2020大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)教案-多元微分

多元微分學(xué)題型歸類及典型例題分析

一、多元函數(shù)的極限

多元函數(shù)極限分為兩種類型，求極限值和證明極

限不存在.求極限值時主要通過變量替換、縮放、

分解等方法，使問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限.證明極

限不存在的基本方法是找到兩條不同的路徑，使其

有不同的極限值.

問題:“求lim/(x,y)”并未提示極限是否存在.

「X3+XV2

lim-----------

例1.求工了一u+y

x3+xy2

hm----=0n

鬲°%一盯+)

J

32

lim2"+盯2=0

尤?°x_xj+y

y-x

分子階數(shù)高于分母，猜極限為0.

如何證明/(*/)-0?

常用方法：證明1/(“，0(便于適當(dāng)放大)

易證

0<|/(x,j)|<g(x,j)->0

2

0<廣孫2<2"32+2盯2

x-xy+yx-xy+yx-xy+y

需證明后兩式分別為0

分子過于簡單，從分母入手：1，一盯+V,?

(\24

湊平方：O-xy+y2>Q^x2-xy+y2>-x

三角不等式:

X1+y2>2xy=\xy\<x2-xy+y2<3xy

/+盯2〈U3Q2

X2-XJ+J2|xj|3

x3y+xy4+x7y

1,lim

例2.求二:X+yx+yw0)

x3y+xy4+x2y

lim------------------—=0

yT=0x+)v

342

xy+xy+xv45,3

f---------------=limx+%+X_0

10x+yXf0

y=x'2x

分子階數(shù)高于分母，猜極限為0?

注意：％+ywO,但可無限趨近于0

一x3V+XV4+X2V

lim------------------

”->0卜%+y

y=x-x

x3(xk-x)+-x)4+x2(xk—x)

=lim

x-?0X+3-X)

v*4I15

..-X-vX—/+O(X^)

-lim-----------

x—>0xk

取A=3,則極限為-1.

討論：或左＞3?

3+xy4+x2y

lim

JX/%-o不存在.

隊y—0%+y

X

lim----------

例—83x+2y

3.yfoo,

x

lim----------=0

=3x+2y

分子階數(shù)低于分母則極限為0,若四與3"+2y同階,

則極限不為0.

討論：令3x+2y=四可行否？（何為可行?）

1°滿足原題條件20使原題簡單化

Xf003x+2y

廠;（國一3x）

r7R

.口lim---------.

于是3x+2y不存在.

更簡單的方式：令3x+2yf0

注1：(1)討論多元極限時，先沿特殊路徑猜測極限

(著重分析分子分母階的比較).

(2)若極限為0,通常取絕對值，便于縮放.

(3)若猜測極限不存在，通常取特殊路徑：

①使分母趨向于0

②使分子、分母同階.

注2:極限式作為已知條件時公選結(jié)論：

1?/(X，》)\n

(1)設(shè)雪嬴前存在，且期。如a二°,則必有

y'M)

lim/(x,j)=0

XfX()

J->Jo

進(jìn)一步，若/(x,y)連續(xù)，則必有了(/，/)=0

⑵若曾八"")=A,則/(x,y)=A+a(a->0)

二、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、全微分

(一)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、微分定義的正確運(yùn)用

1.偏導(dǎo)數(shù)

)"—上)—。)

定義:￡(x"o"lim"44

(1)XfX。x-xo

(2)公式：/；(再)，/)=[/(//人=”。

2.全微分

⑴定義：=AAx+B\y+t>(^(Ax)2-r(Ay)2^)

⑵已知可偏導(dǎo)證明可微:

f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)-f^x,y)Ax-fy(x,y)Ay

lim=0

z4r->0J(Z1X)2+(/"

4yf0

特別地，若

22

/(x0+Aj)-/(X0,J0)=O(7(AX)+(Aj))

則必有￡(x。，孔)=北(/，J。)二°；成:山=°

⑶偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)則可微

注：(i)在求證某特定點可微的題型中?？赏浦?

”*0，，0)=0，，0)=W(Xo,，0)=0

從而問題轉(zhuǎn)化為證明

lim，—"力)=()

器X：yj(Ar)24-(Ay)2

⑵進(jìn)一步，特定點通?？赊D(zhuǎn)化為(0,0)點，從而問題

一~-y)n

轉(zhuǎn)化為證明1%。=°

y->0V人十

Hm/(x^)+3x-4j=2

例L設(shè);或x2+y2,且/(%/)在(0,0)

點連續(xù)，貝!12/：(0,0)+/；(0,0)=.

思路：

1萬(占y)=/(占j)+3x-4j

2/(0,0)=0?

3°F(x,y)—F(090)=0("+/)?

40屋(0,0)=(0,0)+3=0,與(0,0)=(0,0)—4=0

例2.設(shè)/(x，y)=ix—yi0(，y),其中在必田在點(o,o)

的一個鄰域內(nèi)連續(xù)，證明：f(x,y)在(0,0)點可微的充

分必要條件是：。(0期=0?

明顯結(jié)論：

1°在點(0,0)的一個鄰域內(nèi)連續(xù)且A。,。)=0.

2o/;(o,o)==limlxl<p(x,o)=±誕期

Jxf0Y*/Vx—>0x

/；(0,0)=lirn1J|Cp(X?0)=±9(0,0)

，了->。v

3°可微則偏導(dǎo)存在

證明：必要性：若/可微則偏導(dǎo)存在

liml"3"'")=(p(0,0)=Iim|x|(P(X?0)=-cp(O,O)=0

x-?0+X(廠X

充分性：0(0,0)=on8(0,0)=oJ；(0,0)=o.

/(4》)一)(0,0)-R(0,0)x—(0,0)y二|X—y|?(招y)

7??/=R+齊

討論：

|x—y|(p(x,V>a。

lim

x—>022*

j->0%+y

lim(p(x,j)=O.

已知

yf0

\x-y\

問題轉(zhuǎn)化為表寸是否有界?

\x-y\幻

w1?lyl<2,

d爐+y?G+y2dX?+y2

注：“可微”易守難攻一做條件好用，成結(jié)論難證，在

證明充要性時一般先將其作為條件（先證必要性）.

(-)偏導(dǎo)數(shù)計算

1.直接套用公式計算

考查對公式的熟練程度、正確使用符號的能力.

2.中間變量與自變量交混的復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計算

需分清各級函數(shù)中因變量、中間變量、自變量及

個數(shù)，并使用正確的表示式

3.偏導(dǎo)等式(方程)轉(zhuǎn)化為常微分方程

若已知關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)的等式，通常首先求出相關(guān)

偏導(dǎo)數(shù)，代入可得微分方程，再通過求解微分方程,

可求出函數(shù)表達(dá)式.

dz

例1.已知z=x(r+y2尸,則云=.

特定點求偏導(dǎo)數(shù)值要先代后算

dz.a

工。)』Z(X,0)]L=，L=3

例2.已知函數(shù)/(〃/)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

/(1」)=2是/(〃#)的極值,z=/(x+j,/(x,j))e求

dxdy(1,1)

類型：直接計算類；問題：符號重疊；解決方法：引

入替代符號；注意：不可省略了后的變量符號

N=s=x+y9t=f(x9y)

W=￡'(§,￡),s1+￡'($")?4=￡'($")+〃>,￡),/；(x,y)

4=1X(取)+￡'(印)/(巧川；

[-)]；=式(型)?可+/；(取)?4

"'(s,。=[￡'(§,%/(x,y)+￡'G￡)?"；(“,，)]；

注意：由“"I"=2是八〃，口的極值”可得

￡(1,1)=/；。,1)=0?

故:*(1,1)=￡：(2,2)+〃2,2).兀(1,1)

即：4(1J)=fn(22)+8(2,2).九(1,1)

例3.設(shè)z=z(x,y)是由方程f+y2_z=次x+y+z)所確定

的函數(shù)，其中。具有二階導(dǎo)數(shù)，且“W-1.

,Z、_1Sz)du

(1)求dz；(2)記心，y)=.[菽方J,求貳.

類型：直接計算，考察微分形式不變性、隱藏性復(fù)合

函數(shù)求導(dǎo)

解：(1)方程兩邊同時求微分：

2xdx-\-Zydy—dz="(x+y+z)?(dx+dy+dz)

,2x-(p'2y-(p'

dz=--------dx-\---------dy

“+1”+1

dzdz^2(x-y)2

(2)dxdyd+1，"d+1，

8u2(p"

dx(1+1)2…》X!!!

注意：”是一個交混型復(fù)合函數(shù)，a+y+z)是中間

變量，與丁是自變量,z是％，丁的函數(shù).

du=2[^x

8x(夕'+1)2

=20”.(x+y+z)[

一S+1)2

_28?-+:)_20”?(l+2x)

二一-(“+1)2=――("+1)3-

例4.設(shè)〃(羽y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，滿足方程

d2ud2u

----7-------7=。

dx2dy

且u{x,2x)=X,u^x,lx)=x2.

求“兀x(%,2x).

分清各種求導(dǎo)(導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù))符號的正確含義：

《(占〃；(,f

(1)2")=x,y)\,<x(x,2x)=uxx(x,y)\

(2)[〃(x，y(x)K=%(x,y)+〃；(x,y)?y\x)

已知條件：[〃(x，2x)K=1,[%(x,2x)L=2x

[〃(x,2x)][=〃；(/2刈+2〃；(芍2*)=1=>uf(x^2x)=L~x

yy2

[w^(x,2x)f=(x,2x)+2w^v(x,2x)=2x

nu^x(xy2x)-lx-2w^(x,2x)(*)

=u^x(x,2x)+2w^(x,2x)=-x

nw^x(x,2x)=-x-2w^(x,2x)

=>u'xy(x,2x)=-x-2w^x(x,2x)

代入⑺式得：

-3<x(x,2x)=4x

（三）討論偏導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系

1.已知偏導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)

常用結(jié)論:

(1)z=點dx+C(y)

z=凈一+C(x)

Jdy

(2)導(dǎo)〕軻+c0°

也=f-^Xzj+C(x)

dxJdxdy

(3)^du=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz,則

〃=%(x,y,z)+%(%,y,z)+%(x,y,z)

x

其中H1(X,J,Z)=Jp(x,j,z)dr,〃2(“，y，Z)為［Q(^^)dy中剔

除與Jp(x,y,z)心相同的項；%(X，MZ)為JR(x，y，z)dz中剔

除與Jp(x,y,z)dx、Jo(x,y,zMy相同的項.

2.證明函數(shù)與某變量有關(guān)或無關(guān)

要證明函數(shù)與某變量無關(guān)，需證明函數(shù)對該變量的

偏導(dǎo)為0；要證明函數(shù)只與某變量有關(guān)，需證明函數(shù)

對其他變量的偏導(dǎo)為0.

特別地，設(shè)2=2(羽丁)在區(qū)域刀可微，貝！|

02

(1)若瓦=。，則z=/(y)

dz&

(2)若瓦=。且加二°,則2三。

^\2o2

(3)若益=°或嬴=°，貝!|z=/(x)+g(y)?

例1.設(shè)“(%?)，v(x,y)在第一象限有二階連續(xù)偏導(dǎo)

du_dvdu_dv

數(shù)，且3%dydydx?

d2ud2u_

(i)證明：ax?+a/'_；

⑵如果〃=/("+/),其中/具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),

/(X)_

且吧一■，求函數(shù)/⑺的表達(dá)式.

解:(1)由二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可得混合偏導(dǎo)相等.

(2)直接計算并代入⑴得到關(guān)于次)的等式(方程)

，_礦(正+產(chǎn))

“X―/~

J/+.2

〃_f'(&+y2)//〃(正+/2)，八百十9)

Uxx-I、0+?2,,.2(/^

注意：要善于利用對稱性:

/"Q/+)2)y2f^x2+y2)

八*+y)?y2

u

yy2,23

x+yx2+y2

匕+%=0=/"+6

4入yy"1二°(簡單微分方程￡=T)

c

nln，=-ln，+C=r=,=/=Gim+G

t

/(1)=0

Xflx-l/(1)=1

a2z_

例2.設(shè)z=/(x,y)滿足：區(qū)京+且

/U。)=f,

/(O,y)=y9貝(|/(羽y)=

a2zdzv2

--------=x+y=>——=xv+~—+g(x)

dxdy---------------dx

22

z=f(x,y)=+乎+rg(x)dx+h(y)

注：取不定積分或積分下標(biāo)取任意值上式均成立,

但取0才可進(jìn)一步求解.

/(x,0)=x2=>[g(x)dx+獻(xiàn)0)=x2

Jo

」(0,y)=y=>h(y)=ynMO)=o

2

Qg(x)dx=x

例3.設(shè)/Uy）可微，且滿足條件而而-coty,

df

=一/(",，)，f(0^)=l求/(x,y).

dx9

一?

討論:f

"I=cotjn[ln/(o9y)]\=cotj

/(0,j)

In/(0,y)=-Incscj+C=lnsinj+C

/(0,y)=Gsiny

X

￡/、/x(?j)

Sf=_/(x,y)=>3…

dxf(x,y)

荒小麗x,y)L=-l=m/f+c?

f(x,y)=C(y)ex

x

/(0,y)=Gsinj=C(y)n/(x,y)=Cresiny

例4.已知函數(shù)”〃(x,y,z)可微，且

du=(x2-2jz)dx+(j2-2xz)dy+(z2-2xy)dz,

則〃(%,y,z)=_____________

注：相同函數(shù)只取其一.

例5.試證：可微函數(shù)z=/（招?。┦寝k+辦的函數(shù)的

,dzdz

充分必要條件是〃￡=〃而.

分析：”=/y）是處的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表達(dá)方

式？

1°公式法：z=f（x,y）=（p（ax+by）

20描述法：z=/（x,y）只與辦有關(guān)

必要性：若2=/（巧>）=。（。"+勿0貝!|：

dz=a(p\ax+by)^dz=b(pf(ax+by)

dxdy

充分性：首先要將z=/?y）變形為與"有關(guān)

（以“x+"為變量）的函數(shù).

z=/(x,y)=，絲+詠”；|

I。)

[t=ax+by

令js=y則

Z=gQ,s)=/p^^,s

kaJ

't-bs

sb小二，j+力

\a)a<a）vaJ

由此可得：z是，的一元函數(shù)，即:z=g（，）=g（a%+〃y）

￡上工

例6.〃=/（%4*）可微，且％一yZ,證明〃僅

為，=6+4+孑的函數(shù).

法一：將--了力作為自變量的坐標(biāo)為球坐標(biāo).

法二：將〃=/（%/a）變形為「=療"43的函數(shù)

222

r=J—+.2+jf%=±yjr-y-z

222

u=f(±^r-y-z,y,z)

u，

y=-f===y//+f；=_"f；+f；=0

，-z%

〃；=/；+/；=—二￡+￡=o

±^r2-y2-z2%

例7./(羽V)滿足“")~dxdy

證明：f(x,y)=g(x)h(y).

討論：（1）如何證明/（與J）=g（x）+入（J）

A（x,y）=o

（2）如何將乘法變?yōu)榧臃ǎ?/p>

F(x,j)=ln/(x,j)

R

F^(x,y)=

f(x,y)

//；-/；/；

七以"，，）=二0

/2(x,j)

nF：=G(x)n方=「G(x)dx+H(y)

/(x,y)=exp「G(x)dx+H(j)}

講士一

例8.設(shè)z=/（巧y）具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，且加,°,證

明：對任意常數(shù)C,八三y）=。為一直線的充分必要

條件是：（/1匕-+

關(guān)鍵問題如何表示“〃”，，）=。為一直線”

f(x,y)=C為一直線=/(x,y)=ax+by+c

必要性：〃x,y）=ax+"+。的所有二階偏導(dǎo)為0.

充分性：顯然不可能由（力）2a-2/JX+&（人）2=0

解出二元函數(shù)/（%/）=依+by+c9

注意：/（%,，）=。是隱函數(shù)，確定一個一元函數(shù).

關(guān)鍵問題：一元函數(shù)何時表示直線？

y=kx+boy'=C。y"=0

證明:"，）=c際一°）確定了隱函數(shù)產(chǎn)，（無）.

fx+fy-y'（x）=O,"）=十

A+4-v（x）=°的兩邊再對x求導(dǎo)得：

fxx+2fxy.y（%）+fyy?+fy?-〃（%）=o

f

將y（x）=-/代入上式得：

即：（力）2a-2/JX+&（￡）2+（力）3?/（X）=0.

因為5）2人—2/X&+九（力）2=0,所以y（x）=0.

三、極值、最值

（一）極值、最值的判定、計算

1.極值的判定

判定極值有兩類題型：

（1）極值的充分條件，偏重于偏導(dǎo)數(shù)的計算

（2）極值的定義。=0,或無法計算A）

通常特定點的函數(shù)值為0,結(jié)論大多為非極值.

需尋找過該點的特定直線（或曲線），轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),

說明其正負(fù)值均可取到.

2.最值的判定

（1）若f（x，y）在閉區(qū)域D上連續(xù)，則于（x,y）在D上取得

最大、最小值.

⑵若/若y）在全平面連續(xù),且極限黑人”加

/）存在，則〃*尸）在全平面取得最大、

:小值.

⑶若有界閉區(qū)域外的值都大（?。┯诘扔趨^(qū)域內(nèi)某

點的值,則最?。ù螅┲翟趨^(qū)域內(nèi)取得.

3.已知函數(shù)求最值

(1)有界閉區(qū)域上函數(shù)的最值

內(nèi)部駐點+條件極值

(2)無界區(qū)域或開區(qū)域上函數(shù)的最值

先討論內(nèi)點一極值判定

再討論邊界點：

4.條件極值

拉格朗日乘數(shù)法

,,,

jF(x1,,,xn;X1,--,Xzn)=y(Xj「?,”〃)+九押左(Xj,,,,,xn)

k=l

求F的駐點.注意解方程組的技巧性

5.證明多元函數(shù)不等式

證明“不等式f(x,y,z)>g[(p(x,y,z)]”等價于證明“在

條件(p(x,y,N)=a下，/(x,y,z)Ng(a)”.

例1.設(shè)/。/）具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

g（x,y）=f（exy,x2-^y2）,

22

且/(x,j)=1-x-j+o(7(x-l)+j),

證明：g（%，y）在點（。，。）處取得極值，判斷此極值是

極大值還是極小值，并求出此極值.

明顯結(jié)論：

1°%y）可微?

2°g(O,O)=/(l,O)=O.

3°/(x,y)-/d,0)=-(x-1)-j+o^(x-l)2+y2)

注意：此寫法源于對（x.o）,（y?yo）或者說對可微的敏

感性.

4°/；（1，O）=G（1，O）=T（多元微分的定義及與偏導(dǎo)間

的關(guān)系）

5°外無丁）的偏導(dǎo)函數(shù)帶有因子x,y?

xyrxy

g】（x，y）=y^fi+2對;,gy（x,y）=xe

式（占J）=y?+2K+2Mm

g：y（x,j）=x-+28+2M月）1

4(0,0)=241,0)=-2=A

g；(0,0)=2/；(l,0)=-2=C

g；",，)=/"+廣(/"；)：+2"；)】

g；(090)=e°/：(M)=-l=B

例2.已知函數(shù)/(%V)在點(0，0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù),

f(x,y)一盯

二1

lim(廣+舟2

日工-0，問函數(shù)/(X。)在點(0,0)處

是否取到極值?

抽象函數(shù)無法使用判定法則，需用定義.

〃0,0)=0,問題轉(zhuǎn)化為討論了(羽田的正負(fù)號.

f(x,y)=A+a(x,y)

lim/(x,j)=A<^><

lima(x,j)=0

f(x,y)-xy

------rV-=l+6Z(X,J)

(X+y)

222222

f(x9y)=xy+(x+j)+(x+y)cx(x9y)

/?的后兩項比第一項高階，且第一項在一、三象限為

正，在二、四象限為負(fù)，故/亦可正可負(fù).

1?f(x,y)-xyf(x,x)-x2

lim----；------=lim----------------=1

尸］

x->0(