專題14不等式的定義性質(zhì)和一元一次不等式（7大考點）

專題14不等式的定義、性質(zhì)和一元一次不等式【考點導航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點一不等式的定義】 1【考點二不等式的性質(zhì)】 2【考點三一元一次不等式的定義】 4【考點四求一元一次不等式的解集并在數(shù)軸上表示】 6【考點五求一元一次不等式的整數(shù)解】 8【考點六列一元一次不等式】 9【考點七用一元一次不等式解決實際問題】 11【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點一不等式的定義】例題：（2023春·全國·七年級專題練習）在下列數(shù)學表達式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)不等式的定義逐個判斷即可．【詳解】解：不等式有：，，，，共4個，故選：C．【點睛】本題考查了不等式的定義，能熟記不等式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：用不等號，，，，表示不等關(guān)系的式子，叫不等式．【變式訓練】1．（2023春·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你認為其中是不等式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)不等式的定義逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：①是不等式；②是不等式；③是不等式；④是整式；⑤是方程；⑥是不等式；題中共有4個不等式，故選：C．【點睛】本題考查不等式定義，熟記由不等號表示大小關(guān)系的式子叫不等式是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東棗莊·八年級校考階段練習）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】依據(jù)不等式的定義進行判斷．用“或“”或“”或“”或“”表示不相等關(guān)系的式子，叫做不等式．【詳解】解：①，屬于不等式；②，屬于不等式；③，屬于不等式；④屬于代數(shù)式，不是不等式；⑤屬于方程，不是不等式；⑥，屬于不等式．故選：B．【點睛】本題考查不等式的定義，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式，解答此類題關(guān)鍵是要識別常見不等號：．【考點二不等式的性質(zhì)】例題：（2023春·安徽合肥·七年級合肥市第四十二中學?？计谥校┫铝胁坏仁降淖冃尾灰欢ǔ闪⒌氖牵?/p>

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：A．在不等式的兩邊同時乘，得，原變形正確，故選項不符合題意；B．當時，得；當時，得，原變形不一定成立，故此選項符合題意；C．在不等式的兩邊同時除以，得，原變形正確，故此選項不符合題意；D．在不等式的兩邊同時減去，得，原變形正確，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·安徽亳州·七年級?？茧A段練習）下列說法不一定成立的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項判斷即可．【詳解】A、∵，∴，故A選項不符合題意；B、∵，當時，則；當時，則不成立；故B選項符合題意；C、∵，∴，故C選項不符合題意；D、∵，，∴，故D選項不符合題意；故選：B【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習）下列不等式變形正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項分析可得．【詳解】解：A、由，得，故A不符合題意；B、由，得，故B不符合題意；C、由，得，故C不符合題意；D、由，得，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的基本性質(zhì)1：等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，不等號方向不變；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號方向不變；3、等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向改變．【考點三一元一次不等式的定義】例題：（2023春·陜西西安·八年級西安市黃河中學?？茧A段練習）下列式子：①；②；③；④中，是一元一次不等式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐個判斷即可．【詳解】解：①，不含未知數(shù)，不是一元一次不等式；②，是一元一次不等式；③，含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式；④，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，不是一元一次不等式；∴一元一次不等式有1個，故選：A．【點睛】本題考查了一元一次不等式的定義，能熟記一元一次不等式的定義是解此題的關(guān)鍵，不等式的左右兩邊只含有同一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫一元一次不等式．【變式訓練】1．（2023春·陜西咸陽·八年級咸陽彩虹學校校考階段練習）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式，進而判斷得出即可．【詳解】解：A、，未知數(shù)的次數(shù)為2，不是一元一次不等式，故此選項不合題意；B、是分式，不是一元一次不等式，故此選項不合題意；C、，含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式，故此選項不合題意；D、，是一元一次不等式，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了一元一次不等式的定義，正確把握是一元一次不等式的要素是解題關(guān)鍵．2．（2023春·四川達州·八年級達州市通川區(qū)第八中學?？茧A段練習）已知是關(guān)于x的一元一次不等式，則________．【答案】【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可．【詳解】∵是關(guān)于x的一元一次不等式，∴，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值和一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．3．（2023春·重慶南岸·八年級重慶市廣益中學校?？茧A段練習）關(guān)于x的不等式是一元一次不等式，則不等式的解集為______．【答案】【分析】先根據(jù)一元一次不等式的概念得出的值，代入不等式，解之可得．【詳解】解：∵不等式是一元一次不等式，∴，解得：，則不等式為：，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的定義和解一元一次不等式的步驟．【考點四求一元一次不等式的解集并在數(shù)軸上表示】例題：（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習）解不等式：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】根據(jù)去分母、去括號、移項及合并同類項，系數(shù)化為1解不等式，再將不等式的解集在數(shù)軸上表示即可．【詳解】解：，，，．在數(shù)軸上表示為：【點睛】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）解下列不等式并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來：(1)；(2)．【答案】(1)，數(shù)軸見解析(2)，數(shù)軸見解析【分析】（1）按照去括號，移項、合并同類項，系數(shù)化為1的步驟求解，再將解集在數(shù)軸上表示出來即可；（2）按照去分母，去括號，移項、合并同類項，系數(shù)化為1的步驟求解，再將解集在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】（1）解：，去括號，得，移項、合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，把不等式的解集在數(shù)軸上表示為：；（2）解：，去分母，得，去括號，得，移項、合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，把不等式的解集在數(shù)軸上表示為：．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解不等式的方法和步驟是解題關(guān)鍵．2．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習）解下列不等式，并把的解集在數(shù)軸上表示出來：(1)(2)【答案】(1)，數(shù)軸見解析(2)，數(shù)軸見解析【分析】（1）根據(jù)解不等式的解法步驟解得不等式的解集，再將解集表示在數(shù)軸上即可；（2）根據(jù)解不等式的解法步驟解得不等式的解集，再將解集表示在數(shù)軸上即可．【詳解】（1）解：去分母，得去括號，得移項、合并同類項，得化系數(shù)為1，得，∴不等式的解集為，解集表示在數(shù)軸上如圖所示：（2）解：去分母，得去括號，得移項、合并同類項，得化系數(shù)為1，得∴不等式的解集為，解集表示在數(shù)軸上如圖所示：【點睛】本題考查解一元一次不等式、在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握一元一次不等式的解法步驟并正確表示在數(shù)軸上是解答的關(guān)鍵，注意去分母時不要漏乘．【考點五求一元一次不等式的整數(shù)解】例題：（2023春·全國·七年級專題練習）不等式的最大整數(shù)解是______．【答案】【分析】先求出不等式的解集，再進行判斷即可．【詳解】解：，∴，∴，∴；∴不等式的最大整數(shù)解是；故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次不等式．熟練掌握解一元一次不等式的步驟，是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習）滿足不等式的最小的整數(shù)是__．【答案】【分析】先按照移項，合并同類項，系數(shù)化為1得步驟求出不等式的解集，再求出滿足不等式的最小整數(shù)解即可．【詳解】解：移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，∴滿足不等式的最小的整數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求一元一次不等式的整數(shù)解，正確求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）不等式的正整數(shù)解是______．【答案】1，2【分析】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的正整數(shù)解即可．【詳解】去括號得，移項得，，故不等式的正整數(shù)解是1，2．故答案為：1，2．【點睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．【考點六列一元一次不等式】例題：（2023春·全國·七年級專題練習）用不等式表示“m的3倍與n的一半的差不大于6”：_________．【答案】【分析】“m的3倍與n的一半的差”表示為“”，“不大于6”即“”，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由題意知：“m的3倍與n的一半的差”表示為“”，“不大于6”即“”，∴不等式為，故答案為：．【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等關(guān)系時，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊含這不同的不等關(guān)系．【變式訓練】1．（2023春·陜西西安·八年級西安市黃河中學校考階段練習）某商品進價為700元，出售時標價為1100元，后由于商品積壓，商店準備打折銷售，但要保證利潤率不低于．若打x折，則可列不等式___________．【答案】【分析】設(shè)該商品打x折銷售，利用利潤銷售價格進價，結(jié)合該商品的利潤率不低于，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式．【詳解】解：設(shè)該商品打x折，依題意得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）根據(jù)年8月日太原市市政府公布的《太原市推進城市空間立體綠化實施方案》，某小區(qū)積極進行小區(qū)綠化，計劃種植A，B兩種苗木共株.已知A種苗木的數(shù)量不小于B種苗木的數(shù)量的一半，若設(shè)A種苗木有株，則可列不等式：______.【答案】【分析】先用含的式子表示B種苗木的數(shù)量的一半，然后列出不等式即可【詳解】解：由題意可知B種樹苗為，則有．【點睛】本題考查了代數(shù)的列法，及不等式的列法，找到不等關(guān)系是求解的關(guān)鍵．【考點七用一元一次不等式解決實際問題】例題：（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習）某公司購入甲、乙兩種商品，2件甲商品和1件乙商品總進價為220元，3件甲商品和2件乙商品的總進價為360元．(1)求甲、乙兩種商品的進價分別為多少元；(2)該公司計劃購進甲、乙兩種商品共70件，且總進價不超過4650元，則甲商品最多購入多少件？【答案】(1)甲商品的進價為80元，乙商品的進價為60元(2)最多購入22件【分析】（1）設(shè)甲商品的進價為x元，乙商品的進價為y元，根據(jù)2件甲商品和1件乙商品總進價為220元，3件甲商品和2件乙商品的總進價為360元列二元一次方程組，求解即可；（2）設(shè)甲商品購入a件，則購進乙種商品件，根據(jù)總進價不超過4650元列一元一次不等式求解即可．【詳解】（1）設(shè)甲商品的進價為x元，乙商品的進價為y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲商品的進價為80元，乙商品的進價為60元．（2）設(shè)甲商品購入a件，則購進乙種商品件，根據(jù)題意得：，解得：，∵a為正整數(shù)，所以甲商品最多購入22件．【點睛】本題考查了列二元一次方程組解決實際問題，列一元一次不等式解決實際問題，準確理解題意，找出數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·江蘇·七年級專題練習）甲、乙兩車分別從相距200千米的A、B兩地相向而行，甲乙兩車均保持勻速行駛，若甲車行駛2小時，乙車行駛3小時，兩車恰好相遇：若甲車行駛4小時，乙車行駛1小時，兩車也恰好相遇．(1)求甲乙兩車的速度（單位：千米/小時）是多少．(2)若甲乙兩車同時按原速度行駛了1小時，甲車發(fā)生故障不動了，為了保證乙車再經(jīng)過不超過2小時與甲車相遇，乙車提高了速度，求乙車提速后的速度至少是每小時多少千米？【答案】(1)甲車的速度為，乙車的速度為(2)乙車提速后的速度至少是每小時60千米【分析】（1）設(shè)甲車的速度為，乙車的速度為，根據(jù)“若甲車行駛2小時，乙車行駛3小時，兩車恰好相遇：若甲車行駛4小時，乙車行駛1小時，兩車也恰好相遇”列出方程組，即可求解；（2）設(shè)乙車提速后的速度為，根據(jù)題意，列出不等式，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)甲車的速度為，乙車的速度為，根據(jù)題意得，解得，答：甲車的速度為，乙車的速度為；（2）解：設(shè)乙車提速后的速度為，根據(jù)題意得，解得，答：乙車提速后的速度至少是每小時60千米．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，明確題意，準確列出方程組或不等式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級專題練習）某社區(qū)擬建甲、乙兩類攤位以激活“地攤經(jīng)濟”，1個甲類攤位和2個乙類攤位共占地14平方米，2個甲類攤位和3個乙類攤位共占地24平方米．(1)求每個甲、乙類攤位占地各為多少平方米？(2)該社區(qū)擬建甲、乙兩類攤位共100個，且乙類攤位的數(shù)量不多于甲類攤位數(shù)量的3倍，求甲類攤位至少建多少個？(3)在（2）的條件下，某社區(qū)最多用454平方米擬建甲、乙兩類攤位，若建甲類攤位每個需要3000元，乙類攤位每個需要2200元，共有幾種建造方案？哪種方案最省錢？【答案】(1)每個甲類攤位占地6平方米，每個乙類攤位占地4平方米；(2)25個(3)3種，建造25個甲類攤位，75個乙類攤位最省錢【分析】（1）設(shè)每個甲類攤位占地x平方米，每個乙類攤位占地y平方米，根據(jù)“1個甲類攤位和2個乙類攤位共占地14平方米，2個甲類攤位和3個乙類攤位共占地24平方米”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)建造m個甲類攤位，則建造個乙類攤位，根據(jù)建造乙類攤位的數(shù)量不多于甲類攤位數(shù)量的3倍，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)建造甲、乙兩類攤位所占面積不超過454平方米，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論及m為正整數(shù)，可得出共有3個建造方案，再求出各方案所需建造費用，比較后可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)每個甲類攤位占地x平方米，每個乙類攤位占地y平方米，根據(jù)題意得：，解得：．答：每個甲類攤位占地6平方米，每個乙類攤位占地4平方米．（2）設(shè)建造m個甲類攤位，則建造個乙類攤位，根據(jù)題意得：，解得：，∴m的最小值為25．答：甲類攤位至少建25個．（3）根據(jù)題意得：，解得：，∴．又∵m為正整數(shù)，∴m可以為25，26，27，∴共有3種建造方案，方案1：建造25個甲類攤位，75個乙類攤位，所需建造費用為（元）；方案2：建造26個甲類攤位，74個乙類攤位，所需建造費用為（元）；方案3：建造27個甲類攤位，73個乙類攤位，所需建造費用為（萬元）．∵．∴建造25個甲類攤位，75個乙類攤位最省錢．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·全國·七年級專題練習）在下列數(shù)學表達式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)不等式的定義：用不等號連接的式子叫做不等式，進行判斷即可得出結(jié)果．【詳解】解：在下列數(shù)學表達式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有：①②⑤，共3個；故選B．【點睛】本題考查不等式的判斷．熟練掌握不等式的定義，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市實驗學校?？茧A段練習）下面列出的不等式中，正確的是（

）A．a(chǎn)不是負數(shù)，可表示成 B．x不大于3，可表示成C．m與4的差是負數(shù)，可表示成 D．x與2的和是非負數(shù)，可表示成【答案】C【分析】根據(jù)各選項的表述列出不等式，逐一判斷，即可解答．【詳解】解：a不是負數(shù)，可表示成，故A錯誤；x不大于3，可表示成，故B錯誤；與4的差是負數(shù)，可表示成，故C正確；x與2的和是非負數(shù)，可表示成，故D錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了不等式的定義，注意“”，“”的運用是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第六十九中學校?？茧A段練習）若，下列各式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)通過舉反例進行分析判斷．【詳解】解：A．由，當時，，故此選項不符合題意；B．由，當時，式子沒有意義，故此選項不符合題意；C．由，，可得，故此選項符合題意；D．由，，所以，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．4．（2023春·全國·七年級專題練習）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（

）個．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】類似于一元一次方程，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不為0，左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式．根據(jù)一元一次不等式的定義分析判斷即可．【詳解】解：①，屬于不等式，但不是一元一次不等式，不合題意；②，屬于一元一次不等式，符合題意；③，屬于一元一次不等式，符合題意；④，屬于一元二次不等式，不合題意；⑤屬于方程，不合題意；⑥，屬于一元一次不等式，符合題意．綜上所述，一元一次不等式有3個．故本題選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的判別，熟練掌握一元一次不等式的定義是解題關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇·七年級專題練習）若實數(shù)3是不等式的一個解，則可取的最大整數(shù)是（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】解不等式可得，結(jié)合題意“實數(shù)3是不等式的一個解”，可得，解該不等式即可獲得答案．【詳解】解：由不等式，得，∵實數(shù)3是不等式的一個解，∴，解得，∴可取的最大整數(shù)為．故本題選：C．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的應用以及解一元一次不等式，結(jié)合題意得到不等式是解題關(guān)鍵．6．（2023春·河北保定·八年級保定市第十七中學?？计谥校┤羰顷P(guān)于的一元一次不等式．則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)一元一次不等式的未知數(shù)的次數(shù)等于，系數(shù)不等于即可得出答案．【詳解】解：∵是關(guān)于的一元一次不等式，∴且，解得：．故選：C．【點睛】本題考查一元一次不等式的定義．掌握一元一次不等式的未知數(shù)的次數(shù)等于且系數(shù)不等于是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023春·七年級單元測試）若，那么_____（填“＞”“＜”或“=”）．【答案】>【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵a＜b，∴3a＞3b，∴3a2＞3b2．故答案為：＞．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變；不等式兩邊加上同一個數(shù)，不等式的方向不變；即可得答案．8．（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習）不等式的正整數(shù)解是______．【答案】1、2、3、4【分析】按照解不等式的基本步驟求解求得解集，再確定滿足的整數(shù)解即可．【詳解】解：，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1得．則不等式的正整數(shù)解是1、2、3、4．故答案為：1、2、3、4．【點睛】本題考查了解不等式及其整數(shù)解，熟練掌握解法是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）用不等式表示“a的3倍與4的差小于5”為______．【答案】【分析】首先表示“a的3倍”為，再表示“與4的差”為，最后再表示“小于5”為．【詳解】解：∵“a的3倍”為，“與4的差”為，∴用不等式表示“a的3倍與4的差小于5”為：，故答案為：．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等關(guān)系時，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負數(shù)）”、“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．10．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則a的取值范圍是______．【答案】/【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，解不等式即得答案．【詳解】解：由題意得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵11．（2023春·全國·七年級專題練習）已知一關(guān)于x的不等式的解集是，那么這個關(guān)于x的不等式的解集為__________．【答案】【分析】根據(jù)已知不等式的解集，即可確定a，b之間得關(guān)系以及b的符號，從而解不等式．【詳解】解：∵的解集是，∴，，∴，∴，∴不等式的解集為．故答案為：【點睛】本題考查了不等式的解法，正確確定b的符號是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）臺燈的光亮照射范圍相對比較集中，便于閱讀、學習、工作且節(jié)省能源．某款稻草人小臺燈進價10元，標價15元，商店為了促銷，決定打折銷售，但每臺利潤不少于2元，則最多可打________折銷售．【答案】8【分析】設(shè)打折，根據(jù)每臺利潤不少于2元，列出不等式進行求解即可．【詳解】解：設(shè)打折，由題意，得：，解得：；∴最多打折出售；故答案為：．【點睛】本題考查一元一次不等式的應用．正確的列出不等式，是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）求不等式的正整數(shù)解．【答案】正整數(shù)解是【分析】根據(jù)解一元一次不等式的步驟即可得到解答．【詳解】解：去分母得，，

去括號得，，移項得，合并同類項得，，系數(shù)化為1得，．

∴原不等式的正整數(shù)解是．【點睛】本題考查了解一元一次不等式的步驟，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·全國·八年級期中）解不等式，并將其解集在數(shù)軸上表示出來：(1)；(2)．【答案】(1)，數(shù)軸見解析(2)，數(shù)軸見解析【分析】（1）去括號，移項，合并同類項，再系數(shù)化為1即可得到解集，再在數(shù)軸上表示出來即可；（2）去分母，去括號，再移項，合并同類項，最后系數(shù)化為1即可得到解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】（1）解：去括號得，，移項得，，合并同類項得，，在數(shù)軸上表示為：（2）解：去分母得，，去括號得，，移項得，，合并同類項得，，系數(shù)化為1得，．在數(shù)軸上表示為：【點睛】本題考查了不等式的解法，解題過程中要注意移項，去括號時的符號變化，去分母時要注意不要漏乘沒有分母的項．15．（2023春·全國·七年級專題練習）解不等式，并把不等式的解集表示在數(shù)軸上．(1)；(2)．【答案】(1)，數(shù)軸見詳解(2)，數(shù)軸見詳解【分析】（1）先去括號，再移項、合并同類項，即可求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出此解集即可．（2）先去分母、去括號，再移項、合并同類項，系數(shù)化為1即可求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出此解集即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴；將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：【點睛】本題考查的是解一元一次不等式及在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集，解答此題時要熟知解一元一次不等式的步驟，即：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．16．（2023春·全國·七年級專題練習）下面是小明解不等式的過程：①去分母，得，②移項、合并同類項，得，③兩邊都除以，得．先閱讀以上解題過程，然后解答下列問題．(1)小明的解題過程從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號；(2)用正確的方法解這個不等式．【答案】(1)①(2)【分析】（1）觀察小明解題過程，找出錯誤的步驟即可；（2）按照去分母，移項、合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解不等式即可．【詳解】（1）解：小明的解題過程從第①步出現(xiàn)錯誤，誤的原因是：去分母時，不等式左邊第二項沒有乘2．故答案為：①；（2）正確解答為：，去分母，得，移項、合并同類項，得，系數(shù)化為1，得．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式的知識，熟練掌握解不等式的方法和步驟是解題關(guān)鍵．17．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習）已知關(guān)于x的方程．(1)若該方程的解滿足，求a的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式的最大整數(shù)解，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出方程的解，再根據(jù)方程的解滿足，得到關(guān)于x的不等式，即可求解；（2）求出不等式的解集，根據(jù)該方程的解是不等式的最大整數(shù)解，可得，即可求解．【詳解】（1）解方程，得，∵該方程的解滿足，∴，解得．（2）解不等式，得，則最大的整數(shù)解是．把代入，解得．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·浙江·七年級專題練習）某班級為學習成績進步的學生購買獎品，計劃購買同一品牌的鋼筆和自動鉛筆，到文教店查看定價后發(fā)現(xiàn)，購買2支鋼筆和5支自動鉛筆共需75元，購買3支鋼筆和2支自動鉛筆共需85元．(1)求該品牌的鋼筆、自動鉛筆每支的定價分別是多少元；(2)經(jīng)協(xié)商，文教店給予該班級購買一支該品牌鋼筆贈送一支自動鉛筆的優(yōu)惠，如果該班級需要自動鉛筆的支數(shù)是鋼筆的支數(shù)的2倍還多8支，且班級購買鋼筆和自動鉛筆的總費用少于670元，那么該班級最多可購買多少支該品牌的鋼筆？【答案】(1)該品牌的鋼筆每支的定價是25元，自動鉛筆每支的定價是5元(2)20支【分析】（1）設(shè)該品牌的鋼筆每支的定價是x元，自動鉛筆每支的定價是y元，根據(jù)“購買2支鋼筆和5支自動鉛筆共需75元，購買3支鋼筆和2支自動鉛筆共需85元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該班級可以購買m支該品牌的鋼筆，則可以購買（2m+8）支該品牌的自動鉛筆，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合總價少于670元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)該品牌的鋼筆每支的定價是x元，自動鉛筆每支的定價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：該品牌的鋼筆每支的定價是25元，自動鉛筆每支的定價是5元．（2）設(shè)該班級可以購買m支該品牌的鋼筆，則可以購買支該品牌的自動鉛筆，根據(jù)題意得：，解得：，又∵m為正整數(shù)，∴m的最大值為20．答：該班級最多可購買20支該品牌的鋼筆．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．19．（2023春·江蘇·七年級專題練習）5月份是空調(diào)銷售和安裝的高峰時期．某區(qū)域售后服務中心現(xiàn)有600臺已售空調(diào)尚待安裝，另外每天還有新銷售的空調(diào)需要安裝．設(shè)每天新銷售的空調(diào)臺數(shù)相同，每個空調(diào)安裝小組每天安裝空調(diào)的臺數(shù)也相同．若同時安排3個裝機小組，恰好60天可將空調(diào)安裝完畢；若同時安排5個裝機小組，恰好20天就能將空調(diào)安裝完畢．(1)求每天新銷售的空調(diào)數(shù)和每個空調(diào)安裝小組每天安裝空