第16章二次根式全章復(fù)習(xí)與測(cè)試

第16章二次根式全章復(fù)習(xí)與測(cè)試【知識(shí)梳理】一．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．（3）二次根式具有非負(fù)性．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)．學(xué)習(xí)要求：能根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)來(lái)確定二次根式被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問(wèn)題．【規(guī)律方法】二次根式有無(wú)意義的條件1．如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．二．二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（1）二次根式的基本性質(zhì)：①≥0；a≥0（雙重非負(fù)性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）．③＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）（2）二次根式的化簡(jiǎn)：①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化簡(jiǎn)二次根式的步驟：①把被開(kāi)方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)（或因式）都開(kāi)出來(lái)；③化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡(jiǎn)求值的常見(jiàn)題型及方法1．常見(jiàn)題型：與分式的化簡(jiǎn)求值相結(jié)合．2．解題方法：（1）化簡(jiǎn)分式：按照分式的運(yùn)算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡(jiǎn)．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果．（3）檢驗(yàn)結(jié)果：所得結(jié)果為最簡(jiǎn)二次根式或整式．三．同類二次根式同類二次根式的定義：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．【知識(shí)拓展】同類二次根式把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．（1）同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)．（2）幾個(gè)同類二次根式在沒(méi)有化簡(jiǎn)之前，被開(kāi)方數(shù)完全可以互不相同．（3）判斷兩個(gè)二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開(kāi)方數(shù)是否相同．四．最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．五．二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時(shí)一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會(huì)使二次根式無(wú)意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此．六．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．七．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．②把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．③合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開(kāi)方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．八．二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．九．二次根式的化簡(jiǎn)求值二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．十．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識(shí)的整體性，不斷豐富解決問(wèn)題的策略，提高解決問(wèn)題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．【考點(diǎn)剖析】一．二次根式有意義的條件（共2小題）1．（2022秋?寶山區(qū)期末）如果y＝，則x+y的值為（）A． B．1 C． D．0【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x，y的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵3﹣2x≥0，2x﹣3≥0，則x≥，x≤，解得：x＝，故y＝0，則x+y＝+0＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．2．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如果式子有意義，那么x的取值范圍是﹣2＜x≤1．【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計(jì)算即可得解．【解答】解：由題意得，，解得﹣2＜x≤1．故答案為：﹣2＜x≤1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．二．二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（共4小題）3．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）化簡(jiǎn)：＝4x．【分析】應(yīng)用二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)的方法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：原式＝4x．故答案為：4x．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)的方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022秋?楊浦區(qū)期末）當(dāng)mn＜0時(shí)，化簡(jiǎn)＝﹣mn．【分析】直接利用已知結(jié)合二次根式有意義的條件，得出m，n的符號(hào)，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：∵mn＜0，m3n2＞0，∴m＞0，n＜0，∴＝﹣mn．故答案為：﹣mn．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．5．（2022春?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）將a根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，得（）A． B．﹣ C．﹣ D．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)得出a的符號(hào)，進(jìn)而變形得出答案．【解答】解：a＝﹣＝﹣．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2022秋?寶山區(qū)期中）下列各式中，與化簡(jiǎn)（m＞0）所得結(jié)果相同的是（）A．n B．n C．﹣n D．﹣n【分析】根據(jù)題意確定出m與n異號(hào)，原式利用二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝＝?，∵﹣mn≥0，m＞0，∴n≤0，∴原式＝﹣n．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘法以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)：＝|a|，＝?（a≥0，b≥0）．三．同類二次根式（共1小題）7．（2022秋?楊浦區(qū)期末）下列二次根式中，與屬同類二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】各式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，找出被開(kāi)方數(shù)相同的即為同類二次根式．【解答】解：A、原式＝3，不符合題意；B、原式＝3|a|，不符合題意；C、原式＝3|b|，不符合題意；D、原式＝3|b|，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同類二次根式，以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握同類二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．四．最簡(jiǎn)二次根式（共1小題）8．（2022秋?徐匯區(qū)期末）下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】A選項(xiàng)的被開(kāi)方數(shù)中含有分母；B、D選項(xiàng)的被開(kāi)方數(shù)中含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；因此這三個(gè)選項(xiàng)都不是最簡(jiǎn)二次根式．所以只有C選項(xiàng)符合最簡(jiǎn)二次根式的要求．【解答】解：因?yàn)椋篈、＝；B、＝2；D、＝|b|；所以這三項(xiàng)都可化簡(jiǎn)，不是最簡(jiǎn)二次根式．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】在判斷最簡(jiǎn)二次根式的過(guò)程中要注意：（1）在二次根式的被開(kāi)方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡(jiǎn)二次根式；（2）在二次根式的被開(kāi)方數(shù)中的每一個(gè)因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡(jiǎn)二次根式．五．二次根式的乘除法（共6小題）9．（2022秋?寶山區(qū)期中）＝3．【分析】根據(jù)?＝（a≥0，b≥0）計(jì)算，再化簡(jiǎn)即可得出答案．【解答】解：原式＝＝＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘除法，掌握?＝（a≥0，b≥0）是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：÷＝3．【分析】直接利用二次根式的除法運(yùn)算計(jì)算得出答案．【解答】解：÷＝＝＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的除法運(yùn)算，正確掌握二次根式的除法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．11．（2022秋?奉賢區(qū)期中）成立的條件是x＞3．【分析】本題需注意的是，被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，且分式的分母不能為0，列不等式組求出x的取值范圍．【解答】解：由題意得：，解得：x＞3．故填x＞3．【點(diǎn)評(píng)】二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母不為0，是本題確定取值范圍的主要依據(jù)．12．（2017秋?普陀區(qū)期中）計(jì)算：?＝4y．【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算．【解答】解：?＝＝4y．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算．二次根式的乘法法則＝（a≥0，b≥0）．13．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：2x÷3?【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝×＝×＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．14．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：3÷（?）．【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的乘除運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．六．分母有理化（共2小題）15．（2022秋?閔行區(qū)期中）的一個(gè)有理化因式是（）A． B．+ C．﹣ D．【分析】根據(jù)有理化的定義以及二次根式的乘除法則解決此題．【解答】解：A.，那么是的一個(gè)有理化因式，故A符合題意．B．根據(jù)二次根式的乘法法則，不是的一個(gè)有理化因式，故B不符合題意．C．根據(jù)二次根式的乘法法則，不是的一個(gè)有理化因式，故C不符合題意．D．根據(jù)二次根式的乘法法則，，得不是的一個(gè)有理化因式，故D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義以及二次根式的乘除法則是解決本題的關(guān)鍵．16．（2022秋?寶山區(qū)期中）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)方法，化簡(jiǎn)：＝﹣2．【分析】分子和分母都乘﹣2，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，最后求出答案即可．【解答】解：＝＝＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化和平方差公式等知識(shí)點(diǎn)，能找出分母的有理化因式是解此題的關(guān)鍵．七．二次根式的加減法（共1小題）17．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．【分析】先去括號(hào)化簡(jiǎn)二次根式，再合并二次根式．【解答】解：＝＝（﹣2﹣+3）＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減法，掌握二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解題關(guān)鍵．八．二次根式的混合運(yùn)算（共7小題）18．（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）分母有理化：＝．【分析】先求的值，把化為，則可計(jì)算得到＝，所以原式＝，然后分母有理化即可．【解答】解：∵＝＝+＝+＝，∴原式＝＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、除法法則．利用倒數(shù)法和異分母的分?jǐn)?shù)的加法得逆運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)二次根式的乘法、分母有理數(shù)和零指數(shù)冪可以解答本題．【解答】解：＝﹣﹣2（2+）+1＝2﹣﹣4﹣2+1＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算、零指數(shù)冪、分母有理化，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．20．計(jì)算：．【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：4×﹣（+）2+．【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則、分母有理化分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：原式＝2﹣（3+2+2）+＝2﹣5﹣2﹣（2+）＝2﹣5﹣2﹣2﹣＝﹣7﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．22．（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：．【分析】（1）先利用完全平方公式和二次根式的乘法法則計(jì)算，再分母有理化，然后合并即可；（2）先根據(jù)二次根式的乘法和除法法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+1﹣2（+1）﹣（3﹣1）＝3﹣2+1﹣2﹣2﹣2＝﹣4；（2）原式＝12a??＝12a??＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和除法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了分母有理化．23．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：×﹣+．【分析】先化簡(jiǎn)各二次根式，再進(jìn)一步計(jì)算即可．【解答】解：原式＝×2﹣|﹣2|+2﹣＝2﹣2++2﹣＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．24．（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：．【分析】先把每一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：＝3﹣﹣＝＝3﹣﹣2+2＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．九．二次根式的化簡(jiǎn)求值（共3小題）25．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）先化簡(jiǎn)再求值：，其中x＝，y＝．【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母變形，再根據(jù)約分法則化簡(jiǎn)，利用分母有理化法則把x、y化簡(jiǎn)，代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝?（）2＝（﹣）?（）＝x﹣y，當(dāng)x＝＝＝3﹣2，y＝＝3+2時(shí)，原式＝（3﹣2）﹣（3+2）＝﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的乘法法則、平方差公式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）已知，求的值．【分析】先把分子分母因式分解，則約分得到原式＝+x﹣1，接著分母有理化得到x＝2﹣，利用倒數(shù)的定義得到＝+2，然后把它們代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝+＝+x﹣1，∵x＝＝2﹣，∴＝+2，∴原式＝+2+2﹣﹣1＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：正確進(jìn)行分式的加減運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．27．（2022秋?寶山區(qū)期中）已知a＝，求﹣的值．【分析】先利用分母有理化可得a＝2﹣，然后再代入到化簡(jiǎn)后的式子，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＜0，∴﹣＝﹣＝a+1﹣＝a+1+＝2﹣+1+（2+）＝2﹣+1+2+＝5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．一十．二次根式的應(yīng)用（共4小題）28．（2022秋?嘉定區(qū)期中）關(guān)于x的不等式的解集是x＜﹣2﹣．【分析】根據(jù)解一元一次不等式的步驟與方法和二次根式的性質(zhì)解答便可．【解答】解：2x﹣x＞1，（2﹣）x＞1，x＜，x＜﹣2﹣．故答案為：x＜﹣2﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式，有理化分母，關(guān)鍵是熟記解不等式的步驟與方法，特別注意系數(shù)化成1時(shí)，不等式兩邊除以負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變．29．（2022秋?嘉定區(qū)月考）不等式的解集是x＜1．【分析】移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；化系數(shù)為1解答即可．【解答】解：，（1﹣2）x＞1﹣2，x＜1．故答案為：x＜1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)解一元一次不等式的解法解答．30．（2022秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）解不等式：（x﹣）＞x+．【分析】將所求不等式變形為（﹣）x＜﹣3，再由＞，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求解即可．【解答】解：（x﹣）＞x+，x﹣2＞x+，（﹣）x＜﹣3，∵＞，∴x＜＝﹣3×（）＝﹣9﹣3，∴x＜﹣9﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的方法，無(wú)理數(shù)大小的比較是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）解不等式：≤．【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法即可求出答案．【解答】解：≤，﹣2≤x﹣3，（﹣）x≤﹣1，x≥，x≥+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元一次不等式的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義及分式有意義的條件可得不等式2x1>0，再解不等式即可；【詳解】根據(jù)題意,2x?1>0,解得：；故選B.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式有意義的條件，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.2．把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，其結(jié)果是（）A． B．﹣ C． D．﹣【答案】B【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出a10,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)把根號(hào)外的因式平方后移入根號(hào)內(nèi),注意:當(dāng)時(shí),,時(shí),,即可得出答案.【詳解】解：∵根式有意義,∴,解得：,∴a10,∴=﹣,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)的應(yīng)用,難度較大,熟悉根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3．下列二次根式中，能與合并的是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】將各式化為最簡(jiǎn)二次根式后即可判斷．【詳解】A.原式=2，故不能合并，B.原式=2，故能合并，C.原式=，故不能合并，D.原式=3，故不能合并，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì).4．與互為倒數(shù)，則（

）A．a(chǎn)﹦b－1 B．a(chǎn)＋b﹦1 C．a(chǎn)﹦b＋1 D．a(chǎn)＋b﹦－1【答案】C【分析】由倒數(shù)的定義，兩數(shù)的積等于1，列方程求解．【詳解】解：由題意得，∴ab=1，即a=b+1故選C【點(diǎn)睛】此題主要考查了倒數(shù)的定義，即互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的積為1．5．若與是同類二次根式，則a、b的值為（）A．a(chǎn)=2，b=2 B．a(chǎn)=2，b=0C．a(chǎn)=1，b=1 D．a(chǎn)=0，b=2或a=1，b=1【答案】D【分析】根據(jù)同類二次根式的意義，列方程組解答【詳解】∵與是同類二次根式，∴，或，解得，或．故選D．6．估計(jì)的大小應(yīng)（）A．在2～3之間 B．在3～4之間 C．在4～5之間 D．在5～6之間【答案】C【分析】先根據(jù)二次根式的乘法法則可知＝，再由16＜24＜25，利用算術(shù)平方根的性質(zhì)可得4＜＜5，可得結(jié)果．【詳解】解：∵＝，16＜24＜25，∴4＜＜5，即4＜＜5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)及二次根式的乘法法則是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題7．若、是有理數(shù)，且，則______.【答案】43【分析】根據(jù)完全平方公式及實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵=且、是有理數(shù)∴a=43,b=30故填：43.【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式.8．若直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a、b，且，則該直角三角形斜邊上的高為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)非負(fù)性求出a,b，再求出斜邊長(zhǎng)，根據(jù)面積法即可求出該直角三角形斜邊上的高．【詳解】∵∴∴a4=0，b3=0∴a=4,b=3∴斜邊長(zhǎng)為故該直角三角形斜邊上的高為=故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知非負(fù)性的特點(diǎn)．9．比較大?、賍____；②_____3.4.（用>或<填空）【答案】<<【分析】①求出的取值范圍，比較2與1的大小即可；②分別乘方，再比較所得負(fù)數(shù)的大小；【詳解】①∵2＜＜3，∴0＜2＜1，∴；②|42|＞39.304，∴42＜39.304，即，故答案為①<；②<.【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)數(shù)大小比較，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.10．若xy＝2，則x+y＝_______________．【答案】±2【分析】分兩種情況討論，若x、y均大于0和若x、y均小于0，再化簡(jiǎn)，即可求解．【詳解】解：若x、y均大于0，則原式＝x?+y?＝2＝2；若x、y均小于0，則原式＝﹣x?﹣y?＝﹣2＝﹣2；綜上，原式的值為±2．故答案為：±2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則______.【答案】1【詳解】解：∵的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，∴a=1，b=，∴ab==1．故答案為：112．計(jì)算=__________．【答案】【分析】先把各根式化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行合并即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式=

=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的加減，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的加減運(yùn)算法則，比較簡(jiǎn)單．13．如果，那么的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)魏非負(fù)數(shù)，分母不為零得到不等式組即可求解.【詳解】依題意可得，解得，故填：.【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式組.14．已知、，化簡(jiǎn)______.【答案】【分析】根據(jù)、，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】∵、∴＞0，＞0，故==故填：.【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的性質(zhì).15．若最簡(jiǎn)二次根式與是同類根式，則______.【答案】2【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義得到二元一次方程組，即可求解.【詳解】解依題意，解得，故填2.【點(diǎn)睛】點(diǎn)評(píng)：本題考查了同類二次根式：幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，若被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式．16．化簡(jiǎn)：______；______.【答案】【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求解.（2）根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】32=；故填：；.【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的運(yùn)算法則與性質(zhì).17．已知三角形三邊分別為，，，則它的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的加法，即可解答．【詳解】解：（cm）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加法，解題的關(guān)鍵是先把每一個(gè)二次根式化簡(jiǎn)．三、解答題18．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）利用冪的性質(zhì)計(jì)算：【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，非零數(shù)的零次冪為1，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；計(jì)算求值即可．【詳解】解：原式=【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的運(yùn)算法則，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，二次根式求值，掌握相關(guān)運(yùn)算規(guī)則是解題關(guān)鍵．19．已知求式子的值.【答案】【分析】利用完全平方公式將已知整式變形，進(jìn)而將已知代入求出即可．【詳解】因?yàn)樗?，，所以原?.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.20．閱讀下面一題的解答過(guò)程，請(qǐng)判斷是否正