積v=

3臺體的體積V=g（S上+JS上S下+S下）x/z

4球體的體積v=3成3

3

第二章直線及平面的位置關系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

(1)平面的畫法：水平放置的平面通C

常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°,且/y/7

橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)AB

(2)平面通常用希臘字母a、8、丫等表示，如平面。、

平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對

的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，則這條

直線在此平面內

符號表示為

Aea

Bea

公理1作用：判斷直線是否在平面內

(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有爐(力布。

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面a,

使AWQ、B￡a、C￡Q。

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公藜，則它們

有且只有一條過該點的公共直線。/\x\//

符號表示為：peanp=>anB=L,且P￡L

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線及直線之間的位置關系

1空間的兩條直線有如下三種關系：

共面直{相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點;

平行直線：同一平面內，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設a、b、c是三條直線

}=>a〃c

c〃b

強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這

個性質都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，則這

兩個角相等或互補

4注意點：

①a'及b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，及

7T

O的選擇無關，為了簡威點O一般取在兩直線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角?！辏?,）；

③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異

面直線互相垂直，記作aJ_b；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直及異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交

直線所成的角。

2.1.3—2.1.4空間中直線及平面、平面及平面之間的位置

關系

1、直線及平面有三種位置關系：

（1）直線在平面內一一有無數(shù)個公共點

（2）直線及平面相交一一有且只有一個公共點

（3）直線在平面平行一一沒有公共點

指出：直線及平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，

可用aa來表示

a%aAa=Aa〃a

2.2.直線、平面平行的判定及其性質

2.2.1直線及平面平行的判定

1、直線及平面平行的判定定理：平面外一條直線及此平面

內的一條直線平行，則該直線及此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表示：

aa?}

bBc=>a//a

a〃b

2.2.2平面及平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線及

另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

a6o]

bB0

J

anb=PB〃a

a〃a

b〃a

2、判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3—2.2.4直線及平面、平面及平面平行的性質

1、定理：一條直線及一個平面平行，則過這條直線的任一

平面及此平面的交線及該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。

符號表示：

a〃a}

aPCa〃b

aA0=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個平面同時及第三個平面相

交線平行。

符號表示：

a〃B1

anY=aa〃b

3Ay=b

作用：可以由平面及平面平行得出直線及直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質

2.3.1直線及平面垂直的判定

1、定義

L

_________D

直，力凌路面內的兩條相交直線都垂

注意點：a）定理中的“兩夕相交直線”這一條件不可忽視;

相轉藩1轆鼠’直線及平面垂直”及“直線及直線垂直”互

2.3.2平面及平面垂直的判定

組成,弁角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所

B

2、二面角的記法：二面角或a-AB-B

的?！辟主聝z!判定定理：一個平面過另一個平面

2.3?3—2.3,4直線及平面、平面及平面垂直的性質

1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直

線及另一個平面垂直。

本章知識結構框圖

平面（公理1、公理2、公

。^間廠—.....R一

直線及直線的位產弓直線及平面的位置「平面及平面的位

3.1直線的傾斜角和斜率

3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當直線1及x軸相交時，取x軸

作為基準，X軸正向及直線1向上方向之間所成的角a叫做直線

1的傾斜角.特別地,當直線1及x軸平行或重合時，規(guī)定a二

0°.

2、傾斜角。的取值范圍：0°<180°.

當直線1及x軸垂直時，a=90°.

3、直線的斜率：

一條直線的傾斜角a（a#90。）的正切值叫做這條直線的

斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是

k=tana

⑴當直線1及x軸平行或重合時，a=0°,k=tan0°=0;

⑵當直線1及x軸垂直時，a=90°,k不存在.

一定靠柴可知，一條直線1的傾斜角a一定存在，但是斜率k不

4、直線的斜率公式：

給定兩點Pl(xl,yl),P2(x2,y2),xlWx2,用兩點的坐標來表

示直線P1P2的斜率：

斜率公式：

3.L2兩條直線的平行及垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，則它們

的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，則它們平行，即

//<=>kj=k2

注意：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提

下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立.即如果k『k2,則

一定有L1〃L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，則它們的斜率

互為負倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負倒數(shù)，則它們互相垂

1

直gpli<=>kj?--0kjk,?-1

3.2.1直線的點斜式方程

1、直線的點斜式方程：直線/經過點《(/黑)，且斜率為攵

_直線的斜截式方程：已知直線/的斜率為心且及y軸的

父點為(0力)

3.2.2直線的兩點式方程

1、直線的兩點式方程：已知兩點小七,羽）,以%,％）其中

“在人直線的武距式方程入已知直線/及x軸的交點為A3。），

及y軸的交百為為（0,。），其中。工0乃工0

3.2.3直線的一般式方程

AG+暨歸ft輔熟）關于"的二元一次方程

2、各種直線方程之間的互化。

3.3直線的交點坐標及距離公式

3.3.1兩直線的交點坐標

1、給出例題：兩直線交點坐標

LI：3x+4y-2=0

LI：2x+y+2=0

解：解方程組,3x+4y-2=0

2x+2y+2=0

得x=-2,y=2

所以L1及L2的交點坐標為M（-2,2）

3.3.2兩點間距離

兩點間的距離公式

333點到直線的距離公式

L點到直線距離公式：

|氣+B%+C|

點尸（與，先）到直線/：Ax+8y+C=0的距離為：d

VA2+B2

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線4和的一般式方程為4：Ar+5)，+G=0,

:Ax+8)，+C,=0,則4及。的距離為d=3-Gl

dA?+B?

第四章圓及方程

4.1.1圓的標準方程

1、圓的標準方程：(X-0)2+小-心=產

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點M“。,%)及圓(.4+(尸。)2=產的關系的判斷方法：

(1)5-0)2+(=-牙＞八點在圓外

(2)(%_〃)2+(%_歷2=產，點在圓上

(3)6-4)2+(為_田2＜，，點在圓內

4.1.2圓的一般方程

1、圓的一般方程：x2-^-y2+Dx+Ey+F=0

2、圓的一般方程的特點：

(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.

②沒有xy這樣的二次項.

(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要

求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了.

(3)、及圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方

程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標及半徑大小,

幾何特征較明顯。

4.2.1圓及圓的位置關系

1、用點到直線的距離來判斷直線及圓的位置關系.

設直線/:ax+by+c=O,圓C:N+丫2+以+或+F=O,圓的半徑

為一圓心(_±一馬到直線的距離為d,則判別直線及圓的位置

22

關系的依據(jù)有以下幾點：

(1)當d＞「時，直線/及圓。相離；

(2)當d=r時，直線，及圓三相切;

(3)當時，直線/及圓。相交；

4.2.2圓及圓的位置關系

兩圓的位置關系.

設兩圓的連心線長為/,則判別圓及圓的位置關系的依據(jù)有

以下幾點：

(1)當/＞八+/2時，圓G及圓C2相離;

(2)當/r+r2時，圓G及圓外切；

(3)當舊-「21</<勺--2時，圓G及圓相交；

(4)當/=!(-々I時，圓G及圓。2內切；

(5)當/〈.-吐時,圓G及圓內含；

4.2.3直線及圓的方程的應用

1、利用平面直角坐標系解決直線及圓的位置關系；

2、過程及方法

用坐標法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示?/p>

題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；

第三步：將代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論.

4.3.1空間直角坐標系

1、點M對應著唯一確定的有序實數(shù)組(x?z),X、八z分別

是P、Q、R在小y、z軸上的坐標

2、有序實數(shù)組(x,y,z),對應著空間直角坐標系中的一點

3、空間中任意點M的坐標都可以用有序實數(shù)組Q,y,z)來表

示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記M(x,y,z),

X叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，Z叫做點M的豎坐標。

4.3.2空間兩點間的距離公式

1、空間中任意一點《（X，M，Z1）到點尸2（々，8*2）之間的距離公式

高一數(shù)學必修3公式總結以及例題

§1算法初步

秦九韶算法：通過一次式的反復計算逐步得出高次多項式

的值，對于一個n次多項式，只要作n次乘法和n次加法即可。

表達式如下：

例題：秦九韶算法計算多項式

3X6-F4X5+5X4+6X3+7X2+8X+1,當x=0.4時，

需要做幾次加法和乘：於算？答案：6,6

理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機械的、統(tǒng)

一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖

解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調說明書是空調使

用的算法…（algorithm）

1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設

計語言（本書指偽代碼）.

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進行

下去

②確定性：算法的每一步操作內容和順序必須含義確切，而

且必須有輸出，輸出可以是一個或多個。沒有輸出的算法是無意

義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可

以通過手工或者機器在一定時間內可以完成，在時間上有一個合

理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術運算，邏輯運算，函

數(shù)運算，關系運算等②控制結構:順序結構，選擇結構，循環(huán)結

構

流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及

簡單的文字說明表示算法及程序結構的一種圖形程序，它直觀、

清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，

要養(yǎng)成有開始和結束的好習慣

2.拿不準的時候可以先根據(jù)結構特點畫出大致的流程，反

過來再檢查，比如：遇到判斷框時，往往臨界的范圍或者條件不

好確定，就先給出一個臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個

條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時侯也就可以有幾

種書寫方法了。

3.在輸出結果時，如果有多個輸出,…二定要用流程線把所

有的輸出總結到一起，一起終結到結束'―|

II[1

.I■

算法結構：順序結構，選擇結構

tructure)：是一種最簡單最基

本苗菇鬲它未患工灰rr;”wr-、…國制轉移和重復執(zhí)行的操作，一個

順序結構的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。

H.選擇結構(selectionstructure)：或者稱為分支結構。

其中的判斷框，書寫時主要是注意臨界條件的確定。它有一個入

口，兩個出口，執(zhí)行時只能執(zhí)行一個語句，不能同時執(zhí)行，其中

的A,B兩語句可以有一個為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在

某條件成立時，執(zhí)行某語句，至于不成立時，不執(zhí)行該語句，也

不執(zhí)行其它語句。

III.循環(huán)結構(cyclestructure)：它用來解決現(xiàn)實生活中

的重復操作問題，分直到型(until)和當型(while)兩種結構(見

上圖)。當事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(即不知道循

環(huán)次數(shù)時)用當型循環(huán)。

基本算法語句：本書中指的是偽代碼(pseudocode),

且是使用BASIC語言編寫的,是介于自然語言和機器語言之間的

文字和符號，是表達算法的簡單而實用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)

一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相

對統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用x=y，也可以

用；表示兩變量相乘時可以用“*”，也可以用“X”

I.賦值語句(assignmentstatement)：用<-表示，如：

x<-y，表示將y的值賦給x,其中x是一個變量，y是一個及x

同類型的變量或者表達式.

一般格式：”變量一表達式”，有時在偽代碼的書寫時也可

以用“x=y”，但此時的“=”不是數(shù)學運算中的等號，而應

理解為一個賦值號。

注：1.賦值號左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達式，

右邊可以是常數(shù)或者表法式「二”具有計算功能。如：3=a,b

+6=a,都是錯誤的，而a=3*5-1,a=2a+3

都是正確的。2.一個賦值語句一次只能給一個變量賦值。

如：a=b=c=2,a,b,

c=2都是錯誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

p—x

PX

,同樣的如果交換三個變量x,y,z的值廣

y-z

II.輸入語句(inputstatement):Reada,b表示輸入

的數(shù)一次送給a,b

輸出語句(outstatement)：Printx,y表示一次輸出運

算結果x,y

注：1.支持多個輸入和輸出，但是中間要用逗號隔開！2.Read

語句輸入的只能是變量而不是表達式3.Print語句不能起賦

值語句，意旨不能在Print語句中用“="4.Print語句可

以輸出常量和表達式的值.5.有多個語句在一行書寫時用

“：”隔開.

例題：當x等于5時，Print“x二”；x在屏幕上輸出的

結果是x=5

III.條件語句(conditionalstatement)：

1.行If語句：IfAThenB注：沒有

EndIf

2.塊If語句：注：①不要忘記結束語句EndIf,

當有If語句嵌套使用時，有幾個If,就必須要有幾個EndIf

②.Elself是對上一個條件的否定，即已經不屬于上面的條件，

另外Elself后面也要有EndIf③注意每個條件的臨界性，

即某個值是屬于上一個條件里，還是屬于下一個條件。④為了

使得書寫清晰易懂，應縮進書寫。格式如下：

例題：用條件語句寫出求三個數(shù)種最大數(shù)的一個算法.

Reada,b,c

Reada,b,c

Ifa2bThen

Ifa2band

IfThen

:出求三，Then

Printa

［個數(shù)中，Pinta

Else

ElseIfb，cThen

Printcatement）：當事先知道循壞次

數(shù)IEndIfN次也是已知次數(shù)的循環(huán)當循

環(huán)口黑?"一味’不Do循環(huán)有兩種表達形式，及

循環(huán)結構的兩種循環(huán)相對應.

__T_iLl__土_____古—L__While_A___

DoWhilepDo

循環(huán)，其實質是當型循環(huán)，一般在解決有關問題時，可以寫成

While循環(huán)，較為簡單，因為它的條件相對好判斷.2.凡是能

用While循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For循環(huán)書寫3.While循環(huán)和

Do循環(huán)可以相互轉化4.Do循環(huán)的兩種形式也可以相互轉化，轉

化時條件要相應變化5.注意臨界條件的判定.

例題：設計計算Ix3x5x...x99的一個算法（見課本多）

顏老師友情提醒：1.一定要看清題意，看題目讓你干什么,

有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代碼，而有的題目則是既

寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼0

2.在具體做題時，可能好多的同學感覺先畫流程圖較為簡

單，但也有的算法偽代碼比較好寫，你也可以在草稿紙上按照你

自己的思路先做出來，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫算法,

后畫流程圖，最后寫偽代碼。

3.書寫程序時一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號，最好及教材

一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學會看到

各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時還會碰到我們沒有見

過的語言，希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所

淹沒！

高中數(shù)學必修4知識點

2、角a的頂點及原點重合，角的始邊及X軸的非負半軸重合,

終邊落在第幾象限，則稱a為第幾象限角.

第一象限角的集合為{a|h360<a<h360+90,AwZ}

第二象限角的集合為同攵.360+90<-3604-180,

第三象限角的集合為{建360+180<a<h360+270/eZ}

第四象限角的集合為{咻360+270<a<k-36O+360,ZEZ}

終邊在x軸上的角的集合為{a|a=hl80,%￡Z}

終邊在y軸上的角的集合為{a|a=hl80+9()MEZ}

終邊在坐標軸上的角的集合為{a|a=h90入Z

3、及角。終邊相同的角的集合為物忸=h360+a,&wZ}

4、已知a是第幾象限角，確定?(〃￡N*)所在象限的方法：先

把各象限均分〃等份，再從x軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)

域標上一、二、三、四，則a原來是第幾象限對應的標號即為巴

n

終邊所落在的區(qū)域.

5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

6、半徑為「的圓的圓心角。所對弧的長為/,則角。的弧度數(shù)

的絕對值是悶=%

JT

7、弧度制及角度制的換算公式:2^=360,1=—

180

180

1=?57.3.

8、若扇形的圓心角為a(a為弧度制)，半徑為一弧長為/,周

長為C,面積為S,則/=四,C=2r+/,S=-lr=-\a\r2.

22

9、設a是一個任意大小的角，a的終邊上任意一點P的坐標

x

是(x,y),它及原點的距禺是4=+>0］則sina=上，cosa=一，

r

tana=2（彳00）?

10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限

正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正.

11、二角函數(shù)線：sina=MP,cosa=OM,tana=AT.

12、同角三角函數(shù)的基本關系：⑴sin2a+cos2a=l

13、三角函數(shù)的誘導公式：

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

口訣：正弦及余弦互換，符號看象限.

14、函數(shù)產sinx的圖象上所有點向左（右）平移刨個單位長

度，得到函數(shù)y=sin（x+0）的圖象；再將函數(shù)y=sin（x+e）的圖象上

所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標不變），得

co

至！J函數(shù)y=sin（5+°）的圖象；再將函數(shù)y=sin（5+°）的圖象上所有

點的縱坐標伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變），得到函

數(shù)y=Asin（的+e）的圖象.

函數(shù)產sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

上倍（縱坐標不變），得到函數(shù)

co

y=sin8的圖象；再將函數(shù)y=sinox的圖象上所有點向左（右）

平移4個單位長度，得到函數(shù)產sin（5+0）的圖象；再將函數(shù)

產sin（5+Q）的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的A倍

（橫坐標不變），得到函數(shù)尸Asin（3+。）的圖象.

函數(shù)y=Asin（6zr+^）（A>0,6y>0）的性質：

①振幅：A;②周期：T=—;③頻率：f=—；④相位:

coT27r

cox+（p\⑤初相：9?

函數(shù)y=Asin（5+w）+B,當x=%時，取得最小值為人加；當'=%

時，取得最大值為為…則人=卻儂-%所），8=3（八+為而），

［二*2一玉（司＜々）?

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象及性質:

定

<XX^K7fr+—冗,、KEZr>

義RR2

域

值

[-M][-U]R

域

當x=2k兀+-^(A:GZ)當工=2攵%(&￡Z)時,

當兀+/

最時，ymax=1；當）"=1；x=2k既無最大值也無

值X=2k7i~(ZEZ)時，jmin=-1.最小值

(林Z)時，ymin=-l.

m2"2"冗

期

性

奇奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

偶

性

?力?c1萬c,兀

2k兀——,2,k/c+—

（林Z）上是增函在［2左/一乃,2左乃］（kwZ）

7fc(1兀、兀

單TLIkTC-----,K7TH

\22)

數(shù)；在上是增函數(shù)；在

調

(kwZ)上是增函

［2攵乃,2攵萬+同

2te+-,2te+—

性22

數(shù).

（攵wZ）上是減函數(shù).

（kcZ）上是減函

數(shù).

對稱中心對稱中心對稱中

心

對

（族,0）（丘Z）

左乃+5,0）（女GZ）容)

稱0(G)

對稱軸

性

對稱軸x二改乃（ZeZ）無對稱軸

x=k兀+/(keZ)

16、向量：既有大小，又有方向的量.

數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點、方向、長度.

零向量：長度為o的向量.

單位向量：長度等于1個單位的向量.

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向

量及任一向量平行.

相等向量:長度相等且

方向相同的向量.

17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點:

首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點：共起點.

（3）三角形不等式：同一忖卜,+.?同+忖.

⑷運算性質：①交換律：a+b=b+a;②結合律：

（4+b）+c?=d+（b+6）;③〃+0=0+〃=4.

⑸坐標運算：設a=（xI,y1）,6=（孫必），則

a+z?=（%+w，y+y2）?

18、向量減法運算:a-b=AC-AB=BC

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.

⑵坐標運算：設@=（方方），心=（七,%），貝-力=（%-林兇,

設A、B兩點的坐標分別為（和凹）,（w，%），則

AB=（內一%,凹一%）?

19、向量數(shù)乘運算：

⑴實數(shù)4及向量〃的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，

記作A