江西省宜春市豐城市第九中學2024-2025學年高三上學期第一次段考數(shù)學試題（日新班）（解析版）

豐城九中2024-2025學年上學期高三日新班第一次段考試卷考試時間：10月考試時長：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法、交集的定義求解即可.，則，即，，解得，故，又，故.故選：B2.歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美．已知實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣也適用于復數(shù)指數(shù)冪，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知得出，然后指數(shù)運算可得結(jié)果.因為，所以，.故選：B.3.已知拋物線C：的焦點為F，若點在C上，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，將點坐標代入拋物線方程，求得，求出，即可求得的面積.將代入C的方程，得，故，所以，則的面積.故選：A.4.已知，，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解.，，當且僅當，即，時等號成立.故選：B.5.學校安排含唐老師、李老師在內(nèi)的5位老師去3個不同的學校進行招生宣傳，每位老師都必須選1個學校宣傳，且每個學校至少安排1人.由于唐老師是新教師，學校安排唐老師和李老師必須在一起，則不同的安排方法有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.60種【答案】B【解析】【分析】把5位老師按和分組，再把分成的3組安排到3所學校，列式計算得解.把5位老師按和分組，且唐老師和李老師在一起的不同分組方法數(shù)為，所以不同的安排方法有（種）.故選：B6.從的二項展開式中隨機取出不同的兩項，則這兩項的乘積為有理項的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出二項式展開式，再利用古典概型求出這兩項的乘積為有理項的概率.展開式通項為，則二項展開式分別為：，，，，，，將這6項依次記：，從的二項展開式中隨機取出不同的兩項有種情況，所以這兩項的乘積為有理項的基本事件為：，，，共6種情況，所以這兩項的乘積為有理項的概率為.故選：A.7.已知中，，角的平分線交于點，且，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設，根據(jù)題意，利用平面向量的共線定理，得到，利用余弦定理，求得，得到面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.如圖所示，設，因為三點共線，可得，設，所以，又因為角的平分線交于點，四邊形為菱形，可得，所以，所以，在中，由余弦定理得，則，所以的面積為，當時，的面積取得最大值，最大值為.故選：C.8.已知函數(shù)存在零點，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構造新函數(shù)，利用導數(shù)求單調(diào)性，再運用基本不等式即可求解由得，設，，設，，由得，由得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，而，當且僅當，即時，等號成立，因為有零點，則，所以，故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)(，)的圖象中相鄰兩條對稱軸的距離是，先將的圖象先向右平移個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，且最大值為4，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期是 B.的圖象關于直線對稱C.的圖象關于點對稱 D.在上單調(diào)遞減【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定函數(shù)的表達式為，即可根據(jù)代入驗證法判斷BC，根據(jù)整體法即可求解D.由已知，A錯誤；所以，則，所以，因為是偶函數(shù)，所以，，即，，而，所以，所以，因為最大值為4，所以，則，所以，因為，所以為一條對稱軸，B正確；由于，所以C不正確；當時，此時單調(diào)遞減，D正確，故選：BD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有且僅有一個公共點B.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像沒有公切線C.函數(shù)，則有極大值，且極大值點D.當時，恒成立【答案】ACD【解析】【分析】選項A，利用與的圖象，知時，有一個交點，當，構造函數(shù)，利用導數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，進而求得，即可求解；選項B，設出切點，利用導數(shù)的幾何意義得到，將問題轉(zhuǎn)化成求方程解的個數(shù)，即可求解；選項C，令，對求導，求出的單調(diào)區(qū)間，再利用極值的定義，即可求解；選項D，構造函數(shù)和，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關系，得到，且等號不能同時取到，再利用與圖象間的關系，即可求解.對于選項A，易知當時，函數(shù)與函數(shù)的圖像有一個公共點，當時，令，則，由，得到，由，得到，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在時取最小值，即，所以當時，函數(shù)與函數(shù)的圖像沒有公共點，故A正確；對于選項B，設與切于點，與切于點則，化簡得：，判斷方程根的個數(shù)即為公切線條數(shù)，令，則，易知在上恒小于0，當時，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以在上有使得，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當，所以方程有兩解，與的圖像有兩條公切線，所以選項B錯誤，對于選項C，令，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在，使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值，且極大值點，故選項C正確，對于選項D，，則，當時，時，，所以，即，當且僅當時取等號，令，則在區(qū)間上恒成立，又，所以，當且僅當時取等號，又，當時，與重合，當時，的圖象由向右平移，此時圖象恒在下方，所以，且等號不能同時取到，故選項D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何相聯(lián)系；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．11.已知，且，則的值可能為（）A. B. C. D.8【答案】ACD【解析】【分析】借助二倍角公式及兩角和差公式化簡，得到，再利用基本不等式得到其取值范圍，從而得到答案.因為所以，，，因為，所以，所以，，，又，所以，即，所以，當時，，當且僅當，即等號成立；當時，，即，當且僅當，即時的等號成立，綜上，，即，故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：靈活變換，利用，兩角和與差公式化簡已知的等式是解本題的關鍵.二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量，滿足，，，則向量，夾角的余弦值為______．【答案】##【解析】【分析】由利用向量數(shù)量積得，再由計算即可.，則，由得，所以，于是．故答案為：13.設等差數(shù)列an的前n項和為，若，則an的公差______．【答案】3【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合，可得，與相減可求的值.】由，所以.故答案為：314.在三棱錐中，平面VAC，，，點F為棱AV上一點，過點F作三棱錐的截面，使截面平行于直線VB和AC，當該截面面積取得最大值時，______．【答案】【解析】【分析】通過作平行線作出題中的截面，并結(jié)合線面平行以及線面垂直說明其為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時參數(shù)的值，解直角三角形即可求得答案.根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點作，交于點；在平面內(nèi)，過點作，交于點；在平面內(nèi)，過點作，交于點，連接，如圖所示，

因為，則，設其相似比為，即，則；又因為，，，由余弦定理得，，則，即.又平面，，平面，所以，.又，則，.因為，則，則，因為，所以，即，同理可得，即，因為，，則，故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，故平面，同理平面，即四邊形為截面圖形；又平面，平面，則，又，所以.故平行四邊形為矩形，則，所以當時，有最大值，則，在中，.故答案為：.【點睛】思路點睛：先作平行線作出題中的截面，再證明四邊形為符合題意的截面圖形，結(jié)合線面平行以及線面垂直說明四邊形為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達式，利用二次函數(shù)求出最值得解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.下圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.圖（1）是一個面積為1的實心正三角形，分別連接這個正三角形三邊的中點，將原三角形分成4個小正三角形，并去掉中間的小正三角形得到圖（2），再對圖（2）中的每個實心小正三角形重復以上操作得到圖（3），再對圖（3）中的每個實心小正三角形重復以上操作得到圖（4），…，依此類推得到個圖形.記第個圖形中實心三角形的個數(shù)為，第n個圖形中實心區(qū)域的面積為.（1）寫出數(shù)列an和b（2）設，證明.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由圖形可判斷數(shù)列an和b（2）先由，，得，根據(jù)利用單調(diào)性得，進而可得.【小問1】由圖知后一個圖形中實心三角形的個數(shù)是前一個的倍，所以an是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，由圖知后一個圖形中實心區(qū)域的面積是前一個的倍，第一個三角形的面積為，故bn是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故【小問2】，故，因為，故單調(diào)遞增，故，又，故，故，又，故16.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的方程；（2）若函數(shù)在上有2個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得解；（2）令，分離參數(shù)可得，由題意可得方程在上有2個根，構造函數(shù)，，利用導數(shù)求出其極值和單調(diào)區(qū)間即可得解.【小問1】由題意得，，故，解得，而，故所求切線方程為，即；【小問2】令，則，故，因為函數(shù)在上有2個極值點，所以方程在上有2個根，令，，則，令，解得，故當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且，當時，，當，，故實數(shù)的取值范圍為.17.已知四棱錐中，底面是矩形，，M是SB的中點．（1）證明：；（2）若，點P是SC上的動點，直線AP與平面所成角的正弦值為，求四面體的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，，可證平面，再根據(jù)線面垂直的定義可證.（2）建立空間直角坐標系，先根據(jù)直線AP與平面所成角的正弦值為，確定點位置，再求四面體的體積.【小問1】如圖：取中點，連接，.因為、分別為、的中點，所以，又，所以.又，，且，，所以所以，又平面，所以平面，因為平面，所以.【小問2】因為，，平面，所以平面.又，所以可以以為原點，建立如圖空間直角坐標系.因為，則A0,0,0，，，，，所以，.設平面的法向量為m=x,y,z，取設，.所以.因為直線AP與平面所成角的正弦值為，所以：cos<AP,所以為的中點，所以18.新冠疫情下，為了應對新冠病毒極強的傳染性，每個人出門做好口罩防護工作刻不容緩．某口罩加工廠加工口罩由三道工序組成，每道工序之間相互獨立，且每道工序加工質(zhì)量分為高和低兩種層次級別，三道工序加工的質(zhì)量層次決定口罩的過濾等級；工序加工質(zhì)量層次均為高時，口罩過濾等級為100等級(表示最低過濾效率為99.97%)；工序的加工質(zhì)量層次為高，工序至少有一個質(zhì)量層次為低時，口罩過濾等級為99等級(表示最低過濾效率為99%)；其余均為95級(表示最低過濾效率為95%)．表①:表示三道工序加工質(zhì)量層次為高的概率；表②:表示加工一個口罩的利潤．表①工序概率表②口罩等級100等級99等級95等級利潤/元（1）表示一個口罩的利潤，求的分布列和數(shù)學期望；（2）由于工廠中工序加工質(zhì)量層次為高的概率較低，工廠計劃通過增加檢測環(huán)節(jié)對工序進行升級．在升級過程中，每個口罩檢測成本增加了()元時，相應的工序加工層次為高的概率在原來的基礎上增加了;試問：若工廠升級方案后對一個口罩利潤的期望有所提高，則與應該滿足怎樣的關系?【答案】（1）分布列見解析，（2）()【解析】【分析】（1）由題意可知：的可能取值為，，，分別求出100等級，99等級，95等級的概率，列分布列計算數(shù)學期望即可；（2）改良后一件產(chǎn)品的利潤的可能取值為，，，分別求出改良后100等級，99等級，95等級的概率，求出數(shù)學期望與比較即可.【小問1】的可能取值為，，，；；；所以的分布列為【小問2】設升級后一件產(chǎn)品的利潤為，則的可能取值為，，；；；所以，由得，解得，所以與滿足的關系為().19.已知橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率，過點作不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，且的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）設點關于軸的對稱點為，求的面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求得橢圓的標準方程；（2）設方程為，聯(lián)立方程組，得到，進而得到的方程，結(jié)合點到直線的距離公式，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問1】解：由橢圓離心率，且的周長為，可得，解得，所以，所以橢圓的方程為.【小問2】解：依題意直線的斜率存在且不為0，設方程為，聯(lián)立方程，整理得，設，，則，可得，可得，因為，所以，即，所以到的距離，所以，當且僅當