西藏拉薩中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題含解析

PAGE16-西藏拉薩中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題（含解析）（滿分：150分考試時間：120分鐘）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線（為常數(shù)）的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析直線的傾斜角與斜率k的關系，可以求出的值.【詳解】直線（為常數(shù)）的傾斜角為，則直線的方程可化為：，直線的斜率故選：A【點睛】本題考查了直線的傾斜角和斜率的關系，考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸、數(shù)學運算的實力，屬于基礎題.2.已知，，以為直徑的圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用A,B的坐標確定圓心坐標，進一步利用圓心坐標和A的坐標求出半徑，最終確定圓的方程.【詳解】依據(jù)題意：設圓心坐標為已知，，建立方程組：所以圓的方程為：故選：D【點睛】本題考查了圓的標準方程，考查了學生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學運算的實力，屬于基礎題.3.過點且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因為所求直線與直線平行，所以設平行直線系方程為，代入直線所過的點的坐標，得參數(shù)值.【詳解】設直線方程為，又過點，故所求方程為：；故選：C【點睛】本題考查了直線的平行關系，考查了學生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學運算的實力，屬于基礎題.4.同時擲三枚硬幣，至少有1枚正面對上的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)古典概型概率公式求沒有正面對上的概率，再依據(jù)對立事務概率關系求結(jié)果.【詳解】因為沒有正面對上的概率為，所以至少有1枚正面對上的概率是1-，選A.【點睛】古典概型中基本領件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為困難的問題中的基本領件的探求.對于基本領件有“有序”與“無序”區(qū)分的題目，常采納樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本領件的求解問題，通過列表把困難的題目簡潔化、抽象的題目詳細化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.5.圓的圓心到直線的距離為1，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】試題分析：由配方得，所以圓心為，因為圓的圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選A.【考點】圓的方程，點到直線的距離公式【名師點睛】直線與圓的位置關系有三種狀況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位置關系時，常用幾何法將位置關系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍．6.如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的，分別為14，18，則輸出的（）A.0 B.2 C.4 D.14【答案】B【解析】【分析】由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點，先推斷，再執(zhí)行，分別計算出當前的a,b的值，即可得到結(jié)論.【詳解】由a=14,b=18,a<b，則b變?yōu)?8-14=4；由a>b，則a變?yōu)?4-4=10，由a>b，則a變?yōu)?0-4=6，由a>b，則a變?yōu)?-4=2，由a=b=2，則輸出a=2.故選：B【點睛】本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了學生綜合分析，數(shù)學運算的實力，屬于基礎題.7.高三某班有學生56人，現(xiàn)將全部同學隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知5號、33號、47號學生在樣本中，則樣本中還有一個學生的編號為()A.13 B.17C.19 D.21【答案】C【解析】分析】干脆依據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義與性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，所以由系統(tǒng)抽樣的定義可知編號間隔是，所以樣本中的另一個學生的編號為，故選C．【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的方法，屬于簡潔題.系統(tǒng)抽樣適合抽取樣本較多且個體之間沒有明顯差異的總體，系統(tǒng)抽樣最主要的特征是，所抽取的樣本相鄰編號等距離，可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)解答.8.某產(chǎn)品的廣告費用（萬元）與銷售額（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：234526394954已知數(shù)據(jù)對應的回來直線方程中的為9.4，據(jù)此模型預料廣告費用為6萬元時的銷售額為（）A.63.6萬元 B.65.5萬元 C.67.7萬元 D.72.0萬元【答案】B【解析】【分析】依據(jù)表格中給的數(shù)據(jù)，廣告費用x與銷售額y的平均數(shù)，得到樣本中心點，代入樣本中心點求出a的值，寫出線性回來方程，將x=6代入回來直線方程，得到y(tǒng)，可以預料廣告費用為6時的銷售額.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)得：又回來方程：中的為9.4，故，，將x=6代入回來直線方程，得（萬元）故選：B【點睛】本題考查了線性回來方程得求解及應用，考查了學生綜合分析，數(shù)學運算的實力，屬于基礎題.9.若點是圓外隨意一點，當點在圓外運動時，直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.相離【答案】A【解析】【分析】由點是圓外，得到，再利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系，推斷直線與圓的位置關系.【詳解】因為點是圓外，故，圓心到直線的距離：因此直線和圓相交.故選：A【點睛】本題考查了點與圓位置關系，直線與圓的位置關系綜合，考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學運算的實力，屬于中檔題.10.直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．11.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線與圓相交可得圓心到直線的距離，即或，也即，故所求概率，應選答案C．點睛：本題將幾何概型的計算公式與直線與圓的位置關系有機地整合在一起旨在考查運算求解實力、分析問題和解決問題的實力綜合分析問題解決問題的實力．求解時，先依據(jù)題設建立不等式求出或，再借助幾何概型的計算公式求出概率使得問題獲解．12.若直線與曲線有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于曲線表示原點為圓心，半徑為2的半圓，依據(jù)題意畫出圖形，找出兩個特別的位置：1.直線y=x+m與半圓相切；2.直線y=x+m過點(2,0)，當直線與半圓相切時，利用點到直線的距離公式表示圓心到直線的距離d，讓d等于半徑列出關于m的方程，求出m的值，寫出滿意題意的m的范圍即可.【詳解】由，得到，如圖，當直線與圓相切時，因此：若直線與圓有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是：.故選：B【點睛】本題考查了直線和半圓的位置關系，考查了學生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)形結(jié)合的實力，屬于中檔題.二、填空題（本大題4小題，每小題5分，共20分，把答案填在橫線上）13.在1，2，4，5這4個數(shù)中隨機取兩個數(shù)，則所取的兩個數(shù)和為6的概率為______.【答案】【解析】【分析】先求出基本領件的總數(shù)，再求出所取得2個數(shù)的和為6包含的基本領件的個數(shù)，由此能求出所取的兩個數(shù)的和為6的概率.【詳解】在1，2，4，5這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù)，基本領件總數(shù)：所取的兩個數(shù)和為6包含的基本領件有：（1，5），（2，4），共有m=2個，因此：所取得2個數(shù)得和為6得概率為：.故答案為：【點睛】本題考查了古典概型的應用，考查了學生綜合分析，數(shù)學運算的實力，屬于基礎題.14.：與：交于、兩點，則直線的方程為______.（結(jié)果化為直線方程的一般式）【答案】【解析】【分析】將兩個方程相減，即可得公共弦AB的方程.【詳解】：與：交于、兩點，則直線的方程為:即：.故答案為：.【點睛】本題考查了兩圓的相交弦問題，考查了學生綜合分析，數(shù)學運算實力，屬于基礎題.15.若、分別為直線與上隨意一點，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化兩點的距離為平行線之間的距離，即得解.【詳解】、分別為直線與上隨意一點，則的最小值為兩平行線之間的距離，即,所以的最小值是：故答案為：【點睛】本題考查了直線與直線的位置關系綜合問題，考查了學生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算的實力，屬于中檔題.16.已知直線：與圓交于，兩點，過點，分別做垂線與軸交于，兩點，若，則__________．【答案】4【解析】【分析】因為直線與圓相交，且已知，由勾股定理可以構(gòu)建方程求得弦心距；再由點到直線的距離公式表示弦心距，求得參數(shù)m，得傾斜角為，做出圖像，由余弦定義得答案.【詳解】由題可知直線：與圓交于，兩點，所以設弦心距為d，有又因為，所以，即，所以，故直線l的斜率，則傾斜角為做出圖像，所以故答案為：4【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的應用，留意構(gòu)建圖像幫助分析，屬于較難題.三、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17.分別求滿意下列條件的直線方程.（1）求經(jīng)過兩條直線和的交點，并且垂直于直線的直線方程；（2）求過點，且與圓相切的直線方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程組，求得交點坐標，依據(jù)垂直關系，得到直線的斜率，即得直線方程；（2）設出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出斜率，即得解.【詳解】（1）解：聯(lián)立方程組，得交點，令所求直線方程斜率為，則由題意知，故：，即.（2）解：由題設知點不在圓上.（i）當切線斜率不存在時，方程符合題意；（ii）當切線斜率存在時，令切線方程為，圓心到直線的距離，得，所以，即，綜上所述：切線方程是或.【點睛】本題考查了直線與直線，直線與圓的位置關系，考查了學生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算的實力，屬于基礎題.18.圓內(nèi)一點，過點的直線的傾斜角為，直線交圓于兩點．⑴當時，求弦的長；⑵當弦被點平分時，求直線的方程．【答案】(1)；（2）【解析】【分析】(1)由傾斜角求出斜率，進而求出直線方程，然后利用弦長公式.(2)依據(jù)，可得到直線l的斜率，進而求出直線l的方程.【詳解】由直線l的傾斜角為,得到直線l斜率為-1，則直線AB的解析式為y-2=-(x+1),即x+y-1=0,∴圓心到直線AB的距離，則弦AB的長為；由圓的方程得到圓心坐標為(0,0)，∵P(-1,2),∴過P的直徑所在直線的斜率為-2,依據(jù)垂徑定理得到直線l方程斜率為，則直線l方程為，即x-2y+5=0.19.某學校為了分析在一次數(shù)學競賽中甲、乙兩個班的數(shù)學成果，分別從甲、乙兩個班中隨機抽取了10個學生的成果，成果的莖葉圖如下：（1）依據(jù)莖葉圖，計算甲班被抽取學生成果的平均值及方差（2）若規(guī)定成果不低于90分等級為優(yōu)秀，現(xiàn)從甲、乙兩個班級所抽取成果等級為優(yōu)秀的學生中，隨機抽取2人，求這兩個人恰好都來自甲班的概率．【答案】(1)86，54.8.(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）依據(jù)平均數(shù)計算公式及方差計算公式得，（Ⅱ）甲、乙兩個班級等級為優(yōu)秀的學生分別有3個和4個，利用列舉法得抽取2人基本領件數(shù)為21，而兩個人恰好都來自甲班的事務數(shù)為3個，因此所求概率為試題解析：（Ⅰ），.（Ⅱ）記甲班獲優(yōu)秀等次的三名學生分別為：，乙班獲優(yōu)秀等次的四名學生分別為：.記隨機抽取2人為事務，這兩人恰好都來自甲班為事務.事務所包含的基本領件有：共21個，事務所包含的基本領件有：共3個，所以.考點：莖葉圖，古典概型概率【方法點睛】古典概型中基本領件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為困難的問題中的基本領件的探求.對于基本領件有“有序”與“無序”區(qū)分的題目，常采納樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本領件的求解問題，通過列表把困難的題目簡潔化、抽象的題目詳細化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.20.已知圓，直線，．（1）證明：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點；（2）求直線被圓截得的弦長最小時的方程．【答案】(1)見解析；(2)2x-y-5=0【解析】【詳解】由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0.則解得∴直線l恒過定點A(3,1)．因為，所以點A在圓的內(nèi)部，所以直線與圓恒交于兩點（2）當直線l被圓C截得的弦長最小時，有l(wèi)⊥AC，由，得l的方程為y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.21.為了解一種植物果實的狀況，隨機抽取一批該植物果實樣本測量重量（單位：克）依據(jù)，，，，，分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中的值；（2）估計這種植物果實重量的平均數(shù)及中位數(shù)；（3）已知這種植物果實重量不低于32.5克的即為優(yōu)質(zhì)果實.若所取樣本容量，從該樣本分布在和的果實中，隨機抽取2個，求都抽到優(yōu)質(zhì)果實的概率.【答案】（1）（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用頻率和為1，求圖中a的值；（2）用該組區(qū)間的中點值作代表，估計這種植物果實重量的平均數(shù)及中位數(shù)；（3）利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】解：（1）由題意：，得