專題10最短路徑問題(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題10最短路徑問題考試時間：120分鐘試卷滿分：100分姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021八上·花都期末）如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝4，射線CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時，BF＝5，則AB的長為（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2分）（2022春?定海區(qū)期末）如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經(jīng)橋過河到村莊Q的路程最短，應(yīng)該選擇路線（）A．路線：PF→FQ B．路線：PE→EQ C．路線：PE→EF→FQ D．路線：PE→EF→FQ3．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F分別是AD、AB上的動點(diǎn)，若∠BAC＝50°，當(dāng)BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°4．（2分）（2021八上·惠民月考）如圖，在銳角△ABC中，∠ACB＝50°；邊AB上有一定點(diǎn)P，M、N分別是AC和BC邊上的動點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長最小時，∠MPN的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°5．（2分）（2022春?駐馬店期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長最小時，則∠MAN的度數(shù)為（）A．a(chǎn) B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a(chǎn)﹣90°6．（2分）（2022?橋西區(qū)校級模擬）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝α（∠BAE為鈍角），∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，當(dāng)△AMN周長最小時，∠MAN的度數(shù)為（）A． B．α﹣90° C．2α﹣180° D．α﹣45°7．（2分）（2022春?袁州區(qū)校級月考）已知在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，點(diǎn)P為AD邊上的動點(diǎn)．點(diǎn)E為AB邊上的動點(diǎn)，則PE+PB的最小值是（）A．5 B．6 C． D．8．（2分）（2022春?新鄭市期末）小穎的爸爸要在某條街道l上修建一個奶站P，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使點(diǎn)P到A，B的距離之和最短，則下列作法正確的是（）A． B． C． D．9．（2分）（2022春?中原區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的兩條中線，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一個動點(diǎn)，連接PE，PC，則PC+PE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．810．（2分）（2022?西城區(qū)校級開學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，E、F分別是AD，AC上的動點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（）A． B．5 C．3 D．評卷人得分二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?臨渭區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面積是10．AB的垂直平分線ED分別交AC，AB邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為BC邊的中點(diǎn)，在線段ED上存在一點(diǎn)P，使P、B、F三點(diǎn)構(gòu)成的△PBF的周長最小，則△PBF周長的最小值為．12．（2分）（2022春?寶安區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，P是DE上的動點(diǎn)，Q是BD上的動點(diǎn)，則BP+PQ的最小值為．13．（2分）（2022春?青島期末）如圖，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上從C向A運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q在BC上從B向C運(yùn)動，當(dāng)∠PDQ＝°時，△PDQ的周長最?。?4．（2分）（2022春?通川區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD?中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD＝DC?，連接BD，△BCD?的面積為?，點(diǎn)E?是邊AB?邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)P?在線段BD?上，連接PA，PE?，則PA+PE?的最小值是．15．（2分）（2022春?碑林區(qū)校級期末）如圖，在等邊△ABC中，BF是AC上中線，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，當(dāng)△AEF的周長最小時，則∠EAF＝．16．（2分）（2022?南京模擬）如圖△ABC為等腰三角形，其中∠ABC＝∠BAC＝30°，以AC為底邊作△ACD，其中∠ACD＝∠CAD＝30°，再以AD為底邊作△ADE，其中∠ADE＝∠DAE＝30°，△ADE兩底角的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為直線AC上的動點(diǎn)，已知|BP﹣DP|最大值為8．則DP+OP的值為．17．（2分）（2022春?臥龍區(qū)期末）如圖，已知△ABC，直線a⊥AC于點(diǎn)D，且AD＝CD，點(diǎn)P是直線a上一動點(diǎn)，連接PB，PC，若AB＝5，AC＝6，BC＝3，則△PBC周長的最小值是．18．（2分）（2021秋?西青區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝12．點(diǎn)M在BC邊上，且MC＝BC，射線CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上一動點(diǎn)．（Ⅰ）線段MP+NP是否存在最小值？（用“是”或“否”填空）（Ⅱ）如果線段MP+NP存在最小值，請直接寫出BN的長；如果不存在，請說明理由．19．（2分）（2022春?撫州期末）如圖，等腰△ABC的底邊BC＝20，面積為160，點(diǎn)F是BC邊上的一個動點(diǎn)，EG是腰AC的垂直平分線，若點(diǎn)D在EG上運(yùn)動，則CD+DF的最小值為．20．（2分）（2022春?霞浦縣期中）已知∠ABC＝60°，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且BP為定長，∠ABP＝20°，Q為射線BC上一動點(diǎn)，連接PQ，當(dāng)BP+PQ的值最小時，∠BPQ＝．評卷人得分三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2020秋?饒平縣校級期末）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，P是AB邊上的一點(diǎn)，試在高AD上找一點(diǎn)E，使得△PEB的周長最短．22．（6分）（2022春?二七區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如圖（1），點(diǎn)D在線段BC上移動時，①角α與β之間的數(shù)量關(guān)系是；②若線段BC＝2，點(diǎn)A到直線BC的距離是3，則四邊形ADCE周長的最小值是；（2）如圖（2），點(diǎn)D在線段BC的延長線上移動時，①請問（1）中α與β之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立，請說明理由；②線段BC、DC、CE之間的數(shù)量是．23．（6分）（2021秋?潼南區(qū)校級期末）已知四邊形ABCD，請?jiān)谒倪呅蜛BCD內(nèi)部找一點(diǎn)O．（1）使點(diǎn)O到點(diǎn)A、B、C、D的距離之和最?。Ａ糇鲌D痕跡，不寫作法．（請用黑色簽字筆作圖）（2）這樣作圖的理由是．24．（8分）（2021春?東港市月考）如圖所示，P為△BOA內(nèi)任一點(diǎn)，在OB上找一點(diǎn)M，在OA上找一點(diǎn)N，使得△PMN的周長最短．25．（9分）（2021春?萬州區(qū)期末）已知：M、N分別是∠AOB的邊OA、OB上的定點(diǎn)，（1）如圖1，若∠O＝∠OMN，過M作射線MD∥OB（如圖），點(diǎn)C是射線MD上一動點(diǎn)，∠MNC的平分線NE交射線OA于E點(diǎn)．試探究∠MEN與∠MCN的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若P是線段ON上一動點(diǎn)，Q是射線MA上一動點(diǎn)．∠AOB＝20°，當(dāng)MP+PQ+QN取得最小值時，求∠OPM+∠OQN的值．26．（8分）（2021春?龍口市月考）如圖，直線a∥b，點(diǎn)A，D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，CD⊥a于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，AB＝15cm，BE：AE＝1：2，P為射線AB上一動點(diǎn)，P從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．（1）當(dāng)t＝m時，PC+PD有最小值，求m的值；（2）當(dāng)t＜m（m為（1）中的取值）時，探究∠PCM、∠PDA與∠CPD的關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)t＞m（m為（1）中的取值）時，直接寫出∠PCM、∠PDA與∠CPD的關(guān)系．27．（8分）（2020秋?天心區(qū)校級月考）如圖，把兩個全等的腰長為8的等腰直角三角形沿他們的斜邊拼接得到四邊形ABCD，N是斜邊AC上一動點(diǎn)．（1）若E、F為AC的三等分點(diǎn)，求證：∠ADE＝∠CBF；（2）若M是DC上一點(diǎn)，且DM＝2，求DN+MN的最小值；（注：計算時可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C＝90°，則AB2＝AC2+BC2）（3）若點(diǎn)P在射線BC上，且NB＝NP，求證：NP⊥ND．28．（9分）（2020八上·椒江期中）如圖（1）（1分）性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，如圖1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，則PBPC（填“”“”或“=”）；（2）（4分）探索：如圖2，小明發(fā)現(xiàn)，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，則，請幫小明說明原因.（3）（4分）應(yīng)用：如圖3，在小區(qū)三條交叉的道路AB，BC，CA上各建一個菜鳥驛站D，P，E，工作人員每天來回的路徑為P→D→E→P，①問點(diǎn)P應(yīng)選在BC的何處時，才能使PD+DE+PE最??？②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，則PD+DE+PE的最小值是多少？2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題10最短路徑問題考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021八上·花都期末）如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝4，射線CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時，BF＝5，則AB的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【完整解答】解：作E點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E'，過E'作E'F⊥AB交于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)P，連接PE，∴PE=PE'，∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，此時EP+FP的值最小，∵△ABC是正三角形，∴∠B=60°，∵E'F⊥AB，∴∠FE'B=30°，∴BE'=2BF，∵BF=5，BE=4，∴E'B=10，∵CE=CE'，∴10=2CE+BE=2CE+4，∴CE=3，∴BC=7，故答案為：A．

【思路引導(dǎo)】作E點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E'，過E'作E'F⊥AB交于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)P，連接PE，此時EP+FP的值最小，由題意得出∠FE'B=30°，則BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，得出10=2CE+BE=2CE+4，解出CE=3，即可得出BC=7。2．（2分）（2022春?定海區(qū)期末）如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經(jīng)橋過河到村莊Q的路程最短，應(yīng)該選擇路線（）A．路線：PF→FQ B．路線：PE→EQ C．路線：PE→EF→FQ D．路線：PE→EF→FQ【思路引導(dǎo)】根據(jù)兩點(diǎn)間直線距離最短，使FEPP′為平行四邊形即可，即PP′垂直河岸且等于河寬，接連P′Q即可．【完整解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河寬，連接QP′，與另一條河岸相交于F，作FE⊥直線l1于點(diǎn)E，則EF∥PP′且EF＝PP′，于是四邊形FEPP′為平行四邊形，故P′F＝PE，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．故C選項(xiàng)符合題意，故選：C．3．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F分別是AD、AB上的動點(diǎn)，若∠BAC＝50°，當(dāng)BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°【思路引導(dǎo)】過點(diǎn)B作BB′⊥AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′F′⊥AB于點(diǎn)F′，與AD交于點(diǎn)E′，連接BE′，可證得△ABG≌△AB′G（ASA），所以∠E′B′G＝∠E′BG，由“直角三角形兩銳角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE，所以∠BE′F′＝50°，由此可得結(jié)論．【完整解答】解：過點(diǎn)B作BB′⊥AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′F′⊥AB于點(diǎn)F′，與AD交于點(diǎn)E′，連接BE′，如圖，此時BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故選：B．4．（2分）（2021八上·惠民月考）如圖，在銳角△ABC中，∠ACB＝50°；邊AB上有一定點(diǎn)P，M、N分別是AC和BC邊上的動點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長最小時，∠MPN的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【完整解答】解：過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)E，PG⊥BC于點(diǎn)F，連接DG交AC、BC于點(diǎn)M、N，連接MP、NP，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由對稱可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故答案為：D．【思路引導(dǎo)】過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)E，PG⊥BC于點(diǎn)F，連接DG交AC、BC于點(diǎn)M、N，連接MP、NP，由四邊形內(nèi)角和及三角形內(nèi)角和求出∠C+∠EPF＝180°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，從而求出∠D+∠G＝=∠C=50°，有軸對稱的性質(zhì)可得∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，從而得出∠GPN+∠DPM＝50°，根據(jù)∠MPN＝∠DPG-（∠GPN+∠DPM）即可求解.5．（2分）（2022春?駐馬店期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長最小時，則∠MAN的度數(shù)為（）A．a(chǎn) B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a(chǎn)﹣90°【思路引導(dǎo)】延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N，此時△AMN周長最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），進(jìn)而得出∠MAN的度數(shù)．【完整解答】解：延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′關(guān)于BC對稱，A、A″關(guān)于CD對稱，此時△AMN的周長最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝a，∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，故選：B．6．（2分）（2022?橋西區(qū)校級模擬）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝α（∠BAE為鈍角），∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，當(dāng)△AMN周長最小時，∠MAN的度數(shù)為（）A． B．α﹣90° C．2α﹣180° D．α﹣45°【思路引導(dǎo)】作點(diǎn)A關(guān)于BC對稱點(diǎn)A'，作點(diǎn)A關(guān)于DE對稱點(diǎn)A''，則A''E＝AE，A'B＝AB，連接A'A''，分別交線段BC和線段DE于點(diǎn)M和點(diǎn)N，連接AM，AN，這時候△AMN的周長取最小值．【完整解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于BC對稱點(diǎn)A'，作點(diǎn)A關(guān)于DE對稱點(diǎn)A''，則A''E＝AE，A'B＝AB，連接A'A''，分別交線段BC和線段DE于點(diǎn)M和點(diǎn)N，連接AM，AN，這時候△AMN的周長取最小值．∵∠B＝∠E＝90°，∴A'M＝AM，∴AN＝A''N，∴∠AA'M＝∠A'AM，∠AA''N＝∠A''AN，∴∠AMN＝2∠A'AM，∠ANM＝2∠A''AN，∴∠MAN+∠MAB+∠NAE＝α，∠MAN+∠AMN+∠ANM＝180°，∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN＝180°，∴∠BAM+∠EAN＝180°﹣α，∴∠MAN＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°，故選：C．7．（2分）（2022春?袁州區(qū)校級月考）已知在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，點(diǎn)P為AD邊上的動點(diǎn)．點(diǎn)E為AB邊上的動點(diǎn)，則PE+PB的最小值是（）A．5 B．6 C． D．【思路引導(dǎo)】根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到點(diǎn)B，點(diǎn)C關(guān)于直線AD對稱，過C作CE⊥AB交AD于P，則此時PE+PB＝CE的值最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【完整解答】解：∵AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，∴AB2＝6.52＝42.25，AD2+BD2＝62+2.52＝42.25，∴AB2＝AD2+BD2，∴∠ADB＝90°，∵D為BC的中點(diǎn)，BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴點(diǎn)B，點(diǎn)C關(guān)于直線AD對稱，過C作CE⊥AB交AD于P，則此時PE+PB＝CE的值最小，∵S△ABC＝AB?CE＝BC?AD，∴6.5?CE＝5×6，∴CE＝，∴PE+PB的最小值為，故選：C．8．（2分）（2022春?新鄭市期末）小穎的爸爸要在某條街道l上修建一個奶站P，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使點(diǎn)P到A，B的距離之和最短，則下列作法正確的是（）A． B． C． D．【思路引導(dǎo)】作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)和點(diǎn)B交l于點(diǎn)P，進(jìn)而根據(jù)軸對稱性質(zhì)解答即可．【完整解答】解：作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)和點(diǎn)B交l于點(diǎn)P，P即為所求；故選：B．9．（2分）（2022春?中原區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的兩條中線，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一個動點(diǎn)，連接PE，PC，則PC+PE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【思路引導(dǎo)】如圖連接PB，只要證明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為BE的長度．【完整解答】解：如圖，連接PB，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PC+PE＝PB+PE，∵PE+PB≥BE，∴P、B、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為BE的長度，∴CP+EP的最小值是6．故選：B．10．（2分）（2022?西城區(qū)校級開學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，E、F分別是AD，AC上的動點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（）A． B．5 C．3 D．【思路引導(dǎo)】利用角平分線構(gòu)造全等，使兩線段可以合二為一，則EC+EF的最小值即為點(diǎn)C到AB的垂線段長度．【完整解答】解：在AB上取一點(diǎn)G，使AG＝AF，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴FE＝EG，∴CE+EF＝CE+EG，則最小值時CG垂直AB時，CG的長度，CG＝．故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?臨渭區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面積是10．AB的垂直平分線ED分別交AC，AB邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為BC邊的中點(diǎn)，在線段ED上存在一點(diǎn)P，使P、B、F三點(diǎn)構(gòu)成的△PBF的周長最小，則△PBF周長的最小值為7．【思路引導(dǎo)】由垂直平分線的性質(zhì)可得A與B關(guān)于ED對稱，連接AF，交ED于點(diǎn)P，則當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時，△PBF周長最小為AF+FB的長．【完整解答】解：∵ED是線段AB的垂直平分線，∴A與B關(guān)于ED對稱，連接AF，交ED于點(diǎn)P，∵AP＝PB，∴△PBF周長＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時，△PBF周長最小，∵F為BC邊的中點(diǎn)，AB＝AC，∴AF⊥BC，∴S△ABC＝×BC×AF＝10，∵BC＝4，∴AF＝5，∴△PBF周長＝AF+FB＝5+2＝7，∴△PBF周長的最小值為7，故答案為：7．12．（2分）（2022春?寶安區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，P是DE上的動點(diǎn)，Q是BD上的動點(diǎn)，則BP+PQ的最小值為8．【思路引導(dǎo)】過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，并延長DH，先判斷出△ADH≌△ADC（AAS），再判斷出∠BDE＝∠HDE，在DH上取一點(diǎn)Q'，時DQ'＝DQ，連接PQ'，BQ'，進(jìn)而判斷出△QDP≌△Q'DP（SAS），得出PQ＝PQ'，即可判斷出垂直于DH時，BP+PQ最小，即可求出答案．【完整解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，并延長DH，∴∠AHD＝90°＝∠C，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAH＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△ADH≌△ADC（AAS），∴∠ADH＝∠ADC，AH＝AC＝4，∴BH＝AB﹣AC＝12﹣4＝8，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠BDE＝90°＝∠ADH+∠EDH，∴∠BDE＝∠HDE，在DH上取一點(diǎn)Q'，時DQ'＝DQ，連接PQ'，BQ'，∵DP＝DP，∴△QDP≌△Q'DP（SAS），∴PQ＝PQ'，∴BP+PQ＝BP+PQ'≥BQ'（假設(shè)點(diǎn)Q是定點(diǎn)，點(diǎn)B，P，Q'共線時，取最小BQ'），∵點(diǎn)Q是動點(diǎn)，∴當(dāng)BQ'⊥DH時，即點(diǎn)Q'與點(diǎn)H重合，BP+PQ的最小值為BH＝8，故答案為：8．13．（2分）（2022春?青島期末）如圖，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上從C向A運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q在BC上從B向C運(yùn)動，當(dāng)∠PDQ＝28°時，△PDQ的周長最?。舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，把三角形的周長轉(zhuǎn)化為一條線段的長，利用三角形的內(nèi)角和及平角的定義求解．【完整解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，過點(diǎn)D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，連接EF，則EF的長為△DPQ的最小值，根據(jù)作圖知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，∴DQ＝FQ，PD＝PE，∴DQ+DP+PQ＝FQ+QP+PE，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，所以EF的長是△DPQ的最小值，此時有：∠FDQ＝∠DQP，∠MDP＝∠DPQ，在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，∴∠B＝50°，∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，∴∠QDP＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP＝180°﹣40°﹣36°﹣（∠DQP+∠DPQ）＝104°﹣（180﹣∠PDQ）＝104°﹣90°+∠QDP，解得：∠QDP＝28°．故當(dāng)∠PDQ＝28°時，△PDQ的周長最?。?4．（2分）（2022春?通川區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD?中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD＝DC?，連接BD，△BCD?的面積為?，點(diǎn)E?是邊AB?邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)P?在線段BD?上，連接PA，PE?，則PA+PE?的最小值是?．【思路引導(dǎo)】根據(jù)已知條件得到BD垂直平分AC，得到點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對稱，過C作CE⊥AB于E交BD于P，則此時，PA+PE?的值最小，且PA+PE?的最小值＝CE，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．【完整解答】解：連接AC，∵AB＝BC＝4，AD＝DC?，∴BD垂直平分AC，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對稱，過C作CE⊥AB于E交BD于P，則此時，PA+PE?的值最小，且PA+PE?的最小值＝CE，∵AD∥BC，∴S△ABC＝S△BCD，∴AB?CE＝4CE＝，∴CE＝?，故答案為：．15．（2分）（2022春?碑林區(qū)校級期末）如圖，在等邊△ABC中，BF是AC上中線，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，當(dāng)△AEF的周長最小時，則∠EAF＝30°．【思路引導(dǎo)】首先證明點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動（∠ACE＝30°），作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對稱點(diǎn)M，連接FM交CE于E′，此時AE′+FE′的值最小．【完整解答】解：如圖，∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AF＝CF，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，∴點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動（∠ACE＝30°），作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對稱點(diǎn)M，連接FM交CE于E′，此時AE′+FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等邊三角形，∵AF＝CF，∴FM⊥AC，∴E′是等邊三角形三條角平分線的交點(diǎn)，∴∠E′AF＝30°，即∠EAF＝30°．故答案為：30°．16．（2分）（2022?南京模擬）如圖△ABC為等腰三角形，其中∠ABC＝∠BAC＝30°，以AC為底邊作△ACD，其中∠ACD＝∠CAD＝30°，再以AD為底邊作△ADE，其中∠ADE＝∠DAE＝30°，△ADE兩底角的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為直線AC上的動點(diǎn)，已知|BP﹣DP|最大值為8．則DP+OP的值為4．【思路引導(dǎo)】作D點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D'，BD'與AC的交點(diǎn)P為點(diǎn)A，此時|BP﹣DP|的值最大為BD'，即BD'＝8，連接CD'，證明△ODD'≌△OAD'（SSS），求出D'O＝D'A＝4，即可求解．【完整解答】解：作D點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D'，∵∠DAC＝∠CAB＝30°，∴D'在AB上，∴BD'與AC的交點(diǎn)P為點(diǎn)A，∴DP＝D'P，此時|BP﹣DP|的值最大為BD'，∵|BP﹣DP|最大值為8，∴BD'＝8，連接CD'，∵∠CBA＝30°，∠ACD＝30°，∠ACD'＝∠DCA，∴∠BCD'＝120°﹣30°＝90°，∴AD＝AD'＝CD＝CD'＝BD'?sin30°＝4，∵∠D'AD＝60°，∴DD'＝4，∵OA是∠DAE的角平分線，DO是∠ADE的角平分線，∴∠OAD＝∠ODA＝15°，∴D'AO＝75°，∵DO＝OA，DD'＝AD'，∴△ODD'≌△OAD'（SSS），∴∠AOD'＝∠DOD'＝75°，∴∠D'OA＝∠D'AO＝75°，∴D'O＝D'A＝4，∴DP+OP的值為4，故答案為：4．17．（2分）（2022春?臥龍區(qū)期末）如圖，已知△ABC，直線a⊥AC于點(diǎn)D，且AD＝CD，點(diǎn)P是直線a上一動點(diǎn)，連接PB，PC，若AB＝5，AC＝6，BC＝3，則△PBC周長的最小值是8．【思路引導(dǎo)】找出C點(diǎn)關(guān)于a的對稱點(diǎn)A，AB交a于P，則△PBC的周長最小，求出即可．【完整解答】解：設(shè)直線a與AB交于P′，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時，PB+PC最小，即△PBC的周長最小，∵直線a⊥AC于點(diǎn)D，且AD＝CD，∴直線a是AC的垂直平分線，∴P′C＝P′A，∴△PBC的周長＝PC+PB+BC＝P′A+P′B+BC＝AB+BC＝5+3＝8，∴△PBC周長的最小值是8，故答案為：8．18．（2分）（2021秋?西青區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝12．點(diǎn)M在BC邊上，且MC＝BC，射線CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上一動點(diǎn)．（Ⅰ）線段MP+NP是否存在最小值？是（用“是”或“否”填空）（Ⅱ）如果線段MP+NP存在最小值，請直接寫出BN的長；如果不存在，請說明理由．【思路引導(dǎo)】作點(diǎn)M關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)M'，過M作M'N⊥AB于N，交CD于P，此時，MP+PN的值最?。畡tCM'＝CM＝3，所以BM'＝BC+CM'＝12+3＝15，推出BN＝BM'＝＝．【完整解答】解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)M'，過M作M'N⊥AB于N，交CD于P，此時，MP+PN的值最小，∵BC＝12，MC＝BC＝3，∴CM'＝CM＝3，∴BM'＝BC+CM'＝12+3＝15，∵∠B＝60°，∠BNM'＝90°，∴∠M'＝30°，∴BN＝BM'＝＝．故答案為：是．19．（2分）（2022春?撫州期末）如圖，等腰△ABC的底邊BC＝20，面積為160，點(diǎn)F是BC邊上的一個動點(diǎn)，EG是腰AC的垂直平分線，若點(diǎn)D在EG上運(yùn)動，則CD+DF的最小值為16．【思路引導(dǎo)】如圖作AH⊥BC于H，連接AD．由EG垂直平分線段AC，推出DA＝DC，推出DF+DC＝AD+DF，可得當(dāng)A、D、F共線時，DF+DC的值最小，最小值就是線段AF的長．【完整解答】解：如圖作AH⊥BC于H，連接AD．∵EG垂直平分線段AC，∴DA＝DC，∴DF+DC＝AD+DF，∴當(dāng)A、D、F共線時，DF+DC的值最小，最小值就是線段AF的長，∵?BC?AH＝160，∴AH＝16，根據(jù)垂線段最短，∴當(dāng)AF＝AH時AF最小，∴CD+DF的值最小為16．故答案為：16．20．（2分）（2022春?霞浦縣期中）已知∠ABC＝60°，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且BP為定長，∠ABP＝20°，Q為射線BC上一動點(diǎn)，連接PQ，當(dāng)BP+PQ的值最小時，∠BPQ＝50°．【思路引導(dǎo)】當(dāng)BP+PQ的值最小時，PQ最小，此時PQ⊥BC，據(jù)此解答即可．【完整解答】解：∵BP為定長，∴當(dāng)BP+PQ的值最小時，PQ最小，此時PQ⊥BC，∴∠PQB＝90°，∵∠ABC＝60°，∠ABP＝20°，∴∠PBQ＝40°，∴∠BPQ＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50°．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2020秋?饒平縣校級期末）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，P是AB邊上的一點(diǎn)，試在高AD上找一點(diǎn)E，使得△PEB的周長最短．【思路引導(dǎo)】利用軸對稱求最短路線作法得出答案．【完整解答】解：①連接PC，交AD于點(diǎn)E．②由等腰三角形對稱的性質(zhì)可知BE＝CE，故BE+PE＝PC，③由兩點(diǎn)之間線段最短可知，△PMN的最短周長即為PC+PB．22．（6分）（2022春?二七區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如圖（1），點(diǎn)D在線段BC上移動時，①角α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α+β＝180°；②若線段BC＝2，點(diǎn)A到直線BC的距離是3，則四邊形ADCE周長的最小值是8；（2）如圖（2），點(diǎn)D在線段BC的延長線上移動時，①請問（1）中α與β之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立，請說明理由；②線段BC、DC、CE之間的數(shù)量是CE＝BC+CD．【思路引導(dǎo)】（1）①先證∠CAE＝∠BAD，再證明△ABD≌△ACE，得出對應(yīng)角相等∠ABD＝∠ACE，即可得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①如圖2，根據(jù)等式的性質(zhì)就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【完整解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案為：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，當(dāng)AD⊥BC時，AD最短，即四邊形ADCE周長的值最小，∵點(diǎn)A到直線BC的距離是3，∴AD＝AE＝3，∴四邊形ADCE周長的最小值是2+3+3＝8，故答案為：8；（2）①成立，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，故答案為：CE＝BC+CD．23．（6分）（2021秋?潼南區(qū)校級期末）已知四邊形ABCD，請?jiān)谒倪呅蜛BCD內(nèi)部找一點(diǎn)O．（1）使點(diǎn)O到點(diǎn)A、B、C、D的距離之和最?。Ａ糇鲌D痕跡，不寫作法．（請用黑色簽字筆作圖）（2）這樣作圖的理由是兩邊之和大于第三邊．【思路引導(dǎo)】連接AC和BD交于點(diǎn)O，可得點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，C，D的距離之和最?。就暾獯稹拷猓海?）連接AC、BD，交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為所求的點(diǎn)．理由如下：如果存在不同于點(diǎn)O的交點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，那么PA+PC＞AC，即PA+PC＞OA+OC，同理，PB+PD＞OB+OD，∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，即點(diǎn)O是線段AC、BD的交點(diǎn)時，OA+OB+OC+OD之和最?。?）這樣作圖的理由是，兩邊之和大于第三邊．故答案為：兩邊之和大于第三邊．24．（8分）（2021春?東港市月考）如圖所示，P為△BOA內(nèi)任一點(diǎn)，在OB上找一點(diǎn)M，在OA上找一點(diǎn)N，使得△PMN的周長最短．【思路引導(dǎo)】作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P''、P'，連接P'P''，分別交OA、OB于點(diǎn)N、M，即M、N為所求．此時△PMN的周長最短．【完整解答】解：如圖．作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P''、P'，連接P'P''，分別交OA、OB于點(diǎn)N、M，即M、N為所求．此時△PMN的周長為PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''，即最小值為P'P''的長度．25．（9分）（2021春?萬州區(qū)期末）已知：M、N分別是∠AOB的邊OA、OB上的定點(diǎn)，（1）如圖1，若∠O＝∠OMN，過M作射線MD∥OB（如圖），點(diǎn)C是射線MD上一動點(diǎn)，∠MNC的平分線NE交射線OA于E點(diǎn)．試探究∠MEN與∠MCN的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若P是線段ON上一動點(diǎn)，Q是射線MA上一動點(diǎn)．∠AOB＝20°，當(dāng)MP+PQ+QN取得最小值時，求∠OPM+∠OQN的值．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)∠O＝∠OMN＝α，由三角形外角可得∠MNB＝2α，再由MD∥OB，可得∠AMD＝α，根據(jù)NE平分∠MNC，得到∠MNE＝∠ENC，設(shè)∠MNE＝β，可求∠CNB＝2α﹣2β，∠MCN＝2α﹣2β，再由三角形內(nèi)角和定理，得∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，可得∠MEN＝α﹣β，進(jìn)而得到2∠MEN＝∠MCN；（2）作M點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M'，N點(diǎn)關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N'，連接M'N'與OB、OA分別交于點(diǎn)P、點(diǎn)Q，連接ON'、OM'，此時MP+PQ+QN的值最小，由對稱性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，所以∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），代入已知∠AOB＝20°，可得∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，所以∠OPM+∠OQN＝200°．【完整解答】解：（1）設(shè)∠O＝∠OMN＝α，∴∠MNB＝2α，∵M(jìn)D∥OB，∴∠AMD＝α，∵NE平分∠MNC，∴∠MNE＝∠ENC，設(shè)∠MNE＝β，∴∠CNB＝2α﹣2β，∵M(jìn)D∥OB，∴∠MCN＝2α﹣2β，∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，∴∠MEN＝α﹣β，∴2∠MEN＝∠MCN；（2）作M點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M'，N點(diǎn)關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N'，連接M'N'與OB、OA分別交于點(diǎn)P、點(diǎn)Q，連接ON'、OM'，∴MP+PQ+QN＝M'N'，此時MP+PQ+QN的值最小，由對稱性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），∵∠AOB＝20°，∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，∴∠OPM+∠OQN＝200°．26．（8分）（2021春?龍口市月考）如圖，直線a∥b，點(diǎn)A，D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，CD⊥a于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，AB＝15cm，BE：AE＝1：2，P為射線AB上一動點(diǎn)，P從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．（1）當(dāng)t＝m時，PC+PD有最小值，求m的值；（2）當(dāng)t＜m（m為（1）中的取值）時，探究∠PCM、∠PDA與∠CPD的關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)t＞m（m為（1）中的取值）時，直接寫出∠PCM、∠PDA與∠CPD的關(guān)系．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)P、C、D三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時PC+PD的值最小，解答即可；（2）當(dāng)t＜m時，點(diǎn)P在AE上，過點(diǎn)P作PH∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）當(dāng)t＞m時，點(diǎn)P在BE上，過點(diǎn)P作PH∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【完整解答】解：（1）在△PCD中，PC+PD＞CD，當(dāng)點(diǎn)P與E重合時，此時PC+PD＝CD最小，∴AP＝AE，∵BE：AE＝1：2，AB＝15cm，∴AE＝AB＝10cm，∴t＝m＝＝10s．故m＝10時，PC+PD值最?。唬?）如圖，當(dāng)t＜m即t＜10時，點(diǎn)P在AE上，過點(diǎn)P作PN∥a，∵a∥b，∴PN∥a∥b，∴∠PCM＝∠CPN，∠PDA＝∠DPN，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPN+∠DPN，∵∠CPD＝∠CPN+∠DPN，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD．（3）當(dāng)t＞m即t＞4時，點(diǎn)P在BE上，過點(diǎn)P作PH∥a，如圖：又∵a∥b，∴PH∥a∥b，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即當(dāng)12≥t＞4時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．當(dāng)t＞12時，同法可得∠PCM＝∠CPD+∠PDA．綜上所述，t＞4時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．27．（8分）（2020秋?天心區(qū)校級月考）如圖，把兩個全等的腰長為8的等腰直角三角形沿他們的斜邊拼接得到四邊形ABCD，N是斜邊AC上一動點(diǎn)．（1）若E、F為AC的三等分點(diǎn)，求證：∠ADE＝∠CBF；（2）若M是DC上一點(diǎn)，且DM＝2，求DN+MN的最小值；（注：計算時可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C＝90°，則AB2＝AC2+BC2）（3）若點(diǎn)P在射線BC上，且NB＝NP，求證：NP⊥ND．【思路引導(dǎo)】（1）用SAS證明△ADE