2021年浙江省杭州市中考二輪復(fù)習(xí)專題復(fù)習(xí)3-三角形和四邊形（解析版）

2021年浙江省杭州市中考二輪復(fù)習(xí)專題復(fù)習(xí)3一一三角形和四邊形

一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,

不選、多選'錯(cuò)選均不給分）

1.（本題3分）（2020?浙江杭州市?）如圖，已知在nABC中，AB=AC,ZABC='70o,

點(diǎn)P是ABAC的平分線AP和ZCBD的平分線BP的交點(diǎn)，射線CP交A8的延長線

于點(diǎn)。，則NO的度數(shù)為（）

A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°

【答案】A

【分析】

由根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出ABC=ACB=70°,由角平分線的定義推出

4PBACB=35°,最后用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，/尸與8c相交于點(diǎn)O,

口AB=4C,

□□4BC=」4cB=70。,

□□。8=40。，

□點(diǎn)尸是匚力3C內(nèi)角和外角角平分線的交點(diǎn)，

4PB=LACB=35°f

2

QAB=ACf4尸是「山力C的平分線，

UAP3BC,OB=OC,

CP=BP,

□□4尸。=二》尸5=35。，

□□BPC=70°,

QBP是MBC的外角的平分線，

□080=55。，

2

□L1Z>L8PC-。8。=70。-55。=15。.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,

屬于中考常考題型.

2.體題3分）（2020?浙江杭州市?九年級期末）在口ABC中，AB=AC=10,

NA5C=72。，NA8C的角平分線交AC于點(diǎn)。，則8的長為（）

A.5B.56-5C.15-5A/5D.5非-1

【答案】C

【分析】

證明ABCBCD,得到絲=生，設(shè)CD=x,表示出BC,代入得到方程，解之即

BCCD

可.

【詳解】

解：如圖，UAB=AC,UABC=72°,

[;C=72°,

試卷第2頁，總50頁

□□A=180°-2x72°=36°,

□BD平分DABC,

□UABD=LCBD=36°,

□AD=BD,匚BDC=72。，

□BC=BD,

在ABC和BCD中,

□A=DCBD,aABC=CC,

□□ABCUDBCD,

ABBC

..-------,

BCCD

設(shè)CD=x,貝I」BD=AD=BC=10-x,

1010-%

-----=------,

10—xx

解得：x=15+5石（舍）或15-5有，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已

知條件證明出匚ABCBCD.

3.（本題3分）（2019?浙江杭州市?九年級期中）如圖，正方形A8CD中，AB=6,點(diǎn)

E在邊C￡>上，且8=3￡>E.將口49￡沿AE對折至八47國，延長EF交邊BC于點(diǎn)

G,連接AG、CF.則下列結(jié)論：□NGuCG；□AG//CF；□5￡CC=SAFE；□

ZAGS+ZA￡D=145°,錯(cuò)誤的是()

A.□B.□C.□D.□

【答案】D

【分析】

根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證RtUABGLRtAFG,在直角DECG中，根據(jù)

勾股定理可證BG=GC；通過證明AGB=AGF=GFC=nGCF,由平行線的判定可得

AGDCF；分別求出SEGC與sAFE的面積比較即可；求得匚GAF=45。，

□AGB+口AED=180°-DGAF=135°.

【詳解】

解：四邊形ABCD為正方形，將口4)￡沿人￡對折至△AEE，

□AB=AD=AF=CD=6,JAFG=UAFE=ID=90°,

AFG=90°,

□AG=AG,□B=nAFG=90°,

□RtABGHRtAFG(HL),

□BG=FG,

CD=3DE,

EF=DE——CD=2,EC=4,設(shè)BG=FG=x,則CG=6-x,

3

在直角ECG中，根據(jù)勾股定理，得(6—X)2+42=(X+2)2,

解得x=3.

試卷第4頁，總50頁

BG=3=6-3=CG,］正確;

□CG=BG,BG=GF,

□CG=GF,

□□FGC是等腰三角形，□GFC=DGCF.

XZRtCABGORtlZAFG；

□liAGB=AGF,AGB+AGF=2AGB=180°-FGC=HGFC+[GCF=2GFC=2GCF,

□□AGB=AGF=DGFC=QGCF,

□AGCF,正確；

S&GCE=；GC?CE=gx3x4=6,；AF?EF=gx6x2=6,

s4foe=SMFE，.正確；

□UBAG=nFAG,DDAE=JFAE,

又□□BAD=90。，

□□GAE=45°,

□□AGB+DAED=180°-GAE=135°,錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平

行線的判定，三角形的面積計(jì)算等知識.此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注

意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

4.（本題3分）（2020?浙江杭州市?九年級）已知，在口ABC中，”是BC邊上一點(diǎn)，

NA8C=30°,NAOC=45°.若。是BC邊的中點(diǎn)，則Z4C8的度數(shù)為（）

A

A.950B.100°C.105°D.110°

【答案】C

【分析】

過A作AEBC于E,在AE上取點(diǎn)F,連接CF,使得UCFE=30。，設(shè)DE=x,即可得

出CE=DE-CD=（2-G）X,進(jìn)而得至AE=（2+G）CE,再由艮據(jù)EF=^CE,CF=2CE,

得至!JAF=AE-EF=2CE=CF,即可得到ACE的度數(shù)，從而得到結(jié)果.

【詳解】

解：如圖所示，過A作AEBC于E,在AE上取點(diǎn)F,連接CF,使得，CFE=30°,

設(shè)DE=x,

□OABE=30°,EIADE=45。，

AE=x,BE=>/Jx,BD=CD=（6-1）X,

，CE=X-（V5-1卜=（2-6）X,

—=2+V3,即AE=（2+6）CE,

CJE

又「RtCEF中，EF=V3CE,CF=2CE,

□AF=AE-EF=2CE=CF,

□LFAC=lFCA」CFE=15°,

2

nnACE=：ACF4-nECF=15o4-60°=75°,

□□ACB=105°,

故選C.

試卷第6頁，總50頁

A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，在直角三角

形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半.

5.（本題3分）（2020?浙江杭州市?九年級期末）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙

爽弦圖”得到正方形ABCD與正方形EFGH.連結(jié)EG,BD相交于點(diǎn)O,BD與HC相

交于點(diǎn)P.若GO=GP,下列結(jié)論：UNGOP=NBCP,BC=BP,L

BG:PG=4i+1，UDP=PO.正確的是（）

A.□□□B.□□□C.□□□D.□□□

【答案】D

【分析】

由正方形的性質(zhì)證明NBOG+NBCG=180°,結(jié)合N5OG+NGQP=180。，從而可

判斷：由GO=GP,可得NGOP=NGPO,從而可得NGPO=NBCR可判斷：

沒BG=a,CG=b,則=CG=BE=6,再證明口。“PsQBGP,可得

J4P序

—,求解"尸=幺，再證明PG="利用“G="P+PG,列方程

BGPGa

A2

a—b=b+￡-,解關(guān)于。的方程并檢驗(yàn)即可判斷；證明口。印》口。?。?求解

a

DP=-y/a2+b2,再證明口5cpsgGPO,求解=。=6+吩,由。工4

acr+b2

可判斷口，從而可得答案.

【詳解】

解：：正方形ABCD與正方形EFGH.

ZDBC=45°,ZEGF=45°,

ZBGC=90°,

ZEGC=45°+90°=135°,

4BOG+NBCP=360°-ZOBC-ZOGC=360°-45°-l35°=180°,

?rNBOG+ZGOP=180°,

???/GOP=/BCP,故符合題意；

???GO=GP，

ZGOP^ZGPO,

ZGPO=NBCP,

BC=BP,故符合題意；

,/正方形FGHE,

EH//FG,

:[]DHPsQBGP,

DH_HP

"~BG~~PG'

設(shè)BG=a,CG=b,則DH=CG=BF=b,

試卷第8頁，總50頁

BC=BP,BG上PC,

PG=CG=b,

.bHP

''ab

a

?.?FG=HG=HP+PG=a—b,

入入b2

：,a-b=b-\-----,

a

/.a1-2ba-b2=0,

“=2b土產(chǎn)=(1±到,

經(jīng)檢驗(yàn)：a=(l—及W不合題意，舍去，

.,.<2=(1+a)8，

.BG=+=]?夜故[符合題意;

"PGbb

?：BC=BP,BGLCP,

ZCBG=ZPBG,

DE//BG,

ZHDP=ZPBG,

ZCBG=ZDCH,

NHDP=NDCH,

NDHP=NCHD,

：nDHP<^QCHD,

DHDP

"~CH~~CD'

DH=b,CH=BG=a,

CD=Va2+b2,

.b_DP

,,丁歪常，

DP=—^Ja2+b2,

a

ZCBP=45°=ZPGO,BC=BP,GP=GO,

,BCBP

一而一而’

.DBCP^GPO,

BCCP

?而一而‘

?/BC=CD=yjcr+b1,PC=2CG=2b,

yja2+b2_2b

-b-~~P0

?：a豐b.

:.DP*PO,故不符合題意;

試卷第10頁，總50頁

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查的是四邊形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正方

形的性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，一元二次方程的解法，三角形相似的判定與性質(zhì)，掌握以

上知識是解題的關(guān)鍵.

6.（本題3分）（2020?浙江杭州市?九年級）如圖，在凡QABC中，AC=3,BC=4,

。為斜邊A3上一動(dòng)點(diǎn)，DELBC,DFLAC,垂足分別為E、F.當(dāng)線段EF最小

時(shí)，cosNEFD=)

433

A.—B.-C.一D,也

5544

【答案】B

【分析】

連接CD,判斷出四邊形CEDF是矩形，再根據(jù)矩形的對角線相等可得EF=CD,然后根

據(jù)垂線段最短可得CDAB時(shí)線段EF的長最小，利用勾股定理求出AB,根據(jù)矩形的

性質(zhì)可得EFD=ECD,再根據(jù)同角的余角相等求出ECD=A,從而得到EFD=A,

然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列式計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：如圖，連接CD,

□DE匚BC,DFDAC,DACB^O0,

口四邊形CEDF是矩形，

□EF=CD,

由垂線段最短可得CDJAB時(shí)線段EF的長最小，

□AC=3,BC=4,

□AB=7AC2+BC2=5，

□四邊形CEDF是矩形，

□匚EFD=Z1ECD,

□匚ECD十一ACD=90。，

□A+ACD=90°,

□rECD=A,

□匚EFD=A,

AC3

□cosEFD=cosA=--=-,

AB5

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟記性質(zhì)與

判定方法并確定出EF最短時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵.

7.（本題3分）（2020?浙江杭州市?九年級）正方形ABC。、正方形和正方形PKRF

的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段0K上，正方形BEFG的邊長為2,則DOEK的面積為

()

試卷第12頁，總50頁

D

A.4B.3C.2D.0

【答案】A

【分析】

連DB,GE,FK,則DBGEFK,再根據(jù)正方形BEFG的邊長為2,可求*SDGE=SGEB,

SGKE=SGFE，再由SDEK=S”方形GBEF,即可求出答案.

【詳解】

解：連接DB,GE,FK,則DBDGEDFK,

在梯形GDBE中，SDGE=SGEB（同底等高的兩三角形面積相等）,

同理SGKE=SGFE.

□SDEK=SDGE+SGKE

=SGEB+SGEF

=SF方形GBEF

=2x2

=4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查正方形的性質(zhì)，三角形和正方形面積公式以及梯形的性質(zhì)，結(jié)合圖形巧妙

轉(zhuǎn)化解決問題.

8.（本題3分）（2021?杭州育才中學(xué)九年級二模）如圖，□46c中，AB=AC,D為BC

中點(diǎn)'在5"的延長線上取一點(diǎn)E,使得E/AEG皿與“C交于點(diǎn)尸'則孑的值為

()

【答案】B

【分析】

過點(diǎn)。作。GU4C,交E8于點(diǎn)G,連接4),則G為相的中點(diǎn)，□瓦4C=DDGE,得

出。G是U/8C的中位線，由三角形中位線定理得出4C=2OG,由等腰三角形和三角形

的外角性質(zhì)證出I/CE=E1EOG,由44s證明i/CEGED,得出/E=DG,由等腰三角

形得性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出OG=g/8=/G=BG,得出XE=/1G,三角

Ap

形中位線定理，得DG=24F,因此力C=44凡即可得出一.

CF

【詳解】

過點(diǎn)。作0GLMc交仍于點(diǎn)G,連接4。，

□BD=DC,

口BG=AG,

DG是力8c的中位線，

口4C=2DG,

DDGdAC.

DDEAC=lDGEf

EAEC,

nUEDC=ECD,

試卷第14頁，總50頁

AB=AC,

UUABC=JACBf

U\JEDC=ABC+UDEG,ECD=ACB+ECA.□□Z)EG=_￡CJ,

□□4CE口匚G￡D,

口AE=DG,

AB-AC.BD=CD,

□□4QB=90。,

DG——AB=AG=BG,

2

UAE=AG,

□QGEU凡

山IF是EDG的中位線，

□QG=2ZE,

QAC=4AFf

UCF=3AF1

AF1

---=—.

CF3

故選從

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的全

等，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，添加平行線，構(gòu)造三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

9.（本題3分）（2020?浙江杭州市?九年級）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD,同E,F

分別是線段AB、AO上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=OF,3/與。石相交于點(diǎn)

G.給出如下幾個(gè)結(jié)論：

aQAED^DFB;匚4BGE大小會(huì)發(fā)生變化；DCG平分NBG￡>；□

S四邊形BCDG=gcG'其中正確的結(jié)論有（）

A.□□□B.□□□C.□□□D.□□□

【答案】C

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=AD,推出ABD為等邊三角形，得到A=BDF=60°,根據(jù)

全等三角形的判定得到AEDDFB；過點(diǎn)C作CMGB于M,CNGD于N（如圖

1）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CN=CM,根據(jù)角平分線的定義得到CG平分DBGD；

推出B、C、D、G四點(diǎn)共圓,根據(jù)圓周角定理得到BGC=LBDC=60°,DGC=DBC=60°,

求得BGC=[DGC=60°,過點(diǎn)C作CMGB于M,CNGD于N（如圖1）,推出Sw

11\/3\/3

放也BCDG=S四邊彬CMGN,于是得到S四如:CMGN=2SCMG=2><--x—XCGXCG=CG2.

2224

【詳解】

解：□二ABCD為菱形，

□AB=AD,

□AB=BD,EILJABD為等邊三角形,

□□A=BDF=60°,

又DAE=DF,AD=BD,

試卷第16頁，總50頁

□□AED口DFB(SAS),故本選項(xiàng)正確；

□□□BGE=aBDG+DDBF=nBDG+nGDF=60o,為定值,

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

□過點(diǎn)C作CM」GB于M,CNLJGD于N(如圖1),

則-iCBMJTICDN(AAS),

□CN=CM,

□CG=CG,

□RtCNGRtLlCMG(HL),

□nDGC=BGC,

□CG平分BGD；故本選項(xiàng)正確；

□□BGE=aBDG+aDBF=aBDG+DGDF=60°=：BCD,

即BGD+BCD=180°,

□點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，

□□BGC=rBDC=60°,DGC=DBC=60°,

□□BGC=LDGC=60°,

過點(diǎn)C作CM」GB于M,CN」GD于N(如圖1),

則LJCBMLJLCDN(AAS),

□S四邊彬BCDG=Spi｝邊形CMGN,

S四邊杉CMGN=2SCMG,

□□CGM=60°,

GM=—CG,CM=—CG,

22

S也IM；CMGN=2SCMG=2X—x—><CGx^^.CG=-^-CG2,故本選項(xiàng)正確,

2224

綜上所述，正確的結(jié)論有」口匚,

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題綜合考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造出全等三角形，學(xué)會(huì)把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等三

角形的面積解決問題.

10.（本題3分）（2020?浙江杭州市?九年級一模）如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD

=8,點(diǎn)E在邊AD上，且AE：ED=1：3.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停

止，過點(diǎn)E作EF2JPE交射線BC于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)PF,設(shè)M是線段PF的中點(diǎn)，則點(diǎn)P

運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，線段DM長的最小值為（）

84

加

C372一

A.-5B.-5D.

13

【分析】

連接BE、EM、BM,作BE的垂直平分線GH分別與DA的延長線、BC的延長線交于

點(diǎn)G、H,過D作DNEIGH于點(diǎn)N,連接EH,過H作HK；AD,與AD的延長線交于

點(diǎn)K,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，知BM=EM,說明M點(diǎn)在BE

的垂直平分線GH上，當(dāng)M與N點(diǎn)重合時(shí)DM=DN的值最小，根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股

定理，等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求得DN便可.

【詳解】

試卷第18頁，總50頁

連接BE、EM、BM,作BE的垂直平分線GH分別與DA的延長線、BC的延長線交于

點(diǎn)G、H,過D作DNE1GH于點(diǎn)N,連接EH,過H作HK匚AD,與AD的延長線交于

點(diǎn)K,

UUABC=OPEF=90°,M是PF的中點(diǎn)，

OBM=EM,

□無論P(yáng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，M點(diǎn)始終在BE的垂直平分線上，

□M點(diǎn)在GH上，

當(dāng)M與N點(diǎn)重合時(shí)，DM=DN的值最小，

設(shè)EH=x,

□GH是BE的垂直平分線，

□BH=EH=x,

□□EHG=DBHG,

□GDDBH,

□□EHG=DBHG=DG,

□EG=EH=x,

□DABH=UBAK=UK=90°,

□四邊形ABHK為矩形，

□AK=BH=x,AB=KH=6,

□AD=8,點(diǎn)E在邊AD上，且AE：ED=1：3,

□AE=2,ED=6,

□EK=AK-AE=x-2,

□EH2-EK2=KH2,

x2-(x-2)

解得，x=10,

□GE=x=10,

GD=EG+DE=x+6=10+6=16,

□OE匚DN,

□□GEOriDGDN,

EOGE105

----=----——=一,

DNGD168

8

DN=-EO,

5

BE=yjAB2+AE2=J36+4=2及，

□EO=JBE=-710,

o

DN=M?,

即線段DM長的最小值為封3,

5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等，靈活

運(yùn)用所學(xué)的知識點(diǎn)進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共7小題，每小題3分，共21分）

11.（本題3分）（2020?杭州市公益中學(xué)九年級月考）在」Z5c中，已知Z>=1,c=2,

力。是□力的平分線，力。=3叵，貝憶c=.

試卷第20頁，總50頁

【答案】90°

【分析】

如圖作CE/MB交AD的延長線于E,作CHAD于H,首先證明CA=CE,求出AE,

解直角三角形求出CAD,即可解決問題.

【詳解】

解：如圖作CEHAB交AD的延長線于E,作CHAD于H,

UEC//AB,

LMO平分UC/8,

□D4B=UE,

DAC=CE=l,

CEED1

益=詬=萬'

DE=—,

3

AE=,

UCA=CE,CHDAE,

2

巧

cosCAH=—,

2

C/1D=30°,

CH—1m-f-266一6

2326

CH

tanCDH=-----=，3r，

DH

□□CQ"=60。

□□JC￡>=90°.

故答案為：90。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，以及

解三角形的有關(guān)知識和方法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)出現(xiàn)角平分線，構(gòu)造平行線解決問題,

屬于中考填空題中的壓軸題.

12.體題3分）（2020?浙江杭州市?九年級期末）如圖，在口⑷?。中，NACB=90°,

AC=8C,點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，/&4C的平分線交CD于點(diǎn)E，CE=2&.把△ACE

沿AC對折，得到口ACR,點(diǎn)G為AE的中點(diǎn)，連結(jié)FG,GB.則四邊形CFGB的

面積為.

【答案】12+6夜

【分析】

如圖，連接EF交AC于T，連接BE.解直角三角形求出CT,ET,DE，A￡＞，CD，

AC，再根據(jù)

S四邊形CFCB=$四邊形前支"S3G—SMGE

=^MFC+SMCB—/(2sA)-2SMEB求解即可.

試卷第22頁，總50頁

【詳解】

vMCF是由AACE翻折得到，

EF1AC，

?.?ZACB=90。，CA=CB,AD=DB，

：.CD1AB^ZACD=-ZACB=45°,

2

???NC7E=90。，

.-.ZECT=ZC￡T=45O,

V2

：.CT=ET=—EC=2,

2

-.'EDA.ADETA.AC,AE平分NCW,

ET=ED=2,

.?.40=8=2+2啦，AC=BC=2忘+4,

\-AG=EGf

??S“FG~S&EFG?S戰(zhàn)BG~S^BG?

'S四邊形CFGH='四邊形ABCF一^MFG-^SAGB

=^AAFC+4cB-QS^^c-S2FC)~萬

=-X(2V2+4)2+-X(2>/2+2)x272--[2x1x(272+2)X2X/2--X2>/2X2V2J--X-!-X(4+4V2)X2

2222222

=12+6及，

故答案為：12+60.

【點(diǎn)睛】

本題考查翻折變換，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分割法求四邊形面積，屬于中考?？碱}型.

13.(本題3分)(2020?杭州市采荷中學(xué)九年級期中)已知半徑為5的圓。中，弦44=8,

則以AB為底邊的等腰三角形腰長為.

【答案】2指或46

【分析】

根據(jù)題意分該等腰三角形是鈍角還是銳角的情況進(jìn)行討論，再結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)計(jì)算即

可.

【詳解】

口當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，如圖所示，

連接OA,OB,OC,并延長OC與AB交于D,

UOA=OB,AC=BC,

□CD垂直平分AB,CDAB,AD=BD=4,

U圓的半徑為5,

□在RLOAD中，OA=5,AD=4,OD=3,

□CD=OC+OD=8,

U在RtADC中，AC=y]CD2+AD2=4A/5：

試卷第24頁，總50頁

若等腰三角形是鈍角三角形時(shí)，如圖所示:

連接OA,OB,0C交AB于D,

同理的可得0C垂直平分AB,

在RtUOAD中，0A=5,AD=4,0D=3,

□CD=2,

在RtADC中，=y]CD2+AD2=2石，

故答案為：2下或4卮

【點(diǎn)睛】

本題考查圓與等腰三角形的綜合問題，主要涉及到垂徑定理的推論，及勾股定理解三角

形，靈活思考所有可能的情況是解題關(guān)鍵.

14.（本題3分）（2021?浙江杭州市?九年級一模）如圖，將矩形紙片ABCO沿過點(diǎn)。的

直線折疊，使得點(diǎn)3落在矩形內(nèi)點(diǎn)8,處，折痕為CE.

Ap

(1)點(diǎn)恰好為AC中點(diǎn)時(shí)，言的值為

BE

4J7

(2)點(diǎn)3'在AC上且。、B'、E在同一條直線上時(shí)，——的值為

BE

>/5+1

【答案】2

2

【分析】

(1)根據(jù)三角形的面積推出邊的比即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)余弦的定義和勾股定理即可得到結(jié)果；

【詳解】

(1)::四邊形ABCD是矩形，

□□B=90°,

當(dāng)點(diǎn)皆恰好為AC中點(diǎn)時(shí)，AC=2BC,則AB=6BC，

設(shè)BC-x,則AC—2x，AB=下)x，

由題知：EB'±AC'

Q=s=s

34AEB，_34B'CE_J&EBC'

S&AEC=2s△做，

ABC和EBC的高都是BC,

設(shè)BC=x,

試卷第26頁，總50頁

—==2;

BES△幽.

故答案是2.

(2)點(diǎn)6'在AC上且。、B'、E在同一條直線上時(shí)，

設(shè)A8=a,BC=b,BE—x-

B'EVAC,

B'DYAC,

CDB'C

cosZ.ACD=----=------,

ACCD

aa

Ja?+Ib

a4=b4+a2b2-可得到：b2=

2

(Ja?+bZ-6)+x2=(a一xj,

a2+Z>2-2bdm+〃+b2+x2=a2-2ax+/,

2ax=2b\ja2+b2-2〃.

2ax=26Ja^+戈?】才-^\/5-ija2

2ax=2a2-卡成+a2>

解得：x=-~@'a，

2

四="一〃V5-1

AE1+>/5

--=-------

BE2

故答案是：苴土1

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合余弦的定義計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

15.（本題3分）（2020?浙江杭州市?九年級期中）如圖，已知正方形ABCO的邊長為2,

延長8c至E點(diǎn)，使CE=BC,連結(jié)AE交8于點(diǎn)F,連結(jié)8尸并延長與線段￡＞七

交于點(diǎn)G,則FG的長是—.

【答案】且

3

【分析】

用全等三角形的判定AAS得出ADFn：ECF,進(jìn)而得出FG是1DCP的中位線，得出

DG=GP=PE=』DE=2包，再利用勾股定理得出BG的長，進(jìn)而得出FG即可.

33

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)C作CPUBG,交DE于點(diǎn)P.

試卷第28頁，總50頁

□BC=CE=2,

CP是BEG的中位線，

□P為EG的中點(diǎn).

又UAD=CE=2,ADCE,

在匚ADF和DECF中，

乙AFD=4EFC

<4ADC=NFCE,

AD=CE

□ADFECF(AAS),

□CF=DF,XCPEFG,

□FG是DCP的中位線，

G為DP的中點(diǎn).

□CD=CE=2,

DE=2及，

因此DG=GP=PE=』￡>E=.

33

連接BD,

易知BDC=EDC=45°,

所以BDE=90°.

又BD=2叵,

BG=yjBD2+DG2=^8+1=-

FG=-CP=-BG=

243

故答案為:

3

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和勾股定理應(yīng)用等知識，根據(jù)已知

得出正確輔助線是解題關(guān)鍵.

16.（本題3分）（2020?浙江杭州市?九年級）如圖，AB是半圓。的直徑，四邊形CDMN

和。EFG都是正方形，其中C,2E在AB上，在半圓上.若AB=10,則正方

形CDMN的面積與正方形DEFG的面積之和是.

【答案】25

【分析】

連接ON,OF,則x2+(x+DO)2=25,y2+(y-DO)2=25,整理可得x?+y2=25,即可求

正方形CDMN的面積與正方形DEFG的面積之和.

【詳解】

解：連接ON,OF

設(shè)CN=x,EF=y,

則x2+(x+DO)2=25,0

y2+(y-DO)2=25,□

試卷第30頁，總50頁

□-1化簡得(x+y)(x+DO-y)=0,因?yàn)閤+y>0,

所以x+DO-y=0,即y=DO+x,

代人口,得

Ux2+y2=25,

故答案為25.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查r正方形各邊長相等、各內(nèi)角為直角

的性質(zhì)，本題中化簡求得x2+y2=25,是解題的關(guān)鍵.

17.（本題3分）（2019?浙江杭州市?九年級期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1,

點(diǎn)M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），點(diǎn)N是AM的中點(diǎn)，過點(diǎn)N作EF0AM,

分別交AB,BD,CD于點(diǎn)E,K,F,設(shè)BM=x.

（1）AE的長為（用含x的代數(shù)式表示）;

EN

（2）設(shè)EK=2KF,則——的值為.

【答案】—

2

【分析】

（1）根據(jù)勾股定理求得AM,進(jìn)而得出AN,證得EZAENIZIAMB,由相似三角形的性

質(zhì)即可求得AE的長；

(2)連接AK、MG、CK,構(gòu)建全等三角形和直角三角形，證明AK=MK=CK,再根

據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得AKM=90。，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

1ENBMEN

得NK=；AM=AN,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得」=——=x,即可得出——

2ANABNK

=x.

【詳解】

(1)解：□正方形ABCD的邊長為1,BM=x,

AM=Jl+f,

□點(diǎn)N是AM的中點(diǎn)，

AZJ1+,

AN=-.............,

2

□EFDAM,

□□ANE=90°,

□□ANE=ABM=90°,

□□EAN=1MAB,

□□AENriOAMB,

0里=型，即4=叵，

AMABVl+x22

故答案為：工一；

2

(2)解：如圖，連接AK、MG、CK,

由正方形的軸對稱性ABK?LJCBK,

試卷第32頁，總50頁

AK=CK,KAB=KCB,

□EFDAM,N為AM中點(diǎn),

□AK=MK,

□MK=CK,LKMC=LKCM,

□□KAB=CKMC,

□□KMB+KMC=180°,

□□KMB+LKAB=180°,

又」四邊形ABMK的內(nèi)角和為360°,ABM=90°,

□□AKM=90°,

在RtUAKM中，AM為斜邊，N為AM的中點(diǎn)，

KN=—AM=AN,

2

ENEN

-----=-------，

NKAN

□□AENnOAMB,

ENBM

----=------=x,

ANAB

EN

-----=x,

NK

故答案為：X.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形

判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及直角三角形斜邊.上的中線的性質(zhì)，證得KN=AN

是解題的關(guān)鍵.

三'解答題(本大題共6小題，共49分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

18.體題7分)(2021?杭州育才中學(xué)九年級二模)如圖，在X5C中，AB=AC,

QADEQUABC,連接5。，CE.

(1)判斷50與CE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若N5=2g,AD=4,口區(qū)4c=120。，DC/1Z)=30°.求80的長.

【答案】(1)BD=CE,證明見解析；(2)2A/13

【分析】

(1)根據(jù)弘S證明/CE即可：

(2)作BA交BA的延長線于，，然后根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質(zhì)即可求出

8。的長.

【詳解】

解：(1)結(jié)論：BD=CE,

理由：ADEABC,

UUBAC+ACAD=[^CAD+\ADAE,

^QBAD=\CAE,

試卷第34頁，總50頁

在」與1/CE中,

AB^AC

<NBAD=ZCAE,

AD=AE

Q^ABDUACE(SAS),

LI8O=CE；

(2)如圖1中，作DHBA交BA的延長線于，.

圖1

iBAD=BAC+DAC=\50°,

□□047=30。，

UUH=90°,AD=4,

DH=2,AH=2y/3.

BH=AH+AB=4應(yīng)

在Rt:BDH中,BD=4DH2+BH?=J2?+卜扃=2岳.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

19.（本題7分）（2021?杭州育才中學(xué)九年級二模）如圖，點(diǎn)。為正方形45CD的中

心.DE=AG,連結(jié)EG,過點(diǎn)。作。尸_LEG交于點(diǎn)尸.

(1)連結(jié)EF,口￡。9的周長與“。的長有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)連結(jié)0E,求二上。尸的度數(shù)；

(3)若4尸：CE=m,OF：OE=n,求證：，〃="2.

【答案】(1)口EDF的周長與AD的長相等，證明見解析；(2)45。；(3)證明見解析.

【分析】

(1)連結(jié)OD、OG、CA,則CA必過點(diǎn)O且可得OE=OG,從而得到OF垂直平分EG,

所以FE=FG,最終可得EDF的周長等于AD的長；

(2)由(1)可得HEOG=EOD+DOG=AOG+DOG=90°,所以可得［JEOF=45。；

(3)先判斷出AOFCEO,再由三口=絲，3延可以得到解答.

SCEOCESCEO\OE

【詳解】

解：(1)EDF的周長與AD的長相等，理由如下：

如圖，連結(jié)OD、OG、CA,則CA必過點(diǎn)0,

試卷第36頁，總50頁

□點(diǎn)0為正方形ABCD的中心,

□OD=OA,□OAG=CODE,

又DE=AG,

□□OEDQQOGA,

□OE=OG,

□OF±EG,

□OF是EG的垂直平分線，

□FE=FG,

□□EDF的周長=DF+EF+ED=DF+FG+AG=AD：

(2)L1ODLOA,

□□DOA=90°,

由(1)可得[OED1DOGA,

□□EOD=LGOA,

□□EOG=[ZEOD+CDOG=CAOG+DOG=90°,

1□OEG為等腰三角形，OFEG,

EOF=-Z￡OG=45°；

2

(3)□□EOF=45。，

□□COE+AOF=135°

□□OAF=45°,

□□AFO4-nAOF=135°,

□□COE=IAFO,

inAOFJCEO,

q0F丫

□=

SCEO

□O到AF與CE的距離相等,

SAOF：SCEO—AF：CE=m,

in=n2.

【點(diǎn)睛】

此題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，相似

三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是角度的計(jì)算.

20.（本題8分）（2020?浙江杭州市?九年級期末）如圖，在矩形A8C。中，E是BC上

An

一點(diǎn)，。尸_LAE于點(diǎn)F,設(shè):

（1）若2=1,求證：CE=FE；

（2）若AB=3,AO=4,且。、B、尸在同一直線上時(shí)，求2的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）3

【分析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，NB=90°,AD//BC,AB=CD,AD=BC,再根據(jù)已

知條件O/_LA￡，即可證明口。/弘AABE-則4尸=3￡，進(jìn)而通過線段的和差關(guān)

系求得；

（2）由勾股定理求得8。的氏度，再由的面積求得A尸的長度，則可用勾股定

理求得。尸的長度，則可得8尸的長度，再由口?！?AABE.求得EB的長度，在

&AA8E中，根據(jù)勾股定理即可求得AE，即可求得之的值.

試卷第38頁，總50頁

【詳解】

(1)4=1,

AD,

LJ=1,

AE

AD-AE，

又四邊形ABC。是矩形，

ZB=90°,AD//BC,AB=CD,AD=BC.

ZDAF=ZAEB，

DF±AE，

ZDFA=ZB=90°,

在口。/2和八鉆石中，

ZDFA=ZB

<NDAF=ZAEB

AD^AE

QDFAAABE，

AF=BE，

AE=AD=BC，

AE-AF=BC-BE,

CE=FE；

（2）如圖，D、B、尸三點(diǎn)共線,

AD

□AB—3,AD—4,

BD7AB2=j3?+42=5,

DFLAE，

S4AABRDn=2~ABAD=2-BDAF,

yABAD3x412

AF=----------=------=——，

BD55

DF=VAD2-AF2=^42-(y)2=y,

169

BF=BD-DF=5——=-,

55

AD//BE,

在口ADE和△EBE中，

NFAD=NFEB,ZADF=NEBF,ZAFD=ZEFB,

QADFAEBF,

ADDF

---=----,

EBBF

16

即e=等，

EB9

5

試卷第4