專題07全等三角形旋轉(zhuǎn)、一線三等角模型(重點突圍)(原卷版+解析)

專題07全等三角形旋轉(zhuǎn)、一線三等角模型【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一全等三角形旋轉(zhuǎn)模型】 1【考向二全等三角形一線三等角模型】 26【直擊中考】【考向一全等三角形旋轉(zhuǎn)模型】例題：（2022·山東菏澤·菏澤一中?？寄M預(yù)測）如圖①，在中，，，點D，E分別在邊，上，且．則．現(xiàn)將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．如圖②，連接，．(1)如圖②，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．(2)將旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時，請判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．(3)在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，______．（直接寫出答案即可）【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至點，若，，則線段的長度為（

）A．2 B． C． D．2．（2022·四川南充·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，直角的頂點是的中點，將繞頂點旋轉(zhuǎn)，兩邊，分別交，于點，．下列四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋轉(zhuǎn)過程中，上述四個結(jié)論始終正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④3．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，DE平分交BC于點E，點F是CD邊上一點（不與點D重合）．點P為DE上一動點，，將繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊交射線DA于H，G兩點，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中一定正確的是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④二、填空題4．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰三角形，，點B到x軸的距離為4，若將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，則點的坐標(biāo)為__________．5．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置，的直角頂點在邊的中點處，其中，，繞點自由旋轉(zhuǎn)，且，分別交，于點，，當(dāng)，時，的長為______．6．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點P為邊AD上的一個動點，線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP'，CP'．當(dāng)點P'落在邊BC上時，∠PP'C的度數(shù)為________；當(dāng)線段CP'的長度最小時，∠PP'C的度數(shù)為________三、解答題7．（2022·山東日照·?？级＃┰谥?，，，點為線段延長線上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接，．(1)如圖1，當(dāng)時，①求證：；②求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)時，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．(3)當(dāng)時，若，，請直接寫出點到的距離為8．（2022·河北保定·校考一模）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝10cm，D為AB邊上一點，tan∠ACD＝，點P由C點出發(fā)，以2cm/s的速度向終點B運動，連接PD，將PD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DQ，連接PQ．(1)填空：BC＝，BD＝；(2)點P運動幾秒，DQ最短；(3)如圖2，當(dāng)Q點運動到直線AB下方時，連接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在點P運動過程中，若∠BPQ＝15°，請直接寫出BP的長．9．（2022秋·九年級單元測試）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直線BG與DE交于點H．(1)如圖1，當(dāng)點G在CD上時，請直接寫出線段BG與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點E在直線CD右側(cè)時，求證：；②當(dāng)∠DEC＝45°時，若AB＝3，CE＝1，請直接寫出線段DH的長．10．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在與中，，，點D在上．(1)如圖1，若點F在的延長線上，連接，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若點D與點A重合，且，，將繞點D旋轉(zhuǎn)，連接，點G為的中點，連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中，求的最小值；(3)如圖3，若點D為的中點，連接、交于點M，交于點N，且，請直接寫出的值．11．（2022·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測）綜合實踐問題情境在圖所示的直角三角形紙片中，是斜邊的中點．?dāng)?shù)學(xué)老師讓同學(xué)們將繞中點做圖形的旋轉(zhuǎn)實驗，探究旋轉(zhuǎn)過程中線段之間的關(guān)系．解決問題（1）“實踐小組”的同學(xué)們將以點為中心按逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點的對應(yīng)點與重合時，與它的對應(yīng)邊交于點．他們發(fā)現(xiàn)：．請你幫助他們寫出證明過程．?dāng)?shù)學(xué)思考（2）在圖的基礎(chǔ)上，“實踐小組”的同學(xué)們繼續(xù)將以點為中心進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)?shù)膶?yīng)邊時，設(shè)與交于點，與交于點．他們認(rèn)為．他們的認(rèn)識是否正確？請說明理由．再探發(fā)現(xiàn)（3）解決完上面兩個問題后，“實踐小組”的同學(xué)們在圖中連接，他們認(rèn)為，與也具有一定的數(shù)量關(guān)系．請你寫出這個數(shù)量關(guān)系______．（不要求證明）【考向二全等三角形一線三等角模型】例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應(yīng)用：(1)如圖2，中，，直線經(jīng)過點C，過A作于點D，過B作于點E．求證：．(2)如圖3，在中，D是上一點，，求點C到邊的距離．(3)如圖4，在中，E為邊上的一點，F(xiàn)為邊上的一點．若，求的值．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．二、解答題2．（2022秋·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線變換到的外部（如圖2），請你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點在同一條直線上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．3．（2022秋·云南昭通·八年級?？计谀┰谥?，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①；②．(2)當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．4．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知，在中，，三點都在直線m上，且．(1)如圖①，若，則與的數(shù)量關(guān)系為___________，與的數(shù)量關(guān)系為___________；(2)如圖②，判斷并說明線段，與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，若只保持，點A在線段上以的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段上以的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為．是否存在x，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．5．（2022秋·八年級課時練習(xí)）【問題解決】（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三點都在直線l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如圖①，當(dāng)∠BAC=90°時，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系為：______________；【類比探究】（2）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)0°<∠BAC<180°時，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明：若變化，寫出它們的關(guān)系式；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，AC=BC，∠ACB=90°，點C的坐標(biāo)為（-2，0），點B的坐標(biāo)為（1，2），請求出點A的坐標(biāo)．專題07全等三角形旋轉(zhuǎn)、一線三等角模型【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一全等三角形旋轉(zhuǎn)模型】 1【考向二全等三角形一線三等角模型】 26【直擊中考】【考向一全等三角形旋轉(zhuǎn)模型】例題：（2022·山東菏澤·菏澤一中?？寄M預(yù)測）如圖①，在中，，，點D，E分別在邊，上，且．則．現(xiàn)將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．如圖②，連接，．(1)如圖②，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．(2)將旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時，請判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．(3)在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，______．（直接寫出答案即可）【答案】(1)(2)，，理由見解析(3)【分析】（1）利用證明，可得結(jié)論；（2）設(shè)與相交于點O，證明，即可得到，，進(jìn)一步得到，即可得到結(jié)論．（3）在中，邊的長度為定值，當(dāng)邊上的高最大時，的面積最大，則當(dāng)點D在的垂直平分線上時，的面積最大，進(jìn)一步求解即可得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【詳解】（1），理由如下：，，即，在和中，，，；（2）且．理由如下：∵，∴，即，∵，，∴，∴，，設(shè)與相交于點O，由可得：，∴，∴，∴，∴且；（3）在中，邊的長度為定值，當(dāng)邊上的高最大時，的面積最大，∴當(dāng)點D在的垂直平分線上時，的面積最大，如圖所示，∵,，于點G，∴，∴，即當(dāng)?shù)拿娣e最大時，，故答案為：【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至點，若，，則線段的長度為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知．取點為線段的中點，并連接．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，可證得，從而證得，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，取點為線段的中點，并連接．依題意得，，，，在正方形中，，，，又，，，在和中，，，，，，在中，．故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理的運用等知識，解題的關(guān)鍵是輔助線的添加．2．（2022·四川南充·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，直角的頂點是的中點，將繞頂點旋轉(zhuǎn)，兩邊，分別交，于點，．下列四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋轉(zhuǎn)過程中，上述四個結(jié)論始終正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：，平分．可證，，即證得與全等，根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確．【詳解】解：∵，直角的頂點P是的中點，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，故①正確；∴是等腰直角三角形，故②正確；∵是等腰直角三角形，P是的中點，∴，∵不一定是的中位線，∴不一定成立，故③錯誤；∵，∴，又∵，∴，即，故④正確．故選：D．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，DE平分交BC于點E，點F是CD邊上一點（不與點D重合）．點P為DE上一動點，，將繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊交射線DA于H，G兩點，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中一定正確的是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷得，可判斷③正確，證可判斷④正確，從而得出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∵DE平分，∴，∴，∴PH=PD，∵∴在和中，∵∴∴∵∴∴故③正確；∵，∴∴即，故④正確；根據(jù)已知條件無法證明①DH=DE，②DP=DG.故選：D．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、三角形的全等、三角形的相似，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰三角形，，點B到x軸的距離為4，若將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，則點的坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】過B作于，過作軸于，構(gòu)建，即可得出答案．【詳解】過B作于，過作軸于，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及如何構(gòu)造全等三角形求得線段的長度，準(zhǔn)確構(gòu)造全等三角形求得線段長度是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置，的直角頂點在邊的中點處，其中，，繞點自由旋轉(zhuǎn)，且，分別交，于點，，當(dāng)，時，的長為______．【答案】【分析】連接AO，證明，得，在利用勾股定理求出的長即可．【詳解】如圖，連接AO，∵由題意可知是等腰直角三角形，，是邊的中點∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵在中，由勾股定理得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，和勾股定理，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點P為邊AD上的一個動點，線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP'，CP'．當(dāng)點P'落在邊BC上時，∠PP'C的度數(shù)為________；當(dāng)線段CP'的長度最小時，∠PP'C的度數(shù)為________【答案】

120°##120度

75°##75度【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角知△BPP′為等邊三角形，得到∠PP′B=60°；當(dāng)點P'落在邊BC上時，∠PP'C=180°-∠PP′B=120°；將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°后點A落在點E，連接BE，得到△ABP≌△EBP′(SAS)，再證明△ABP為等腰直角三角形，進(jìn)而得到∠EP′B=∠APB=45°，最后當(dāng)CP′⊥EF于H時，CP′有最小值，由此可以求出∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°．【詳解】解：由線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'可知，△BPP′為等邊三角形，∴∠PP′B=60°，當(dāng)點P'落在邊BC上時，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點A落在點E，連接BE，設(shè)EP′交BC于G點，如下圖所示：則∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，∴∠ABP=∠EBP′，且BA=BE，BP=BP′，∴△ABP≌△EBP′(SAS),∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，由點P'落在邊BC上時，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，∴△EBG與△P′CG均為30°、60°、90°直角三角形，設(shè)EG=x，BC=2y，則BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，又已知AB=BC，∴EP′=AB，又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，∴AB=AP，∴△ABP為等腰直角三角形，∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，當(dāng)CP′⊥EF于H時，CP′有最小值，此時∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，故答案為：120°，75°．【點睛】本題考察了三角形全等的判定方法、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，屬于四邊形的綜合題，難度較大，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．（2022·山東日照·?？级＃┰谥?，，，點為線段延長線上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接，．(1)如圖1，當(dāng)時，①求證：；②求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)時，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．(3)當(dāng)時，若，，請直接寫出點到的距離為【答案】(1)①見解析；②；(2)；(3)或．【分析】（1）①證明可得結(jié)論．②利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）證明，可得解決問題．（3）分兩種情形，解直角三角形求出即可解決問題．【詳解】（1）①證明：如圖1中，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，，，，，，是等邊三角形，，，，，，．②解：如圖1中，設(shè)交于點．，，，，即．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，，，，，，，，，，，．（3）過點作于，過點作交的延長線于．如圖中，當(dāng)是鈍角三角形時，在中，，，，，，，，由（2）可知，，，，，如圖中，當(dāng)是銳角三角形時，同法可得，，，綜上所述，滿足條件的的值為或．故答案為或．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題注意一題多解．8．（2022·河北保定·?？家荒＃┤鐖D1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝10cm，D為AB邊上一點，tan∠ACD＝，點P由C點出發(fā)，以2cm/s的速度向終點B運動，連接PD，將PD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DQ，連接PQ．(1)填空：BC＝，BD＝；(2)點P運動幾秒，DQ最短；(3)如圖2，當(dāng)Q點運動到直線AB下方時，連接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在點P運動過程中，若∠BPQ＝15°，請直接寫出BP的長．【答案】(1)20cm，8cm(2)4秒(3)(4)8+8或8+【分析】（1）利用勾股定理求出BC，利用三角函數(shù)求出AD，即可得到BD；（2）當(dāng)PD⊥BC時，PD最短，即DQ最短，利用面積求出PD，即可得到運動時間；（3）分別過點Q、P作AB的垂線，垂足分別為點G，H，證明△DGQ≌△PHD，推出QG=DH，DG=PH，利用面積求出DH=QG=，求出DG即可求出結(jié)果；（4）過點D作DM⊥BC于點M，則MD=MB=BD=8，分兩種情況，①當(dāng)點Q在BC左側(cè)時，得∠BPD=，求出PM即可；②當(dāng)點Q在BC右側(cè)時，得到∠BPD=，求出PM即可．（1）解：∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝10cm，∴BC=AB=20cm，∵tan∠ACD＝，∴，解得AD=2cm，∴BD=AB-AD=8cm，故答案為：20cm，8cm；（2）如圖，當(dāng)PD⊥BC時，PD最短，即DQ最短，∵，∴，得PD=8，∴點P運動8÷2=4秒，∴點P運動4秒時DQ最短；（3）分別過點Q、P作AB的垂線，垂足分別為點G，H，則BH=PH，∠QGD=∠PHD=，∵∠QDG+∠DQG=，∠QDG+∠PDH=，∴∠DQG=∠PDH，又∵PD=QD，∴△DGQ≌△PHD，∴QG=DH，DG=PH，∵，BD=8，∴DH=QG=，∵DG=PH=BH=BD-DH=7，∴；（4）過點D作DM⊥BC于點M，則MD=MB=BD=8，分兩種情況，①當(dāng)點Q在BC左側(cè)時，如圖（1），由題意知∠QPD=，又∵BPQ=，∴∠BPD=，∴PM=MD=8，∴BP=BM+PM=8+8；②當(dāng)點Q在BC右側(cè)時，如圖（2），∵∠QPD=，BPQ=，∴∠BPD=，∴PM=MD=，∴BP=BM+PM=8+；故BP的長度為8+8或8+．【點睛】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)及掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·九年級單元測試）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直線BG與DE交于點H．(1)如圖1，當(dāng)點G在CD上時，請直接寫出線段BG與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點E在直線CD右側(cè)時，求證：；②當(dāng)∠DEC＝45°時，若AB＝3，CE＝1，請直接寫出線段DH的長．【答案】(1)BG＝DE，BG⊥DE(2)①見解析；②或【分析】（1）證明△BCG≌△DCE可得結(jié)論；（2）①在線段BG上截取BK＝DH，連接CK．證明△BCK≌△DCH(SAS)，推出CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，推出△KCH是等腰直角三角形，即可解決問題；②分兩種情形：當(dāng)D，G，E三點共線時∠DEC＝45°，連接BD；和當(dāng)D，H，E三點共線時∠DEC＝45°，連接BD，分別根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可解決問題．（1）解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都為正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，即．綜上可知BG和DE的關(guān)系為BG＝DE且．故答案為：BG＝DE且；（2）①證明：如圖，在線段BG上截取BK＝DH，連接CK．∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都為正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴，∴；②如圖，當(dāng)D，G，E三點共線時∠DEC＝45°，連接BD．由（1）同樣的方法可知，BH＝DE，∵四邊形CEFG為正方形∴CE＝CH＝1，∴．∵AB＝3，∴，設(shè)DH＝x，則，在Rt△BDH中，，即，解得：（舍）故此時；如圖，當(dāng)H，E重合時，∠DEC＝45°，連接BD．設(shè)DH＝x，∵BG＝DH，∴，在Rt△BDH中，，即解得：（舍）故此時；綜上所述，滿足條件的DH的值為或．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在與中，，，點D在上．(1)如圖1，若點F在的延長線上，連接，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若點D與點A重合，且，，將繞點D旋轉(zhuǎn)，連接，點G為的中點，連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中，求的最小值；(3)如圖3，若點D為的中點，連接、交于點M，交于點N，且，請直接寫出的值．【答案】(1)，證明見解析(2)的最小值是(3)【分析】（1）過F作于H，過E作于G，結(jié)合K字型全等，等腰直角三角形，四點共圓即可得到答案；（2）第二問考察隱圓問題與阿氏圓，取的中點O，連接，在上取，連接，構(gòu)建相似，轉(zhuǎn)化線段即可得到答案；（3）過點C作平行線，點F作平行線交于點G；過點G作于點H，過點K作，證明，設(shè)，則，，結(jié)合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知識進(jìn)行計算．【詳解】（1）解：（1）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系：，證明如下：過F作于H，過E作于G，如圖：∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴點F、D、A、E四點共圓，∴，∵，∴和為等腰直角三角形，∴，，∴；（2）取的中點O，連接，在上取，連接，如圖：∵G為的中點，O為中點，∴是的中位線，∴，∵，∴，∴，而，∴，又，∴，∴，∴，∴，要使的最小，需最小，∴當(dāng)H、G、C三點共線時，的最小，的最小值是，如圖：∵，∴，∴的最小值是．（3）過點C作平行線，點F作平行線交于點G；過點G作于點H，過點K作，如圖：∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴由，設(shè)，則，；∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴；中，，∴，設(shè)，∴，中，，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，中間穿插了不同的模型，對模型的運用與轉(zhuǎn)化能力要求很高，難度較大，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形．11．（2022·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測）綜合實踐問題情境在圖所示的直角三角形紙片中，是斜邊的中點．?dāng)?shù)學(xué)老師讓同學(xué)們將繞中點做圖形的旋轉(zhuǎn)實驗，探究旋轉(zhuǎn)過程中線段之間的關(guān)系．解決問題（1）“實踐小組”的同學(xué)們將以點為中心按逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點的對應(yīng)點與重合時，與它的對應(yīng)邊交于點．他們發(fā)現(xiàn)：．請你幫助他們寫出證明過程．?dāng)?shù)學(xué)思考（2）在圖的基礎(chǔ)上，“實踐小組”的同學(xué)們繼續(xù)將以點為中心進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)?shù)膶?yīng)邊時，設(shè)與交于點，與交于點．他們認(rèn)為．他們的認(rèn)識是否正確？請說明理由．再探發(fā)現(xiàn)（3）解決完上面兩個問題后，“實踐小組”的同學(xué)們在圖中連接，他們認(rèn)為，與也具有一定的數(shù)量關(guān)系．請你寫出這個數(shù)量關(guān)系______．（不要求證明）【答案】（1）見解析；（2）正確，理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對等角、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，又，根據(jù)等腰三角形三線合一可證；（2）過點O作，，垂足分別為N，M，利用“角邊角”證明，推出，再利用“角角邊”證明，推出，，進(jìn)而證明四邊形正方形，通過等量代換可得，再利用相似三角形的性質(zhì)得出，即可證明；（3）利用正方形的性質(zhì)可得，再結(jié)合（2）的結(jié)論可得．【詳解】解：（1）證明如下：是斜邊的中點，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，是的中點，，，又，；（2）他們的認(rèn)識正確，理由如下：，，，，．如圖，過點O作，，垂足分別為N，M，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，四邊形矩形．，，，在和中，，，

，，四邊形正方形．，，，，，，；（3）如圖，連接．由（2）知四邊形正方形，，，即，．故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造全等三角形．【考向二全等三角形一線三等角模型】例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應(yīng)用：(1)如圖2，中，，直線經(jīng)過點C，過A作于點D，過B作于點E．求證：．(2)如圖3，在中，D是上一點，，求點C到邊的距離．(3)如圖4，在中，E為邊上的一點，F(xiàn)為邊上的一點．若，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出，可證明；（2）過點D作于點F，過點C作于，交的延長線于點E，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，則可得出答案；（3）過點D作交的延長線于點M，證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；（2）解：過點D作于點F，過點C作于，交的延長線于點E，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，即點C到的距離為；（3）過點D作交的延長線于點M，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、解答題2．（2022秋·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線變換到的外部（如圖2），請你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點在同一條直線上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)0.8cm(2)，證明見解析(3)結(jié)論成立，證明見解析【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）．證明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）結(jié)論成立，證明：，∴，在和中，，∴，∴，∴；即結(jié)論成立；【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·云南昭通·八年級?？计谀┰谥?，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①；②．(2)當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）①由垂直關(guān)系可得，則由即可證明；②由的性質(zhì)及線段和的關(guān)系即可證得結(jié)論；（2）由垂直可得，則由可證明，由全等三角形的性質(zhì)及線段差的關(guān)系即可證得結(jié)論；（3）由垂直可得，則由可證得，由全等三角形的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系即可得到三線段間的關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖①∵，∴，∴．又∵，，∴．②∵，∴，，∴．（2）∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，所滿足的等量關(guān)系是（或等）．∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，互余的性質(zhì)等知識，證明兩個三角形全等是問題的關(guān)鍵．4．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）