福建省泉港市泉港一中2025屆數學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

福建省泉港市泉港一中2025屆數學高二上期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸的概率為80%，則甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%2．雙曲線的兩個焦點坐標是（）A.和 B.和C.和 D.和3．若直線與圓相交于、兩點，且（其中為原點），則的值為（）A. B.C. D.4．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為、，其中，.如果這時氣球的高度，則河流的寬度BC為（）A. B.C. D.5．已知橢圓和雙曲線有共同焦點，是它們一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.6．從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球,則恰有兩個小球編號相鄰的概率為()A. B.C. D.7．設函數若函數有兩個零點，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=9．已知遞增等比數列的前n項和為，，且，則與的關系是（）A. B.C. D.10．函數的導函數為，若已知圖象如圖，則下列說法正確的是（）A.存在極大值點 B.在單調遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解11．△ABC兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.12．數列，，，，，中，有序實數對是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線C：的一條漸近線與直線l：平行，則雙曲線C的離心率是______14．甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?個小時，假定它們在一晝夜的時間段內隨機地到達，則兩船中有一艘在?？坎次粫r、另一艘船必須等待的概率為______.15．某商場對華為手機近28天的日銷售情況進行統(tǒng)計，得到如下數據，t36811ym357利用最小二乘法得到日銷售量y（百部）與時間t（天）的線性回歸方程為，則表格中的數據___________.16．已知某圓錐的高為4，體積為，則其側面積為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正項等差數列滿足，（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和18．（12分）在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線的距離.（1）求動點的軌跡方程；（2）記動點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于兩點，在軸上是否存在一點，使若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知等差數列的前項和為，，且.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：.20．（12分）已知直線，拋物線.（1）與有公共點，求的取值范圍；（2）是坐標原點，過的焦點且與交于兩點，求的面積.21．（12分）設函數.（1）討論函數在區(qū)間上的單調性；（2）函數，若對任意的，總存在使得，求實數的取值范圍.22．（10分）已知直線，以點為圓心的圓C與直線l相切（1）求圓C的標方程；（2）過點的直線交圓C于A，B兩點，且，求的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件即可求解.【詳解】甲不輸有兩種情況：甲獲勝或甲、乙兩人下成平局，甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件，所以甲、乙兩人下成平局的概率為.故選：A.2、C【解析】由雙曲線標準方程可得到焦點所在軸及半焦距的長，進而得到兩個焦點坐標.【詳解】雙曲線中，，則又雙曲線焦點在y軸，故雙曲線的兩個焦點坐標是和故選：C3、D【解析】分析出為等腰直角三角形，可得出原點到直線的距離，利用點到直線的距離公式可得出關于的等式，由此可解得的值.【詳解】圓的圓心為原點，由于且，所以，為等腰直角三角形，且圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得，解得.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用圓周角求參數，解題的關鍵在于求出弦心距，再利用點到直線的距離公式列方程求解參數.4、D【解析】由題意得，，，然后在和求出，從而可求出的值【詳解】如圖，由題意得，，，在中，，在中，，所以，故選：D5、D【解析】設橢圓長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長a2，焦距2c．根據橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據余弦定理可得到，利用基本不等式可得結論【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長為a2，則根據橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，考查利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題6、C【解析】利用古典概型計算公式計算即可【詳解】從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球共有種不同的取法,恰好有兩個小球編號相鄰的有:,共有6種所以概率為故選:C7、D【解析】有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，利用導數分析函數的單調性與最值，畫出函數圖象，數形結合可得結果.【詳解】解：設，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時，，有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，畫出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時，與的圖象有兩個交點，此時，函數有兩個零點，實數m的取值范圍是，故選：D.【點睛】方法點睛：本題主要考查分段函數的性質、利用導數研究函數的單調性、函數的零點，以及數形結合思想的應用，屬于難題.數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法，函數圖象是函數的一種表達形式，它形象地揭示了函數的性質，為研究函數的數量關系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數；2、求參數的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數性質8、C【解析】因為“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點評】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.9、D【解析】設等比數列的公比為，由已知列式求得，再由等比數列的通項公式與前項和求解.【詳解】設等比數列的公比為，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故選：D10、C【解析】根據圖象可得的符號，從而可得的單調區(qū)間，再對選項進行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象，可得當時，，當時，，當時，，當時，，可得在遞減，遞增；在遞減，在遞增，B錯誤，且知，所以存在極小值和，無極大值，A錯誤，同時無論是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定為負數，故C正確，D錯誤.故選：C.11、D【解析】根據三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎題.12、A【解析】根據數列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序實數對是，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先用兩直線平行斜率相等求出，再利用離心率的定義求解即可.【詳解】由題意可得雙曲線C的一條漸近線方程為，則，即，則，故雙曲線C的離心率故答案為：.14、【解析】利用幾何概型的面積型概率計算，作出邊長為24的正方形面積，求出部分的面積，即可求得答案.【詳解】設甲乙兩艘輪船到達的時間分為，則，記事件為兩船中有一艘在停靠泊位時、另一艘船必須等待，則，即∴.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型，考查轉化與化歸思想、數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意對概率模型的抽象成面積型.15、1【解析】根據已知條件，求出，的平均值，再結合線性回歸方程過樣本中心，即可求解【詳解】解：由表中數據可得，，，線性回歸方程為，，解得故答案為：116、【解析】設該圓錐的底面半徑為r，由圓錐的體積V＝πr2h，可解得r的值，再由勾股定理求得圓錐的母線長l，而側面積S＝πrl，代入數據即可得解【詳解】設該圓錐的底面半徑為r，圓錐的體積V＝πr2h＝πr2×4＝12π，解得r＝3∴圓錐母線長l＝＝5，∴側面積S＝πrl＝15π故答案為：15π【點睛】本題考查圓錐的側面積和體積的計算，理解圓錐的結構特征是解題的關鍵，考查學生的空間立體感和運算能力，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設數首項為，公差為，由，，列出方程組，求得，，即可求出數列的通項公式；（2），利用列項相消求和法即可得出答案.【詳解】（1）設數首項為，公差為，由題得.解得，，（負值舍去）所以；（2）由（1）得則.18、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用拋物線的定義即求；（2）由題可設直線的方程為，利用韋達定理法結合條件可得，即得.【小問1詳解】因為動點到點的距離等于點到直線的距離，所以動點到點的距離和它到直線的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線，設拋物線方程為，由，得，所以動點的軌跡方程為.【小問2詳解】由題意可知，直線的斜率不為0，故設直線的方程為，.聯立，得，恒成立，由韋達定理，得，，假設存在一點，滿足題意，則直線的斜率與直線的斜率滿足，即，所以，所以解得，所以存在一點，滿足，點的坐標為.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據等差數列的性質及題干條件，可求得，代入公式，即可求得數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消求和法，即可求得，即可得證.【詳解】解：（1）設數列的公差為，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以數列的通項公式為：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因為，所以.【點睛】數列求和的常見方法：（1）倒序相加法：如果一個數列的前n項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和可以用倒序相加法；（2）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉化法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數列的前n項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.20、（1）；（2）.【解析】(1)聯立直線l與拋物線C的方程消去x，借助判別式建立不等式求解作答.(2)利用(1)中信息求出點縱坐標差的絕對值即可計算作答.【小問1詳解】依題意，由消去x并整理得：，因與有公共點，則，解得：，所以的取值范圍是.【小問2詳解】拋物線的焦點，則，設，由(1)知，，則，因此，，所以的面積.21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求導，根據導函數的正負性分類討論進行求解即可；（2）根據存在性和任意性的定義，結合導數的性質、（1）的結論、構造函數法分類討論進行求解即可.【小問1詳解】,,①當時，恒成立，在上單調遞增.②當時，恒成立，在上單調遞減，③當吋，，在單調遞減，單調遞增.綜上所述，當吋，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，當時，在單調遞減，單調遞增.【小問2詳解】由題意可知：在單調遞減，單調遞增由（1）可知：①當時，在單調遞增，則恒成立②當時，在單調遞減，則應（舍）③當時，，則應有令，則，