專題12三角形全等-5年(2018~2022)中考1年模擬數學分項匯編(北京專用)(原卷版+解析)

專題12三角形全等一、填空題1．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．2．（2020·北京·中考真題）在ABC中，AB=AC，點D在BC上（不與點B，C重合）．只需添加一個條件即可證明ABD≌ACD，這個條件可以是________（寫出一個即可）二、解答題3．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內一點，連接，，延長到點，使得(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2，若，用等式表示線段與的數量關系，并證明．4．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．(1)如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應點”．①在圖中畫出點；②連接交線段于點求證：(2)的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應點”，連接當點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）5．（2022·北京·中考真題）如圖，是的直徑，是的一條弦，連接(1)求證：(2)連接,過點作交的延長線于點，延長交于點，若為的中點，求證：直線為的切線．6．（2021·北京·中考真題）《淮南子?天文訓》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點，使兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點處立一根桿；日落時，在地面上沿著點處的桿的影子的方向取一點，使兩點間的距離為10步，在點處立一根桿．取的中點，那么直線表示的方向為東西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作的中點（保留作圖痕跡）；（2）在如圖中，確定了直線表示的方向為東西方向．根據南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線表示的方向為南北方向，完成如下證明．證明：在中，______________，是的中點，（______________）（填推理的依據）．∵直線表示的方向為東西方向，∴直線表示的方向為南北方向．7．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，設，求EF的長（用含的式子表示）；（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數量關系，并證明．8．（2018·北京·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明．一、填空題1．（2022·北京市三帆中學模擬預測）如圖，平分，點B在射線上，若使，則還需添加的一個條件是_______（只填一個即可）．2．（2022·北京市第一六一中學分校一模）如圖，，只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是________（寫出一個即可）3．（2022·北京海淀·一模）如圖，在的正方形網格中，A，B，C，D，E是網格線交點．請畫出一個，使得與全等______．4．（2022·北京市第五中學分校模擬預測）如圖，已知BE＝DC，請?zhí)砑右粋€條件，使得△ABE≌△ACD：_____．5．（2022·北京豐臺·一模）如圖，點B，E，C，F在一條直線上，BC＝EF，∠B＝∠DEF．只需添加一個條件即可證明△ABC≌△DEF，這個條件可以是_____（寫出一個即可）．6．（2022·北京昌平·模擬預測）如圖，△ABC中，AB=10，AC=7，AD是角平分線，CM⊥AD于M，且N是BC的中點，則MN=_______．7．（2022·北京順義·一模）.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點D，E，再分別以點D、E為圓心，大于DE為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF交邊BC于點G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是________.8．（2022·北京市廣渠門中學模擬預測）如圖，正方形是由四個全等的直角三角形圍成的，若，，則的長為___．9．（2022·北京十一學校一分校一模）如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D均落在格點上，則∠BAD+∠ADC=_____．10．（2022·北京房山·二模）如圖，點在直線外，點、、、均在直線上，如果，只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是________（寫出一個即可）．二、解答題11．（2022·北京昌平·模擬預測）如圖，點F，C分別在線段AB，BD上，且BF＝BD，AF＝CD，連接AC，DF，并相交于點E．求證：AE＝CE．12．（2022·北京昌平·模擬預測）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF．(1)若E是線段AC的中點，如圖1，易證：BE=EF(不需證明)；(2)若E是線段AC或AC延長線上的任意一點，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE、EF有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明．13．（2022·北京·模擬預測）如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求證：∠C＝∠E．14．（2022·北京房山·一模）已知：等邊△ABC，過點B作AC的平行線l．點P為射線AB上一個動點（不與點A，B重合），將射線PC繞點P順時針旋轉60°交直線l于點D．(1)如圖1，點P在線段AB上時，依題意補全圖形；①求證：∠BDP=∠PCB；②用等式表示線段BC，BD，BP之間的數里關系，并證明；(2)點P在線段AB的延長線上，直接寫出線段BC，BD，BP之間的數量關系．15．（2022·北京通州·一模）如圖，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點D是BC延長線上一點，連接AD．將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AE．過點E作，交AB于點F．(1)①直接寫出∠AFE的度數是______；②求證：∠DAC＝∠E；(2)用等式表示線段AF與DC的數量關系，并證明．16．（2022·北京豐臺·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D在邊BC上（不與點B，C重合），連接AD，以點A為中心，將線段AD逆時針旋轉180°﹣α得到線段AE，連接BE．(1)∠BAC+∠DAE＝°；(2)取CD中點F，連接AF，用等式表示線段AF與BE的數量關系，并證明．17．（2022·北京石景山·一模）如圖，△ACB中，，，D為邊BC上一點（不與點C重合），，點E在AD的延長線上，且，連接BE，過點B作BE的垂線，交邊AC于點F．(1)依題意補全圖形；(2)求證：；(3)用等式表示線段AF與CD的數量關系，并證明．18．（2022·北京平谷·二模）如圖，在△ABC中，，點D為BC邊中點，過點D作DE⊥BC交AC于E，連接BE并延長使，連接FC，G為BC上一點，過G作GH⊥BF于點H，作GM⊥AC于點M．(1)依題意補全圖形；(2)求證：；(3)判斷線段HG、GM、FC之間的數量關系，并證明．19．（2022·北京市廣渠門中學模擬預測）如圖，等腰中，，點P為射線BC上一動點（不與點B、C重合），以點P為中心，將線段PC逆時針旋轉角，得到線段PQ，連接、M為線段BQ的中點．(1)若點P在線段BC上，且M恰好也為AP的中點，①依題意在圖1中補全圖形：②求出此時的值和的值；(2)寫出一個的值，使得對于任意線段BC延長線上的點P，總有的值為定值，并證明；20．（2022·北京·二模）如圖，在等邊中，點是邊的中點，點是直線上一動點，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接，．(1)如圖1，當點與點重合時．①依題意補全圖形；②判斷與的位置關系；(2)如圖2，取的中點，寫出直線與夾角的度數以及與的數量關系，并證明．21．（2022·北京市第一六一中學分校一模）已知點P為線段AB上一點，將線段AP繞點A逆時針旋轉60°，得到線段AC；再將線段BP繞點B逆時針旋轉120°，得到線段BD；連接AD，取AD中點M，連接BM，CM．(1)如圖1，當點P在線段CM上時，求證：PM//BD；(2)如圖2，當點P不在線段CM上，寫出線段BM與CM的數量關系與位置關系，并證明．22．（2022·北京四中模擬預測）已知，點是射線上一動點，以為邊作，，，將射線繞點順時針旋轉，得到射線，點在射線上，．(1)如圖1，若，求的長（用含的式子表示）；(2)如圖2，點在線段上，連接、．添加一個條件：、、滿足的等量關系為______，使得成立，補全圖形并證明．專題12三角形全等一、填空題1．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．【答案】1【解析】解：如圖，作于點F，∵平分，，，∴，∴．故答案為：1．2．（2020·北京·中考真題）在ABC中，AB=AC，點D在BC上（不與點B，C重合）．只需添加一個條件即可證明ABD≌ACD，這個條件可以是________（寫出一個即可）【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD）【解析】解：要使則可以添加：∠BAD=∠CAD，此時利用邊角邊判定：或可以添加：此時利用邊邊邊判定：故答案為：∠BAD=∠CAD或（）二、解答題3．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內一點，連接，，延長到點，使得(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2，若，用等式表示線段與的數量關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)；證明見解析【解析】(1)證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．(2)解：補全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．4．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．(1)如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應點”．①在圖中畫出點；②連接交線段于點求證：(2)的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應點”，連接當點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)解：①點Q如下圖所示．∵點，∴點向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點，∴，∵點關于點的對稱點為，，∴點的橫坐標為：，縱坐標為：，∴點，在坐標系內找出該點即可；②證明：如圖延長ON至點，連接AQ，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴；

(2)解：如圖所示，連接PO并延長至S，使，延長SQ至T，使，∵，點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，∴，∵點關于點的對稱點為，∴，又∵，∴OM∥ST，∴NM為的中位線，∴，，∵，∴，∴，

在中，，結合題意，，，∴，即長的最大值與最小值的差為．5．（2022·北京·中考真題）如圖，是的直徑，是的一條弦，連接(1)求證：(2)連接,過點作交的延長線于點，延長交于點，若為的中點，求證：直線為的切線．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】(1)證明：設交于點，連接，由題可知，，，，，，，，，；(2)證明：連接，，，同理可得：,，∵點H是CD的中點，點F是AC的中點，，，，，為的直徑，

，，，，，，直線為的切線．6．（2021·北京·中考真題）《淮南子?天文訓》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點，使兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點處立一根桿；日落時，在地面上沿著點處的桿的影子的方向取一點，使兩點間的距離為10步，在點處立一根桿．取的中點，那么直線表示的方向為東西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作的中點（保留作圖痕跡）；（2）在如圖中，確定了直線表示的方向為東西方向．根據南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線表示的方向為南北方向，完成如下證明．證明：在中，______________，是的中點，（______________）（填推理的依據）．∵直線表示的方向為東西方向，∴直線表示的方向為南北方向．【答案】（1）圖見詳解；（2），等腰三角形的三線合一【解析】解：（1）如圖所示：（2）證明：在中，，是的中點，（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據）．∵直線表示的方向為東西方向，∴直線表示的方向為南北方向；故答案為，等腰三角形的三線合一．7．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，設，求EF的長（用含的式子表示）；（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數量關系，并證明．【答案】（1）；（2）圖見解析，，證明見解析．【解析】（1）∵D是AB的中點，E是線段AC的中點∴DE為的中位線，且∴，∵∴∵∴∴四邊形DECF為矩形∴∴則在中，；（2）過點B作AC的平行線交ED的延長線于點G，連接FG∵∴，∵D是AB的中點∴在和中，∴∴，又∵∴DF是線段EG的垂直平分線∴∵，∴在中，由勾股定理得：∴．8．（2018·北京·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）BH=AE，理由見解析【解析】（1）證明：連接．∵，關于對稱．∴．．在和中，∴，∴．∵四邊形是正方形，∴．，∴，∴，∴，∵，，∴．在和中．∴≌，∴．（2）．證明：在上取點使得，連接．∵四這形是正方形．∴，．∵≌，∴．同理：，∴∵，∴，∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴．在和中，∴≌，∴，在中，，．∴，∴．一、填空題1．（2022·北京市三帆中學模擬預測）如圖，平分，點B在射線上，若使，則還需添加的一個條件是_______（只填一個即可）．【答案】AC=AD或或．【解析】解：因為AE平分∠CAD，所以∠CAB=∠DAB，又∵AB=AB，已具備一邊一角，從邊上考慮，只能添加AC=AD，在△ABC和△ABD中，，，從角上考慮，可添加或，添加在△ABC和△ABD中，，，添加，在△ABC和△ABD中，，，故答案為：AC=AD或或．2．（2022·北京市第一六一中學分校一模）如圖，，只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是________（寫出一個即可）【答案】AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一個即可）．【解析】解：添加AD=BC，可用SAS判斷；添加∠D=∠C，可用AAS判斷；添加∠DBA=∠CAB，可用ASA判斷；故答案為：AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一個即可）．3．（2022·北京海淀·一模）如圖，在的正方形網格中，A，B，C，D，E是網格線交點．請畫出一個，使得與全等______．【答案】見解析（只要畫出一種即可）【解析】解：∵DE=AB，∴分兩種情況：或，找出點F的位置，連接DF、EF，BC=EF或FD=CB，∴△ABC≌△DEF（SAS）或△ABC≌△EDF（SAS），即為要求作的，如圖所示：故答案為：見解析（只要畫出其中一種即可）4．（2022·北京市第五中學分校模擬預測）如圖，已知BE＝DC，請?zhí)砑右粋€條件，使得△ABE≌△ACD：_____．【答案】∠B＝∠C【解析】解：∵BE＝DC，∠A＝∠A，∴根據AAS，可以添加∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACD，故答案為：∠B＝∠C．5．（2022·北京豐臺·一模）如圖，點B，E，C，F在一條直線上，BC＝EF，∠B＝∠DEF．只需添加一個條件即可證明△ABC≌△DEF，這個條件可以是_____（寫出一個即可）．【答案】AB=DE（答案不唯一）【解析】解：添加條件為AB=DE，在△ABC與△DEF中，△ABC≌△DEF（SAS），故答案為AB=DE（答案不唯一）．6．（2022·北京昌平·模擬預測）如圖，△ABC中，AB=10，AC=7，AD是角平分線，CM⊥AD于M，且N是BC的中點，則MN=_______．【答案】1.5【解析】解：延長CM交AB于E，∵AM⊥CM，AD是∠BAC的角平分線，∴∠AME=∠AMC=90°，∠EAM=∠CAM，∵在△EAM和△CAM中∴△EAM≌△CAM（ASA），∴CM=ME，AE=AC=7，∵N是BC的中點，∴MN=BE=（AB-AE）=×（10-7）=1.5．故答案為：1.5．7．（2022·北京順義·一模）.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點D，E，再分別以點D、E為圓心，大于DE為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF交邊BC于點G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是________.【答案】2【解析】作GH⊥AC于H根據題意可得AG是∠BAC的角平分線∴BG=GH=1∴故答案為2.8．（2022·北京市廣渠門中學模擬預測）如圖，正方形是由四個全等的直角三角形圍成的，若，，則的長為___．【答案】【解析】解：∵正方形ABCD是由四個全等的三角形圍成的，∴AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE∴EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE＋∠BAE＝90°，∴四邊形EGFH是菱形，且∠AEB＝90°∴四邊形EGFH是正方形∴EF＝EG＝故答案為：9．（2022·北京十一學校一分校一模）如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D均落在格點上，則∠BAD+∠ADC=_____．【答案】【解析】解：如圖，設AB與CD相交于點F，在△DCE和△ABD中，∵，∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE=∠DAB，∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，∴∠AFD=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°，故答案為：90度．10．（2022·北京房山·二模）如圖，點在直線外，點、、、均在直線上，如果，只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是________（寫出一個即可）．【答案】∠A＝∠B【解析】解：條件是∠A＝∠B理由是：∵∠A＝∠B∴PA＝PB在和中，∴（SAS）故答案為：∠A＝∠B二、解答題11．（2022·北京昌平·模擬預測）如圖，點F，C分別在線段AB，BD上，且BF＝BD，AF＝CD，連接AC，DF，并相交于點E．求證：AE＝CE．【答案】見解析【解析】過點C作CH∥AB交FD于點H，∴∠CHD＝∠BFD，∠ECH＝∠A，∵BF＝BD，∴∠BFD＝∠D，∵∠CHD＝∠BFD，∴∠CHD＝∠D，∴CH＝CD，∵AF＝CD，∴CH＝AF，在△AFE與△CHE中，，∴△AFE≌△CHE（AAS），∴AE＝CE．12．（2022·北京昌平·模擬預測）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF．(1)若E是線段AC的中點，如圖1，易證：BE=EF(不需證明)；(2)若E是線段AC或AC延長線上的任意一點，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE、EF有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明．【答案】(1)證明見解析(2)BE=EF，證明見解析．【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵E是線段AC的中點，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；(2)解：圖2：BE=EF．圖3：BE=EF．圖2證明如下：過點E作EG∥BC，交AB于點G，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等邊三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；圖3證明如下：過點E作EG∥BC交AB延長線于點G，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等邊三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．13．（2022·北京·模擬預測）如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求證：∠C＝∠E．【答案】見解析【解析】∵∠BAE∠DAC，∴∠BAE＋∠EAC∠DAC＋∠EAC，即：∠BAC∠DAE．

在△BAC和△DAE中，∴△BAC≌△DAE．

∴∠C∠E．14．（2022·北京房山·一模）已知：等邊△ABC，過點B作AC的平行線l．點P為射線AB上一個動點（不與點A，B重合），將射線PC繞點P順時針旋轉60°交直線l于點D．(1)如圖1，點P在線段AB上時，依題意補全圖形；①求證：∠BDP=∠PCB；②用等式表示線段BC，BD，BP之間的數里關系，并證明；(2)點P在線段AB的延長線上，直接寫出線段BC，BD，BP之間的數量關系．【答案】(1)①見解析；②BC=BD+BP，證明見解析(2)BC=BD?BP【解析】(1)①補全圖形如圖所示，證明：設PD交BC于點E，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵將射線PC繞點P順時針旋轉60°，∴∠DPC=60°，∵l//AC，∴∠DBE=∠ACB=60°，∴∠DBE=∠CPE=60°，∵∠BED=∠PEC，∴∠BDP=∠PCB；解：②BC=BD+BP，理由如下：在BC上取一點Q使得BQ=BP，連接PQ，∵∠ABC=60°，∴△PBQ是等邊三角形，∴PB=PQ，∠BPQ=60°，∴∠BPD=∠CPQ，又∵∠BDP=∠PCB，∴△PBD≌△PQC，∴BD=QC，∵BC=BQ+QC，∴BC=BD+BP；(2)解：BC=BD?BP，理由如下：在BD上取一點E使得BE=BP，連接PE，∵∠ABC=∠ACB=60°，l//AC，∴∠DBC=∠ACB=60°，∴∠PBD=180°-∠DBC-∠ACB=60°，∴△PBE是等邊三角形，∴PB=PE，∠BEP=∠BPE=60°，∴∠CBP=∠DEP=180°-60°=120°，∠BPC+∠CPE=∠EPD+∠CPE=60°，∴∠CBP=∠DEP，∠BPC=∠EPD，∴△CBP≌△DEP，∴BC=DE，∵BD=BE+ED，∴BC=BD-BP．15．（2022·北京通州·一模）如圖，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點D是BC延長線上一點，連接AD．將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AE．過點E作，交AB于點F．(1)①直接寫出∠AFE的度數是______；②求證：∠DAC＝∠E；(2)用等式表示線段AF與DC的數量關系，并證明．【答案】(1)①；②見解析(2)；證明見解析【解析】(1)解：①∵AC=BC，∠ACB=90°，，，，；②延長EF交EF于點G，如圖所示：，，，∵將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，，；(2)；理由如下：∵將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，，∵在和中，，，，，，．16．（2022·北京豐臺·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D在邊BC上（不與點B，C重合），連接AD，以點A為中心，將線段AD逆時針旋轉180°﹣α得到線段AE，連接BE．(1)∠BAC+∠DAE＝°；(2)取CD中點F，連接AF，用等式表示線段AF與BE的數量關系，并證明．【答案】(1)180(2)，證明見解析；【解析】(1)解：由旋轉可知∠DAE=180°-a，∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°故答案為：180(2)解：如圖所示：連接并延長AF，使FG=AF，連接DG，CG；∵DF=CF，AF=GF；∴四變形ADGC為平行四邊形；∴∠DAC+∠ACG=180°，即∠ACG=180°-∠DAC，∠BAE=∠BAC+∠DAE-∠DAC=180°-∠DAC，所以∠ACG=∠BAE，∵四變形ADGC為平行四邊形；∴AD=CG，又∵AD=AE，AE=CG，在△ABE和△CAG中，∴△ABE≌△CAG，∴BE=AG，∴AF=AG=BE，故線段AF與BE的數量關系：AF=；17．（2022·北京石景山·一模）如圖，△ACB中，，，D為邊BC上一點（不與點C重合），，點E在AD的延長線上，且，連接BE，過點B作BE的垂線，交邊AC于點F．(1)依題意補全圖形；(2)求證：；(3)用等式表示線段AF與CD的數量關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，證明見解析【解析】(1)依題意補全圖形如下：(2)過E作EM⊥BC于M在和中∴(AAS)∴∵∴∵BE⊥BF∴在和中∴(ASA)，∴(3)，證明如下：

由（2）得，∴，∴，∴．18．（2022·北京平谷·二模）如圖，在△ABC中，，點D為BC邊中點，過點D作DE⊥BC交AC于E，連接BE并延長使，連接FC，G為BC上一點，過G作GH⊥BF于點H，作GM⊥AC于點M．(1)依題意補全圖形；(2)求證：；(3)判斷線段HG、GM、FC之間的數量關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，證明見解析【解析】(1)補全圖形，如圖，(2)∵點P為BC的中點∴BD=CD∵DE⊥BC∴DE是線段BC的垂直平分線∴BE=CE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）在△ABE和△FCE中∴△ABE≌△FCE()∴∠ABE=∠FCE(3)FC=GM+HG,理由如下：如圖，過點G作GN⊥AB于點N，交BF于點P∵GM⊥AC,GN⊥AB，∴∠GMA=∠GNA=∠GNB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠GMA=∠BAC=∠GNA=90°，∴四邊形ANGM是矩形，∴GMAN,GM=AN，∴∠NGB=∠ACB，∵由（2）可得，BE=CE，∴∠EBC=∠ACB，∴∠NGB=∠EBC，∴BP=GP，GH⊥BF，∴∠PHG=90°=∠GNB，在△NBP和△HGP中∴△NBP≌△HGP()，∴NB=HG，∵GM=AN，∴AB=AN＋NB=GM＋HG，由（2）可得，△ABE≌△FCE，∴AB=FC，∴FC=GM＋HG．19．（2022·北京市廣渠門中學模擬預測）如圖，等腰中，，點P為射線BC上一動點（不與點B、C重合），以點P為中心，將線段PC逆時針旋轉角，得到線段PQ，連接、M為線段BQ的中點．(1)若點P在線段BC上，且M恰好也為AP的中點，①依題意在圖1中補全圖形：②求出此時的值和的值；(2)寫出一個的值，使得對于任意線段BC延長線上的點P，總有的值為定值，并證明；【答案】(1)①見解析；②(2)，理由見解析【解析】(1)①如圖所示，即為所求，②連接AQ，如圖所示，∵M為AP、BQ的中點，∴AM=PM，BM=QM，∴四邊形ABPQ是平行四邊形，∴AB