第09講特殊平行四邊形中的折疊問(wèn)題

第9講特殊四邊形中的折疊問(wèn)題專題訓(xùn)練類型一折疊與角度1．如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，P為邊AD的中點(diǎn)，將紙片沿BP，CP折疊，使點(diǎn)A落在E處，點(diǎn)D落在F處，若∠1＝40°，則∠BPC大小為（）A．105° B．110° C．115° D．120°【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠BPE＝∠APB，∠CPF＝∠DPC，再利用平角的定義可求得∠APE+∠DPF＝140°，從而可求得∠BPE+∠CPF的度數(shù)，即可求∠BPC的度數(shù)．【解答】解：由折疊可得：∠BPE＝∠APB＝∠APE，∠CPF＝∠DPC＝∠DPF，∵∠1＝40°，∠APE+∠1+∠DPF＝180°，∴∠APE+∠DPF＝140°，∴∠BPE+∠CPF＝（∠APE+∠DPF）＝70°，∴∠BPC＝∠1+∠BPE+∠CPF＝110°．故選：B．2．如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，E為CD邊上一點(diǎn)，將紙片沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，將紙片沿AE折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，且D'恰好在線段BE上．若∠AEC'＝α，則∠CEB＝（）A． B． C． D．【分析】由折疊的性質(zhì)得∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，再證2∠AED'＝180°﹣∠CEB，然后證3∠CEB＝180°﹣2α，即可得出結(jié)論．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，∴3∠CEB＝180°﹣2α，∴∠CEB＝60°﹣α，故選：A．3．如圖，將矩形紙片沿EF折疊，點(diǎn)C在線段BC上，∠AEC＝32°，則∠BFD等于（）A．28° B．32° C．34° D．36°【分析】根據(jù)矩形紙片沿EF折疊，可得∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，然后根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余可得∠AEC＝∠DCB，再由對(duì)頂角相等，即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵矩形紙片沿EF折疊，∴∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，∴∠AEC+∠ACE＝∠ACE+∠DCB＝90°，∴∠AEC＝∠DCB，∴∠AEC＝∠BFD，∵∠AEC＝32°，∴∠BFD＝32°，故選：B．4．如圖（1）是長(zhǎng)方形紙帶，∠DEF＝20°，將紙帶沿EF折疊圖（2），則∠FGD的度數(shù)是，再沿BF折疊成圖（3），則圖（3）中的∠CFE的度數(shù)是．【分析】根據(jù)圖形的翻折變換依據(jù)平行線性質(zhì)即可求解．【解答】解：根據(jù)折疊可知：∠FGD＝2∠FEG＝40°．∵AD∥BC∴∠EFG＝∠DEF＝20°∴∠CFE＝180°﹣20°﹣40°＝120°故答案為40°、120°．5．如圖，在正方形紙片ABCD上，E是AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．將紙片沿BE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，延長(zhǎng)EA'交CD于點(diǎn)F，則∠EBF＝（）A．40° B．45° C．50° D．不是定值【分析】由折疊可得∠ABE＝∠A'BE，由題意可證Rt△BCF≌Rt△BA'F，可得∠CBF＝∠FBA'，即可求∠EBF的值．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABC＝90°∵折疊∴AB＝A'B，∠ABE＝∠A'BE∴A'B＝BC，且BF＝BF∴Rt△BCF≌Rt△BA'F（HL）∴∠A'BF＝∠CBF∵∠ABE+∠A'BE+∠A'BF+∠CBF＝90°∴∠EBF＝45°故選：B．6．如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊至△ABE處，BE與AC交于點(diǎn)F，若∠EFC＝69°，則∠CAE的大小為（）A．10° B．12° C．14° D．15°【分析】利用正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)很容易求出∠CAE的大?。窘獯稹拷猓骸摺螮FC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折疊的性質(zhì)可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故選：B．7．如圖，在?ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點(diǎn)F．若∠B＝50°，∠DAE＝20°，則∠FED′的大小為度．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠D＝∠B＝50°，由折疊的性質(zhì)得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠AEF＝70°，與三角形內(nèi)角和定理求出∠AED′＝110°，即可得出∠FED′的大小．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠D＝∠B＝50°，由折疊的性質(zhì)得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝110°，∴∠FED′＝110°﹣70°＝40°；故答案為：40．8．如圖，菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)P是AB邊的中點(diǎn)，折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線DP上的C處，折痕為經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的線段DE．則∠DEC的度數(shù)為．【分析】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A＝60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點(diǎn)，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，進(jìn)而求出∠PDC＝90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【解答】解：連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∠C＝∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∵P為AB的中點(diǎn)，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質(zhì)得：∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故答案為：75°．類型二折疊與長(zhǎng)度1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】過(guò)E作EG⊥CF于G，根據(jù)折疊可知△CEF是等腰三角形，可證明△ABE∽△EGC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖所示，過(guò)E作EG⊥CF于G，∵將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴EB＝EF＝EC，∴△CEF是等腰三角形，∴G是CF中點(diǎn)，EG平分∠CEF，且AE平分∠BEF，∴2∠AEF+2∠GEF＝180°，∴∠AEF+∠GEF＝90°，即AE⊥EG，∴∠BAE+∠BEA＝∠BEA+∠GEC＝90°，∴∠BAE＝∠GEC，∵∠B＝∠EGC＝90°，∴△ABE∽△EGC，根據(jù)題意，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，即，∴在Rt△ABE中，，∴，即，∴，∵CF＝2CG，∴．故選：D．2．如圖，矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，AD＝16，AB＝8，則C′E的長(zhǎng)為（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，可以得出三角形BDE是等腰三角形，Rt△AEB≌Rt△C′ED，所以C′E＝AE，在直角三角形DEC′中，利用勾股定理可求出ED的長(zhǎng)，進(jìn)而得到答案．【解答】解：由折疊得，DC＝DC′＝AB＝8，∠CBD＝∠C′BD，∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝∠C′BD，∴ED＝EB，∴Rt△AEB≌Rt△C′ED（HL），∴C′E＝AE，設(shè)BE＝ED＝x，則EC＝16﹣x，在Rt△DEC′中，由勾股定理得，82+（16﹣x）2＝x2，解得，x＝10，∴C′E＝AE＝16﹣10＝6．故選：D．3．如圖，在矩形ABCD中，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，延長(zhǎng)EF交AD邊于點(diǎn)M，若AB＝6，BE＝2，則MF的長(zhǎng)為（）A． B．8 C．6 D．【分析】作MN⊥BC于點(diǎn)N，由折疊得EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°．再用”AAS“證明△AFM≌△MNE得ME＝AM，在直角三角形AMF中使用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如圖，作MN⊥BC于點(diǎn)N，由折疊可得：△ABE≌△AFE．∴EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠AME＝∠CEM，又MN⊥BC，∴MN＝AB＝AF＝6，∠MNE＝∠AFM＝90°，在△AFM和△MNE中，，∴△AFM≌△MNE（AAS）．∴AM＝ME，設(shè)MF＝x，則AM＝ME＝x+2，在直角三角形AMF中，由勾股定理有：AM2＝AF2+MF2，即（x+2）2＝36+x2，解得：x＝8．故MF＝8．故選：B．4．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【分析】如圖，過(guò)D作DF⊥AF于F，根據(jù)折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到OE＝DE，OA＝CD＝1，設(shè)OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的長(zhǎng)度，而利用已知條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF、AF的長(zhǎng)度，也就求出了D的坐標(biāo)．【解答】解：如圖，過(guò)D作DF⊥AF于F，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），∴AO＝1，AB＝3，根據(jù)折疊可知：CD＝OA，而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，∴△CDE≌△AOE（AAS），∴OE＝DE，OA＝CD＝1，設(shè)OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，∴（3﹣x）2＝x2+12，∴x＝，又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，∴AE＝CE＝3﹣＝，∴，即，∴DF＝，AF＝，∴OF＝﹣1＝，∴D的坐標(biāo)為（﹣，）．故選：A．5．如圖，在矩形ABCD中，在AD上取點(diǎn)E，連接BE，在BE上取點(diǎn)F，連接AF．將△ABF沿AF翻折，使得點(diǎn)B剛好落在CD邊的G處，若∠GFB＝90°，AB＝10，AD＝6，F(xiàn)G的長(zhǎng)是（）A．3 B．5 C．2 D．2【分析】連接BG，延長(zhǎng)AF交BG于H，由△ABF沿AF翻折，使得點(diǎn)B剛好落在CD邊的G處，可得AG＝AB＝10，F(xiàn)G＝FB，BH＝GH，∠GFH＝∠BFH，∠FHG＝∠FHB＝90°，可知DG＝＝8，CG＝CD﹣DG＝2，即得BG＝＝2，BH＝GH＝BG＝，根據(jù)∠GFB＝90°，得△GFH是等腰直角三角形，故FG＝GH＝×＝2．【解答】解：連接BG，延長(zhǎng)AF交BG于H，如圖：∵將△ABF沿AF翻折，使得點(diǎn)B剛好落在CD邊的G處，∴AG＝AB＝10，F(xiàn)G＝FB，BH＝GH，∠GFH＝∠BFH，∠FHG＝∠FHB＝90°，∵AD＝6，∠D＝90°，∴DG＝＝＝8，∴CG＝CD﹣DG＝10﹣8＝2，∵∠C＝90°，BC＝AD＝6，∴BG＝＝＝2，∴BH＝GH＝BG＝，∵∠GFB＝90°，∴∠GFH＝∠BFH＝45°，∴△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝GH＝×＝2，故選：C．6．如圖，將?ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D′處，折痕l交CD邊于點(diǎn)E，連接BE．若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，則AE＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠EAB+∠EBA＝90°，再結(jié)合勾股定理得出答案．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA＝180°，∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2+BE2，∴AE＝＝3．故選：B．7．如圖，點(diǎn)F是矩形ABCD邊CD上一點(diǎn)，將矩形沿AF折疊，點(diǎn)D正好落在BC邊上的點(diǎn)E處，若AB＝6，BC＝10，則EF的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．4【分析】由折疊的性質(zhì)得出AE＝AD＝10，EF＝DF，根據(jù)勾股定理求出BE＝8，設(shè)EF＝x，則CF＝6﹣x，得出x2＝22+（6﹣x）2，解方程即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°；由翻折變換的性質(zhì)得：AE＝AD＝10，EF＝DF，∵BE2＝AE2﹣AB2，∴BE＝＝8，∴CE＝2，設(shè)EF＝x，則CF＝6﹣x；在Rt△EFC中，∵EF2＝CE2+CF2∴x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，即EF＝．故選：C．8．如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，若D′落在∠ABC的平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為（）A．3或4 B．或 C．或 D．或【分析】連接BD′，過(guò)D′作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，作D′P⊥BC交BC于點(diǎn)P，先利用勾股定理求出MD′，再分兩種情況利用勾股定理求出DE．【解答】解：如圖，連接BD′，過(guò)D′作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，作D′P⊥BC交BC于點(diǎn)P∵點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上，∴MD′＝PD′，設(shè)MD′＝x，則PD′＝BM＝x，∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，又折疊圖形可得AD＝AD′＝5，∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4．在Rt△END′中，設(shè)ED′＝a，①當(dāng)MD′＝3時(shí)，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，∴a2＝22+（4﹣a）2，解得a＝，即DE＝，②當(dāng)MD′＝4時(shí)，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，∴a2＝12+（3﹣a）2，解得a＝，即DE＝．故選：B．9．如圖，已知在矩形ABCD中，M是AD邊中點(diǎn)，將矩形分別沿MN、MC折疊，A、D兩點(diǎn)剛好落在點(diǎn)E處，已知AN＝3，MN＝5，設(shè)BN＝x，則x的值為（）A． B． C． D．【分析】求出AM＝4，由折疊的性質(zhì)得出AN＝NE＝3，CE＝CD，由勾股定理得出x2+82＝（x+6）2，解方程即可得解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∵AN＝3，MN＝5，∴AM＝＝＝4，∵M(jìn)是AD邊中點(diǎn)，∴AM＝DM＝4，BC＝8，∵將矩形分別沿MN、MC折疊，A、D兩點(diǎn)剛好落在點(diǎn)E處，∴AN＝NE＝3，CE＝CD，∵BN2+BC2＝CN2，∴x2+82＝（x+6）2，解得x＝．故選：B．10．如圖，將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折疊鋪平，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫隙無(wú)重疊的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，則矩形ABCD的面積是（）A．13 B． C．60 D．120【分析】由折疊得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，于是矩形ABCD的面積等于矩形EFGH的2倍，矩形EFGH的面積可以求出，【解答】解：如圖，由折疊得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，∴S矩形ABCD＝2S矩形EFGH＝2×EF?EH＝2×5×12＝120，故選：D．11．（2020?雁江區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝10，E、F分別在邊BC，AD上，BE＝DF．將△ABE，△CDF分別沿著AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG分別平分∠EAD，則GH長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．7【分析】如圖作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．想辦法求出BN，CT即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．由題意：∠BAD＝90°，∠BAE＝∠EAG＝∠GAM，∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，∵AB＝AG＝2，∴AM＝AG?cos30°＝3，同法可得CT＝3，易知四邊形ABNM，四邊形GHTN是矩形，∴BN＝AM＝3，GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣6＝4，故選：B．12．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，沿EF折疊菱形，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)G處，且EG⊥BD于點(diǎn)M，若AB＝a（?。?.4，＝1.7），則BE等于（）A． B． C． D．【分析】連接AC，在Rt△ABO中，求出AO的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)EG⊥BD，AC⊥BD，可得EG∥AC，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，∵∠BAD＝60°，∴∠BAO＝30°，∴AO＝AB＝a，∴AC＝2AO＝a，∵沿EF折疊菱形，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)G處，∴EG＝AE，∵EG⊥BD，AC⊥BD，∴EG∥AC，∴＝，∵EG＝AE，∴＝，解得AE＝a≈a，∴BE＝AB﹣AE＝a．故選：A．13．如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AF長(zhǎng)為（）A．cm B．cm C．cm D．8cm【分析】設(shè)AF＝xcm，則DF＝（8﹣x）cm，利用矩形紙片ABCD中，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，由勾股定理求AF即可．【解答】解：設(shè)AF＝xcm，則DF＝（8﹣x）cm，∵矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，∴DF＝D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，∴x2＝62+（8﹣x）2，解得：x＝．故選：B．14．如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN，則線段CN長(zhǎng)是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設(shè)CN＝x，則DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)CN＝xcm，則DN＝（8﹣x）cm，由折疊的性質(zhì)知EN＝DN＝（8﹣x）cm，而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，整理得16x＝48，所以x＝3．故選：A．15．如圖，正方形ABCD的面積為12，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝2，連接BE將△BAE沿BE折疊，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)G，點(diǎn)M，N分別是BG，BE的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】連接EG，根據(jù)正方形的面積求出邊長(zhǎng)，求出tan∠ABE的值，進(jìn)而得到∠ABE＝30°，利用折疊和正方形的性質(zhì)，推出∠CBG＝30°，利用BC÷cos30°，求出BG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出FG的長(zhǎng)，勾股定理求出EG的長(zhǎng)，利用三角形的中位線定理，即可得解．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為12，∴正方形的邊長(zhǎng)為，在Rt△BAE中，，AE＝2，∴，∴∠ABE＝30°，∵△BAE沿BE折疊，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，∴，∠EFB＝∠A＝90°，∴∠GBC＝90°﹣∠ABE﹣∠EBG＝30°，在Rt△BCG中，，∠GBC＝30°，∴，∴，連接EG，在Rt△EFG中：，∵點(diǎn)M，N分別是BG，BE的中點(diǎn)，∴MN是△BEG的中位線，∴；故選：A．16．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BF，將△ABF沿BF翻折得到△GBF，連接GE．當(dāng)GE的長(zhǎng)最小時(shí)，DF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理可得BE的長(zhǎng)，再由翻折知BG＝BA＝4，得點(diǎn)G在以B為圓心，4為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng)點(diǎn)G、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，GE最小，此時(shí)利用勾股定理列方程即可得到DF的長(zhǎng)．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴∠C＝∠A＝90°，BC＝CD＝4，∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴CE＝DE＝2，∴BE＝＝＝2，∵將△ABF沿BF翻折得到△FBG，∴BG＝BA＝4，∴點(diǎn)G在以B為圓心，4為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，∴如圖所示，當(dāng)點(diǎn)G、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，GE最小，∴GE的最小值＝BE﹣BG＝﹣4．設(shè)DF＝x，則AF＝GF＝4﹣x，∵∠D＝∠FGE＝90°，∴DE2+DF2＝EF2＝FG2+EG2，即22+x2＝（4﹣x）2+（）2，解得x＝，∴DF的長(zhǎng)為，故選：D．類型三折疊與綜合1．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，已知AB＝4，BC＝5，∠BAD＝135°，現(xiàn)將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B'是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)CE的長(zhǎng)為x．若點(diǎn)B'落在△ADE內(nèi)（包括邊界），則x的取值范圍是．【分析】點(diǎn)B′恰好落在AD邊上時(shí)，四邊形ABEB′是邊長(zhǎng)為4的菱形，求出CE＝1；點(diǎn)B′恰好落在DE邊上時(shí)，作AH⊥DE于H．解直角三角形求出AH、HB′、DH，再證明DA＝DE＝5，求出EB′即可解決問(wèn)題．【解答】解：點(diǎn)B′恰好落在AD邊上時(shí)，四邊形ABEB′是邊長(zhǎng)為4的菱形，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．點(diǎn)B′恰好落在DE邊上時(shí)，作AH⊥DE于H．如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝135°，AD＝BC＝5，AD∥BC，∴∠B＝45°，由折疊的性質(zhì)得：∠AB'H＝∠B＝45°，AB'＝AB＝4，∠AEB＝∠AED，在Rt△AHB′中，∵∠AB′H＝45°，AB′＝4，∴HB′＝AH＝AB'＝2，在Rt△ADH中，DH＝＝＝，∴B'D＝DH﹣HB'＝﹣2，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝∠AED，∴DA＝DE＝5，∴EB′＝BE＝DE﹣B'D＝5﹣（﹣2）＝5﹣+2，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣（5﹣+2）＝﹣2，∴若點(diǎn)B′落在△ADE內(nèi)（包括邊界），則x的取值范圍是1≤x≤﹣2，故答案為：1≤x≤﹣2．2．如圖，把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線折疊，設(shè)重疊部分為△EBD，那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．EB＝ED B．折疊后∠ABE和∠CBD一定相等 C．AE＝EC D．△EBA和△EDC一定是全等三角形【分析】由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠ADB＝∠CBD，可得BE＝DE，可證AE＝CE，由“SAS”可證△ABE≌△CDE，即可求解．【解答】解：如圖，∵把矩形紙片ABC'D沿對(duì)角線折疊，∴∠CBD＝∠DBC'，CD＝C'D＝AB，BC＝BC'，∵AD∥BC'，∴∠ADB＝∠DBC'，∴∠ADB＝∠CBD，∴BE＝DE，∴AE＝CE，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE（SAS），∴選項(xiàng)A、C、D都不符合題意，故選：B．3．如圖，正方形ABCD中，AB＝12，點(diǎn)E在邊CD上，且BG＝CG，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】依據(jù)HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG；依據(jù)∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，即可得到∠EAG＝∠BAD；依據(jù)勾股定理列方程，即可得到DE＝4，CE＝8，進(jìn)而得出CE＝2DE；依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠AGB＝∠GCF，即可得到AG∥CF；根據(jù)GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，即可得到S△GFC＝×S△GCE＝．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正確；∴∠BAG＝∠FAG，由折疊可得，∠DAE＝∠FAE，∴∠EAG＝∠BAD＝45°，故②正確；由題意得：EF＝DE，BG＝CG＝6＝GF，設(shè)DE＝EF＝x，則CE＝12﹣x．在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得CE2+CG2＝GE2，即（12﹣x）2+62＝（x+6）2，解得：x＝4，∴DE＝4，CE＝8，∴CE＝2DE，故③正確；∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB＝∠AGF，∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠GCF，∴AG∥CF，故④正確；∵S△GCE＝GC?CE＝×6×8＝24，∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE＝3：2，∴S△GFC＝×24＝，故⑤正確．故選：D．4．如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；③EC平分∠DCH；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF＝2以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有．（填序號(hào)）【分析】①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF＝FH，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；②點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF＝CD，求出BF＝4，然后寫(xiě)出BF的取值范圍，判斷出②正確；③根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°時(shí)EC平分∠DCH，判斷出③錯(cuò)誤；④過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．【解答】解：①∵FH與EG，EH與CF都是原來(lái)矩形ABCD的對(duì)邊AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四邊形CFHE是平行四邊形，由翻折的性質(zhì)得，CF＝FH，∴四邊形CFHE是菱形，故①正確；②點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF＝x，則AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，故②正確；③∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°時(shí)EC平分∠DCH，故③錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，則ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF＝＝2，故④正確．綜上所述，結(jié)論正確的有①②④．故答案為：①②④．5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝12，翻折AD到GN分別交CD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，BN＝5，連接AN．（1）求△AEN的面積；（2）試判斷EF與AN的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得NE＝AE，設(shè)NE＝AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt△EBN中，由勾股定理得出方程，得出AE＝，由三角形面積公式即可得出答案；（2）作FH⊥AB于H，則FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折疊的性質(zhì)得出EF⊥AN，證明△EFH≌△NAB（ASA），得出EF＝AN即可．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，由折疊的性質(zhì)得：NE＝AE，設(shè)NE＝AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt△EBN中，由勾股定理得：52+（12﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AE＝，∴△AEN的面積＝AE×BN＝××5＝；（2）EF⊥AN，EF＝AN，理由如下：作FH⊥AB于H，如圖所示：則FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折疊的性質(zhì)得：EF⊥AN，∴∠NAB+∠FEH＝90°，∴∠EFH＝∠NAB，在△EFH和△NAB中，，∴△EFH≌△NAB（ASA），∴EF＝AN．6．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝16，AB＝CD＝34．點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ADE與△AD′E關(guān)于直線AE對(duì)稱，當(dāng)△AD′B為直角三角形時(shí)，求DE的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)題意可知，分兩種情況，然后畫(huà)出相應(yīng)的圖形，再根據(jù)題目中的條件，計(jì)算出DE的長(zhǎng)即可．【解答】解：∵△ADE與△AD′E關(guān)于直線AE對(duì)稱，∴△AD′E≌△ADE，∴∠D＝∠AD′E＝90°．∵∠AD′B＝90°，∴B、D′、E三點(diǎn)共線．又∵△ABD′∽△BEC，∴∠BAD′＝∠EBC，∠D′＝∠BCE，∵AD′＝BC，∴ABD′≌△BEC（ASA），∴AB＝BE＝34．∵BD′＝＝＝30，∴DE＝D′E＝34﹣30＝4；如圖．∵∠CBE+∠ABD″＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠BAD″＝∠CBE．在△ABD″和△BEC中，，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE＝AB＝34，∴DE＝D″E＝34+30＝64．綜上所述：DE＝4或64．綜上可得DE的長(zhǎng)為4或64．7．將一個(gè)矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上．沿著OE折疊該紙片，使得點(diǎn)A落在OC邊上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，如圖①．再沿OF折疊，這時(shí)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)C重合，如圖②．（Ⅰ）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（Ⅱ）將該矩形紙片展開(kāi)，再折疊該矩形紙片，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折痕與AB相交于點(diǎn)P，展開(kāi)矩形紙片，如圖③．①求∠OPF的大小；②點(diǎn)M，N分別為OF，OE上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PM+MN取得最小值時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．【分析】（Ⅰ）先由折疊的性質(zhì)得OA'＝OA＝2，OC＝OE，再證四邊形OA'EA是正方形，得OA'＝A'E＝2，然后由勾股定理得OE＝2，即可求解；（Ⅱ）①連接EF，由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，再證△EBF是等腰直角三角形，得BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，設(shè)AP＝x，則PB＝2﹣x，然后由勾股定理得出方程，解得：x＝2﹣2，最后證Rt△POA≌Rt△FPB（HL），得∠POA＝∠FPB，進(jìn)而得出結(jié)論；②作點(diǎn)N關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn)N′，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥x軸于G，連接MN′，則△OGN為等腰直角三角形，當(dāng)P、M、N′三點(diǎn)共線時(shí)，PM+MN有最小值，此時(shí)∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，再求出OG＝NG＝ON＝2﹣，即可解決問(wèn)題．【解答】解：（Ⅰ）∵點(diǎn)A（0，2），∴OA＝2，由折疊的性質(zhì)得：OA'＝OA＝2，OC＝OE，∵四邊形OABC是矩形，∴四邊形OA'EA是正方形，∴OA'＝A'E＝2，在Rt△OA'E中，由勾股定理得：OE＝＝＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（2，0）；（Ⅱ）①連接EF，如圖③所示：由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，由折疊的性質(zhì)得：∠OEF＝∠OCF＝90°，∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，設(shè)AP＝x，則PB＝2﹣x，由折疊的性質(zhì)得：PO＝PF，即PO2＝PF2，在Rt△OAP中，由勾股定理得：PO2＝OA2+AP2，在Rt△PBF中，由勾股定理得：PF2＝PB2+BF2，∴22+x2＝（2﹣x）2+（2﹣2）2，解得：x＝2﹣2，∴AP＝BF，在Rt△POA和Rt△FPB中，，∴Rt△POA≌Rt△FPB（HL），∴∠POA＝∠FPB，∵∠POA+∠APO＝90°，∴∠FPB+∠APO＝90°，∴∠OPF＝180°﹣（∠FPB+∠APO）＝90°；②由①知，AP＝2﹣2，∠EOC＝45°，作點(diǎn)N關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn)N′，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥x軸于G，連接MN′，如圖④所示：則△OGN為等腰直角三角形，當(dāng)P、M、N′三點(diǎn)共線時(shí)，PM+MN有最小值，此時(shí)∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，∴四邊形APN′O為矩形，∴ON＝ON′＝AP＝2﹣2，∴OG＝NG＝ON＝×（2﹣2）＝2﹣，∴N（2﹣，2﹣）．8．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜6），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．（1）試用含t的式子表示AE、AD的長(zhǎng)；（2）如圖①，在D、E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）連接DE，當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？（4）如圖②，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AEA′D為菱形？并判斷此時(shí)點(diǎn)A是否在BC上？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題意直接表示出來(lái)即可；（2）由“在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”求得DF＝t，又AE＝t，則DF＝AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四邊形AEFD的對(duì)邊平行且相等”，由此得四邊形AEFD是平行四邊形；（3）①顯然∠DFE＜90°；②如圖（1），當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，此時(shí)AE＝AD，根據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程來(lái)求t的值；③如圖（2），當(dāng)∠DEF